PAGEPAGE1§4.6正弦定理和余弦定理考情考向分析以利用正弦、余弦定理和三角形面積公式解三角形為主，常與三角函數的圖象和性質、三角恒等變換、三角形中的幾何計算交匯考查，加強數形結合思想的應用意識．題型多樣，中檔難度．1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．在△ABC中，已知a，b和A時，解的狀況A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．概念方法微思索1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sinA>sinB?提示在△ABC中，由∠A>∠B可推出sinA>sinB.2．如圖，在△ABC中，有如下結論：bcosC＋ccosB＝a.試類比寫出另外兩個式子．提示acosB＋bcosA＝c；acosC＋ccosA＝b.題組一思索辨析1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比．(×)(2)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形．(×)(3)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).(√)(4)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．(√)題組二教材改編2．[P9T2]在△ABC中，AB＝eq\r(6)，A＝75°，B＝45°，則AC＝.答案2解析C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(\r(6),sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝2.3．[P11T6]在△ABC中，A＝60°，b＝1，面積為eq\r(3)，則邊長c＝.答案4解析∵A＝60°，b＝1，面積為eq\r(3)＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×eq\f(\r(3),2)，∴c＝4.4．[P11T7]△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝.答案eq\f(π,3)解析由正弦定理可得，2cosBsinB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).題組三易錯自糾5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則△ABC的形態為三角形．答案鈍角解析由已知及正弦定理得sinC<sinBcosA，∴sin(A＋B)<sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB<sinBcosA，即sinAcosB<0，又sinA>0，∴cosB<0，∴B為鈍角，故△ABC為鈍角三角形．6．在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(6)，A＝45°，則滿意條件的三角形有個．答案2解析∵bsinA＝eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)，∴bsinA<a<b.∴滿意條件的三角形有2個．7．設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則C＝.答案eq\f(2π,3)解析由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因為b＋c＝2a，所以a＝eq\f(5,3)b，c＝eq\f(7,3)b，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)b))2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)b))2,2×\f(5,3)b×b)＝－eq\f(1,2).因為C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(2024·天津)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).(1)求角B的大小；(2)設a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，得asinB＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，即sinB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，所以tanB＝eq\r(3).又因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得sinA＝eq\f(\r(21),7).因為a<c，所以cosA＝eq\f(2\r(7),7).因此sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4\r(3),7)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,7).所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).思維升華(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的狀況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即依據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系．跟蹤訓練1(1)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，則A＝.答案eq\f(π,4)解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4).(2)如圖所示，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，則sinC的值為．答案eq\f(\r(6),6)解析設AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝eq\f(2a,\r(3))，BC＝eq\f(4a,\r(3)).在△ABD中，cos∠ADB＝eq\f(a2＋\f(4a2,3)－a2,2a×\f(2a,\r(3)))＝eq\f(\r(3),3)，∴sin∠ADB＝eq\f(\r(6),3)，∴sin∠BDC＝eq\f(\r(6),3).在△BDC中，eq\f(BD,sinC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，∴sinC＝eq\f(BD·sin∠BDC,BC)＝eq\f(\r(6),6).題型二和三角形面積有關的問題例2在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)證明：A＝2B；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(a2,4)，求角A的大小．(1)證明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由S＝eq\f(a2,4)，得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2,4)，故有sinBsinC＝eq\f(1,2)sinA＝eq\f(1,2)sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,2)±B.當B＋C＝eq\f(π,2)時，A＝eq\f(π,2)；當C－B＝eq\f(π,2)時，A＝eq\f(π,4).綜上，A＝eq\f(π,2)或A＝eq\f(π,4).思維升華(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就運用哪一個公式．(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．跟蹤訓練2(1)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是．答案eq\f(3\r(3),2)解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝eq\f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).(2)(2024·江蘇省淮海中學測試)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA＝eq\f(4,5)，b＝5c.①求sinC的值；②若△ABC的面積S＝eq\f(3,2)sinBsinC，求a的值．解①∵a2＝b2＋c2－2bccosA＝26c2－10c2×eq\f(4,5)＝18c2，∴a＝3eq\r(2)c.∵cosA＝eq\f(4,5)，0<A<π，∴sinA＝eq\f(3,5).∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(c×\f(3,5),3\r(2)c)＝eq\f(\r(2),10).②∵b＝5c，∴eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c)＝5，sinB＝5sinC.∴eq\f(3,2)sinBsinC＝eq\f(15,2)sin2C＝eq\f(3,20).又∵S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3,2)c2＝eq\f(a2,12)，∴eq\f(a2,12)＝eq\f(3,20)，∴a＝eq\f(3\r(5),5).題型三正弦定理、余弦定理的應用命題點1推斷三角形的形態例3(1)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝2bcosC，則此三角形的形態是三角形．答案等腰解析方法一由余弦定理可得a＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，從而△ABC為等腰三角形．方法二由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC，因此sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，故△ABC為等腰三角形．(2)若△ABC的三個內角滿意sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則△ABC為三角形．答案鈍角解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓半徑)及已知條件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可設a＝5x，b＝11x，c＝13x(x>0)．則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(5x2＋11x2－13x2,2·5x·11x)＝eq\f(－23x2,110x2)<0，∴C為鈍角．∴△ABC為鈍角三角形．引申探究1．本例(1)中，若將條件變為2sinAcosB＝sinC，推斷△ABC的形態．解∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B為△ABC的內角．∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形．2．本例(1)中，若將條件變為a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，推斷△ABC的形態．解∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC為等邊三角形．命題點2求解幾何計算問題例4如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,3)，AD∶AB＝2∶3，BD＝eq\r(7)，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求CD的長．解(1)因為AD∶AB＝2∶3，所以可設AD＝2k，AB＝3k.又BD＝eq\r(7)，∠DAB＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理，得(eq\r(7))2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcoseq\f(π,3)，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝eq\f(ADsin∠DAB,BD)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).(2)因為AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝eq\f(\r(21),7)，所以sin∠DBC＝eq\f(2\r(7),7)，所以eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以CD＝eq\f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).思維升華(1)推斷三角形形態的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系．②化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，此時要留意應用A＋B＋C＝π這個結論．(2)求解幾何計算問題要留意①依據已知的邊角畫出圖形并在圖中標示．②選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理．跟蹤訓練3(1)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形態為三角形．答案直角解析∵cos2eq\f(B,2)＝eq\f(1＋cosB,2)，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝eq\f(a2＋c2－b2,2a)，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC為直角三角形．(2)在△ABC中，B＝30°，AC＝2eq\r(5)，D是AB邊上的一點，CD＝2，若∠ACD為銳角，△ACD的面積為4，則BC＝.答案4解析依題意得S△ACD＝eq\f(1,2)CD·AC·sin∠ACD＝2eq\r(5)·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝eq\f(2,\r(5)).又∠ACD是銳角，因此cos∠ACD＝eq\r(1－sin2∠ACD)＝eq\f(1,\r(5)).在△ACD中，AD＝eq\r(CD2＋AC2－2CD·AC·cos∠ACD)＝4，eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(CD,sinA)，sinA＝eq\f(CD·sin∠ACD,AD)＝eq\f(1,\r(5)).在△ABC中，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，BC＝eq\f(AC·sinA,sinB)＝4.1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(13)，b＝3，A＝60°，則邊c＝.答案4解析∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2，b＝2eq\r(3)，C＝30°，則B＝.答案60°或120°解析∵c＝2，b＝2eq\r(3)，C＝30°，∴由正弦定理可得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2)，由b>c，可得30°<B<180°，∴B＝60°或B＝120°.3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，則△ABC的面積為．答案eq\f(1,2)解析由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝eq\f(1,2)(負值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4．在△ABC中，coseq\f(A,2)＝eq\r(\f(1＋cosB,2))，則△ABC的形態是三角形．答案等腰解析由已知得cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1＋cosB,2)，∴2cos2eq\f(A,2)－1＝cosB，∴cosA＝cosB，又0<A<π，0<B<π，∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形．5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為．答案eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，結合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，又0<B<π，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).6．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，則b＝.答案1解析因為sinB＝eq\f(1,2)且B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,6)或B＝eq\f(5π,6).又C＝eq\f(π,6)，B＋C<π，所以B＝eq\f(π,6)，A＝π－B－C＝eq\f(2π,3).又a＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝eq\f(b,\f(1,2))，解得b＝1.7．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為．答案9π解析因為bcosA＋acosB＝2，所以由余弦定理得b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2，解得c＝2(c＝0舍去)．由cosC＝eq\f(2\r(2),3)，得sinC＝eq\f(1,3)，再由正弦定理可得2R＝eq\f(c,sinC)＝6(R為△ABC外接圓半徑)，所以R＝3，所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π.8．在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若S△ABC＝2eq\r(3)，a＋b＝6，eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，則c＝.答案2eq\r(3)解析∵eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，由于0<C<π，sinC≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，∴C＝eq\f(π,3)，∵S△ABC＝2eq\r(3)＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，∴c＝2eq\r(3).9．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4)，則△ABC的面積為．答案eq\r(3)＋1解析∵b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝2eq\r(2)，A＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq\f(7π,12)，∴sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋coseq\f(π,4)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).則S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\r(3)＋1.10．若E，F是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF＝.答案eq\f(3,4)解析如圖，設AB＝6，則AE＝EF＝FB＝2.因為△ABC為等腰直角三角形，所以AC＝BC＝3eq\r(2).在△ACE中，A＝eq\f(π,4)，AE＝2，AC＝3eq\r(2)，由余弦定理可得CE＝eq\r(10).同理，在△BCF中可得CF＝eq\r(10).在△CEF中，由余弦定理得cos∠ECF＝eq\f(10＋10－4,2×\r(10)×\r(10))＝eq\f(4,5)，sin∠ECF＝eq\r(1－cos2∠ECF)＝eq\f(3,5)，所以tan∠ECF＝eq\f(3,4).11．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a－c＝eq\f(\r(6),6)b，sinB＝eq\r(6)sinC.(1)求cosA的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))的值．解(1)在△ABC中，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)及sinB＝eq\r(6)sinC，可得b＝eq\r(6)c，又由a－c＝eq\f(\r(6),6)b，得a＝2c，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6c2＋c2－4c2,2\r(6)c2)＝eq\f(\r(6),4).(2)在△ABC中，由cosA＝eq\f(\r(6),4)，可得sinA＝eq\f(\r(10),4).于是cos2A＝2cos2A－1＝－eq\f(1,4)，sin2A＝2sinA·cosA＝eq\f(\r(15),4).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝cos2Acoseq\f(π,6)＋sin2Asineq\f(π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(15)－\r(3),8).12．(2024·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7).(1)求∠A；(2)求AC邊上的高．解(1)在△ABC中，因為cosB＝－eq\f(1,7)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7).由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2).由題設知eq\f(π,2)<∠B<π，所以0<∠A<eq\f(π,2)，所以∠A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，因為sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3\r(3),14)，所以AC邊上的高為asinC＝7×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),2).13．已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，則△ABC的周長的最大值為．答案9解析∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).∵a＝3，∴由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3)sinB，c＝2eq\r(3)sinC，則a＋b＋c＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)sinC＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝3＋3eq\r(3)sinB＋3cosB＝3＋6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，∴當B＝eq\f(π,3)時周長取得最大值9.14．(2024·如皋聯考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若eq\f(1,tanA)，eq\f(2,tanC)，eq\f(1,tanB)成等差數列，則cosC的最小值為．答案eq\f(1,3)解析∵eq\f(1,tanA)，eq\f(2,tanC)，eq\f(1,tanB)成等差數列，∴eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＝eq\f(4,tanC)，即eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(4cosC,sinC)，可得eq\f(sinBcosA＋sinAcosB,sinAsinB)＝eq\f(sinC,sinAsinB)＝eq\f