PAGE1第01講等腰三角形的性質(zhì)與判定課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①推理能力②等腰三角形的性質(zhì)③等腰三角形的判定1.經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過(guò)程，逐步掌握綜合法證明的方法，發(fā)展推理能力.2.進(jìn)一步了解作為證明基礎(chǔ)的幾條基本事實(shí)的內(nèi)容，能證明等腰三角形的性質(zhì).3.有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換能力，關(guān)注證明過(guò)程及其表達(dá)的合理性.知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）．等腰三角形的其他性質(zhì)：（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．（3）等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．（4）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是45°．【即學(xué)即練1】（24-25八年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·期中）在等腰三角形中，，則，如果，．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對(duì)等角【分析】本題主要考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，對(duì)于第一空可確定是頂角，據(jù)此根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)；對(duì)于第二空分是頂角和是底角兩種情況根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理討論求解即可．【詳解】解：∵在等腰三角形中，，∴是頂角，∴；當(dāng)，且為頂角時(shí)，則；當(dāng)，且為底角時(shí)，若為底角，則，若為頂角，則，∴，故答案為：；或或．【即學(xué)即練2】（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，中，，，AD是中線，，則是度．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】，，，，AD是邊上的中線，，，，，故答案為：．【即學(xué)即練3】（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在中，，是的平分線交于點(diǎn)，，，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】在上截取，連接，則，再證明，則，，可推導(dǎo)出，則，所以，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：如圖所示，在上截取，連接，，，，是的平分線，，在和中，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、等腰三角形的判定等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)02等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．【注意】（1）“等角對(duì)等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等．因?yàn)樵跊]有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角對(duì)等邊”與“等邊對(duì)等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．【即學(xué)即練1】（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在中，，是的平分線，，交于點(diǎn)E，且．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形【分析】本題考查了等腰三角形的判定及平行線的性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線和平行的性質(zhì)求出即可；（2）根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)得到，從而求得的度數(shù)，然后利用等邊對(duì)等角得到另一個(gè)底角的度數(shù)，從而求得頂角的度數(shù)．【詳解】（1）證明：是的平分線，，又∵，，，，是等腰三角形；（2）解：，，，，．【即學(xué)即練2】（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，在銳角中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，，于點(diǎn)D，與交于點(diǎn)G．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，G為中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)8【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，然后利用等角的余角相等可得，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得，從而可得，最后利用等角對(duì)等邊即可解答；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，然后利用證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：圖：過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，∴，∵，∴，∵G為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為8．題型01根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角求角的度數(shù)例題：（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）等腰三角形的頂角為，底角的度數(shù)為．【答案】50【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對(duì)等角、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的定義及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可直接求出其底角的度數(shù)．【詳解】解：∵等腰三角形的兩個(gè)底角相等，∴底角為，故答案為：50．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·河南漯河·期中）一個(gè)等腰三角形的內(nèi)角為，則其頂角的度數(shù)為．【答案】或/或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查三角形內(nèi)角定理及等腰三角形性質(zhì)，等腰三角形這個(gè)的內(nèi)角可能是頂角，也可能是底角．根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形兩個(gè)底角相等的性質(zhì)，即可分別計(jì)算出當(dāng)這個(gè)角是頂角時(shí)的底角度數(shù)、當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)頂角的度數(shù)．掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘菚r(shí)，它的兩個(gè)底角：；當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉鞘菚r(shí)，頂角為：；∴它的頂角的度數(shù)是或．故答案為：或．2．（24-25八年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）等腰三角形中一個(gè)角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的底角相等，內(nèi)角和等于180度，可判斷出的角只能為等腰三角形的頂角．【詳解】解：，的角只能為等腰三角形的頂角，這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為，故答案為：．3．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形頂角的度數(shù)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，三角形的外角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為180度，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，等邊對(duì)等角．根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①如答圖①，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在等腰三角形外部．由題意得，．根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角；②如答圖②，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在等腰三角形內(nèi)部，此時(shí)有，，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可解答．【詳解】解：①如圖①，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在等腰三角形外部．由題意得，．∴；②如圖②，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在等腰三角形內(nèi)部，此時(shí)有，，∴，故答案為或．題型02根據(jù)等腰三角形腰相等求第三邊或周長(zhǎng)例題：（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，且第三邊為奇數(shù)，則第三邊長(zhǎng)為．按邊分類，這個(gè)三角形是三角形．【答案】5等腰【知識(shí)點(diǎn)】三角形的分類、確定第三邊的取值范圍、等腰三角形的定義【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，三角形的分類，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理．三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，由此即可解決問(wèn)題，【詳解】解：設(shè)三角形第三邊長(zhǎng)是，由題意得：，，第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，∴，∴這個(gè)三角形是等腰三角形．故答案為：5，等腰．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為7和16，則它的周長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，分類討論是解題關(guān)鍵．分兩種情況討論，利用三角形的三邊關(guān)系確定是否可以組成三角形，再求出周長(zhǎng)即可．【詳解】解：若腰長(zhǎng)為7，底邊長(zhǎng)為16，，不能組成三角形；若腰長(zhǎng)為16，底邊長(zhǎng)為7，，能組成三角形，周長(zhǎng)為，故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古興安盟·期中）若一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為26，一邊長(zhǎng)為8，則它的腰長(zhǎng)．【答案】8或9/9或8【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分8為腰長(zhǎng)和8為底邊2種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：①8是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為，此時(shí)三角形的三邊分別為8、8、10，能組成三角形，②8是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為，此時(shí)三角形的三邊分別為8、9、9，能組成三角形，綜上所述，它的腰長(zhǎng)為8或9．故答案為：8或9．3．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則以，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為．【答案】17【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值非負(fù)性、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查非負(fù)性，等腰三角形的定義，根據(jù)非負(fù)性求出的值，再分的值為腰長(zhǎng)和的值為腰長(zhǎng)兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，當(dāng)3為腰長(zhǎng)時(shí)，，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；當(dāng)7為腰長(zhǎng)時(shí)，，符合題意，等腰三角形的周長(zhǎng)為：；故答案為：17題型03根據(jù)等角對(duì)等邊求邊的長(zhǎng)度例題：（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O，且，分別交于點(diǎn)M、N．則的周長(zhǎng)為．【答案】18【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)【分析】由在中，與的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，易證得與是等腰三角形，繼而可得的周長(zhǎng)等于．此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的判定，三角形周長(zhǎng)的求法，等量代換等知識(shí)點(diǎn)．【詳解】解：在中，、的平分線相交于點(diǎn)，，，，，，同理，的周長(zhǎng)是：．故答案為：18．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)上·重慶·期中）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)、等腰三角形的定義【分析】本題考查三角形角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和定義．掌握等角對(duì)等邊是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意證明和是等腰三角形即可求解．【詳解】解：∵，，∴．∵平分，∴，∴，，∴，，∴．故答案為：4．2．（24-25八年級(jí)上·湖北荊州·期中）如圖，在中，，交于點(diǎn)，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、含30度角的直角三角形、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)【分析】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，由，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，由垂直定義得，則，由30°角的直角三角形的性質(zhì)得，然后代入即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，故答案為：．3．（24-25八年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期中）在中，點(diǎn)D，E分別在上，，的平分線交于點(diǎn)F，的平分線交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)是．【答案】4或6【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)、三角形角平分線的定義【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線，等角對(duì)等邊．分情況求解是解題的關(guān)鍵．由題意知，分在左側(cè)，在右側(cè)兩種情況求解作答即可．【詳解】解：由題意知，分在左側(cè)，在右側(cè)兩種情況求解；當(dāng)在左側(cè)時(shí)，如圖1，∵，是的平分線，是的平分線，∴，，∴，∴；當(dāng)在右側(cè)時(shí)，如圖2，同理，，∴；綜上所述，的長(zhǎng)為4或6，故答案為：4或6題型04根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行求解例題：（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知在中，是邊上的高，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，連接，若，，，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三線合一【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；根據(jù)三線合一的性質(zhì)得出，然后分類討論，即可求解．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，，∴，∴，∴，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∵，∴．故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，，，于，則BD的長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、三線合一【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)．首先根據(jù)可以判斷是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一定理可求BD的長(zhǎng)度．【詳解】解：，，又，，又，．故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，，，若，則的度數(shù)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對(duì)等角、三線合一【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)，，可得出，，由三角形內(nèi)角和定理求出，進(jìn)而求出．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，故答案為：．3．（24-25八年級(jí)上·山西大同·期中）如圖，在中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，且，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)D，若的周長(zhǎng)為20，，則的周長(zhǎng)為．【答案】26【知識(shí)點(diǎn)】三線合一【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．由題意可知，，結(jié)合得到的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)加上的長(zhǎng)，即可得解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∵的周長(zhǎng)為20，∴，∴的周長(zhǎng)．故答案為：26．題型05根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行證明例題：（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，如圖，，，平分，求證：．【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、根據(jù)三線合一證明【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形三線合一，先證明，得到，根據(jù)三線合一即可得到．【詳解】證明：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴，即，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期中）如圖，是等腰直角三角形，，D為斜邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊上的點(diǎn)，且．若，．求的長(zhǎng)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)三線合一證明、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，易證，得到，得到，然后利用勾股定理，即可求出．【詳解】解：如圖，連接AD．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)連接，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)40【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、根據(jù)三線合一證明、用勾股定理解三角形【分析】本題主要查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)：（1）連接，根據(jù)題意可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得，可證明，即可求證；（2）在中，利用勾股定理解答，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，即，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴；（2）解：由（1）得：，∴，∵，∴，在中，．3．（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）如圖，中，．(1)求的面積；(2)點(diǎn)E，D分別為上的點(diǎn)，且滿是．判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)三線合一證明、根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形．（1）結(jié)合已知條件并利用勾股定理求得的值，再利用三角形面積公式即可得到結(jié)果．（2）連接，利用“三線合一”定理并結(jié)合已知條件設(shè)法證明即可得到結(jié)果．【詳解】（1），，，即，即（2）結(jié)論：，連接，，在和中∵題型06與等腰三角形的定義有關(guān)的多解題例題：（24-25八年級(jí)上·青海海東·期中）如圖，，點(diǎn)A是的反向延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形．【答案】10或【知識(shí)點(diǎn)】幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)、等腰三角形的定義【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)在上，或點(diǎn)在上；然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及一元一次方程的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，分類時(shí)注意不能遺漏，也不能重復(fù)．【詳解】解：如圖，若點(diǎn)在上，∵，∴只有當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，，當(dāng)時(shí)，，解得；如圖，若在上，當(dāng)或或時(shí)，是等腰三角形，，，當(dāng)時(shí)，，解得；∵，∴當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，此時(shí)，．綜上所述，當(dāng)或10秒時(shí)，是等腰三角形．故答案為：或10【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·河南駐馬店·期中）如圖，已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、A，在第一象限內(nèi)，存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與幾何綜合、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意可分當(dāng)和當(dāng)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行分類求解．【詳解】解：令時(shí)，則有；令時(shí)，則有，即，∴，∴，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形，則可分：當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，如圖所示，同理可得；綜上所述：當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形，點(diǎn)或；故答案為或．2．（24-25八年級(jí)上·河南駐馬店·期中）如圖，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始出發(fā)沿射線的方向以的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)為等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為．【答案】2.4或4【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等邊三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)．分別列式計(jì)算即可求．【詳解】解：分以下兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，∵，∴，是等邊三角形，∴，即，解得；（2）當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)，，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，只能，∴，解得，故答案為：2.4或4．3．（2024八年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）如圖，直線，相交于點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則的度數(shù)是．【答案】或或或【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【詳解】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求得符合的點(diǎn)，即可得解．【解答】解：要使為等腰三角形分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，的度數(shù)是或或或，故答案為：或或或．題型07根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形例題：（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，連接DE．下列結(jié)論中正確的是（

）①；②；③若，則；④．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握其判定方法是解題的關(guān)鍵．如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，設(shè)交于點(diǎn)，可得，證明，可判定②④；根據(jù)，得到，平分，當(dāng)時(shí)，則有AC⊥DE，當(dāng)時(shí)，無(wú)法說(shuō)明AC⊥DE，可判定①；設(shè)，則，若，可得，可判定③；由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，設(shè)交于點(diǎn)，∵，∴，且，∴AB垂直平分EG，∴，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，，故②正確；∵，∴，∴平分，當(dāng)時(shí)，，則有AC⊥DE，當(dāng)時(shí)，，則無(wú)法說(shuō)明有AC⊥DE，故①錯(cuò)誤；設(shè)，則，∴，若，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，故④正確；綜上所述，正確的有②③④，故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知，如圖，為的角平分線，且，E為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，過(guò)E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．先證，可得，，可得①②正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，，可得④正確．【詳解】解：①∵為的角平分線，∴，在和中，，∴，故結(jié)論①正確；②∵為的角平分線，且，，∴，，∵，∴，∴，故結(jié)論②正確；③∵，，，，∴，∴為等腰三角形，∴，∵，∴，∴，∵為的角平分線，，而不垂直于，∴，故結(jié)論③錯(cuò)誤；④由③知，故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．故選：B．2．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，在中，，，是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，DE與相交于點(diǎn)，且．以下個(gè)結(jié)論：①圖中共有對(duì)全等三角形；②；③；④．其中不正確的結(jié)論有（）個(gè)A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】根據(jù)題意，則，，平分，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則，根據(jù)，則，根據(jù)等量代換，全等三角形判定和性質(zhì)，則，同理證明得到，可判斷①；根據(jù)三角形的外角，則，，根據(jù)等量代換，即可判斷②；根據(jù)，則，即可判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，則，，再根據(jù)，，即可判斷．【詳解】解：∵在中，，，是AB邊上的中點(diǎn)，∴是等腰直角三角形，，，平分，∴，，∴，是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，共對(duì)全等三角形，①正確；∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴②正確；∵，∴，∵，∴，∴③正確；∵，，∴，，∴，，∴，∴④正確；∴不正確的結(jié)論為個(gè)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖，等腰中，，D、E分別在線段、上，，和交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．下列說(shuō)法：①；②；③；④；⑤．其中正確的是．【答案】①③⑤【知識(shí)點(diǎn)】同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用、全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)與添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．如圖1，根據(jù)同角的余角相等，即可判斷①∶通過(guò)證明得，進(jìn)而得出，從而可以判斷②；由，再證、、，進(jìn)而可以判斷③；利用線段的等量代換可以判斷④；通過(guò)證明，即可判斷⑤．【詳解】解：設(shè)于Q，于K，如圖1所示，∵，∴，∴，故①正確；在與中，，∴，∴，∵，，∴，∴，若，則為等邊三角形，∴，但題目中沒有條件得到，故②不一定成立；如圖2所示，連接，由可得，∴，∵，，∴，在與中，∴，∴，又，∴垂直平分，∵，∴∴，在與中，∴，∴，，在與中，∴，∴，又∵，∴，故③正確；∵，，∴的周長(zhǎng)為：，∵，∴，∴，∴的周長(zhǎng)，故④錯(cuò)誤；如圖3所示，過(guò)點(diǎn)N作于I，過(guò)點(diǎn)F作于P，∵，∴，∴，∴，∴即，∵，∴；故⑤正確：故答案為：①③⑤．題型08與等腰三角形性質(zhì)和判定的多結(jié)論題例題：（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，平分，過(guò)線段上一點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行同位角相等、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形【分析】（）證明，得到，即可求證；（）證明，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，平分，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·遼寧遼陽(yáng)·期中）如圖1，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交和于點(diǎn)和．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形【分析】本題考查等腰三角形判定，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)．有效的進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明是等腰三角形，（2）同理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則的周長(zhǎng)，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：由（1）得：，同理可得，∴的周長(zhǎng)，∵，，∴的周長(zhǎng)．2．（24-25八年級(jí)上·江西南昌·期中）如圖，在中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F使得，連接CF．(1)求證：；(2)若平分，求證：為等腰三角形．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，然后利用證明，從而可得；（2）根據(jù)可得，根據(jù)平分得出，即可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明．【詳解】（1）證明：∵為中點(diǎn)，，在和中，，，∴；（2）證明：∵，，∵平分，，，，∴為等腰三角形．3．（24-25八年級(jí)上·江西吉安·期中）如圖，長(zhǎng)方形紙片，，，現(xiàn)將該紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為，(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求線段的長(zhǎng)；(3)求折痕的長(zhǎng)．【答案】(1)為等腰三角形，理由見詳解(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形、勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）由折疊的性質(zhì)可知，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（2）設(shè)，則有，然后根據(jù)勾股定理可建立方程進(jìn)行求解；（3）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，由題意易得，然后可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：為等腰三角形，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，，在長(zhǎng)方形中，，∴，∴，即為等腰三角形；（2）解：在長(zhǎng)方形中，，由（1）可設(shè)，則有，在中，由勾股定理得：，解得：，∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖所示：在長(zhǎng)方形中，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．題型09等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用例題：（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）如圖，在中，，點(diǎn)在邊CB上，且．

(1)如圖1，____，____．(2)如圖2，若為線段上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，分別交直線AB、于點(diǎn)、．①求證：是等腰三角形．②試猜想線段、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)36；72；(2)①證明見解析；②，證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）①結(jié)合（1）的結(jié)論，證明，得到，即可得出答案；②由①可知，，再結(jié)合已知條件，得出，，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，，故答案為：36；72；（2）解：①由（1）可知，，，，，在和中，，，，是等腰三角形．②，證明如下：由①可知，，，，，，，即．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，已知等腰中，，D為外一點(diǎn)，且，．

(1)如圖1，當(dāng)，求；(2)如圖2，作于E交于F，當(dāng)，，，求；(3)若，且是等腰三角形，求的值．【答案】(1)(2)8(3)或或或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由，得出，，利用三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)、角的和差關(guān)系即可求得；（2）作于，由（1）得出，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，，在中，由勾股定理得出即可求出；（3）分三種情況，①時(shí)，②時(shí)，③時(shí)；由全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解∶，，，，，，設(shè)，，，，，，，；（2）解：作于，如圖2所示：

，由（1）得：，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解∶分情況討論∶①時(shí)，如圖3所示∶

，，在和中，，，，即；②時(shí)，如4圖所示∶

同①得，，，，即；③時(shí)，如5圖所示∶

點(diǎn)在的垂直平分線上，或，即或；綜上所述，若，且是等腰三角形，則為或或或．2．（24-25八年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）在中，，，是邊的中線，是邊上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．(1)如圖①，判斷的形狀并證明；(2)如圖②，，①補(bǔ)全圖形；②用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)等腰三角形，理由見解析(2)①補(bǔ)全圖形見解析，②，理由見解析．【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，做出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．(1)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可推導(dǎo)出，即可得到是等腰三角形．(2)①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用已知條件和等腰三角形的性質(zhì)可得到，，．繼而可證得，即可推導(dǎo)出，所以．【詳解】（1）解：的形狀等腰三角形．證明如下：∵，是邊的中線，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴是等腰三角形．（2）①補(bǔ)全圖形，如圖．②之間的數(shù)量關(guān)系是．證明：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H．∵，是邊的中線，，∴，．∴．∵，∴．∴，又∵，∴．∴．在中，，∴．∴，∴．∵由（1）知：，∴．3．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）在中，，，的平分線交邊于點(diǎn)D．(1)如圖1，求證：為等腰三角形；(2)如圖2，若的平分線交邊于點(diǎn)E，在上截取，連接，求證：；(3)如圖3，若外角的平分線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．（1）先由三角形內(nèi)角和定理得，再由角平分線的定義可得，再證明，最后由等角對(duì)等邊可得結(jié)論；（2）由平分，可得，再證明，可得，，從而得出，最后由等腰三角形的判定可得結(jié)論；（3）在上截取，連接．先求得，再由平分，可得，從而得出，證得．得出，再證得．即可證明．【詳解】（1）證明：∵，，∴．∵平分，∴，∴，即，∴為等腰三角形；（2）證明：∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴；（3）證明：由（1）得：為等腰三角形，∴，∴．如圖，在上截取，連接．，∴，∵，∴∵，又∵．∵平分，∴，∴，，則，∴．∵，∴，∴．∴．一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）等腰三角形一邊長(zhǎng)等于，一邊長(zhǎng)等于，則它的周長(zhǎng)是

（

）A．6 B．10 C．8或10 D．8【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，分2為底邊和腰兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：當(dāng)2為底邊長(zhǎng)時(shí)，，能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為，當(dāng)為腰長(zhǎng)時(shí)，，不能構(gòu)成三角形，故選：B．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如果等腰三角形的一個(gè)角是，則它的頂角度數(shù)是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和為，等腰三角形兩底角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)容．分兩種情況討論：①當(dāng)角為底角時(shí)；②當(dāng)?shù)慕菫轫斀菚r(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)?shù)捉菫闀r(shí)，頂角，②當(dāng)頂角為時(shí)，頂角度數(shù)，綜上：頂角度數(shù)為或；故選：B．3．（24-25八年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）如圖，在三角形中，過(guò)點(diǎn)，作，，BD，交于點(diǎn)，若，，，則線段的長(zhǎng)度為(

)A．2 B． C．3 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根根據(jù)證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，，，，是等腰直角三角形，，，，，，在與中，，，，，故選：C．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀“能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒、組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)固定，，點(diǎn)、可在槽中滑動(dòng)，若，則的度數(shù)是（

）A． B．72° C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等邊對(duì)等角【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，可得，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知，進(jìn)一步可知，求出的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴．故選：D．5．（24-25八年級(jí)上·四川南充·期中）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，在上分別截取，連接．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形綜合問(wèn)題【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再證，得到，，根據(jù)平角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得，可判定①②④；根據(jù)等腰三角形的三線合一進(jìn)行判定即可判定③；由此即可求解．【詳解】解：在中，，∴，在和中，，∴，∴，，，∵，∴，∵，∴，故①正確；由上述證明可得，故②正確；∵，∴，故④正確；∵，∴當(dāng)時(shí)，AD平分，AD是的中線，∴，根據(jù)題意，可得是上的一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，，否則不一定垂直，故③錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①②④，故選：D．二、填空題6．（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）等腰三角形的周長(zhǎng)為20，其中一邊為5，則另兩邊的長(zhǎng)分別為．【答案】7.5、7.5【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目—定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．題中沒有指明長(zhǎng)為5的邊長(zhǎng)是腰還是底，則分兩種情況進(jìn)行分析，還應(yīng)驗(yàn)證是否滿足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】當(dāng)腰長(zhǎng)是5時(shí)，底邊長(zhǎng)，∵，∴5、5、10不能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)组L(zhǎng)是5時(shí)，三角形的腰，∵，∴5、7.5、7.5能構(gòu)成三角形，其他兩邊長(zhǎng)為7.5、7.5．故答案為：7.5、7.5．7．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，，，是的平分線，則．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】三線合一【分析】本題考查三線合一，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，的平分線交邊于點(diǎn)，，．故答案為：58．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）中，．若邊上的高，則底邊．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定義、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查等腰三角形，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：；②如圖2，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：；綜上所述，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．9．（24-25九年級(jí)下·全國(guó)·期中）如圖，在中，是的平分線，M是的中點(diǎn)，交于F，交的延長(zhǎng)線于E．則【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，再根據(jù)“角角邊”證明，可得，然后根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得是等腰三角形，進(jìn)而得出，最后根據(jù)可得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∴．∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∵，平分，∴，∴，∴是等腰三角形，∴．∵∴，∴，則，即．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（24-25八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”若等腰中，，則它的特征值．【答案】7或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對(duì)等角【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意到本題中，已知的底數(shù)，要進(jìn)行判斷是底角或頂角，以免造成答案的遺漏．可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數(shù)，從而可求解．【詳解】解：①當(dāng)為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：∴特征值②當(dāng)為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：∴特征值綜上所述，特征值為或．故答案為：7或．三、解答題11．（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，廠房屋頂鋼架是等腰三角形，其中，立柱，且頂角．求和的度數(shù)．【答案】；【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三線合一、等邊對(duì)等角【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，再由等腰三角形的性質(zhì)三線合一即可得到的度數(shù)．【詳解】解：∵且，∴，∵，，∴．12．（23-24八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）已知：如圖中，，，平分，平分，過(guò)作直線平行于，交，于，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形【分析】本題考查了等腰三角形的判定及三角形周長(zhǎng)計(jì)算，利用角平分線與平行結(jié)合構(gòu)造等腰三角形是關(guān)鍵；（1）根據(jù)，平分，即可得到為等腰三角形；（2））根據(jù)，平分，可得到，再利用線段相等轉(zhuǎn)化即可確定的周長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，∴∵平分，∴，∴，∴，∴．13．（23-24八年級(jí)上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D，E分別是的邊和延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，平分，且．(1)判斷的形狀并說(shuō)明理由；(2)平分交于點(diǎn)G，若，求的度數(shù)．【答案】(1)是等腰三角形，理由見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【分析】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定．（1）由平分得到，由得到，，從而，根據(jù)“等角對(duì)等邊”即可證得，即是等腰三角形；（2）由可求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，根據(jù)即可求得．【詳解】（1）是等腰三角形；理由：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，即是等腰三角形；（2）∵，∴，∵CG平分，∴，∵，∴．14．（23-24八年級(jí)下·陜西商洛·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)若點(diǎn)在的角平分線上，求的值；(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，求出當(dāng)是等腰三角形時(shí)的值．【答案】(1)(2)或或4【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定義、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等等：（1）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，如圖所示，先利用勾股定理求出，證明，得到，，則，設(shè)，則，由勾股定理得，解方程即可得到答案；（2）分作為底和腰兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，如圖所示：

在中，，，，由勾股定理得：，點(diǎn)P在的角平分線上，，，，又，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得：，∴，∴，∴若