PAGE1第04講一元一次不等式組課程標準學習目標①一元一次不等式組的定義②解一元一次不等式組③一元一次不等式組的應用1.掌握一元一次不等式組的定義；2.掌握解一元一次不等式組，并把解集在數軸上表示；3.會運用一元一次不等式組解決簡單的實際問題。知識點01一元一次不等式組的定義（1）一元一次不等式組的定義：幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．（2）概念解析形式上和方程組類似，就是用大括號將幾個不等式合起來，就組成一個一元一次不等式組．但與方程組也有區別，在方程組中有幾元一般就有幾個方程，而一元一次不等式組中不等式的個數可以是兩個及以上的任意幾個．【即學即練1】（2024八年級上·全國·專題練習）下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個數（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【知識點】一元一次不等式組的定義【分析】本題考查一元一次不等式組的定義，根據共含有一個未知數，未知數的次數是1來判斷．根據一元一次不等式組的定義判斷即可．【詳解】解：①是一元一次不等式組；②是一元一次不等式組；③含有兩個未知數，不是一元一次不等式組；④是一元一次不等式組；⑤，未知數是2次，不是一元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有3個，故選：B．【即學即練2】（22-23七年級下·四川涼山·期末）下列是一元一次不等式組的是（）A． B．C． D．【答案】B【知識點】一元一次不等式組的定義【分析】本題考查一元一次不等式組，掌握一元一次不等式組定義，會根據定義識別一元一次不等式組是解題關鍵．利用一元一次不等式組的定義判斷即可．【詳解】解：是一元一次不等式組．故選：B．知識點02解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分．解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．【即學即練1】（24-25七年級下·全國·期中）解不等式組：并把解集表示在數軸上．【答案】，見解析【知識點】在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法．先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后畫數軸表示即可．【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得．所以原不等式組的解集為．把解集表示在數軸上如圖所示．.【即學即練2】（24-25九年級上·廣東廣州·階段練習）解不等式組：’并在數軸上表示出不等式組的解集．【答案】不等式組的解集為，數軸見解析【知識點】求不等式組的解集、在數軸上表示不等式的解集【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．首先解每個不等式，兩個不等式解集的公共部分就是不等式組的解集，將解集在數軸上表示出來即可．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，將不等式組的解集在數軸上表示如下：【即學即練3】（23-24七年級下·安徽阜陽·階段練習）以下是小新解不等式組的解答過程．解：由①得，第一步所以，第二步由②得，第三步所以，第四步故原不等式組的解集是．第五步小新的解答過程從第______步開始出現錯誤，請寫出正確的解答過程，并把解集在數軸上表示出來．【答案】四，，見解析【知識點】在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握不等式的性質，不等式解集的取值方法是解題的關鍵．根據不等式的性質分別解出①②的解集，再根據不等式組的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中間中，大大小小無解”的方法即可求解．【詳解】解：小新的解答過程從第四步開始出現錯誤，故答案為：四．正確解答如下：由①得，所以，由②得，所以，故原不等式組的解集是．解集在數軸上表示，如圖所示，知識點03一元一次不等式組的整數解（1）利用數軸確定不等式組的解（整數解）．解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式組的整數解．（2）已知解集（整數解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數外的字母當做常數看待解不等式組或方程組等，然后再根據題目中對結果的限制的條件得到有關字母的代數式，最后解代數式即可得到答案．【即學即練1】（23-24六年級下·全國·單元測試）不等式組的整數解是．【答案】0，1，2【知識點】求一元一次不等式組的整數解【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數解問題，由題意得不等式組的解集是：，據此即可求解.【詳解】解：由題意得：不等式組的解集是：，∴整數解是0，1，2故答案為：0，1，2【即學即練2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）不等式組的整數解的和是．【答案】【知識點】求一元一次不等式組的整數解【分析】本題考查解不等式組，求不等式組的整數解等知識，根據不等式組的解法，得到解集，從而確定不等式組的整數解，求和即可得到答案，熟練掌握不等式組的解法是解決問題的關鍵．【詳解】解：，由①得，由②得，不等式組的解集為，則不等式組的整數解有三個，不等式組的整數解的和是，故答案為：．【即學即練3】（24-25八年級上·湖南衡陽·開學考試）若關于x的不等式組，恰好有三個整數解，則m的取值范圍是．【答案】/【知識點】求一元一次不等式組的整數解、由不等式組解集的情況求參數【分析】本題考查不等式組的整數解問題，正確理解恰有3個整數解得意義是解題的關鍵．先解不等式組，寫出不等式組的解集，再根據恰有三個整數解，可求出m的范圍．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組有解，不等式組的解集是：．不等式組恰好有3個整數解，則整數解是，．，故答案為：．知識點04一元一次不等式組的應用對具有多種不等關系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解．一元一次不等式組的應用主要是列一元一次不等式組解應用題，其一般步驟：（1）分析題意，找出不等關系；（2）設未知數，列出不等式組；（3）解不等式組；（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；（5）作答．【即學即練1】（2025七年級下·全國·專題練習）認真閱讀下面三個人的對話．小朋友：阿姨，我買一盒餅干和一袋牛奶（遞上10元錢）．售貨員：本來你用10元錢買一盒餅干是有剩余的，但再買一袋牛奶就不夠了．不過今天是兒童節，我給你買的餅干打9折，兩樣東西請拿好，還有找你的8角錢．旁觀者：一盒餅干的標價可是整數哦！根據對話內容，試求出餅干和牛奶的標價各是多少？【答案】餅干的標價為每盒9元，牛奶的標價為每袋1.1元【知識點】一元一次不等式組的其他應用【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的應用．設一盒餅干x元，則一袋牛奶為元，根據元買一盒餅干有剩余的錢，買一盒餅干和一袋牛奶10元不夠，列出不等式組，解不等式組即可．【詳解】解：設一盒餅干x元，則一袋牛奶為元，根據題意得：，解得：，∵一盒餅干的價錢為整數元，∴，（元），答：一盒餅干9元，則一袋牛奶為1.1元．【即學即練2】（24-25八年級上·重慶·期末）新年將至，小開計劃購進部分年貨進行銷售．若購進40副春聯和30對窗花共需410元；購進60副春聯和80對窗花共需720元．(1)求每副春聯、每對窗花的進價各是多少元；(2)小開計劃購進春聯、窗花共300件進行銷售，春聯和窗花的售價分別定為15元和6元．春聯和窗花的總進價不超過1300元，且全部銷售完后總銷售額不低于2250元，若購進的春聯和窗花全部售出，則購進多少副春聯時銷售利潤最大，并求出最大利潤．【答案】(1)每副春聯的進價是8元，每對窗花的進價是3元(2)購進副春聯時銷售利潤最大，最大利潤為元【知識點】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)、最大利潤問題(一次函數的實際應用)、一元一次不等式組的其他應用【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用（最大利潤問題），二元一次方程組的應用（銷售、利潤問題），一元一次不等式組的應用等知識點，讀懂題意，利用題中的等量關系列出二元一次方程組、一次函數解析式及一元一次不等式組，并利用一次函數的性質求解其最值是解題的關鍵．（1）設每副春聯、每對窗花的進價分別是x元、y元，根據“購進40副春聯和30對窗花共需410元，購進60副春聯和80對窗花共需720元”列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設批發春聯a副，總利潤為W元，根據“總利潤（售價進價）銷售數量”即可得出W與a的函數關系式，根據總進價和總銷售額的條件列出不等式組，解不等式組即可求出a的取值范圍，然后根據一次函數的增減性即可求出最大利潤．【詳解】（1）解：設每副春聯、每對窗花的進價分別是x元、y元，由題意可得：，解得：，每副春聯的進價是8元，每對窗花的進價是3元；（2）解：設批發春聯a副，總利潤為W元，∴，由題意可得：，解得：，∵在中，W隨a的增大而增大，∴當時，W取得最大值，此時，購進副春聯時銷售利潤最大，最大利潤為元．題型01一元一次不等式組的定義例題：（23-24八年級下·河南鄭州·期中）下列各項中，是一元一次不等式組的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】一元一次不等式組的定義【分析】本題考查了一元一次不等式組的定義，根據一元一次不等式組的定義逐個判斷即可．含有相同字母的幾個不等式，如果每個不等式都是一次不等式，那么這幾個不等式組合在一起，就叫一元一次不等式組．【詳解】解：A.第二個不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

B.有兩個未知數，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

C.最高二次，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

D.是一元一次不等式組，故本選項符合題意；故選：D．【變式訓練】1．（23-24七年級下·全國·課后作業）下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個數（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【知識點】一元一次不等式組的定義【分析】根據一元一次不等式組的定義判斷即可．【詳解】解：①是一元一次不等式組；②是一元一次不等式組；③含有兩個未知數，不是一元一次不等式組；④是一元一次不等式組；⑤，未知數是2次，不是一元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有3個，故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式組的定義，根據共含有一個未知數，未知數的次數是1來判斷．2．（22-23八年級上·全國·課后作業）下列不等式組中，屬于一元一次不等式組的有()①；②；③；④；⑤．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】一元一次不等式組的定義【分析】一元一次不等式組中指含有一個相同的未知數，并且所含未知數的項的最高次數是1次，不等式的兩邊都是整式，根據以上內容判斷即可．【詳解】解：①⑤是一元一次不等式組，②③④不是一元一次不等式組，故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義，熟練掌握一元一次不等式組的定義是解題的關鍵．題型02求一元一次不等式組的解集例題：（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）解不等式組請按下列步驟完成解答．(1)解不等式①，得______．(2)解不等式②，得______．(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；(4)原不等式組的解集是______．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)【知識點】求一元一次不等式的解集、在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．（1）求出不等式的解集即可；（2）求出不等式的解集即可；（3）在數軸上表示出不等式組的解集即可；（4）根據數軸寫出不等式組的解集．【詳解】（1）解：，，故答案為：；（2）解：，，故答案為：；（3）解：不等式組的解集在數軸上表示如下：（4）解：不等式組的解集為：，故答案為：．【變式訓練】1．（24-25八年級上·四川成都·期中）解一元一次不等式組，并把解集在數軸上表示出來(1)；(2)．【答案】(1)，數軸見解析(2)，數軸見解析【知識點】求不等式組的解集【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．（1）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】（1）解：由得：，由得：，則不等式組的解集為，將解集表示在數軸上如下：（2）由得：，由得：，則不等式組的解集為，將解集表示在數軸上如下：2．（24-25九年級上·黑龍江大慶·期中）解下列不等式組．(1)(2)【答案】(1)(2)【知識點】求不等式組的解集、不等式的性質【分析】本題考查了解一元一次不等式組和不等式的性質，根據不等式的性質進行變形是解題的關鍵．（1）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可；（2）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．【詳解】（1）解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：．（2）解：，解不等式①得：；解不等式②得：，∴不等式組的解集為：．題型03求一元一次不等式組的整數解例題：（2025九年級下·全國·專題練習）不等式組的整數解有個．【答案】4【知識點】求一元一次不等式組的整數解【分析】本題考查了求一元一次不等式組的整數解，熟練掌握求一元一次不等式組的整數解的一般步驟是解題的關鍵：先求出不等式組的解集，再從解集中找出所有整數解．按照求一元一次不等式組的整數解的一般步驟進行計算即可，即：先求出不等式組的解集，再從解集中找出所有整數解．【詳解】解：，由解得：，由解得：，不等式組的解集為：，它的整數解有：，，，，共個，故答案為：．【變式訓練】1．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期中）不等式組的整數解是．【答案】，，，【知識點】求一元一次不等式組的整數解【分析】本題考查的是一元一次不等式組的解法，求解不等式組的整數解，掌握“解一元一次不等式組的方法與步驟”是解本題的關鍵．先分別解不等式組中的兩個不等式，再確定解集的公共部分，再確定整數解即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，∴不等式組的解集為：，∴不等式組的整數解為：，，，．故答案為：，，，．2．（24-25九年級上·貴州銅仁·開學考試）不等式組的正整數解是．【答案】【知識點】求一元一次不等式組的整數解【分析】本題主要考查不等式組的正整數解，熟練掌握解不等式的運算法則是解題的關鍵．根據題意求出不等式組的解集，即可得到答案．【詳解】解：，解不等式①：，解不等式②：，故不等式的解集為，故不等式組的正整數解是．故答案為：．題型04解一元一次不等式組中錯解復原問題例題：（2024九年級下·山西·專題練習）下面是小李解不等式組，的部分過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：令解不等式①，得．去分母，得．第一步移項、合并同類項，得．第二步系數化為1，得．第三步……任務一：上述解不等式①的過程第______步出現了錯誤，其原因是______；任務二：請你寫出解此不等式組的正確過程．【答案】任務一：三；不等式的兩邊同時除以時不等號的方向未改變；任務二：．【知識點】求不等式組的解集【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組的步驟成為解題的關鍵．任務一：根據解一元一次不等式的步驟以及等式的基本性質即可解答；任務二：先分別求出各不等式的解集，然后確定不等式組的解集即可【詳解】任務一：解：第三步出現了錯誤，不等式的兩邊同時除以時不等號的方向未改變；故答案為：三；不等式的兩邊同時除以時不等號的方向未改變任務二：解：由①得，，，，；由②得：即；所以原不等式組的解集為．【變式訓練】1．（2024·寧夏銀川·二模）下面是小林同學解一元一次不等式組的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．解：由①去分母，得．………………第一步去括號，得．…………第二步移項，得．…………第三步合并同類項，得．…………………第四步系數化為1，得．…………………第五步任務一：（1）以上解題過程中，第一步的依據是_____________________________；（2）第_______________步開始出現錯誤，錯誤的原因是_______________________；任務二：（1）解不等式②得___________________；（2）把一元一次不等式組的解集表示在數軸上，并寫出該不等式組的正確解集_____________．【答案】任務一：（1）不等式的性質；（2）三，移項沒變號；任務二：（1）；（2），在數軸上表示見解析【知識點】求不等式組的解集、在數軸上表示不等式的解集、不等式的性質【分析】本題考查不等式的性質，解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．任務一：（1）根據不等式的性質作答即可；（2）根據移項可判斷第三步錯誤；任務二：（1）根據解一元一次不等式的步驟求解即可；（2）根據解一元一次不等式的步驟求解①，從而得解．【詳解】解：任務一：（1）以上解題過程中，第一步的依據是不等式的性質，故答案為：不等式的性質；（2）第三步開始出現錯誤，錯誤的原因是移項沒變號，故答案為：三，移項沒變號；任務二：解不等式②：，移項，得，合并同類項，得，系數化為1，得，故答案為：；（2）由①去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，把一元一次不等式組的解集表示在數軸上，如圖：故不等式組的解集為：，故答案為：．2．（23-24八年級下·河南鄭州·期末）下面是小明作業本上解不等式組的部分過程，請認真閱讀，完成相應任務．解：由不等式①得，第1步∴第2步∴第3步∴第4步∴第5步任務一：小明的解答過程中，第______步是依據乘法分配律進行變形的；第步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是；任務二：不等式②的解集是；直接寫出這個不等式組的整數解是．任務三：請你根據平時的學習經驗，就解不等式組需要注意的事項給其他同學分享一下．（至少說兩條）【答案】任務一：2，5，不等式兩邊同時除以一個負數，不等號的方向沒有改變；任務二：，1；任務三：不唯一，如不等式兩邊同時除以一個負數，不等號的方向改變；去分母時不要漏乘；移項要變號【知識點】不等式的性質、求不等式組的解集、求一元一次不等式組的整數解【分析】本題考查了不等式的性質，解一元一次不等式組，求一元一次不等式組的整數解．熟練掌握不等式的性質，解一元一次不等式組是解題的關鍵．根據不等式的性質以及解一元一次不等式（組）的步驟，判斷、求解、作答即可．【詳解】任務一：解：小明的解答過程中，第2步是依據乘法分配律進行變形的；第5步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是不等式兩邊同時除以一個負數，不等號的方向沒有改變；故答案為：2，5，不等式兩邊同時除以一個負數，不等號的方向沒有改變；任務二：解：，，，解得，解不等式①得，，∴不等式組的解集為，∴這個不等式組的整數解是1，故答案為：，1；任務三：解：由題意知，①不等式兩邊同時除以一個負數，不等號的方向改變；②去分母時不要漏乘；移項要變號．題型05由一元一次不等式組的解集求參數例題：（23-24九年級上·浙江·期末）關于x的一元一次不等式組的解為，則m的取值范圍為．【答案】【知識點】由不等式組解集的情況求參數【分析】此題考查解一元一次不等式組，掌握運算法則是解題關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式組的解集為，，故答案為：．【變式訓練】1．（22-23八年級下·四川成都·期中）若關于x的不等式組有且僅有個整數解，則實數的取值范圍為【答案】【知識點】求一元一次不等式組的整數解、由不等式組解集的情況求參數【分析】本題考查了解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數解，先求出每個不等式的解集，由關于的不等式組有且僅有個整數解，得出關于的不等式組，再求出不等式組的解集，即可得出答案．【詳解】解：解不等式得：，解不等式得：，關于的不等式組有且僅有個整數解，整數解為，，，，．故答案為：．2．（23-24七年級下·全國·單元測試）若關于的不等式組無解，則的取值范圍是．【答案】【知識點】由不等式組解集的情況求參數、求一元一次不等式的解集【分析】本題主要考查了根據不等式組無解的求參數，熟練掌握不等式組的解法是解題關鍵．解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．分別解不等式組的兩個不等式，結合該不等式組無解，可得關于的不等式，，然后求解即可．【詳解】解：，解不等式①，可得解不等式②，可得，∵該不等式組無解，∴，解得，∴的取值范圍是．故答案為：．題型06一元一次不等式組和方程組結合的問題例題：（23-24七年級下·北京·期末）已知關于，的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是．【答案】/【知識點】不等式組和方程組結合的問題【分析】本題考查了根據二元一次方程組解的情況求參數，一元一次不等式的解法；由方程組求得是解題關鍵．利用加減消元法求得，再建立不等式求m即可；【詳解】解：由①②，得：，∴，當時，，解得：，∴，故答案為：【變式訓練】1．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）已知，且，則k的取值范圍是．【答案】/【知識點】已知二元一次方程組的解的情況求參數、不等式組和方程組結合的問題【分析】先解方程組得出，然后根據得出，解關于k的不等式組即可．【詳解】解：，得：，解得：，∵，∴，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解不等式組，解題的關鍵是根據方程組求出，得出關于k的不等式組．2．（23-24八年級上·重慶九龍坡·階段練習）若關于的一元一次不等式組的解集是，且關于的方程有正整數解，則符合條件的所有整數的和為．【答案】3【知識點】解一元一次方程（二）——去括號、由不等式組解集的情況求參數、不等式組和方程組結合的問題【分析】先求出不等式組中每個不等式的解集，再根據關于x的一元一次不等式組的解集是，可以求得k的取值范圍，再求出關于y的方程的解，然后根據關于y的方程有正整數解，即可求出k的值，從而可以解答本題．【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵關于x的一元一次不等式組的解集是，∴，由方程可得，∵關于y的方程有正整數解，∴或或，∴．故答案為：3．【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數解、解一元一次不等式組、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟練掌握一元一次不等式組的解集是解題的關鍵．題型07列一元一次不等式組例題：（24-25八年級上·浙江寧波·期中）“雙減”政策實施之后，某校為豐富學生的課外生活，現決定增購籃球和排球共30個，購買資金不超過3600元，且購買籃球的數量不少于排球數量的一半，若每個籃球150元，每個排球100元．求共有幾種購買方案？設購買籃球個，可列不等式組為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】列一元一次不等式組【分析】本題考查一元一次不等式組的實際應用，理解不超過為小于等于，不少于為大于等于是解題關鍵．設購買籃球個，則購買排球個，再結合題意列出不等式組即可．【詳解】解：設購買籃球個，則購買排球個，由購買資金不超過3600元，可列，由購買籃球的數量不少于排球數量的一半，可列，即可列不等式組為．故選C．【變式訓練】1．（23-24八年級下·全國·假期作業）某城區出租車起步價為5元（行駛距離在3千米內），超過3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米計算，小明某次花費14.6元．若設他行駛的路程為千米，則應滿足的關系式為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】列一元一次不等式組【分析】考查了列不等式，正確理解收費標準是關鍵．設他行駛的路程為千米，則付費，根據不足1千米按1千米計算，可得答案．【詳解】解：設他行駛的路程為千米，∴，故選A2．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）某校為了培養學生閱讀的習慣，準備把一些書分給學生閱讀，若每人分3本，則多10本；若每人分5本，則最后一人分到了書但不到3本書．共有多少學生？現設一共有x名學生，則可列不等式組為．【答案】【知識點】列一元一次不等式組【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組．設一共有x名學生，根據如果每人分3本，則多10本，共本書；如果每人分5本，那么最后一人分到的書是，可列出不等式組．【詳解】解：設一共有x名學生，列不等式組為：．故答案為：．題型08用一元一次不等組解決實際問題例題：（23-24七年級下·四川內江·期末）某工廠計劃生產A、B兩種產品共60件，需購買甲、乙兩種材料，生產一件A產品需甲種材料4千克，乙種材料1千克；生產一件B產品需甲、乙兩種材料各3千克，經測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金70元；購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金180元．(1)甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？(2)現工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過12100元，且生產B產品不少于48件，問符合生產條件的生產方案有哪幾種？【答案】(1)甲種材料每千克30元，乙種材料每千克40元(2)三種，方案1：A產品12個，B產品48個，方案2：A產品11個，B產品49個，方案3：A產品10個，B產品50個．【知識點】方案問題(二元一次方程組的應用)、一元一次不等式組的其他應用【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）設甲種材料每千克x元，乙種材料每千克y元，依題意，列式，再解出，即可作答．（2）設生產B產品a件，生產A產品件，依題意，列式，然后解出，再結合a的值為非負整數，即可作答．【詳解】（1）解：設甲種材料每千克x元，乙種材料每千克y元，依題意得：，解得．答：甲種材料每千克30元，乙種材料每千克40元．（2）解：設生產B產品a件，生產A產品件．根據題意，得．解得：．∵a的值為非負整數，∴，則分別等于12、11、10．∴共有三種符合生產條件的方案：方案1：A產品12個，B產品48個；方案2：A產品11個，B產品49個；方案3：A產品10個，B產品50個．【變式訓練】1．（24-25八年級上·湖南長沙·階段練習）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．某中學為了落實“雙減”政策，豐富學生的課后服務活動，開設了書法社團，計劃為學生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經過調查得知：每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元．(1)求每套甲、乙型號“文房四寶”的價格分別是多少？(2)若學校需購進甲、乙兩種型號“文房四寶”共120套，總費用不超過8500元，并且根據學生需求，要求購進乙型號“文房四寶”的數量必須低于甲型號“文房四寶”數量的3倍，問哪有幾種購買方案？【答案】(1)每套甲型號“文房四寶”的價格為100元，每套乙型號“文房四寶”的價格為60元(2)有兩種購買方案，方案一：購進甲型號“文房四寶”31套，乙型號“文房四寶”89套；方案二：購進甲型號“文房四寶”32套，則購進乙型號“文房四寶”88套【知識點】一元一次不等式組的其他應用、銷售盈虧(一元一次方程的應用)【分析】本題考查一元一次方程的應用、一元一次不等式組的應用，理解題意，正確列出方程或不等式是解答的關鍵．（1）設每套甲型號“文房四寶”的價格為a元，則每套乙型號“文房四寶”的價格為元，根據“買5套甲型號和10套乙型號共用1100元”列方程求解即可；（2）設購進甲型號“文房四寶”x套，則購進乙型號“文房四寶”套，根據題意列不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設每套甲型號“文房四寶”的價格為a元，則每套乙型號“文房四寶”的價格為元，根據題意，得，解得，，答：每套甲型號“文房四寶”的價格為100元，每套乙型號“文房四寶”的價格為60元；（2）解：設購進甲型號“文房四寶”x套，則購進乙型號“文房四寶”套，根據題意，得，解得，又x為正整數，∴x可取31或32，∴有兩種購買方案，方案一：購進甲型號“文房四寶”31套，乙型號“文房四寶”89套；方案二：購進甲型號“文房四寶”32套，則購進乙型號“文房四寶”88套．2．（24-25八年級上·廣東江門·開學考試）為進一步提升摩托車、電動自行車騎乘人員和汽車駕乘人員安全防護水平，公安部交通管理局部署在全國開展“一盔一帶”安全守護行動．某商店銷售，兩種頭盔，批發價和零售價格如表所示，請解答下列問題．名稱種頭盔種頭盔批發價（元/個）6040零售價（元/個）8050(1)該商店第一次批發，兩種頭盔共120個，用去5600元錢，求，兩種頭盔各批發了多少個；(2)該商店第二次仍然批發這兩種頭盔（批發價和零售價不變），用去7200元錢，要求批發種頭盔不高于76個，要想將第二次批發的兩種頭盔全部售完后，所獲利潤不低于2160元，則該商店第二次有幾種批發方案．【答案】(1)A種頭盔批發了40個，B種頭盔批發了80個(2)該商店第二次有3種批發方案【知識點】一元一次不等式組的其他應用、方案問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．（1）設A種頭盔批發了x個，B種頭盔批發了y個，根據“該商店第一次批發A,B兩種頭盔共120個，用去5600元錢”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設該商店第二次批發了m個A種頭盔，則批發了個B種頭盔，根據“批發A種頭盔不高于76個，第二次批發的兩種頭盔全部售完后，所獲利潤不低于2160元”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為正整數，求出m的值再判斷即可．【詳解】（1）解：設A種頭盔批發了x個，B種頭盔批發了y個，依意得：，解得：，答：A種頭盔批發了40個，B種頭盔批發了80個；（2）解：設該商店第二次批發了m個A種頭盔，則批發了個B種頭盔，根據題意得，，解得：，又∵m，均為正整數，∴m可以為72，74，76，∴該商店第二次有3種批發方案．一、單選題1．（24-25八年級上·重慶·期末）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集并在數軸上表示出來，找出符合條件的選項即可，能根據不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關鍵．【詳解】解：，解不等式①得x>1，解不等式②得，故不等式組的解集為，在數軸上表示為：故選：C．2．（24-25八年級上·浙江溫州·期末）若點在第二象限，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】D【知識點】求不等式組的解集、已知點所在的象限求參數【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征以及解不等式組，根據第二象限內點的橫坐標小于零，縱坐標大于零，可得不等式組，根據解不等式組，可得答案．【詳解】解：∵點在第二象限，∴解得：，故選：D．3．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）若干名學生住宿舍，若每間住4人，則2人無處住；若每間住6人，則空一間還有一間不空也不滿，若設有x間宿舍，則可列不等式組為（）A． B．C． D．【答案】C【知識點】列一元一次不等式組【分析】設有x間宿舍，根據“每間住4人，2人無處住”可得學生有人，再根據“每間住6人，空一間還有一間不空也不滿”列出不等式組即可．此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組，關鍵是正確理解題意，找出題目中的不等關系．【詳解】解：設有x間宿舍，則學生有人，由題意得：．故選：C．4．（24-25八年級上·重慶·期末）關于x的方程的解是非負整數，且關于y的不等式組有且僅有3個整數解，則滿足條件的所有整數a的和為（

）A．8 B．12 C．15 D．18【答案】A【知識點】由不等式組解集的情況求參數、已知一元一次方程的解，求參數【分析】本題考查了一元一次不等式組和一元一次方程，熟練掌握不等式組和方程的解法是解題關鍵．先求出不等式組的解集，從而可得的取值范圍，再解一元一次方程可得方程的解，根據方程的解是非負整數可得出滿足條件的所有整數的值，由此即可得．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵這個不等式組有解，∴，又∵這個不等式組有且僅有3個整數解，∴，解得，，，，∵這個方程的解是非負整數，∴滿足條件的所有整數的值為3和5，∴滿足條件的所有整數的和為，故選：A．5．（24-25八年級上·浙江溫州·期末）按圖中的程序進行操作，規定：程序運行從“輸入一個值”到“結果是否？”為一次操作，如圖操作四次才停止，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】程序流程圖與代數式求值、求不等式組的解集【分析】該題考查數學邏輯思維和一元一次不等式組，題中的程序是一個循環的操作程序，可將每次循環的結果先算出來，由循環停止的條件列出不等式是解題的關鍵．輸入x的值后，程序進行操作，結果為，當該值大于487時，程序結束，否則將看成x，再進行程序的操作，如此循環，直到結果大于487．【詳解】解：先列表操作次數1234輸出結果由題意得．解得：．故選：D．二、填空題6．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期末）不等式組的解集為．【答案】/【知識點】求不等式組的解集【分析】本題考查求不等式組的解集，分別求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分即為不等式組的解集．正確的求出每一個不等式的解集，是解題的關鍵．【詳解】解：，由①，得：；由②，得：，∴不等式組的解集為：；故答案為：．7．（22-23七年級下·甘肅慶陽·階段練習）下列不等式組：①②③④⑤．其中是一元一次不等式組的有個．【答案】2【知識點】一元一次不等式組的定義【分析】利用一元一次不等式組定義解答即可．【詳解】解：①是一元一次不等式組；②含有兩個未知數，不是一元一次不等式組；③是一元一次不等式組；④不是一元一次不等式組；⑤，未知數的最高次數是2次，不是一元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有2個，故答案為：2．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式組，關鍵是掌握幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．8．（24-25八年級上·全國·期末）若方程組的解滿足，則的取值范圍是．【答案】【知識點】已知二元一次方程組的解的情況求參數、求不等式組的解集【分析】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組；先解二元一次方程組，得出，根據已知建立不等式組，解不等式組，即可求解．【詳解】解：由解得，．，．解得．故答案為：．9．（24-25八年級上·浙江·期中）如果一元一次不等式組的解集為，則m的取值范圍是．【答案】【知識點】由一元一次不等式組的解集求參數【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．【詳解】根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了即可確定m的范圍．解：∵一元一次不等式組的解集為，，解得．故答案為：．10．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）若線段，，能構成三角形，且使關于的不等式組有解的所有整數和為．【答案】3【知識點】求一元一次不等式組的整數解、構成三角形的條件【分析】此題考查三角形的三邊關系和解一元一次不等式組，根據三角形三邊關系得到，再解不等式組得到，進而求出所有整數的值，再相加求解．【詳解】解：線段，，能構成三角形，．在中解不等式得，，解得，，所有整數有和，所以所在整數的和為．故答案為：3．三、解答題11．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來．【答案】，見解析【知識點】在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式組的解集等知識點，正確求出不等式組的解集是解題的關鍵．首先分別解兩個不等式，再根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則確定該不等式組的解集，然后把解集在數軸上表示出來即可．【詳解】解：，解不等式①，可得：，解不等式②，可得：，該不等式組的解集為：，將該解集在數軸上表示出來，如下圖所示：12．（2023·江蘇揚州·一模）解不等式組：并求出它的所有整數解的和．【答案】，【知識點】求不等式組的解集、求一元一次不等式組的整數解【分析】此題考查了一元一次不等式組的整數解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進而求出整數解的和即可．【詳解】解：不等式組，由①得，由②得：，不等式組的解集為，即整數解為，，，0，1，則整數解的和為．13．（23-24七年級下·新疆昌吉·期末）解不等式組：，并在數軸上表示出它的解集．【答案】，數軸見解析【知識點】求一元一次不等式的解集、在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的求解，以及用數軸表示解集，熟練掌握解不等式組的方法與步驟是關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到來確定不等式組的解集即可．【詳解】，由①得，，解不等式①得，，由②得，，

解不等式②得，，

所以不等式組的解集是．

在數軸上表示出它的解集如圖：

14．（22-23九年級下·四川攀枝花·階段練習）解不等式組：，在數軸上表示它的解集，并寫出所有整數解．【答案】，在數軸上表示不等式組的解集見解析，所有整數解為，0，1【知識點】在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集、求一元一次不等式組的整數解【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，并在數軸上表示不等式的解集，找滿足要求的整數解．先求出每個不等式的解集，然后求出不等式組的解集，然后在數軸上表示其解集，即可找到滿足要求的整數解．【詳解】解：，解不等式，得，解不等式，得，∴不等式組的解集為：，將解集在數軸上表示如解圖：則所有整數解為，0，1．15．（23-24七年級下·廣西百色·期中）【閱讀理解】下面是某同學解不等式組的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務．解：解不等式①：移項，得

第1步，合并同類項，得

第2步，兩邊都除以，得

第3步．【任務一】（1）該同學的解答過程中第______步出現了錯誤，錯誤的原因是______，不等式①的正確解集是______；【任務二】（2）解不等式②；（3）寫出該不等式組的解集，并寫出不等式組的非負整數解．【答案】（1）3，不等式兩邊都除以負數，不等號的方向沒有改變，；（2）；（3）不等式組的解集為，不等式組的非負整數解為0，1【知識點】不等式的性質、求不等式組的解集【分析】本題考查的是不等式的性質、解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．（1）根據不等式的性質，不等式兩邊都除以負數，不等號的方向改變即可得出答案；（2）根據一元一次不等式的步驟計算即可得出答案；（3）由（1）（2）即可得出不等式組的解集，再寫出非負整數解即可．【詳解】解：（1）該同學的解答過程中第3步出現了錯誤，錯誤的原因是不等式兩邊都除以負數，不等號的方向沒有改變，正確解集為：（2）解不等式②：（3）不等式組的解集為，故不等式組的非負整數解為0，1．16．（24-25八年級上·全國·期末）若關于的一元一次不等式組的解集為，求的取值范圍．【答案】【知識點】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式組的解集求參數【分析】本題考查了解一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是能根據不等式的解集找出不等式組的解集．分別求出每一個不等式的解集，根據不等式組的解集即可得出a的取值范圍．【詳解】解：．不等式可化為，∴．；不等式可化為，∴．∴，∵關于的一元一次不等式組的解集為，∴．．17．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）已知關于x、y的方程組，且滿足的值大于且小于2，求m的取值范圍．【答案】【知識點】已知二元一次方程組的解的情況求參數、求不等式組的解集【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程的解；先利用加減消元法得到，然后得到不等式組求解即可．【詳解】解：，由得，∴，∵滿足的值大于且小于2，∴解得．18．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）某中學開學初到商場購買、兩種品牌的足球，購買種品牌的足球50個，種品牌的足球個，共花費元，已知購買一個種品牌的足球比購買一個鐘品牌的足球多花元．(1)求購買一個種品牌、一個種品牌的足球各需多少元．(2)學校為了響應習總書記“足球進校園”的號召，決定再次購進、兩種品牌足球共50個，正好趕上商場對商品價格進行調整，品牌足球售價比第一次購買時提高元，品牌足球按第一次購買時售價的折出售，如果學校此次購買、兩種品牌足球的總費用不超過第一次花費的%，且保證這次購買的種品牌足球不少于21個，則這次學校有哪幾種購買方案？(3)請你求出學校在第二次購買活動中最多需要多少資金？【答案】(1)購買一個A種品牌的足球需要50元，購買一個B種品牌的足球需要80元(2)見解析(3)學校在第二次購買活動中最多需要元資金【知識點】有理數四則混合運算的實際應用、銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)、一元一次不等式組的其他應用【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，（1）設A種品牌足球的單價為元，種品牌足球的單價為元，根據