信陽市新縣2024-2025學年九年級上學期期末考試數學試卷一、單選題（每小題3分，共30分）1.我國漢代數學家趙爽在他所著《勾股圓方圖注》中，運用弦圖(如圖所示)巧妙地證明了勾股定理．“趙爽弦圖”曾作為2002年第24屆國際數學家大會的會徽圖案．下列關于“趙爽弦圖”說法正確的是()A.

是軸對稱圖形B.

是中心對稱圖形C.

既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D.

既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形2．下列是關于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．3．如圖，若的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（

） B． D．4．方程的根的情況是（

）A．有兩個同號的不相等的實數根 B．有兩個異號的不相等的實數根C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根5．已知線段a、b、c，作線段x，使b：a＝x：c，則正確的作法是（）A． B．C． D．6．如圖，量角器外沿上有三點A，P，Q，它們所表示的讀數分別是，，，則的大小是（

）

A． B． C． D．7．若為二次函數的圖象上的三點，則的大小關系是（）A． B． C． D．8．如圖，四邊形是菱形，軸，垂直為，函數的圖像經過點，若，則菱形的面積為（

）A．8 B．15 C．29 D．249．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，將矩形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉得到矩形AB′C′D′，此時B′C′恰好經過點D，連接BB′，則BB′的長為()A.355C.122510．約定：函數圖象上至少存在不同的兩點關于原點對稱，則把該函數稱為“黃金函數”，其圖象上關于原點對稱的兩點叫做一對“黃金點”．若點是關于x的“黃金函數”上的一對“黃金點”，且該函數的對稱軸始終位于直線的右側，有結論①；②；③；④．則正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每小題3分，共15分）11．若點A(1，3)是反比例函數y＝kx(k≠0)圖象上一點，則常數k的值為12．已知二次函數的圖像開口向上，那么的取值范圍是．13．某商店老板為了吸引顧客，想設計一個可以自由轉動的轉盤，并規定凡購物的顧客都可轉動一次轉盤．如果轉盤停止后，指針正好對準陰影區域，則可以獲得折優惠．老板設計了一個如圖所示的轉盤，則顧客轉動一次可以打折的概率為．

14．如圖，矩形中，，，點是上一點，，連接與相交于點，則的長為．15．如圖，在扇形中，，，分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，，作直線交于點，過點作于點，則圖中陰影部分的周長為．三、解答題（共75分）16．（8分）適當的方法解下列一元二次方程：（1）

（2）17.（9分）在“重走建軍路，致敬新四軍”紅色研學活動中，學校建議同學們利用周末時間自主到以下三個基地開展研學活動．A．新四軍紀念館(主館區)；B.新四軍重建軍部舊址(泰山廟)；C．新四軍重建軍部紀念塔(大銅馬)，(1)“某同學隨機選擇一個基地開展研學活動，基地A恰好被選中”是________事件；A．不可能B．必然C．隨機(2)小明和小麗各自隨機選擇一個基地作為本次研學活動的第一站．①小明選擇基地B的概率為________；②用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗選擇相同基地的概率．18．（9分）如圖，正方形網格中，?ABC

(1)作出并使它與?ABC關于坐標原點O成中心對稱，則的坐標為．(2)求的面積．(3)將?ABC繞某點逆時針旋轉后，其對應點分別為，，，則旋轉中心的坐標為．19．（9分）如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=（x＞0）的圖象相交于A（2，3）、B（a，1）兩點．（1）求這兩個函數的表達式；（2）求證：AB=2BC．20.（9分）某數學興趣小組在學習完角平分線的作法后，對如何作一個角的平分線產生了濃厚興趣．除了常用的尺規作圖方法外，小明提出了一個更為便捷的方法：在任意角中，將量角器放在角中，使得角的兩邊分別與量角器的半圓弧相切，再連接角的頂點與量角器的圓心即可得到該角的平分線．為了驗證小明做法的正確性，該小組畫出了如圖①所示的示意圖，請你將“已知”和“求證”補充完整，并完成證明.已知：如圖，已知∠ABC，半圓O，

求證：

21．（10分）某公司購進一批新產品進行銷售，已知該產品的進貨單價為8元/件，該公司對這批新產品上市后的銷售情況進行了跟蹤調查．銷售過程中發現，該產品每月的銷售量(萬件)與銷售單價(元)之間的關系滿足下表．銷售單價（元/件）…10121415…每月銷售量（萬件）…40363230…（1）請你從所學過的一次函數、二次函數和反比例函數三個模型中確定哪種函數能比較恰當地表示與的變化規律，并求出與之間的函數關系式；（2）當銷售單價為多少元時，該產品每月獲得的利潤為240萬元？（3）如果該產品每月的銷售量不超過20萬件，那么當銷售單價為多少元時，該產品每月獲得的利潤最大？最大利潤為多少萬元？22.（10分）數字農業正帶領現代農業進入一個嶄新的時代，而智能溫室大棚（如圖①）將成為現代農業發展進程中重要的參與者之一．某種植大戶對自己的溫室大棚進行改造時，先將大門進行了裝修，如圖②所示，該大門門頭示意圖由矩形ABCD和拋物線形AED組成，測得AB＝2

m，BC＝8

m，OE＝4m．以水平線BC為x軸，BC的中點O為原點建立平面直角坐標系．（1）求此門頭拋物線部分的表達式；（2）改造時，為了加固，要在棚內梁AD的四等分點M，N處焊接兩排鍍鋅管支撐大棚，已知定制的每根鍍鋅管成品長2m，問是否需要截取，截取多少？23．（11分）【問題提出】（1）如圖①，正方形的對角線相交于點，則的度數是

°；【問題探究】如圖②，在?ABC中，，，點為邊上的點，點、分別在邊、上，連接、，，點為上一點，且.求證：；【問題解決】（3）如圖③，某地擬建造一個形如四邊形的露營基地，其中，．為考慮露營客人娛樂休閑的需求，在四邊形區域中，計劃沿線段修建隔離防護欄，將三角形區域設立成花卉觀賞區，三角形區域設立成燒烤區，根據設計要求，點在線段上，點、分別在線段、上，且，其中，米，求燒烤區三角形的面積．

參考答案題號12345678910答案BBBABCDBDC11．312.13．14．15．16．（1）解：∴或∴，..................4分（2）解：方程化為，，∴方程有兩個不等的實數根即，........................................8分17.解：(1)C....................................................2分(2)①13.②..........................6分P(小明和小麗選擇相同基地)＝39＝1318．解：（1）如圖所示，為所求圖形，..............2分................................3分（2）由圖可知，，，∴，，，∴，∴?ABC是等腰直角三角形，∴，∵和?ABC關于原點對稱，∴，∴；.......................................7分（3）．........................................................9分19．（1）解：∵一次函數y=kx+b與反比例函數y（x＞0）的圖象相交于A（2，3）、B（a，1）兩點，∴m=6，a=6，把A（2，3），B（6，1）代入y=kx+b得到，解得：，∴直線是解析式為yx+4，反比例函數的解析式為y..............4分（2）證明：對于直線yx+4，令y=0，解得：x=8，∴C（8，0）．∵A（2，3），B（6，1），∴AB，BC，∴AB=2BC........................................................9分20.解：補充“已知”：AB、BC分別與半圓O相切于點E、F.............................1分補充“求證”：BO平分∠ABC...........................................................................2分證明：如解圖，連接OE，OF，∵AB、BC分別與半圓O相切于點E、F，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF.在Rt△OBE和Rt△OBF中，

OE＝OFOB＝OB∴Rt△OBE≌Rt△OBF(HL)，∴∠EBO＝∠FBO即BO平分∠ABC..........................................................................................9分21．解：（1）由表格中數據可得：與之間的函數關系式為一次函數關系，設，把，代入得：，解得：，∴與之間的函數關系式為：...............................................3分（2）設總利潤為，由題意得：，當時，，解得：，．答：當銷售單價為18元或20元時，每月獲得的利潤為240萬元；...............................6分（3）∵每月的銷售量不超過20萬件，∴，解得：，∵函數，，圖象開口向下，對稱軸為，且，∴當時，最大為240萬元．答：銷售單價為20元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤為240萬元．....................10分22..解：（1）∵點O是BC的中點，∴OB＝OC

=1∵OE＝4

m，∴拋物線的頂點E的坐標為（0，4），∴設此門頭拋物線部分的表達式為y＝ax2+4，將D（4，2）代入y＝ax2+4中得2＝16a+4，解得a=?1∴此門頭拋物線部分的表達式為y=?18x2（2）如圖，過點M作GM⊥AD，交拋物線于點G，由題意得：AD＝BC＝8

m，∵點M，N是AD的四等分點，∴AM＝MF＝FN＝DN

=14當x＝﹣2時，y

=?18×（﹣2）2+4=?18∴點G的坐標為（﹣2，72），∵AB＝2

m，∴GM=72∴2

?3223．解：（1）45。；...........................................................................2分（2）證明∵，，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴；...............................................