§9.3

高斯定理

一.電場線：空間矢量函數定量研究電場：對給定場源電荷求出其分布函數定性描述電場整體分布：電場線方法

引入場線（力線）求空間矢量的通量和環流是描述空間矢量場的一般方法。其上每點切向:該點方向電場線通過垂直的單位面積的條數等于場強的大小，即其疏密與場強的大小成正比.有限長均勻帶電直線的電場線實例：電偶極子的電場線+-法拉第：在空間尋找力的載體，提出場的概念，并設想空間貫穿著力線，來描述場。麥克斯韋：總結出法拉第力線描述的數學形式.

建立嚴密的電磁場方程.二.電通量通過電場中某一給定面的電場線的總條數叫做通過該面的電通量。面積元矢量：面積元范圍內視為均勻微元分析法：以平代曲；以不變代變。1)通過面元的電通量：2)通過曲面的電通量1)通過面元的電通量：3)通過封閉曲面的電通量通過封閉曲面的電通量規定：封閉曲面外法向為正穿入的電場線穿出的電場線練習1：空間有點電荷q，求下列情況下穿過曲面的電通量1)曲面為以電荷為中心的球面2)曲面為包圍電荷的任意封閉曲面3)曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面S1)曲面為以電荷為中心的球面與r

無關單個點電荷場中，由+q發出的電場線延伸到，由而來的電場線到-q

終止。在無電荷處，電場線不中斷、不增加。2)曲面為包圍電荷的任意封閉曲面3)曲面為不包圍電荷的任意封閉曲面結論：思考：1）是否存在q

恰好在S

面上的情況？高斯面是無厚度的數學面。在其附近，任何實際的帶電體均不能簡化為點電荷。所以，只可能存在q在S外、在S內，或一部分在S外，一部分在S內的情況，而沒有q恰好在S上的情況。2）上述結論與庫侖定律有何關系？正是由于庫侖定律的平方反比關系，才能得到穿過高斯面的電通量計算結果與r

無關，所以高斯定理是庫侖定律平方反比關系的反映。練習：空間有點電荷系

，求穿過空間任意封閉曲面S

的電通量曲面上各點處電場強度：包括S

內、S

外，所有電荷的貢獻。穿過S

的電通量：只有S

內的電荷對穿過S

的電通量有貢獻。練習3：請總結穿過靜電場中任意封閉曲面的電通量與空間電荷分布的關系。1.式中各項的含義高斯面，封閉曲面

真空電容率內的凈電荷通過S的電通量，只有S內電荷有貢獻上各點的總場，內外所有電荷均有貢獻.三.高斯定理靜電場中，通過任意封閉曲面（高斯面）的電通量

等于該封閉曲面所包圍的電量代數和的倍：2.揭示了靜電場中“場”和“源”的關系電場線有頭有尾

發出條電場線，是電場線的“頭”吸收條電場線，是電場線的“尾”“頭”、“尾”“源”靜電場的重要性質——靜電場是有源場3.反映了庫侖定律的平方反比關系，而且更普遍。4.利用高斯定理可方便求解具有某些對稱分布的靜電場成立條件：靜電場求解條件：電場分布具有某些對稱性才能找到恰當的高斯面，使中的能夠以標量形式提到積分號外，從而簡便地求出分布。

常見類型：場源電荷分布球對稱性軸對稱性面對稱性[例一]求均勻帶電球體（q、R）的電場分布

對稱性分析以O為中心，r

為半徑的球面S

上各點彼此等價

大小相等方向沿徑向以O為中心的球面S上各點以半徑r

的同心球面為高斯面由高斯定理：確定高斯面通過S的電通量：即：球體外區域~電量集中于球心的點電荷球體內區域練習：1.求均勻帶電球面（）的電場分布，并畫出曲線.02.如何理解帶電球面處值突變？高斯面：半徑r

的同心球面帶電面上場強突變是采用面模型的結果，實際問題中計算帶電層內及其附近的準確場強時，應放棄面模型而還其體密度分布的本來面目.計算帶電球層（）的電場分布厚度較大厚度較小厚度為零球面[例二]無限長均勻帶電直線（）的電場

對稱性分析：

點處合場強垂直于帶電直線,與地位等價的點的集合為以帶電直線為軸的圓柱面.高斯面：取長L的同軸圓柱面，加上底、下底構成高斯面S由高斯定理：討論：1.無限長均勻帶電柱面的電場分布對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合；選高斯面；同軸圓柱面由高斯定理計算2.求無限長、均勻帶電柱體的電場分布時，高斯面如何選??？3.當帶電直線，柱面，柱體不能視為無限長時，能否用高斯定理求電場分布？如果不能，是否意味著高斯定理失效？討論：高斯面lr高斯面lr不能，不是。[例三]無限大均勻帶電平面的電場（電荷面密度）對稱性分析：視為無限長均勻帶電直線的集合方向垂直于帶電平面，離帶電平面距離相等的場點彼此等價如何構成封閉的高斯面？由高斯定理：高斯面：兩底面與帶電平面平行、離帶電平面距離相等，軸線與帶電平面垂直的柱面。其指向由的符號決定討論：1.本題是否還有其它構成高斯面的方法？底面與帶電平面平行、軸線與帶電平面垂直的柱面均可（不一定為圓柱面）。2.帶電平面上電場強度突變的原因？采用面模型，未計帶電平面的厚度。教材226頁例6：計算厚h的均勻帶電無限大平行氣體層的電場分布。[例四]半導體PN結內外的電場.解：對稱性分析雖然電荷非均勻分布，但隨x

變化規律未破壞面對稱性。在處，P區與N區電荷的電場相互抵消：已知：PN結內電荷體密度分布求：電場分布.選如圖高斯面穿入方向沿由高斯定理：總結：由高斯定理求電場分布的步驟1.