浙江省寧波三鋒教研聯(lián)盟2022-2023學(xué)年期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．角α終邊上有一點(diǎn)P(?1，2)，則A．?12 B．-2 C．252．曲線y=xln(x?1)在點(diǎn)(2，A．y=2x?4 B．y=2x+4 C．y=x+2 D．y=x?23．在三角形ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，A．23 B．22 C．264．(a+b)2n(n∈N?)展開式中第6A．-10 B．10 C．5 D．-55．已知α為第三象限角，cosα=?35，則A．209 B．?49 C．?6．已知5個(gè)醫(yī)生（其中有一對夫妻）分配到3個(gè)地區(qū)，要求每個(gè)地區(qū)至少一個(gè)醫(yī)生，則這對夫妻分配到同一個(gè)地區(qū)的概率為（）A．325 B．625 C．9257．函數(shù)f(x)=eA．當(dāng)a=1時(shí)，f(x)無極值點(diǎn)B．當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)存在唯一極小值點(diǎn)C．對任意a>0，f(x)在x∈(?π，D．存在a<0，f(x)在x∈(?π，8．已知隨機(jī)變量ξ～B(9，13)，若對任意的正實(shí)數(shù)x1，xA．[e2，+∞) B．[e3二、多選題9．2023春節(jié)檔期有《流浪地球2》，《滿江紅》，《深?！?，《無名》，《交換人生》5部電影，現(xiàn)采用抽簽法決定放映順序，記事件A：“《滿江紅》不是第一場，《無名》不是最后一場”，事件B：“《深海》是第一場”，則下列結(jié)論中正確的是（）A．事件B包含144個(gè)樣本點(diǎn) B．P(A)=C．P(AB)=320 10．下列等式正確的是（）A．sinB．2C．sinD．tan11．(1+xA．各項(xiàng)系數(shù)之和為64 B．常數(shù)項(xiàng)為15C．x的系數(shù)為6 D．x?112．已知x∈[?π，π]，函數(shù)A．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．f(x)有1個(gè)極值點(diǎn)C．f(x)在(0，π2)上單調(diào)遞增三、填空題13．(1+ax)5=a0+14．f(x)=f'(2)lnx+x15．分別在即，5位同學(xué)各自寫了一封祝福信，并把寫好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．設(shè)X為恰好取到自己祝福信的人數(shù)，則E(X)=．16．鏡湖春游甲吳越，蔦花如海城南陌．四月正是春游踏春時(shí)，小明打算利用假期去打卡鄞江古鎮(zhèn)，千年水利工程它山堰就在此處．時(shí)間有限，小明打算游覽6個(gè)景點(diǎn)，上午4場，下午2場．其中它山堰不排在第一場，趣灣農(nóng)莊和茶園不能相鄰．其中上午第4場和下午第1場不算相鄰，則不同的游覽方式有種．四、解答題17．已知在(x（1）求n和a；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求(1+x)318．已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期?單調(diào)遞增區(qū)間及最值；（2）若A為銳角△ABC的內(nèi)角且f(A)=3，a=219．已知函數(shù)f(x)=（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x∈(0，+∞)，f(x)≥0恒成立，求20．新高考按照“3+1+2”的模式設(shè)置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科．某校為了解該?？忌倪x科情況，從首選科目為物理的考生中隨機(jī)抽取12名（包含考生甲和考生乙）進(jìn)行調(diào)查．假設(shè)考生選擇每個(gè)科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響．（1）求考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率．（2）已知抽取的這12名考生中，女生有3名．從這12名考生中隨機(jī)抽取3名，記X為抽取到的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．為了迎接4月23日“世界圖書日”，寧波市將組織中學(xué)生進(jìn)行一次文化知識有獎(jiǎng)競賽，競賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下，得分在[70，80)內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在附參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則（1）求a的值；若現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；（2）若我市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N～(μ，σ2①若我市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列?均值．22．已知a>0，函數(shù)f(x)=xa(lnx?a（1）若a=1，求f(x)的極小值；（2）求f(m)的最小值；（3）互不相等的正數(shù)x1，x2，x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)榻铅两K邊上有一點(diǎn)P(?1，2)，所以所以cosα=x故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合余弦函數(shù)的定義，進(jìn)而得出角α的余弦值。2．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)閥=xln(x?1)，所以y'所以y'所以曲線y=xln(x?1)在點(diǎn)(2，0)處的切線斜率為所以曲線y=xln(x?1)在點(diǎn)(2，0)處的切線方程為即y=2x?4，故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再結(jié)合點(diǎn)斜式得出曲線在切點(diǎn)處的切線的方程。3．【答案】C【解析】【解答】由正弦定理可得asin因?yàn)椤螦=6所以2sin所以b=2故答案為：C．

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦定理得出b的值。4．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)?a+b)2n(n∈N?)展開式中第6則(a+b)2n(n∈N?)的展開式共11所以，(x?2令5?3k2=1，可得k=1，因此，(x?2故答案為：A.

【分析】利用(a+b)2n(n∈N?)展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且(a+b)2n(n∈N?)共有5．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)棣翞榈谌笙藿牵琧osα=?3所以sinα=?所以tanα=sin2α+co=2sinα故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合角所在的象限和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進(jìn)而得出角α的正切值，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出sin2α+cos6．【答案】B【解析】【解答】將5個(gè)醫(yī)生分配到3個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少一個(gè)醫(yī)生的不同分配方法共有C5其中互為夫妻的一對醫(yī)生分配到同一地區(qū)的滿足要求的不同分配方法共有C3所以這對夫妻分配到同一個(gè)地區(qū)的概率P=36故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，再結(jié)合古典概型求概率公式得出這對夫妻分配到同一個(gè)地區(qū)的概率。7．【答案】C【解析】【解答】因?yàn)閒(x)=e所以f'當(dāng)a=1時(shí)，f'當(dāng)?π<x≤0時(shí)，?1≤sinx≤0，當(dāng)x>0時(shí)，?1≤sinx≤1，所以函數(shù)f(x)在(?π，+∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，A符合題意；當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)=ex?cosx所以f當(dāng)x≥0時(shí)，因?yàn)?1≤sin所以f'所以函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)?π<x<0時(shí)，設(shè)φ(x)=1+sin則φ'令φ'(x)=cos當(dāng)?π<x<?34π時(shí)，φ'(x)<0當(dāng)?34π<x<0時(shí)，φ'(x)>0又φ(?π)=1>0，φ(0)=1>0，φ(?3π所以存在x0∈(?π，所以當(dāng)x∈(?π，x0)時(shí)，φ(x)>0，f'當(dāng)x∈(x0，x1)時(shí)，φ(x)<0，當(dāng)x∈(x1，0)時(shí)，φ(x)>0，f'所以函數(shù)f(x)在(?π，x0)單調(diào)遞增，在所以當(dāng)x=x0時(shí)函數(shù)f(x)取極大值，當(dāng)x=x所以函數(shù)f(x)存在唯一極小值點(diǎn)；B符合題意；因?yàn)閒(x)=ex+acosx所以f'令g(x)=1可得g'令g'(x)>0，可得令g'(x)<0，可得所以函數(shù)g(x)(2kπ?3π4，在區(qū)間(?π，?3π4)且g(2kπ+π4)=1a所以函數(shù)g(x)在(?3πg(shù)(π4)=當(dāng)a>2eπ4時(shí)，故存在x2∈(?3π當(dāng)x∈(?3π4，x2)時(shí)，所以當(dāng)a>2eπ4時(shí)，存在當(dāng)x∈(?3π4，x2)時(shí)，所以x2為函數(shù)f(x)當(dāng)?1<a<?e當(dāng)x>0時(shí)，f'函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)f(x)在(0，當(dāng)x∈(?π，?π函數(shù)f(x)在(?π，當(dāng)x∈(?π2，0)時(shí)，所以函數(shù)f'(x)在又f'(?π存在x3∈(?π2，當(dāng)x∈(?π2，x3)時(shí)，當(dāng)x∈(x3，0)時(shí)，f'所以當(dāng)x∈(?π2，0)，所以f(x當(dāng)x3=?π4所以存在a<0，f(x)在故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合a的值得出函數(shù)的解析式，再結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的極值點(diǎn)，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得出函數(shù)在給定區(qū)間零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而找出說法不正確的選項(xiàng)。8．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)棣巍獴(9，13所以不等式x1lnx又x1所以x1所以lnx由已知對任意的x1，x2∈(m設(shè)f(x)=lnx?2x，則f(x)在因?yàn)閒'所以3?lnxx2≤0所以lnx≥3在(m，所以x≥e所以m的取值范圍為[e故答案為：B.

【分析】利用ξ～B(9，13)，從而結(jié)合二項(xiàng)分布求方差的公式得出隨機(jī)變量ξ的方差，所以不等式x1lnx2?x2lnx1x1?x2>D(ξ)可化為9．【答案】B,C【解析】【解答】隨機(jī)試驗(yàn)采用抽簽法決定5部電影放映順序有A5《滿江紅》不是第一場，《無名》不是最后一場的排法可分為兩類第一類，《滿江紅》排最后一場，其余4部電影在前4個(gè)位次全排列，共有A4第二類，《滿江紅》不排在最后一場，先排《滿江紅》有3種排法，再排《無名》有3種排法，再排其它影片有A33種排法，故第二類共有所以事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A4事件B包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A4由古典概型概率公式可得P(A)=78《滿江紅》不是第一場，《無名》不是最后一場，且《深海》是第一場的排法可分為三步完成，第一步先排《深?！放旁诘谝粓?，只有一種方法；再在第二場到第四場中排《無名》有3種方法，最后在剩余三個(gè)位次排列其它影片有A3所以事件AB包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3A由古典概型概率公式可得P(AB)=18由條件概率公式可得P(B|A)=P(AB)故答案為：BC.

【分析】利用已知條件結(jié)合排列數(shù)公式求計(jì)數(shù)問題的方法得出事件B包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再利用古典概型求概率公式得出事件A的概率，再結(jié)合獨(dú)立事件乘法求概率公式得出P(AB)的值，再利用條件概型求概率公式得出P(B|A)的值，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。10．【答案】A,C,D【解析】【解答】sin15°2sisin26°tan71°?故答案為：ACD

【分析】利用已知條件結(jié)合二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式、兩角差的正切公式，進(jìn)而找出等式正確的選項(xiàng)。11．【答案】A,B,C【解析】【解答】令x=1，則(1+1所以各項(xiàng)系數(shù)之和為64，A符合題意；因?yàn)?1+x(1+1x)所以T1所以原式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1×T原式的展開式中含有x的項(xiàng)為2x×T原式的展開式中含有x?1的項(xiàng)為1×故答案為：ABC.

【分析】利用已知條件結(jié)合賦值法得出各項(xiàng)系數(shù)的和，再結(jié)合二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式得出展開式中的常數(shù)項(xiàng)、展開式中含有x的項(xiàng)和展開式中含有x?112．【答案】B,D【解析】【解答】因?yàn)閤∈[?π，π]，所以函數(shù)又f(?x)=cos(?x)所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，A不符合題意；又f'設(shè)g(x)=?sin則g'當(dāng)0<x<π2時(shí)，g'(x)<0，函數(shù)當(dāng)π2<x<π時(shí)，g'(x)>0，函數(shù)又g(0)=0，g(π)=?π所以當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，g(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)所以f'所以函數(shù)f(x)在[0，π]上單調(diào)遞減，又函數(shù)所以函數(shù)f(x)在[?π，0)上單調(diào)遞增，又故函數(shù)f(x)在[?π，函數(shù)f(x)在(0，所以函數(shù)f(x)的最大值1，D符合題意；故答案為：BD.

【分析】利用已知條件結(jié)合偶函數(shù)的圖象的對稱性、求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的極值點(diǎn)，再結(jié)合極值比較法得出函數(shù)的最值的方法，進(jìn)而找出說法正確的選項(xiàng)。13．【答案】1；16【解析】【解答】由(1+ax令x=1，得a0又a0+由已知(1+a)5=32，所以所以(1+x令x=?1，得a0?①—②，得2(a1故答案為：1；16.

【分析】利用已知條件結(jié)合賦值法得出各項(xiàng)系數(shù)的和，從而得出a的值，再利用賦值法和作差法得出a114．【答案】8ln2+4【解析】【解答】因?yàn)閒(x)=f所以f(2)=f'(2)ln2+4所以f'(2)=f所以f(2)=8ln2+4，故答案為：8ln2+4.

【分析】利用已知條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出導(dǎo)函數(shù)，再結(jié)合賦值法得出導(dǎo)函數(shù)的值，再由代入法得出函數(shù)的值。15．【答案】1【解析】【解答】由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，5對應(yīng)概率依次為：P(X=5)=1P(X=3)=CP(X=2)=2P(X=1)=9P(X=0)=1?1則E(X)=5×1故答案為：1.

【分析】利用已知條件得出隨機(jī)變量X的可能的取值，再結(jié)合古典概型求概率公式和對立事件求概率公式，進(jìn)而得出隨機(jī)變量X的分布列，再結(jié)合隨機(jī)變量的分布列求數(shù)學(xué)期望公式得出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。16．【答案】444【解析】【解答】若不考慮題中的要求則不同的游覽方式的個(gè)數(shù)為A6其中它山堰排在第一場的不同的游覽方式的個(gè)數(shù)為A5趣灣農(nóng)莊和茶園相鄰游覽方式的個(gè)數(shù)A2它山堰排在第一場且趣灣農(nóng)莊和茶園相鄰的游覽方式的個(gè)數(shù)為A2由間接法可得滿足條件的不同的游覽方式有720?120?192+36=444種，故答案為：444.

【分析】利用已知條件結(jié)合排列數(shù)公式和組合數(shù)公式求計(jì)數(shù)問題的方法，進(jìn)而得出不同的游覽方式的種數(shù)。17．【答案】（1）解：因?yàn)?x所以2n=256，解得所以(x二項(xiàng)式(xTk+1=C所以(x+a?3第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C8由已知a3所以a=2；（2）解：設(shè)第k+1項(xiàng)系數(shù)最大則C∴2?解得5≤k≤6，又k∈{0，所以k=5或k=6，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，所以系數(shù)最大項(xiàng)為T6=1792x（3）解：由二項(xiàng)式定理可得(1+x)n，n∈N?，n≥3所以(1+x)3C3又C3所以(1+x)3+(【解析】【分析】（1）在(x+a?3x)n展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，再利用所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和求解公式得出n的值，再結(jié)合二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式得出(x+a?3x)8的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)和第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再結(jié)合已知條件得出a的值。

（2）設(shè)第k+1項(xiàng)系數(shù)最大，則C8k2k≥C8k?12k?118．【答案】（1）解：f(x)=2sinxcosx+2=2sin(2x?故函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π由?得?π∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π當(dāng)2x?π3=2kπ+即當(dāng)x=kπ+5π12，k∈Z時(shí)，f(x)取最大值，最大值為當(dāng)2x?π3=2kπ?即當(dāng)x=kπ?π12，k∈Z時(shí)，f(x)取最小值，最小值為∴f（2）解：由f(A)=3得2sin(2A?所以sin(2A?π又0<A<π2，所以解得A=π由余弦定理cosA=b2+可得b2而b2+c2≥2bc所以S=12bcsinA≤33，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=23【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合二倍角的正弦和余弦公式，再結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式得出函數(shù)f(x)的最小正周期，再結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象判斷其單調(diào)性，從而得出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f(x)的最值。

（2）由f(A)=3結(jié)合函數(shù)的解析式和代入法得出sin(2A?π3)=319．【答案】（1）解：由已知，f(x)的定義域是(?∞，+∞)，①當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0成立，f(x)②當(dāng)a>0時(shí)令f'(x)>0，得x>lna，則f(x)令f'(x)<0，得x<lna，則f(x)綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(?∞，+∞)，函數(shù)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(lna，+∞)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為（2）解：當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，即x>0時(shí)，a≤e所以a≤(ex設(shè)g(x)=e設(shè)g'當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g'(x)<0，函數(shù)當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，g'(x)>0，函數(shù)則g(x)在x=1處取得最小值，g(1)=e，則a≤e綜上所述，x∈(0，+∞)時(shí)，f(x)≥0成立的a的取值范圍是【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，再結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（2）利用x的取值范圍結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最值，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍。20．【答案】（1）解：考生甲選擇了地理作為再選科目的概率是p=C考生乙選擇了地理作為再選科目的概率是p=C所以考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率是p=1（2）解：X為的可能取值為：0，1，2，3，所以p(X=0)=Cp(X=2)=C則X的分布列為：X0123p2127271E(X)=0×21【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合組合數(shù)公式和古典概型求概率公式以及獨(dú)立事件乘法求概率公式，進(jìn)而得出考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率。

（2）利用已知條件得出隨機(jī)變量X的可能取值，再利用組合數(shù)公式和古典概型求概率公式得出隨機(jī)變量X的分布列，再結(jié)合隨機(jī)變量的分布列求數(shù)學(xué)期望公式，進(jìn)而得出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。21．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：(0所以，a=0.由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎(jiǎng)的有10×0.獲二等獎(jiǎng)的有10×0.008×100=8人，獲三等獎(jiǎng)的有共有30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績，基本事件總數(shù)為C100設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”為事件A，則事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為C701C即抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為14（2）解：由樣本頻率分布直方圖得樣本平均數(shù)的估計(jì)值，μ=35×0+75×0則所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N(64，①因?yàn)棣?δ=79，P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.所以P(故參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)約為0.②由μ=64，得P(即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生競賽成績在64分以上的概率為12所以隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B(3，所以P(ξ=0)=C30P(ξ=2)=C32所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P1331E(ξ)=np=3【解析】【