P第二十八章綜合素質評價一、選擇題(1～10題每題3分，11～16題每題2分，共42分)1．已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為6，那么點P與⊙O的位置關系是()A．點P在⊙O外B．點P在⊙O內C．點P在⊙O上D．無法確定2．【母題：教材P148習題T1(1)】如圖，在⊙O中，弦有()A．2條B．3條C．4條D．5條3．【母題：教材P158練習T1】如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數為()A．27°B．108°C．116°D．128°4．【2023·石家莊二十八中月考】如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，連接BC，BD.下列結論中不一定正確的是()A．AE＝BEB.eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))C．OE＝DED．∠DBC＝90°5．【2022·蘭州】如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，若∠ACD＝40°，則∠B＝()A．70°B．60°C．50°D．40°6．【母題：教材P165練習T2】如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，且OM＝3，則⊙O的半徑等于()A．8B．4C．10D．57．如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，半徑為5的圓內有一點P(0，－3)，那么經過點P的所有弦中，最短的弦的長為()A．4B．5C．8D．108．【2023·唐山友誼中學月考】如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，則⊙O的直徑的長是()A.eq\r(5)B．4C.eq\r(11)D.eq\r(13)9．如圖，cos∠BAC的值等于()A.eq\f(5\r(29),29)B.eq\f(\r(29),5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(5,2)10．【2022·荊門】如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E.若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為()A．36eq\r(3)B．24eq\r(3)C．18eq\r(3)D．72eq\r(3)11．【2023·衡水三中月考】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE.若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數是()A．30°B．35°C．45°D．60°12．如圖，A，B，P是半徑為2的⊙O上的三點，∠APB＝45°，則弦AB的長為()A．2B．4C.eq\r(2)D．2eq\r(2)13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.將△ABC繞直角頂點C逆時針旋轉60°得到△A′B′C，則點B轉過的路徑長為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(2π,3)D．π14．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，將△ABC繞邊AC所在直線旋轉一周得到一個圓錐，則該圓錐的表面積是()A．25πB．65πC．90πD．130π15．【2022·瀘州】如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E.若AC＝4eq\r(2)，DE＝4，則BC的長是()A．1B.eq\r(2)C．2D．416．如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片中剪去eq\f(1,3)圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不重疊)，那么這個圓錐的高為()A．6cmB．3eq\r(5)cmC．8cmD．5eq\r(3)cm二、填空題(每題3分，共9分)17．【2022·永州】如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠ADC＝30°，則∠BOC＝________°.18．如圖，AD為⊙O的直徑，AD＝6cm，∠DAC＝∠ABC，則AC＝________．19．【2022·梧州】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，分別以點A，O為圓心，取大于eq\f(1,2)OA的定長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交⊙O于點E，F.若OA＝1，則eq\o(BE,\s\up8(︵))，AE，AB所圍成的陰影部分面積為____________．三、解答題(20，21題每題8分，22～25題每題10分，26題13分，共69分)20．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點D，點E在⊙O上．(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度數．(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的長．21．【2023·石家莊四十中模擬】如圖，△ABC的三個頂點都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM為⊙O的直徑．求證：∠BAM＝∠CAP.22．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC＝BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E.(1)求證：AB＝AC；(2)若⊙O的半徑為4，∠BAC＝60°，求DE的長．23．已知扇形的半徑為30cm，面積為300πcm2.(1)求扇形的弧長．(2)若將此扇形卷成一個圓錐(無底，忽略接頭部分)，則這個圓錐的高是多少？24．【2023·石家莊外國語學校模擬】如圖所示，在⊙O中，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，弦CD與弦AB交于點F，連接BC.(1)求證：AC2＝AB·AF.(2)若⊙O的半徑為2cm，∠ABC＝60°，求圖中陰影部分的面積．25．【2023·衡水四中月考】如圖，一座拱形公路橋，圓弧形橋拱的水面跨度AB＝80米，橋拱到水面的最大高度為20米．(1)求橋拱的半徑．(2)現有一艘寬60米，頂部截面為長方形且高出水面9米的輪船要經過這座拱形公路橋，這艘輪船能順利通過嗎？請說明理由．26．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4eq\r(5)，cosC＝eq\f(\r(5),5).(1)動手操作：利用尺規作以AC為直徑的⊙O，并標出⊙O與AB的交點D，與BC的交點E(保留作圖痕跡，不寫作法)．(2)綜合應用：在你所作的圖中，①求證：eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵)).②求點D到BC的距離．答案一、1.A【點撥】∵⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為6，∴點P到圓心O的距離大于圓的半徑，∴點P在⊙O外．故選A.2．C【點撥】圖中的弦有AB，BC，BD，CD共4條，故選C.3．B【點撥】∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故選B.4．C【點撥】∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，∴AE＝BE，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，故A、B正確；∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC＝90°，故D正確．由已知不能推出OE＝DE.故選C.5．C【點撥】∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD＋∠D＝90°.∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°.故選C.6．D【點撥】連接OA.∵M是AB的中點，∴OM⊥AB，且AM＝4.在Rt△OAM中，OA＝eq\r(AM2＋OM2)＝5，即⊙O的半徑為5，故選D.7．C【點撥】過點P作弦AB⊥OP，則AB是過P點的⊙O的最短的弦，連接OB，則由垂徑定理得AB＝2AP＝2BP，在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理得PB＝4，則AB＝2PB＝8，故選C.8．D【點撥】連接AC.∵點A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°.∵AD＝3，CD＝2，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(13)，即⊙O的直徑的長是eq\r(13).故選D.9．A【點撥】在Rt△EFG中，∵∠EGF＝90°，FG＝2，EG＝5，∴EF＝eq\r(22＋52)＝eq\r(29)，∴cos∠FEG＝eq\f(EG,EF)＝eq\f(5\r(29),29).∵∠BAC＝∠BEC，∴cos∠BAC＝cos∠BEC＝eq\f(5\r(29),29)，故選A.10．A【點撥】連接OC.∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3.∵AB⊥CD，∴CE＝DE＝eq\f(1,2)CD.在Rt△COE中，EC＝eq\r(OC2－OE2)＝eq\r(36－9)＝3eq\r(3)，∴CD＝2CE＝6eq\r(3)，∴四邊形ACBD的面積＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×12×6eq\r(3)＝36eq\r(3).故選A.11．A【點撥】∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠BCD＋∠BAD＝180°.∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°.∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°，故選A.12．D【點撥】連接OA，OB.∵∠APB＝45°，∴∠AOB＝2∠APB＝90°.∵OA＝OB＝2，∴AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝2eq\r(2).故選D.13．B【點撥】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，∴cos30°＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝ABcos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∵將△ABC繞直角頂點C逆時針旋轉60°得△A′B′C，∴∠BCB′＝60°，∴點B轉過的路徑長為eq\f(60π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),3)π.故選B.14．C【點撥】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝13，∴母線長l為13，半徑r為5，∴圓錐的側面積S1＝πlr＝π×13×5＝65π，底面積S2＝πr2＝π×52＝25π，所以表面積為65π＋25π＝90π.故選C.15．C【點撥】∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°.∵OD⊥AC，∴點D是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，且OD＝eq\f(1,2)BC.設OD＝x，則BC＝2x.∵DE＝4，∴OE＝4－x，∴AB＝2OE＝8－2x.在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2＋BC2，∴(8－2x)2＝(4eq\r(2))2＋(2x)2，解得x＝1.∴BC＝2x＝2.故選C.16．B【點撥】∵留下的扇形的弧長為eq\f(2,3)×2π×9＝12π(cm)，∴圍成圓錐的底面半徑為eq\f(12π,2π)＝6(cm)．又∵圓錐的母線長為9cm，∴這個圓錐的高為eq\r(92－62)＝3eq\r(5)(cm)．故選B.二、17.120【點撥】∵∠ADC是eq\o(AC,\s\up8(︵))所對的圓周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－60°＝120°.故答案為120.18．3eq\r(2)cm【點撥】連接CD，則∠ADC＝∠ABC.∵∠ABC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ADC.∴AC＝CD.∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∵AD＝6cm，∴AC2＋CD2＝36，∴AC＝3eq\r(2)cm.19.eq\f(1,12)π＋eq\f(1,4)eq\r(3)－eq\f(1,2)【點撥】連接OE，OB.由題意可知，△AOE為等邊三角形．推出S陰影＝S扇形BOE＋S△AOE－S△AOB，即可求出答案．三、20.【解】(1)連接OB.∵OD⊥AB，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DB,\s\up8(︵)).∴∠AOD＝∠BOD＝52°，∴∠DEB＝eq\f(1,2)∠BOD＝26°.(2)在Rt△AOC中，OC＝3，OA＝5，由勾股定理得AC＝4.∵OD⊥AB，∴AB＝2AC＝8.21．【證明】連接BM.∵AP⊥BC于P，∴∠APC＝90°，∴∠CAP＝90°－∠C.∵AM為⊙O的直徑，∴∠ABM＝90°，∴∠BAM＝90°－∠M.又∵∠M＝∠C，∴∠BAM＝∠CAP.22．(1)【證明】如圖，連接AD.∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB＝90°.∵DC＝BD，∴AB＝AC.(2)【解】∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AB＝AC＝BC＝8，∠B＝60°.∴DC＝BD＝4.∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°.在Rt△BAD中，BD＝4，AB＝8，∴AD＝4eq\r(3).又∵DE⊥AC，∴eq\f(1,2)DC·AD＝eq\f(1,2)AC·DE.∴DE＝eq\f(DC·AD,AC)＝eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3).23．【解】(1)∵扇形的半徑為30cm，面積為300πcm2，∴扇形的弧長為eq\f(2×300π,30)＝20π(cm)．(2)設圓錐的底面半徑為rcm，根據題意，得2πr＝20π，∴r＝10.∴這個圓錐的高是eq\r(302－102)＝20eq\r(2)(cm)．24．(1)【證明】∵eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴∠ACD＝∠B.又∵∠BAC＝∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AF,AC)，即AC2＝AB·AF.(2)【解】連接OA，OC，過點O作OE⊥AC，垂足為點E.∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCE＝30°.在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，OA＝2cm，∴OE＝1cm，∴AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(3)cm.∵OE⊥AC，∴AC＝2AE＝2eq\r(3)cm，∴S陰影＝S扇形AOC－S△OAC＝eq\f(120π·22,360)－eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\f(4π,3)－eq\r(3)(cm2)．25．【解】(1)如圖，設點E是橋拱所在圓的圓心．過點E作EF⊥AB于eq\o(AB,\s\up8(︵))點F，延長EF交于點C，連接AE，則CF＝20米．由垂徑定理知，F是AB的中點，∴AF＝FB＝eq\f(1,2)AB＝40米．由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，設橋拱的半徑是r米，則r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.∴橋拱的半徑為50米．(2)這艘輪船能順利通過．理由如下：如圖，作MN∥AB，使MN＝60米