速算與妙算線段——談勾股定理在計(jì)算中的靈活運(yùn)用瀘州高中附屬學(xué)校易建洪關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)是由慢到快到準(zhǔn)的藝術(shù)，直角三角形中的勾股定理，是三角形、多邊形、圓中線段計(jì)算證明的基礎(chǔ)，在教學(xué)中教會(huì)學(xué)生如何運(yùn)用勾股定理快速準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算、如何設(shè)元運(yùn)用勾股定理建方程計(jì)算線段。在教學(xué)中點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，激發(fā)歸納總結(jié)規(guī)律的欲望是關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生畫圖計(jì)算，實(shí)際動(dòng)手操動(dòng)是手段。一、快速口算邊長(zhǎng)抓住直角三角形中的線段長(zhǎng)度特征，有時(shí)可以運(yùn)用縮放法、平方差因式分解法、勾股數(shù)、比例法等快速口算直角三角形的邊長(zhǎng)。教學(xué)完勾股定理后，給學(xué)生出了五道填空題如下：例題1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件填空：（1）若a＝4，b＝8，則c＝___________.（2）若c＝41，b＝40，則a＝_____________.（3）若a＝5，b＝12，則c＝____________.（4）若∠A＝30°，a＝2，則c＝__________，b＝__________.（5）若∠A＝45，a＝3，則c＝__________，b＝__________.絕大多數(shù)學(xué)生用了很久的時(shí)間才計(jì)算完，此時(shí)，我讓學(xué)生停筆下來(lái)，看老師口算出答案。學(xué)生驚訝地望著老師。然后老師再逐一引導(dǎo)學(xué)生提煉歸納規(guī)律，學(xué)生通過(guò)與實(shí)際計(jì)算的結(jié)果對(duì)比，從而驗(yàn)證規(guī)律是正確的。總結(jié)完規(guī)律，老師再隨意舉一些例子，分別請(qǐng)學(xué)生來(lái)口算第三邊的邊長(zhǎng)。班上平時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)較差的學(xué)生也會(huì)在短短的一兩秒時(shí)間內(nèi)正確算出答案，這大大增加了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。通過(guò)上面的習(xí)題，我們總結(jié)的規(guī)律如下：1.縮放法： 直角三角形已知的兩邊成倍數(shù)a，或有公因數(shù)a，將這兩邊同時(shí)縮小a倍，用勾股定理計(jì)算出第三邊，再將結(jié)果乘以a倍得實(shí)際第三邊的長(zhǎng)度.（圖1）例題1中的（1）小題，將4、8同時(shí)縮小4倍后為1、2，由1和2計(jì)算斜邊為，這一過(guò)程是絕大多數(shù)學(xué)生都能口算的，再將放4倍回去（如圖1），實(shí)際c的長(zhǎng)為4.（圖1）2.平方差因式分解法： 當(dāng)計(jì)算直角邊長(zhǎng)的時(shí)候，將被開(kāi)方數(shù)的平方差分解因式，往往會(huì)使計(jì)算化簡(jiǎn)更簡(jiǎn)便。例題1中的（2）小題，如果不用平方差公式，先算平方，再算差，會(huì)是這樣：C＝.如果用平方差公式，則會(huì)是這樣：C＝。前一個(gè)算式中412都會(huì)讓學(xué)生計(jì)算費(fèi)時(shí)，而后一種計(jì)算全是在口算中進(jìn)行比較省時(shí).3.勾股數(shù) 記住勾股數(shù)及其倍分?jǐn)?shù)，可以快速得到答案。例如3，4，5的倍數(shù)6，8，10；9，12，15；12，15，20…；此外常見(jiàn)的勾股數(shù)可以用聯(lián)系法引導(dǎo)學(xué)生記憶：首位數(shù)是奇數(shù)3，5，7，9，11，后兩位數(shù)分別是相鄰整數(shù)；首位數(shù)是獨(dú)立偶數(shù)時(shí)為8.3，4，5（勾三股四弦五口訣）；5，12，13（2＋3＝5，后兩位個(gè)位數(shù)相加為首位數(shù)）；7，24，25（2＋5－7，后一位十位與個(gè)位數(shù)相加為首位數(shù)）；9，40，41（4＋0＋4＋1＝9，后兩位所有數(shù)字相加為首位數(shù)）；11，60，61（6＋6－1＝11，后兩位十位數(shù)字減個(gè)位數(shù)字為首位數(shù)）；8，15，17（7＋8＝15，最后一個(gè)個(gè)位數(shù)字加首位數(shù)字為第二個(gè)數(shù)）.此外常見(jiàn)勾股數(shù)與它們的倍分?jǐn)?shù)也會(huì)滿足勾股定理的計(jì)算.例題1中的（3）小題因?yàn)橛涀×斯垂蓴?shù)5，12，13，因此口算出斜邊c等于13.4.比例法 直角三角形中，當(dāng)有一銳角為30°時(shí)，則三邊的比例關(guān)系為1：：2；直角三角形中，當(dāng)有一銳角為45°時(shí)，則三邊的比例關(guān)系為1：1：.規(guī)納這種比例關(guān)系時(shí)，先讓學(xué)生通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子計(jì)算出三邊數(shù)據(jù)，再引導(dǎo)將它們相比，得出此規(guī)律；其此引導(dǎo)學(xué)生在具體計(jì)算中，找出一份的邊長(zhǎng)，再利用比例口算未知邊長(zhǎng)。（圖2）例如在直角三角形中，知60°所對(duì)的邊長(zhǎng)為3求斜邊長(zhǎng).如圖2因?yàn)?0°所對(duì)的邊的比例是份，因此將3÷＝得到一份的數(shù)值，即30°所對(duì)邊的長(zhǎng)，再乘以2為斜邊的長(zhǎng)2.（圖2）同樣的道理，在等腰直角三角形中，將斜邊的長(zhǎng)除以，可以得到直角邊的長(zhǎng). 但是，在解答題中，有比例法計(jì)算三邊的情況時(shí)，要求學(xué)生應(yīng)該完整規(guī)范書寫解題過(guò)程。例如在直角三角形中，知60°所對(duì)的邊長(zhǎng)為3求斜邊長(zhǎng).先設(shè)30°所對(duì)的邊長(zhǎng)為x，則斜邊長(zhǎng)為2x，由勾股定理得：x2＋32＝(2x)2，所以x＝，斜邊c＝2x＝2.在填空選擇題中，則可以快算口算結(jié)果，例題1中的（4）小題c＝4，b＝2.例題1中的（5）小題c＝3，b＝3.二、設(shè)元妙算邊長(zhǎng) 在三角形中，只知一邊的長(zhǎng)，求另外兩邊，往往需要根據(jù)其它條件，設(shè)未知的一邊為x，用含x的代數(shù)式表示其它未知邊，巧妙借助勾股定理建方程求解x.其中由等量關(guān)系建方程的類型不同可以分為“和差邊”和“邊為橋”兩種.1.和差邊 在同一個(gè)直角三角形中，未知的兩邊存在和差關(guān)系，設(shè)未知的一邊為x，利用和差關(guān)系表示出另一邊，再利用勾股定理建立方程.此類習(xí)題的難點(diǎn)往往分析出未知兩邊的和差關(guān)系.例如樹(shù)竹斷裂問(wèn)題中，斷裂的兩斷和為樹(shù)或竹的高；水池蘆葦中露出水面的高度加水深等于蘆葦?shù)拈L(zhǎng)；旗桿的繩長(zhǎng)比旗桿高度多1米；紙片折疊問(wèn)題，由折疊重合的邊等角等，或利用角等加平行找等腰三角形，在完整直角三角形中找到兩邊之和等于已知條件等。例2.如圖3，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8，4)，沿對(duì)角線AC將長(zhǎng)方形對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，CB′與x軸交于E，求點(diǎn)E和B′的坐標(biāo).分析：由題意得到∠BCA＝∠B′CA＝∠CAO，所以AE＝CE，OE＋CE＝OE＋AE＝OA＝8，設(shè)OE為a，則由勾股定理列方程求解OE，得點(diǎn)E的坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)B′作OA的垂線，由面積法及勾股定理可得ED與B′D的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OD，得點(diǎn)B′的坐標(biāo).解：矩形OABC中，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8，4），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝4，OA∥BC，∴∠BCA＝∠OAC，由折疊重合可知：（圖3）∠BCA＝∠B′CA，B′C＝BC＝（圖3）∴∠OAC＝∠B′CA，∴CE＝AE，設(shè)OE＝a，則AE＝OA－OE＝8－a，從而CE＝8－a，在Rt△OCE中，由勾股定理，得:OC2＋OE2＝CE2，即42＋a2＝(8－a)2，解得a＝3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0），CE＝AE＝8－a＝5,B′E＝OE＝3，AB＝AB′＝4，過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，如圖4，則S△AB′E＝AEB′D＝EB′AB′.×5B′D＝×3×4，∴B′D＝2.4，（圖4）在Rt△EB′D中，由勾股定理，得ED＝＝1.8（圖4）∴OD＝OED＋ED＝3＋1.8＝4.8，又點(diǎn)B′在第四象限，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4.8，－2.4）.2.邊為橋 在兩個(gè)直角三角形中，有一條邊相等，則以等邊的平方作為橋梁，借助勾股定理，在兩個(gè)直角三角形中建立等量關(guān)系，列出方程求線段長(zhǎng)的辦法叫邊為橋。邊為橋又可以分為高為橋和斜邊為橋。（1）高為橋 已知三角形一邊上的高分這邊所成的兩條線段與已知線段有和差關(guān)系，則設(shè)一條線段為x，用含x的代數(shù)式表示其它線段，以高的平方作為橋梁，借勾股定理，建立等量關(guān)系求線段。例3.如圖5，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面積.分析：作BC邊上的高AD，設(shè)BD為x，則CD為（14－x），由AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2列方程求出BD,再由勾股定理得到AD，從而求出△ABC的面積.解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖6（圖5）則∠ADB＝∠ADC＝90（圖5）由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2設(shè)BD＝x，則CD＝BC－BD＝14－x.∴132－x2＝152－(14－x)2，∴x＝5，即BD＝5在Rt△ABD中，由勾股定理，得（圖9）AD＝＝12（圖9）（圖6）∴S△ABC＝BCAD＝×14×12＝84.（圖6）（2）斜邊為橋 已知兩直角三角形的斜邊相等，另外的直角邊已知或存在和差關(guān)系，則設(shè)一直角邊為長(zhǎng)為x，用含x的代數(shù)式表示其它直角邊，以斜邊的平方作為橋梁，借勾股定理，建立等量關(guān)系求線段。例4.如圖7，在一個(gè)寬為7m的房間，一只梯子放在房間中靠向左邊的墻，梯頂離地面4m，梯底不動(dòng)再靠向右邊的墻，梯頂離地面3m，問(wèn)此梯子有多長(zhǎng)？分析：設(shè)BC為xm，則CE為(7－x)m，因?yàn)樘葑拥拈L(zhǎng)度沒(méi)有變化，將梯子長(zhǎng)度放在兩個(gè)直角三角形中，由勾股定理建立等量關(guān)系求出x，再由勾股定理求出梯子的長(zhǎng).解：設(shè)BC＝xm，由題意知∠B＝∠E＝90°，BE＝7m， （圖7）AC＝CD，AB＝4m，DE＝3（圖7）在△ABC中，∠B＝90°，AC2＝AB2＋BC2＝42＋x2，在△CDE中，∠E＝90°，CD2＝DE2＋CE2＝32＋（7－x）2.∵AC＝CD，∴AC2＝CD2∴42＋x2＝32＋（7－x）2，解得x＝3∴AC＝m.答：梯子長(zhǎng)5m.練習(xí)： 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件填空：①若a＝15，c＝25，則b＝___________；②若c＝61，b＝60，則a＝__________；（圖8）③若∠B＝45°，

c＝4，則a（圖8）2.如圖8，在等腰△ABC中，AB＝BC，AD是BC邊上的高線，且DC＝AB＝1，求AC的長(zhǎng).3.如圖9，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？（圖9（圖9）1.①20；②11；③2.2.解：設(shè)AC＝x，則BD＝BC－CD＝x－1，∵AD是BC邊上的高線，所以∠ADC＝∠ADB＝90°由勾股定理得