專題1.7空間向量與立體幾何

考向解讀

(1)高考對本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點考查線面關(guān)系、面面關(guān)系、線面角及

二面角的求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，空間想象能力及運算求解能力等.

主要有兩種考查形式：

①利用立體幾何的知識證明線面關(guān)系、面面關(guān)系；

②考查學(xué)生利用空間向量解決立體幾何的能力，考查空間向量的坐標運算，以及平面

的法向量等，難度屬于中等偏上，解題時應(yīng)熟練掌握空間向量的坐標表示和坐標運算，把空

間立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.

(2)運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟：

①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；

②求出相關(guān)點的坐標；

③寫出向量坐標；

④結(jié)合公式進行論證、計算：

⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

(3)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通

過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還

是鈍角.注意：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補

角.設(shè)平面a,B的法向量分別為及,◎),尸(a*,a),平面a,。的夾角為。(0464口)，

則|cos01="=|cos〈〃j〉|.

(4)用向量解決探索性問題的方法：

①確定點在線段上的位置時，通常利用向量共線來求.

②確定點在平面內(nèi)的位置時，充分利用平面向量基本定理表示出有關(guān)向量的坐標而

不是直接設(shè)出點的坐標.

③解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)

化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、

有效，應(yīng)善于運用這一方法解題.

1

最新模擬題賞析

1.已知梯形8FEC如圖1所示，其中BF//EC，EC=3,BF=2,四邊形4BCD是邊

長為1的正方形，沿AO將四邊形瓦》尸折起，使得平面EDAF_L平面ABC。，得到如

圖2所示的幾何體.

（1）求證：平面AEC_L平面切組；

（2）若點H在線段8。上，且￡”與平面龐五所成角的正弦值為逅，求線段￡）”的長

9

度.

【試題來源】黑龍江省哈爾濱市哈爾濱第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期第一次模擬（理）

【答案】（1）證明見解析；（2）Y2.

2

【分析】（1）利用折前折后的不變量先證明線面垂直，再進一步得到面面垂直.

（2）建系求平面BE產(chǎn)法向量，建立方程求解.

【解析】（1）因為平面94方_1_平面A8CD,。石u平面瓦加尸，

平面瓦兇尸口平面43CD=AO，DEA.AD,所以DEL平面A8CO，

因為ACu平面ABCO,所以QEJ_AC，

因為四邊形ABC。是正方形所以AC_L80，

因為DE、3￡>u平面BOE，DEcBD=D,所以ACJ?平面BOE，

因為ACu平面ACE所以平面AEC1平面BDE：

（2）建系如圖：

2

設(shè)平面3環(huán)的法向量百二（x,y,z）,石（0,0,2）,尸（1,0』），B（l,l,0）,

EFn=0

則1二(11』)，設(shè)”(a,a,0),EH=(a,a,-2),

BFn=0

辰仰斗康割邛，解得小或

”（H。），所以DH=^~.

2.在三棱錐A—8C。中，AB=AD=BD=2BC=DC=五，AC=2.

（1）求證：BD1AC；

（2）若P為AC上一點，且AP=°AC,求直線族與平面AC。所成角的正弦值.

4

【試題來源】浙江省紹興市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末

3

【答案】（1）證明見解析；（2）班.

7

【分析】（1）取3。中點。，連接AO，0C,證明BD_L平面AOC即可；

（2）首先證明AO_L平面BOC,然后以射線OB,0C，。。為工，》，z正半軸建系,

然后算出BP和平面ACD的法向量即可得到答案.

【解析】（1）取8力中點。，連接AO，0C，因為A8=4），BC=DC,

所以BO_LAO，BD上0C，因為40口。。=0,所以8OJ,平面40C，

即8。_14c.

（2）由（1）得，BO_L平面A0C，因為BDu平面8c。，

所以平面AOC_L平面BDC，

易得人。=石，OC=1,所以AO2+OC2=AC2,即AO_LOC，

因為平面40CI平面MC=0C，所以AO_L平面8DC,

—3V3

BP=-1,-,—，DA=(1,0,73),DC=(1,1,0),

設(shè)萬=（x,y,z）為平面ADC?個法向量,

ri?DA=0X+y/3z=Q

則包取”(—3,3,Q),

n-DC=0x+y=0

4

3

3+-

nBP十二4G

設(shè)。為直線BP與平面ACZ）所成角，貝|」卜后夕|=

史r

后

2

即直線BP與平面ACD所成角的正弦值為遞.

7

3.在邊長為2的菱形ABCD中，NBV）=60。，點E是邊43的中點（如圖1）,將DADE

沿DE折起到的位置，連接48,4。，得到四棱錐A—8CDE（如圖2）

（1）證明：平面平面BCOE；

（2）若AE_LBE,連接CE,求直線CE與平面AC。所成角的正弦值.

【試題來源】廣東省廣州市2021屆高三一模

【答案】（1）證明見解析，（2）叵.

14

【分析】（1）連接圖1中的80,證明然后證明OEJL平面48E即可；

（2）證明REJ.平面BCOE，然后以E為原點建立如圖空間直角坐標系，然后利用向量

求解即可.

【解析】（1）連接圖1中的30,

因為四邊形ABC。為菱形，且/血＞=60。

所以△A5O為等邊三角形，所以。石_LAB

5

所以在圖2中有因為BEcAE=E

所以O(shè)E_L平面4BE,因為DEuBCDE，所以平面人由石，平面BCDE

（2）因為平面A3E_L平面BCDE,平面人乃七。平面8cM：=BE,AIE1BEt

AEuABE,所以AEJ■平面3c￡>E,

以E為原點建立如圖空間直角坐標系，

所以A（O,O1）,C（2,>/5,O）,D（O,省,O）,E（O,O,O）,

所以麗=（0,6,-1）,而=（2,石，-1）,沅=（2,百,0）,

n-A^D=>/3y-z=0

設(shè)平面A。。的法向量為7=（%y,z），則,

n-AyC=2x+\/3y-z=0

令y=l,則7（0/詞，所以c<4,即福=^=筌

所以直線CE與平面4。。所成角的正弦值答

4.已知三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=T,三棱錐Q—ABC中IQAB,UQBCt

VQC4為全等的等邊三角形，Q4二JE.

（1）證明：尸。，平面A5C；

（2）求直線QB與平面APQ所成角的正弦值.

6

【試題來源】“超級全能生”2021屆高三全國卷地區(qū)1月聯(lián)考試題（丙卷）（理）

【答案】（1〉證明見解析；（2）y.

【分析】（I）設(shè)AB的中點為O,連接CO,在CD上取點M，使得CM=2MD,連接

PM，QM.可得尸M_L平面ABC,?平面A3C，即可得出結(jié)果.

（2）由（I）可知尸CJ_平面上鉆，PALPB，以點尸為坐標原點，PA,PB,PC所

在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，即可得出結(jié)果.

【解析】（1）設(shè)AB的中點為Q,連接8,在。。上取點M，使得CM=2MD,連接

PM，QM.

因為叢=P3=PC=1,AB=BC=CA=y/2^

所以△PA8，口尸BC，VPC4是全等的等腰直角三角形，

PC1PA,PCA.PB,PACPB=P,所以PC_L平面R43.

又ABi平面B4B,所以PC_LA5.

因為口45。為等邊三角形，所以COJ.A3.

又PCnCD=C,所以ABJ_平面PC。，

又尸Mu平面PCO，所以

同理，PM上BC，ABcBC=B，所以PM_L平面A8C.

因為Q￡）_LA8,QDcCD=D,所以A5_L平面。8,且QMu平面QCO,

所以QM_LAB.同理，QM上BC,ABcBC=B，所以QM，平面ABC，

所以尸，。，M三點共線，所以尸。，平面ABC.

7

(2)由(1)可知PCJL平面BA4，PAA.PB，以點尸為坐標原點，PA,PB,PC所

在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間宜角坐標系，

則A(1,O,O),B(OJO),尸(0,0,0),

所以BQ=(l,0,l),PA=(1,0,0),P0=(U,1).

設(shè)平面APQ的法向量為。=(x,j,z),

x=0,

n-PA=0Qx=0,+Z=0解得J

則《一y即

nPQ=0,y=-z,

令z=i，則y=-i,所以為=(o,—1,1).

rUUU

2〃BQ11

設(shè)門線QB與平面APQ所成角為e,則

5.如圖，在四棱錐P—A8CO中，四邊形ABC。為直角梯形，AD//BC，ZADC=9O°,

平面PADS,平面ABCD,QM分別為A。，PC的中點

PA=PD=AD=CD=2BC=2.

8

（1）求證：8。_1_平面尸。8；

（2）求二面角—P的余弦值.

【試題來源】河南省中原名校2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量考評一（理）

【答案】（1）證明見解析；（2）1L垣.

217

【分析】（1）先證四邊形5cOQ為矩形.再證BC_LPQ,由線面垂直的判定定理即可證

明直線BC_L平面PQB：（2）建立空間坐標系，分別求出平面ABM和平面PBM的法向最，

結(jié)合向量夾角公式求解即可.

【解析】（1）因為。為AD的中點，BC=-AD,所以3C=Q￡>,

2

因為AO//8C，所以四邊形為平行四邊形.

因為NAOC=90°，所以四邊形8c。。為矩形，所以8C_L8Q.

因為R4=PD,AQ=QD,所以PQ_LA。，

因為AD〃BC，所以BC_LPQ.

因為尸。03。=。，所以平面PQB.

（2）因為平面皿>_L平面A3c。，結(jié)合（1）易知QA，QB,QP兩兩垂直，

以。為原點，QA,QB,QP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖.

因為。為4。的中點，PA=PD=AD=CD=2BC=2,

因為在RtZXPQA中，PQ==也7=百，BQ=CD=2,

9

所以A（l,0,0）,3（0,2,0）,C（-l,2,0）,P（0,0,G）,

因為M為PC的中點，所以“（一!，1,4.

22

ULUUUU'

所以43=（-1,2,0）,BM,PB=（0,2,-x/3）

m?AB=一%+2y=0

r

設(shè)平面ABM的法向量為相=(X，M，zJ,由＜m?BM=X-y+2=0

4r（專）為平面ABM的一個法向量，

令y=1,得％=2,Z]=—j=,即機=2,1,

V3I

n-PB=2y2-=0

設(shè)平面PBM的法向量為。=(9,%*2)，由，

n?BM=--^x2—y2--z2=0

令馬=5得%="1rf3

,x2=0,即〃=10,—,為平面PBM的一個法向量,

設(shè)二面角A—8W—尸為。，由題意，可得，

\m-n\11VH7

所以cos0=

陶?向217

即二面角A—BW—尸的余弦值為

217

【名師點睛】本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問題：

(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用

方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算.

(2)設(shè)沅,弁分別為平面a,萬的法向量，則二面角。與＜沅,討＞互補或相等，求解時一定

要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

6.如圖長方體45CO—AqGA中，AB=AD=\,AA=2,點E為。。的中點.

10

（1）求證：平面4CE；

（2）求證：上用，平面ACE；

（3）求二面角A—CE—G的余弦值.

【試題來源】北京市2021屆高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力測試試題

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）-立

3

【分析】（1）作輔助線，由中位線定理證明。￡7/8。，再由線面平行的判定定理證明即可；

（2）連接80,AB.,由勾股定理證明￡81_L0E,EB.1AE,再結(jié)合線面垂直的判定定

理證明即可；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求面面角的余弦值即可.

【解析】（1）連接5。交AC與點。，連接OE，

???四邊形ABC。為正方形，...點。為BO的中點，

又點E為。。的中點，??.OE〃8R,

?.?OEu平面ACE,千面ACE,〃平面ACE

（2）連接與。,AB.,

11

則B02=OE2+EB；,

0E=}EB}±OE,

2

同理可證用爐+AE?=A8；,/.EBX±AE,

AEcOE=E,AE,OEu平面ACE,EB[±平面ACE：

(3)建立如下圖所示的空間直角坐標系，

A(l,O,O),C(OJO),E(O,O,l)，G(0J2),馬(1J2)

顯然平面CGE的法向量即為平面yOz的法向量，不妨設(shè)為麗=(1,0,0),

由(2)可知七旦平面4CE,即平面ACE的法向量為乃=甌=(1』,1),

/__\mn&

COS〈〃M=ET]=W又二面角A—C￡—G是鈍角,

件1利3

???二面角A-CE-Q的余弦值為一B

3

【名師點睛】在第?問中，關(guān)鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行;

12

在第二問中，關(guān)鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關(guān)鍵是

建立坐標系，利用向量法求面面角的余弦值.

7.如圖1,在矩形A3CQ中，3c=2AB=2,E是中點,將ACQE沿直線CE翻折

到△CPE的位置，使得=如圖2.

-E￡）

\0N

L-------------------------jJBC

BC

圖1圖2

（1）求證：面尸CE1面4BCE；

（2）求PC與面ABP所成角的正弦值.

【試題來源】浙江省金華市武義第三中學(xué)2021屆高三下學(xué)期2月月考

【答案】（1）證明見解析；（2）如空.

11

【分析】（1）連結(jié)鹿，可得BELEC,結(jié)合兩圖，可得砥_LEC,BE工PE，又

ECcPE=E,根據(jù)線面垂直的判定定理證得BE_L面尸再利月面面垂直的判定定理

證得結(jié)果：（2）以點A為原點，分別以4民AE直線為x軸，》軸，以經(jīng)過點A且垂直于平

面ABCE的直線為z軸建立H角坐標系，利用自線的方向向量，J平面的法向量所成角的余

弦值的絕對值得到結(jié)果.

【解析】（1）連結(jié)8石,

由圖1可得3E_LEC,在圖2中;BE=6,PE=\,PB=6,:.BEA.PE,

13

又?；ECCPE=E；.BE上面PEC,「.BEu面4BCE：.面PCEL直/BCE；

<2）以點A為原點，分別以AB,AK直線為x軸，y軸，以經(jīng)過點A且垂直于平面A5CE

的直線為z軸建立直角坐標系.

由題意可知，B（l,0,0）,C（l,2,0）,E（0,l,0）,PL

AP=—，^，-^,AB=（1,0,0）,設(shè)面A8P的法向量為。=（x,y,z）,

則?/嘉一:，令丁=夜,得z=-3,所以萬=（O,后,-3）,PC=一去

sin<9=|cos（PC,/i）

?\7匕\PC\@x\n\11

所以直線PC與面A放所成角的正弦值為2叵.

11

【名師點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，解題方法如下：

（1）結(jié)合平面幾何的知識得到線線垂直，利用線面垂直的判定定理證得線面垂直；

（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担蟮闷矫娴姆ㄏ蛄亢椭本€的方向向量，求得其所成角的余弦值，

進而得到線面角的正弦值.

8.如圖，圓。的半徑為4,A3、CO是圓。的兩條互相垂直的直徑，P為OA的中點,

EF//CD.將此圖形沿著E尸折起，在翻折過程中，點A對應(yīng)的點為A.

（1）證明：A}B1CD-

（2）當(dāng)/人尸5=與時，求二面角A-8C-尸的正弦值.

14

c

【試題來源】遼寧省名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三3月份聯(lián)合考試

【答案】（1）證明見解析；（2）叵0.

55

【分析】（1）證明出COJ?平面進而可得出AB_LCD：

（2）過。作直線/_L平面8CO,在/上取點。（異于點0）,以點。為坐標原點，。。、

OB、。。所在直線分別為X、y、Z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法結(jié)合同角二

角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角A-8C-P的正弦值.

【解析】（1）折疊前，因為A3_LCD,8〃痔，則A8_L防，

折疊后，對應(yīng)地，有尸，PB工EF，

因為EF//CD,所以CDLPA，CD.LPB,

-PA.C\PB=Pt所以，CCFffiiAPB,

因為A8u平面所以A5J_CD；

（2）過。作直線/J_平面5CD,在/上取點。（異于點O）,

設(shè)二面角A-BC-P為。，以點。為坐標原點，OD、OB、。。所在直線分別為彳、》、

z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

15

則8(0,40)、C(-4,0,0),且當(dāng)以尸8=會時，40,-3,網(wǎng)，

所以而=(?0),甌=(0,-7,⑹,

_fn-BC=-4x-4y=0

設(shè)平面ABC的法向量為相二(x,y,z),則〈一廣，

mB\=-7y+V3z=0

令x=JJ，則>=一6，z=-7,所以“=(6,-6,-7),

\m-n\7\J/55

因為平面88的一個法向量為G=(0,0,1),則|cos回=上吊=一土一，

網(wǎng)?〃55

因此，sin8=71-cos20=

55

【名師點睛】利用空間向量法求解二面角的步驟如下：

(1)建立合適的空間百角坐標系,寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中對應(yīng)的點的坐標：

(2)設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量(注：

若半平面為坐標平面，直接取法向量即可)；

(3)計算(2)中兩個法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是

銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.

9.如圖，四棱錐P-ABCI)的底面A8CO內(nèi)接于半徑為2的圓。，A8為圓。的直徑，

AB//CD,2DC=AB,E為A5上一點，且PE_L平面ABCZ),EO二百.

(1)求證：PAIDE^

⑵若直線心與平面工抽。所成的角町，求二面角的余弦值.

【試題來源】2021年新高考測評卷數(shù)學(xué)(第一模擬)

【答案】(1)證明見解析；(2)竺叵.

35

16

【分析】（1）連接C0,利用已知條件得到四邊形ADC。是平行四邊形，連接。。，得到

△48為等邊三角形，利用條件得到再利用彼面垂直關(guān)系得到PE_LDE，

利用線面垂直的判定定理得到OE_L平面PAE，進而可得結(jié)論.

（2）由（1）可知EO，EB，EP兩兩垂直，進而建立空間直角坐標系七一巧得到相關(guān)

向量的坐標，求出平面P燈）與平面P8C的法向量〃1,%，利用cos（/,〃2）得到二面角

C—PB—。的余弦值.

【解析】（1）連接CO,因為A5〃CO，2DC=AB,

AO//CD,且40=8,所以四邊形AOCO是平行四邊形.

連接。。，因為圓。的半徑為2,所以AO=OC="=AO=EQ=2,

所以△AOD為等邊三角形，所以在△AOD5,AO邊.上的高為ADsinW=2sing=V5.

因為ED=￡，所以O(shè)E為A0邊上高，所以。E1AO.

因為尸E_L平面48c。，D￡u平面A8CO,所以PE工DE，

乂DE上AE,AE，PEu平面ME，且AEcPE=E,

所以叱《￡平面P4E.因為%u平面PAE，所以R4J_DE.

（2）由尸E_L平面A3C￡）可知，N尸斑;為直線PB與平面A3CD所成的角，

所以NPBE=上,因為PE=EB=3.又由（1）知，ED，EB，EP兩兩垂直，

4

如圖，可以以E為坐標原點，以ED，EB,砂所在直線分別為X,丁，z軸建立空間直

角坐標系七一年.

17

則8(0,3,0),c(x/3,2,o),O卜§0,0),P(0,0,3),

所以BO二(石,一3,0),PS=(O,3,-3),8C=(g,-1,0).

BDn=0,

設(shè)平面P8D的法向量為1=(5，則?y

PB?%=0,

V3x,-3yi=0,得I”令y=i,則二⑼,1).

3M—3Z]=0,y=4，

BD^=0,

設(shè)平面P8C的法向量為%=(電，刈/2)，則，

麗?元=0,

““為,令-=1,則必=6,馬=5所以丐=(1,乙⑹.

得《

3y2—3Z2=0,

363x/105

所以尸同同二及后二

8sgz35

易知二面角C-PB—D為銳二面角,

所以二面角C—PB—。的余弦值為竺史.

35

【名師點睛】解決二面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為

(1)建坐標系，建立坐標系的原則是盡可能的使得已知點在坐標軸上或在坐標平面內(nèi)；

(2)根據(jù)題意寫出點的坐標以及向量的坐標，注意坐標不能出錯.

(3)利用數(shù)量積驗證垂直或求平面的法向量.

(4)利用法向量求距離、線面角或二面角.

10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC1平面

ABCD,/PBC=90°,ADHBC.ZABC=90°,2AB=2AD=41CD=BC=2

(1)求證：8_1_平面尸瓦)：

18

（2）若直線尸。與底面A8C￡＞所成的角的余弦值為上，求二面角A-PC-的正切值.

3

【試題來源】貴州省新高考聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期入學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（理）

【答案】（1）證明見解析；（2）72.

【分析】（1）由于2A3=24￡）=&8=8。=2根據(jù)勾股定理可得。￡）_103,再由面

面垂直性質(zhì)定理可得P8_LCO即可證CQ_L平面尸比＞：（2）以8為原點，BC,BP,BA分

別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值，轉(zhuǎn)化為正弦即可.

【解析】（1）在四邊形A3CD中，AD//8C,ZABC=90°,2AB=2AD=辰D=BC，

所以口ABODBCD都為等腰直角三角形，即CZ）_LO5,

因為平面PBC1平面ABCD,NPBC=90°,平面PBCfl平面ABCD=BC,

所以直線PBJ_平面48CO、又CDu平面ABCO,所以PBLCD,

又PBcBD=B，所以8J_平面2以）.

（2）以8為原點，8c,8P,8A分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，

設(shè)=2,則，AB=1,CD=8。=&,

因為直線尸。與底面A5CD所成的角的余弦值為也，

3

所以在RtZXPBD中，cos/尸拉B=—=—t^PD=yf61PB=2.

PD3

設(shè)平面尸8c和平面PQC法向量分為為西％易知可取加=（0,0,1）,

19

因為無=(2,-2,0),反=(1,0,-1),所以｛—「解得乃=(1,1,1),

DC-/?=()

ffi?H]

設(shè)所求二面角為仇所以cos<9=?一廣〒，BPtan6>=V2.

\fn\-\n\J3

【名師點睛】涉及異面直線所成的角，線面角，二面角的問題，一般可以建立適當(dāng)直角坐標

系，利用向量的夾角坐標公式求解，屬于中檔題.

11.如圖，平面力8co_L平面48E,AD//BC,BC上AB,AB=BC=2AE=2tF為CE上一點,

^.BFL^ACE.

(1)證明：4E_L平面8CE；

(2)若平面與平面CQE所成銳二面角為60。，求40.

【試題來源】廣東省湛江市2021屆高三一模

【答案】(1)見解析；(2)叵

3

【分析】(1)由平面48co_L平面N5E證明8C_L面力8七，得至UBC1AE,由平面ACE,

得到B/LL/E,從而證明4E_L平面8CE.(2)過4作垂直4。，以否為x軸正方向，

以通為N軸正方向，以而為z軸正方向，建立直角坐標系，用向量法計算可得?

【解析】3)因為平面力8COJ_平面48為平面力8C0和平面力8七的交線，BCA.AB,

所以BC_L面48區(qū)所以8C_U￡又B/LL平面力CE,所以8RL4E;

又BCCBF=B，所以/E_L平面8CE.

(2)如圖示，過力作祗垂直48,以否為x軸正方向，以通為y軸正方向，以而為z

軸正方向，建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0),B(0,2,0),￡亭;,o1,C(0,2,2),0(0,0,m),

20

所以屋=j一等,|,2,CD=(O,-2,^-2),

[府8=0[0xx-2y+(/n-2)z=0

不妨取z=2,則加=［，3EI-7,利2,2,

顯然平?面的一個法向量n-BC=（0,0,2）,

______________4______________

=cos60°

J石加+^^+(/n-2)2+4x2

解得片巫.故力。長為姮.

33

【名師點睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：

（1）第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理：

（2）第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通常可以建立空間直角坐

標系，利用向量法計算.

12.如圖所示多面體A8CQE尸中，平面ADE_L平面ABC。，CVJ_平面A8CO,QADE

是正三角形，四邊形ABCD是菱形，AB=2,CF=5ZBAD=^.

21

（1）求證：EF〃平面ABCD；

（2）求二面角七—A產(chǎn)一。的正弦值.

【試題來源】山東省濟寧市2021屆高三一模

【答案】（1）證明見解析；（2）叵

8

【分析】（1）要證明線面平行，需線證明信線線平行，過點E作EO_LAD交AO于點。，

連接OC，可證明四邊形EOCV是平行四邊形，即可證明線面平行；（2）以。為坐標原點，

建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值,

再求正弦值.

【解析】（1）過點E作七O_LAO交于點。，連接。8,OC，BD

因為平面ADEL平面488,平面ADED平面ABCD=AD,

EOu平面AOE，所以EOJ■平面A5C￡），

又口4）后是正三角形，AZ>=2,所以七。=追，

因為C/_L平面ABC。，CF=6所以CF〃OE,CF=OE,

所以四邊形OCFE為平行四邊形，所以O(shè)C//EF,

因為OCu平面A5CD，即0平面438,所以所〃平面A8CD；

JT

（2）因為四邊形A3CO是菱形，AB=2,/BAD=-,OBVAD

3

故，以。為坐標原點，分別以方，OB，3后的方向為次軸，y軸，z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系.

22

所以A(1,O,O),B(0,73,0),C(-2,V3,0),￡>(-1,0,0),E(0,0,V3),網(wǎng)—2,6,6).

所以理二(一1,0,6),EF=(-2,x/3,0),05=(1,73,0),

設(shè)平面AEF的一個法向量為n=(x,y,z),

n-AE=0\-x+>/3z=0廠[y=2r(r\

由《一得〈L,令X=6,得〈I，所以〃=(6,2』)，

[萬.所=0田+傷=0[Z=117

因為b1平面ABC。所以CFLBD^

在菱形ABC。中，BO_LAC，又C〃nAC=C所以80J_平面ACF，

所以而是平面ACF的一個法向量,

設(shè)二面角七一AF—C的大小為夕

則8砰I叫/r"U扃LMX|麗|D?二.S|金|百+膏2百I=丁后，

所以sin6=71-cos20-.

8

【名師點睛】求二面角的方法通常有兩個思路：

一是利用空間向量，建立坐標系，求得對應(yīng)平面的法向量之間夾角的余弦值，再判斷銳二面

角或鈍二面角，確定結(jié)果，這種方法優(yōu)點是思路清晰、方法明確，但是計算量較大；

二是傳統(tǒng)方法，利用垂直關(guān)系和二面角的定義，找到二面角對應(yīng)的平面角，再求出二面角平

面角的大小，這種解法的關(guān)鍵是找到平面角.

13.如圖，在四棱錐S-MS中，SA=SB=SC=SD=\3,AC1CD,AB=6,BO=8.

(1)求證：平面SAO_L平面488；

23

（2）求二面角A-SB-。的余弦值.

【試題來源】廣東省深圳市2021屆高三一模

【答案】（1）證明見解析；（2）-」畫

170

【分析】（1）取AO的中點0,連接SO,0C，可得SO_LAD，利用直角三角形的性質(zhì)

可得OC=OD，即可證明「SOCHS。。，進而可得SO_LOC，利用線面垂直的判定定

理可證SOJ■平面A8CO，利用面面垂直的判定定理即可求證；（2）先證明

RtQSOA=Rt]SOB,OA=OB=OC=OD,可得AO為四邊形A8C￡＞外接圓的直徑，

進而可得SO和AO的長，以8為原點，80,8A所在的直線為軸，過點8與5。平行

的直線為z軸建立空間直角坐標系，求出平面ABS的一個法向量和平面S3。的一個法向量,

利用空間向量夾角的坐標運算即可求解.

【解析】取AO的中點。，連接SO,OC，因為SA=SO,所以S0J_4），

因為4C_LC。，。為AO的中點，所以O(shè)C=，40=00,

2

因為SO=SO,SC=SD,所以口SOC立SOD,

所以NSOC=NSOD=90°，所以SO_LOC，

因為OCu平面ABC。，OOu平面ABC。，

所以SOJL平面A3CO,因為S。u平面必D，所以平面SAO_L平面ABC。：

（2）由（1）知SO_L平面ABC。，所以SO_L3O,在RtUSOA和RQSOB中,由

SO=SO,SA=S3可得RlUSOA^RtJSOB，所以O(shè)A=,即04=。3=OC=QD，

所以A況。,。在以。為圓心的圓上，

由AC_LCD可得AO為四邊形ABCD外接圓的直徑，

24

AZ)=V6F+8F=10*AO=5,5O=V132-52=12*

以8為原點，3。,84所在的直線為乂y軸，過點B與S。平行的直線為z軸建立空間直角

坐標系，則A(0,6,0),5(0,0,0),D(8,0?0),0(4,3,0),5(4,3,12),麗=(0,6,0),

麗二（8,0,0）,麗=（4,3.12）,設(shè)平面"S的一個法向量而=（芭」,4）,

in-BA=6y=0

1令玉=3,可得％=-1,X=0,所以加=(3,0,—1),

in-BS=4再+3y}+12z,=0

設(shè)平面SBD的一個法向量為n=lX，y2,z2）,

n-BS=+3y,+12z,=0,八一一小，\

則〈一~八~~令必=4,則馬=—1,占=0,所以〃=（0,4,—1）,

［無80=8/=。V7

/---\mn1J170

所以"〃"麗

因為二面角A—S8—。的平面角為鈍角，

所以二面角A—S3—。的余弦值為一'畫.

170

（4）向量方法：證明兩個平面的法向量垂直，即法向量數(shù)量積等于0.

14.如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面ABC。為梯形，PA=PD=2&，

DC=AD=2AB=4,ABA.AD,ABI/CD,平面24￡>_L平面A3CO,E為棱PB工

一點.

（1）在平面BAB內(nèi)能否作一條直線與平面PAD垂直？若能，請畫出直線并加以證明：若

不能，請說明理由；

25

PE