第一章不等關系與基本不等式本章整合提升1/282/28[考情分析]因為柯西不等式是用綜正當證實不等式主要依據，所以，柯西不等式考查常出現在用綜正當證實含有冪、根式和、積、商不等式中．高考中普通在選考題中考查．專題一利用柯西不等式證實不等式3/28[高考沖浪]1．(·江蘇卷)已知a，b，c，d為實數，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求證：ac＋bd≤8.證實：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64.所以ac＋bd≤8.4/282．(·福建卷)已知定義在R上函數f(x)＝|x＋1|＋|x－2|最小值為a.(1)求a值；(2)若p，q，r是正實數，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.5/28(1)解：因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當且僅當－1≤x≤2時等號成立，所以函數f(x)最小值等于3，即a＝3.(2)證實：由(1)，知p＋q＋r＝3.因為p，q，r是正實數，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p·1＋q·1＋r·1)2＝(p＋q＋r)2＝9.所以p2＋q2＋r2≥3.6/287/288/28[考情分析]柯西不等式是除平均值不等式之外求解含多個變量式子最值一個主要方法，是一些求最值問題唯一工具，應用關鍵是依據題設條件，對目標函數進行配湊，以確保出現常數結果．高考中普通在選考題中考查．專題二利用柯西不等式求函數最值9/2810/282．(湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2最小值為________.解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36.故a2＋4b2＋9c2≥12.從而a2＋4b2＋9c2最小值為12.答案：1211/2812/2813/2814/28[考情分析]排序不等式是用綜正當證實與字母次序相關不等式主要依據，因而成為證實不等式一個主要工具．高考中對排序不等式不做要求．專題三利用排序不等式證實不等式15/28解析：不妨設a≥b≥c>0，則a2≥b2.∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a＝ab(a＋b)．16/28答案：≤17/282．設a，b，c為某一個三角形三條邊，a≥b≥c，求證：(1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)；(2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.證實：(1)用比較法證實以下．c(a＋b－c)－b(c＋a－b)＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．18/28因為b≥c，b＋c－a≥0，所以c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0，即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．同理可證b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．綜上，c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．19/28(2)由題設及(1)，知a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．由逆序和≤亂序和，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)， ①20/28a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋cb(b－c)． ②將①和②相加再除以2，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.21/28[考情分析]數學歸納法普通用于處理與正整數n(n∈N＋)相關等式、不等式以及大小比較、探索性等問題，常與數列交匯命題．高考中普通在解答題中某一問中考查．專題四數學歸納法應用22/2823/2824/282．在數列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數