2024-2025學年高中數學第2章解析幾何初步33.3空間兩點間的距離公式（教師用書）教學實錄北師大版必修2授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間教材分析2024-2025學年高中數學第2章解析幾何初步3.3節，北師大版必修2《空間兩點間的距離公式》教學實錄。本節內容與課本緊密關聯，通過推導空間兩點間距離公式，幫助學生理解空間幾何知識，提高空間想象力和計算能力，為后續學習打下基礎。核心素養目標分析培養學生空間觀念，通過空間兩點間距離公式的學習，提升學生的邏輯推理能力和數學建模能力。同時，強化學生的幾何直觀，提高運用數學知識解決實際問題的能力，培養嚴謹求實的科學態度。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在此前已經學習了平面幾何中的距離公式和點的坐標表示，具備了一定的坐標計算和幾何推理基礎。然而，空間幾何的學習對學生來說是新挑戰，他們需要從二維思維過渡到三維空間思維。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中學生對幾何學通常抱有較高的興趣，特別是當幾何知識與實際問題相結合時。學生在數學能力上存在個體差異，部分學生可能在空間想象和抽象思維方面表現較好，而另一些學生可能在理解和記憶幾何公式時遇到困難。學習風格上，有的學生偏好通過視覺和圖形來學習，而有的學生則更依賴于公式和邏輯推理。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

學生在學習空間兩點間的距離公式時可能遇到的困難包括：

-空間想象力的不足，難以在腦海中形成空間幾何圖形；

-對坐標系和空間點表示的理解不夠深入，導致坐標計算錯誤；

-推理過程中邏輯混亂，難以正確應用公式解決問題；

-對公式推導過程理解不透，難以靈活運用公式進行計算。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節課所需的教材或學習資料，包括北師大版必修2《空間兩點間的距離公式》相關章節。

2.輔助材料：準備與教學內容相關的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如空間幾何圖形的動畫演示，以幫助學生直觀理解。

3.教學工具：準備直尺、圓規等基本繪圖工具，用于課堂練習和演示。

4.教室布置：設置分組討論區，方便學生進行合作學習，并確保實驗操作臺或白板等教學設施齊全。教學過程一、導入（約5分鐘）

1.激發興趣：以實際生活中的空間距離問題為例，如建筑設計中的空間布局，引發學生思考，激發他們對空間距離公式的興趣。

2.回顧舊知：引導學生回顧平面直角坐標系中兩點間距離公式的推導過程，為新知識的學習做好鋪墊。

二、新課呈現（約30分鐘）

1.講解新知：詳細講解空間直角坐標系中兩點間距離公式的推導過程，包括向量表示和數量積的應用。

2.舉例說明：通過具體的空間點坐標，演示如何運用公式計算兩點間的距離，讓學生理解公式的實際應用。

3.互動探究：組織學生進行小組討論，讓他們嘗試自己推導公式，并在課堂上展示自己的推導過程。

三、鞏固練習（約20分鐘）

1.學生活動：學生獨立完成教材上的練習題，計算給定空間點的距離，加深對公式應用的理解。

2.教師指導：對學生的練習情況進行巡視，對普遍存在的問題進行講解和指導，確保每位學生都能正確應用公式。

四、深化理解（約15分鐘）

1.提出問題：引導學生思考公式推導過程中涉及的幾何意義和數學原理。

2.學生討論：學生分組討論，分享對公式的理解和在計算過程中的經驗。

3.教師總結：對學生的討論進行總結，強調公式推導過程中的關鍵步驟和數學思想。

五、應用拓展（約10分鐘）

1.課堂延伸：提供一些實際問題，如計算地球表面上兩點間的直線距離，讓學生運用所學公式解決。

2.學生展示：選取幾名學生進行展示，講解他們是如何應用公式解決實際問題的。

六、課堂小結（約5分鐘）

1.教師總結：回顧本節課的學習內容，強調空間兩點間距離公式的應用和重要性。

2.學生反饋：請學生分享對本節課內容的理解和學習心得。

七、作業布置（約5分鐘）

1.作業內容：布置教材課后習題，包括計算題和應用題，以鞏固學生對空間兩點間距離公式的理解和應用。

2.作業要求：要求學生獨立完成作業，并按時上交，以便教師檢查學生的學習效果。教學資源拓展1.拓展資源：

-空間幾何圖形的計算機輔助設計（CAD）軟件介紹：通過CAD軟件，學生可以直觀地繪制和操作空間幾何圖形，加深對空間兩點間距離公式的理解。

-空間幾何問題在實際工程中的應用案例：收集并整理一些空間幾何問題在建筑、工程、地理信息等領域的應用實例，如建筑設計中的空間距離計算、地理信息系統中的距離測量等。

-空間幾何的歷史發展簡介：介紹空間幾何的發展歷程，包括歐幾里得幾何、非歐幾何等，以及這些幾何體系在數學發展中的地位和影響。

2.拓展建議：

-學生可以通過在線資源或圖書館查閱關于空間幾何的歷史資料，了解空間幾何的發展背景。

-利用CAD軟件，學生可以自行設計一些空間幾何問題，如計算兩個空間點的最短距離，通過實際操作加深對距離公式的理解。

-組織學生進行小組合作，針對實際案例，如城市規劃中的空間布局問題，應用空間兩點間距離公式進行計算和分析。

-鼓勵學生參與數學競賽或科學展覽，通過解決實際問題展示他們在空間幾何學習中的成果。

-引導學生閱讀相關的數學期刊或論文，了解空間幾何在當代數學研究中的應用和最新進展。

-設計一些開放性的問題，如探討空間兩點間距離公式的適用范圍和局限性，激發學生的探究精神和創新思維。

-通過制作幾何模型或動畫，幫助學生直觀地理解空間幾何圖形和距離公式的幾何意義。

-結合地理信息系統（GIS）的知識，探討空間距離在地理信息處理中的應用，如地圖縮放、距離測量等。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

1.回顧本節課的學習內容，強調空間兩點間距離公式的推導過程和幾何意義。

2.總結公式在解決實際問題中的應用，如建筑設計、地理信息系統等。

3.強調空間幾何在數學發展中的重要地位，以及其在現代科技中的應用價值。

4.鼓勵學生在日常生活中關注空間幾何現象，提高空間思維能力。

當堂檢測：

1.單項選擇題（每題5分，共20分）

-在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)和點B(4,5,6)之間的距離是（）

A.2B.3C.4D.5

-下列哪個選項不是空間兩點間距離公式的應用？（）

A.計算地球表面上兩點間的直線距離

B.建筑設計中的空間布局

C.化學反應中的分子間距離

D.地理信息系統中的距離測量

2.判斷題（每題5分，共20分）

-空間兩點間距離公式只適用于空間直角坐標系中的點。（）

-空間兩點間距離公式可以推導出平面直角坐標系中兩點間的距離公式。（）

-空間兩點間距離公式的推導過程中，向量數量積的計算非常重要。（）

-空間兩點間距離公式在解決實際問題時具有廣泛的應用。（）

3.計算題（每題10分，共30分）

-在空間直角坐標系中，點A(2,3,4)和點B(-1,2,3)之間的距離是多少？

-已知空間直角坐標系中，點C(1,2,3)和點D(4,5,6)之間的距離為5，求點C關于平面x+y+z=1的對稱點E的坐標。

4.應用題（每題15分，共30分）

-在建筑設計中，需要計算兩個相鄰建筑物之間的距離，已知建筑物A的坐標為(1,2,3)，建筑物B的坐標為(4,5,6)，求兩建筑物之間的距離。

-在地理信息系統中，需要測量兩點之間的直線距離，已知兩點坐標分別為(100,200,300)和(150,250,350)，求兩點之間的直線距離。板書設計①重點知識點：

-空間直角坐標系

-向量表示

-向量數量積

-空間兩點間距離公式

②關鍵詞：

-坐標

-向