試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第18講等腰三角形（思維導圖+2考點+3命題點18種題型（含2種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一等腰三角形考點二等邊三角形04題型精研·考向洞悉命題點一等腰三角形的性質與判定?題型01分類討論思想在等腰三角形中的應用?題型02根據等邊對等角求解或證明?題型03根據三線合一求解或證明?題型04在格點圖中畫等腰三角形?題型05根據等角對等邊求邊長?題型06根據等角對等邊證明?題型07確定構成等腰三角形的點?題型08等腰三角形性質與判定綜合命題點二等邊三角形的性質與判定?題型01利用等邊三角形的性質求解?題型02等邊三角形的判定?題型03等邊三角形性質與判定綜合命題點三熱考題型匯總?題型01手拉手模型?題型02與等腰三角形有關的折疊問題?題型03與等腰三角形有關的動點問題?題型04與等腰三角形有關的新定義問題?題型05與等腰三角形有關的規律探究問題?題型06與等腰三角形有關的多結論問題?題型07探究等腰三角形中存在的線段數量關系

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求等腰三角形★★理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理.等邊三角形★★探索等邊三角形的性質定理及其判定定理.【考情分析】該板塊內容重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，最為經典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結的.而數學中考中，等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現，但是因為等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結合其他考點出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.【特殊】頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個底角都為45°.【注意】等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．等腰三角形性質：1）等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸，①當腰和底邊不相等的等腰三角形只有1條對稱軸，②當腰和底邊不相等的等腰三角形只有3條對稱軸.2）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.【注意】“三線合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.等腰三角形的判定：1）定義法：兩邊相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，即這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.【總結】證明兩個角相等的方法：1）如果角在同一個三角形中，先考慮“等邊對等角”來證明.2）如果角不在同一個三角形中，可證明兩個三角形全等來解決.【易錯易混】1）底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.2）等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據，是把三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據．3）等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．2．（2024·四川·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內部相交于點F，作射線BF交AC于點G．則∠ABG的大小為3．（2024·云南·中考真題）已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點F到直線AB的距離為3，則點F到直線AC的距離為（

）A．32 B．2 C．3 D．4．（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點，連接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，則BE的長為

5．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均在格點上．

考點二等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形.等邊三角形的性質：1）等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸；2）等邊三角形的三條邊相等；3）三個內角都相等，并且每個內角都是60°.等邊三角形的判定：1）定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；2）三個角都相等的三角形是等邊三角形.3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.【補充】1）等邊三角形具有等腰三角形的一切性質.2）等邊三角形的內心、外心、重心和垂心重合．3）在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形．4）等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=31．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，當△EBC是等邊三角形時，∠AEB為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則∠ACD的度數是（A．45° B．39° C．29° D．21°3．（2024·四川·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，OA=1，則AB的長為（

）A．2 B．3 C．1 D．14．（2024·青海·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點，∠BDC=60°，AC=6，則BC的長是（

A．3 B．6 C．3 D．35．（2023·福建·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，則AC的長為

04題型精研·考向洞悉命題點一等腰三角形的性質與判定?題型01分類討論思想在等腰三角形中的應用等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.【易錯點】注意所求結果需滿足三角形三邊關系.1．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．132．（2022·四川廣安·中考真題）若（a﹣3）2+b?5=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為．3．（2024·湖南長沙·模擬預測）若等腰三角形的周長是10cm，其中一邊長是2A．2cm B．4cm C．6cm4．（2024·上海·模擬預測）等腰三角形的一個內角為91°，隨機選取1個內角，度數為5．（2024·四川達州·模擬預測）一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則此三角形頂角度數為．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02根據等邊對等角求解或證明1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，則∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°2．（2024·陜西·中考真題）如圖，BC是⊙O的弦，連接OB，OC，∠A是BC所對的圓周角，則∠A與∠OBC的和的度數是．

3．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個可調節的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面AB與底座CD平行，等長的支架AD,BC交于它們的中點E，液壓桿FG∥BC．若∠BAE=53°，則∠GFD的度數為（

）A．127° B．106° C．76° D．74°4．（2024·重慶渝北·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD為△ABC的中線，點E在邊AC上(不與端點重合)，BE與CD交于點F，若EC=EF，則DF=．?題型03根據三線合一求解或證明1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，將△ADE繞點A順時針旋轉一定角度，當AD⊥BC時，∠BAE的度數是．2．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D為邊BC的中點，點E，F分別在邊AB，AC上，AE=CF，則四邊形AEDF的面積為（

）A．18 B．92 C．9 D．4．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，則BCA．3 B．6 C．8 D．94．（2024·福建·中考真題）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關于直線l對稱，點E，F分別是底邊AB，CD的中點，OE⊥OF．下列推斷錯誤的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°5．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，點E在DA的延長線上，連接BE，過點C作CF∥BE交AD的延長線于點F，連接BF、CE，求證：四邊形

QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04在格點圖中畫等腰三角形1．（2021·吉林·中考真題）圖①、圖2均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A，點B均在格點上，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．（1）在圖①中，以點A，B，C為頂點畫一個等腰三角形；（2）在圖②中，以點A，B，D，E為頂點畫一個面積為3的平行四邊形．2．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在4×4的正方形網格中有兩個格點A、B，連接AB，在網格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數是（

）

A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，線段AB、線段EF的端點均在小正方形的頂點上．(1)在圖中畫以EF為斜邊的等腰直角△DEF，點D在小正方形的格點上；(2)在（1）的條件下，在圖中以AB為邊畫Rt△BAC，點C在小正方形的格點上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=23，4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在6×6的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上.按要求完成下列畫圖．(1)在圖1中畫出一個以AB為底的等腰△ABD，使SABD=SABC，點(2)在圖2中的邊AC上找一點E，連接BE，使BE⊥AC．(要求：用無刻度直尺，保留必要的畫圖痕跡，不寫畫法)QUOTE?題型05根據等角對等邊求邊長1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，?ABCD中，BC=2，點E在DA的延長線上，BE=3，若BA平分∠EBC，則DE=．2．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長是．

3．（2023·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B=∠ADB．若AB=4，則DC的長是．

4．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AC邊上的一點，過點D作DF∥AB，交BC于點F，作∠BAC的平分線交DF于點E，連接BE．若△ABE的面積是2，則DEEF的值是?題型06根據等角對等邊證明1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N，再分別以點M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D．若△ACD的面積為8，則△ABD的面積是（A．8 B．16 C．12 D．242．（2024·山東·中考真題）如圖，已知∠MAN，以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與AM、AN相交于點B，C；分別以B，C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內部相交于點P，作射線AP．分別以A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點D，E，作直線DE分別與AB，AP相交于點F，Q．若AB=4，∠PQE=67.5°，則F到3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB=6，BC=8，則cos∠ABF的值是4．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC，(1)求證：∠BDF=∠A；(2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，請直接寫出△ABC的形狀．?題型07確定構成等腰三角形的點1．（2024·貴州畢節·一模）點A，B在直線l同側，若點C是直線l上的點，且△ABC是等腰三角形，則這樣的點C最多有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個2．（2022·江蘇南京·一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個點(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個點P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．3．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，過原點O的直線與反比例函數y1=kx(k≠0)的圖象交于A(1，2)，B兩點，一次函數y2

(1)求反比例函數的解析式；當y1>y(2)在y軸上是否存在點M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

4．（2020·四川廣元·中考真題）如圖所示，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=mx的圖象交于（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）在x軸上存在一點C，使△AOC為等腰三角形，求此時點C的坐標；（3）根據圖象直接寫出使一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍．?題型08等腰三角形性質與判定綜合1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為2．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，AC、DE相交于點G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求證：△GEC是等腰三角形；(2)連接AD，則AD與l的位置關系是________．3．（2024·山東威海·中考真題）感悟如圖1，在△ABE中，點C，D在邊BE上，AB=AE，BC=DE．求證：∠BAC=∠EAD．應用（1）如圖2，用直尺和圓規在直線BC上取點D，點E（點D在點E的左側），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規在直線AC上取一點D，在直線BC上取一點E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不寫作法，保留作圖痕跡）．4．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長∠BAD的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°__________________請補全表格中數據，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數量關系：______．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD=1，∠BAC=60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，△ABC中，AB=AC=1，點D在邊AC上，BD=BC=AD．以點C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點E，過點E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析1BM命題點二等邊三角形的性質與判定?題型01利用等邊三角形的性質求解1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形ABC；分別以點A，B，C為圓心，以AB的長為半徑作BC，AC，AB．三段弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長為3π，則它的面積是2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點F，若AD=4，則EF=．3．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點A的坐標為0,4，點B,C均在x軸上．將△ABC繞頂點A逆時針旋轉30°得到△AB'C'，則點4．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，等邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點D，AB長12m．現將鋼架立柱縮短成DE，∠BED=60°．則新鋼架減少用鋼（

A．24?123m B．24?83m C．?題型02等邊三角形的判定1．（2022·浙江嘉興·中考真題）小曹同學復習時將幾種三角形的關系整理如圖，請幫他在橫線上填上一個適當的條件．2．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，∠MON=60°，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OM于點A，交ON于點B；分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內部相交于點P，畫射線OP；連接AB，AP，BP，過點P作PE⊥OM于點E，PF⊥ON于點F．則以下結論錯誤的是（

A．△AOB是等邊三角形 B．PE=PFC．△PAE≌△PBF D．四邊形OAPB是菱形3．（2020·山西·中考真題）中國美食講究色香味美，優雅的擺盤造型也會讓美食錦上添花．圖①中的擺盤，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測量得到AC=BD=12cm，C，D兩點之間的距離為4cm，圓心角為60°，則圖中擺盤的面積是（

）A．80πcm2 B．40πcm2 C．4．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于圓，∠ABC=60°，對角線BD平分∠ADC．（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）過點B作BE//CD交DA的延長線于點E，若AD=2，DC=3，求QUOTE?題型03等邊三角形性質與判定綜合1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC邊于點E，連接AE，AB=1，∠D=60°，則BE的長l=（結果保留π）．2．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°3．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)與中間的小等邊三角形DEF拼成一個大等邊三角形ABC．連接BD并延長交AC于點G，若AE=ED=2，則：（1）∠FDB的度數是；（2）DG的長是．4．（2023·北京·中考真題）如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．

(1)求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F．若AC=AD，命題點三熱考題型匯總?題型01手拉手模型常見模型種類：等腰三角形

手拉手模型等邊三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小結】1）頭頂頭，左手拉左手，右手拉右手，那么，頭左左≌頭右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.1．（2020·四川廣元·中考真題）如圖所示，△ABC,△ECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm,3cm，B、C、D三點在同一條直線上，則下列結論正確的．（填序號）①AD=BE

②BE=7cm③△CFG為等邊三角形

④CM=137cm2．（2024·遼寧大連·一模）【模型定義】它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．他們得知這種模型稱為“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰長看作是小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手．【模型探究】（1）如圖1，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數為；線段BE與AD之間的數量關系是．【模型應用】（2）如圖2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求證：AD+CD=BD；（3）如圖3，P為等邊△ABC內一點，且PA：PB：PC=3：4：5，以BP為邊構造等邊△BPM，這樣就有兩個等邊三角形共頂點【拓展提高】（4）如圖4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，點E為△ABC外一點，點D為BC中點，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度數．（用含有m的式子表示）（5）如圖5，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請證明BD和CE的數量關系和位置關系．3．（2024·河南駐馬店·二模）【問題發現】（1）在數學活動課上，趙老師給出如下問題：“如圖1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，點D在BC上，連接AD，探究AD，BD，CD圖示思路

將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得線段AE，連接CE，DE，易證△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，在Rt△DCE中，易得CD2+CE2【類比分析】（2）如圖2所示，當點D在線段BC的延長線上時，請問（1）中的結論還成立嗎？請給出判定，并寫出你的推導過程；【拓展延伸】（3）若（1）中的點D在射線CB上，且CD=3BD，請直接寫出

4．（2023·河南鄭州·二模）由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的特殊多邊形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．

(1)【問題發現】如圖1所示，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD、CE，兩線交于點P，BD和CE的數量關系是；BD和CE的位置關系是；(2)【類比探究】如圖2所示，點P是線段AB上的動點，分別以AP、BP為邊在AB的同側作正方形APCD與正方形PBEF，連接DE分別交線段BC、PC于點M、N．①求∠DMC的度數；②連接AC交DE于點H，直接寫出DHBC(3)【拓展延伸】如圖3所示，已知點C為線段AE上一點，AE=6，△ABC和△CDE為AE同側的兩個等邊三角形，連接BE交CD于N，連接AD交BC于M，連接MN，直接寫出線段MN的最大值．

5．（2022·青海·中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發現：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1(2)解決問題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系并說明理由.

圖2?題型02與等腰三角形有關的折疊問題1．（2024·海南·中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，點E、F分別在邊AD、BC上，將紙片ABCD沿EF折疊，使點D的對應點D'在邊BC上，點C的對應點為C'，則DE的最小值為，2．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,CA=CB=3，點D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點C落在點C'處，連接BC'，則

3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）小明同學手中有一張矩形紙片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD'N，AD'交折痕MN于點EA．8cm B．16924cm C．1674．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實踐問題情境：數學活動課上，王老師給同學們每人發了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質．已知AB=AC,∠A>90°，點E為AC上一動點，將△ABE以BE為對稱軸翻折．同學們經過思考后進行如下探究：獨立思考：小明：“當點D落在BC上時，∠EDC=2∠ACB．”小紅：“若點E為AC中點，給出AC與DC的長，就可求出BE的長．”實踐探究：奮進小組的同學們經過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如圖1，當點D落在BC上時，求證：∠EDC=2∠ACB；（2）如圖2，若點E為AC中點，AC=4,CD=3，求BE的長．問題解決：小明經過探究發現：若將問題1中的等腰三角形換成∠A<90°的等腰三角形，可以將問題進一步拓展．問題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，則求BC的長．QUOTE?題型03與等腰三角形有關的動點問題1．（2024·吉林·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，AD是△ABC的角平分線．動點P從點A出發，以3cm/s的速度沿折線AD?DB向終點B運動．過點P作PQ∥AB，交AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQE，且點C，E在PQ同側，設點P的運動時間為tst>0，

(1)當點P在線段AD上運動時，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用含t的代數式表示）．(2)當點E與點C重合時，求t的值．(3)求S關于t的函數解析式，并寫出自變量t的取值范圍．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P為邊AB上的動點．連接PC，將PC繞點P逆時針旋轉60°得到PE，過點E作EF∥AB，EF交直線AD于點F．連接PF、DE，分別取PF、DE的中點M、N，連接MN，交AD(1)若點P與點B重合，則線段MN的長度為______．(2)隨著點P的運動，MN與AQ的長度是否發生變化？若不變，求出MN與AQ的長度；若改變，請說明理由．3．（2024·山東德州·中考真題）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點D是AB上一個動點（點D不與A，B重合），以點D為中心，將線段DC順時針旋轉120°得到線DE．(1)如圖1，當∠ACD=15°時，求∠BDE的度數；(2)如圖2，連接BE，當0°<∠ACD<90°時，∠ABE的大小是否發生變化？如果不變求，∠ABE的度數；如果變化，請說明理由；(3)如圖3，點M在CD上，且CM:MD=3:2，以點C為中心，將線CM逆時針轉120°得到線段CN，連接EN，若AC=4，求線段EN的取值范圍．4．（2023·重慶·中考真題）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，動點E，F分別以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發，點E沿折線A→B→C方向運動，點F沿折線A→C→B方向運動，當兩者相遇時停止運動．設運動時間為t秒，點E，F的距離為y．

(1)請直接寫出y關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；(3)結合函數圖象，寫出點E，F相距3個單位長度時t的值．70．（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為．?題型04與等腰三角形有關的新定義問題1．（2024·山東日照·二模）給出一個新定義：有兩個等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點互相重合且其中一個等腰三角形的一個底角頂點在另一個等腰三角形的底邊上，那么這兩個等腰三角形互為“友好三角形”．(1)如圖①，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一點（不與點B重合），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，連接CE，則CE________BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=________°；(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一點，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=120°，M、N分別是底邊BC、DE的中點，請探究MN與(3)如圖③，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一動點，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，M、N分別是底邊BC、DE的中點，請直接寫出MN與CE的數量關系（用含3．（2024·山東濟寧·二模）定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，△ABC和△CDE為“同源三角形”，AC=BC，CD=AE，∠ACB與∠DCE為“同源角”．(1)如圖1△ABC和△CDE為“同源三角形”，∠ACB與∠DCE為“同源角”，請你判斷AD與BE的數量關系，并說明理由；(2)如圖2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的點B，C，D在同一條直線上，且∠ACE=90°，求sin∠EMD(3)如圖3，△ABC和△CDE為“同源三角形”，且“同源角”的度數為90°時，分別取AD，BE的中點Q，P，連接CP，CQ，PQ，試說明△PCQ是等腰直角三角形．?題型05與等腰三角形有關的規律探究問題1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA=OB=4，連接AB，過點O作OA1⊥AB于點A1，過點A1作A1B1⊥x軸于點B1；過點B1作B1A2⊥AB于點A2，過點A2作A2B

74．（2024·四川廣安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，所有三角形均為等邊三角形，已知點A13,0，A32,0，A54,0，A7

2．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在第一象限內的直線l:y=3x上取點A1，使OA1=1，以OA1為邊作等邊△OA1B1，交x軸于點B1；過點B1作x軸的垂線交直線l于點A2，以OA2為邊作等邊△OA2B2，交x軸于點B3．（2021·四川達州·中考真題）在平面直角坐標系中，等邊ΔAOB如圖放置，點A的坐標為1,0，每一次將ΔAOB繞著點О逆時針方向旋轉60°，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉后得到ΔA1OB1A．?22020,?C．22020,??題型06與等腰三角形有關的多結論問題1．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是AB邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊，點B落在點P處，延長CP交AD于點Q，連結AP并延長交CD于點