立體幾何大題1．如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長為3，側棱長為4，連結A1B，過A作AF⊥A1B垂足為F，且AF的延長線交B1B于E。（Ⅰ）求證：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱錐B—AEC的體積；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.證（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴D1D⊥ABCD.連AC，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂線定理知D1B⊥AC.同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，∴D1B⊥平面AEC.解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.∵EB⊥平面ABC，∴EB的長為E點到平面ABC的距離.∵Rt△ABE~Rt△A1AB，∴EB=∴VB－AEC=VE－ABC=S△ABC·EB=××3×3×=（10分）解（Ⅲ）連CF，∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，由三垂線定理知，CF⊥AE.于是，∠BFC為二面角B—AE—C的平面角，在Rt△ABE中，BF=，在Rt△CBF中，tan∠BFC=，∴∠BFC=arctan.ABCA1B1CABCA1B1C1M2．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為1，點M在BC上，△AMC1是以M為直角頂點的等腰直角三角形. （I）求證：點M為BC的中點； （Ⅱ）求點B到平面AMC1的距離； （Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.答案：（I）證明：∵△AMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形， ∴AM⊥MC1且AM=MC1 ∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中， 有CC1⊥底面ABC. ∴C1M在底面內的射影為CM， 由三垂線逆定理，得AM⊥CM. ∵底面ABC是邊長為1的正三角形， ∴點M為BC中點.（II）解法（一）過點B作BH⊥C1M交其延長線于H.由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1.∴AM⊥BH.∴BH⊥平面AMC1.∴BH為點B到平面AMC1的距離.∵△BHM∽△C1CM.AM=C1M=在Rt△CC1M中，可求出CC1解法（二）設點B到平面AMC1的距離為h.則由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1∵AB=1，BM=（III）過點B作BI⊥AC1于I，連結HI.∵BH⊥平面C1AM，HI為BI在平面C1AM內的射影.∴HI⊥AC1，∠BIH為二面角M—AC1—B的平面角.在Rt△BHM中，∵△AMC1為等腰直角三角形，∠AC1M=45°.∴△C1IH也是等腰直角三角形.由C1M=∴3．如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中點．（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積；（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．證：（Ⅰ）取CE中點M，連結FM，BM，則有．∴四邊形AFMB是平行四邊形．∴AF//BM，∵平面BCE，平面BCE，∴AF//平面BCE．（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，則DE⊥AF．又△ACD是等邊三角形，則AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．又BM//AF，則BM⊥平面CDE．．（Ⅲ）設G為AD中點，連結CG，則CG⊥AD．由DE⊥平面ACD，平面ACD，則DE⊥CG，又AD∩DE=D，∴CG⊥平面ADEB．作GH⊥BE于H，連結CH，則CH⊥BE．∴∠CHG為二面角C-BE-D的平面角．由已知AB=1，DE=AD=2，則，∴．不難算出．∴，∴．∴．4．已知：ABCD是矩形，設PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分別是AB、PC的中點.（Ⅰ）求證：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求三棱錐D—AMN的體積.（Ⅰ）連結AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影.則有BC⊥PB.又BN是Rt△PBC斜邊PC的中線，即.由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，則AN是Rt△PAC斜邊PC的中線，即又∵M是AB的中點，（也可由三垂線定理證明）（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.則∠PDA為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角由PA=a，設AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中點，則有DN⊥PC又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND∴PC⊥MN，而N是PC中點，則必有PM=MC.此時.即二面角P—CD—A的大小為（Ⅲ），∥＝連結BD交AC于O，連結NO，則NOPA.且NO⊥平面AMD，由PA=a∥＝.5．如圖，四棱錐P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.（Ⅰ）求證：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；（Ⅲ）求直線CD與平面AMN所成角的大小.（I）證明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.∴AM⊥平面PCD.∴AM⊥PD（II）解：∵AM⊥平面PCD（已證）.∴AM⊥PM，AM⊥NM.∴∠PMN為二面角P-AM-N的平面角∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.∵PA=AD，AM⊥PD，∴M為PD的中點，PM=PD=由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴.即二面角P—AM—N的大小為.（III）解：延長NM，CD交于點E.∵PC⊥平面AMN，∴NE為CE在平面AMN內的射影∴∠CEN為CD（即（CE）與平在AMN所成的角∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.在Rt△PMN中，∴CD與平面AMN所成的角的大小為6．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°.BC=CC1=a，AC=2a.（I）求證：AB1⊥BC1；（II）求二面角B—AB1—C的大小；（III）求點A1到平面AB1C的距離.（1）證明：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1.∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1.∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.∵BC=CC1，∴四邊形B1BCC1是正方形，∴BC1⊥B1C.根據三垂線定理得，AB1⊥BC1（2）解：設BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于點P，連結BP.∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，∴BO⊥平面AB1C.∴OP是BP在平面AB1C上的射影.根據三垂線定理得，AB1⊥BP.∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角∵△OPB1~△ACB1，∴∴在Rt△POB中，，∴二面角B—AB1—C的大小為（3）解：[解法1]∵A1C1//AC，A1C1平面AB1C，∴A1C1//平面AB1C.∴點A1到平面AB1C的距離與點C1到平面AB1C.的距離相等.∵BC1⊥平面AB1C，∴線段C1O的長度為點A1到平面AB1C的距離.∴點A1到平面AB1C的距離為[解法2]連結A1C，有，設點A1到平面AB1C的距離為h.∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴，又，∴∴點A1到平面AB1C的距離為7．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，連接BC1，過B1作B1E⊥BC1交CC1于點E(Ⅰ)求證：AC1⊥平面B1D1E；(Ⅱ)求三棱錐C1－B1D1E1的體積；(Ⅲ)求二面角E－B1D1－C1的平面角大小(1)證明：連接A1C1交B1D1于點O∵ABCD－A1B1C1D1是長方體∴AA1⊥平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影∵AB=BC，∴A1C1⊥B1D1，根據三垂線定理得：AC1⊥B1D1；∵AB⊥平面BCC1B1，且BC1⊥B1E，∴AC1⊥B1E∵B1D1∩B1E=B1，∴AC1⊥平面B1D1E1(2)解：在RT△BB1C1中，在RT△EC1B1中，C1E=B1C1·tg∠C1B1E=B1C1·ctg∠BC1B1=2，∴VC1－B1D1E=VD1－B1C1E=(3)解：連接OE，∵△B1C1E1≌△D1C1E1，∴B1E=D1E∵O是B1D1中點，∴B1D1⊥OE，∴∠C1OE是二面角E―B1D1―C1的平面角在RT△OC1E中，∵所以，二面角E―B1D1―C1的平面角為，8．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E為DC的中點，沿AE將△AED折起，使二面角D－AE－B為60

．（Ⅰ）求DE與平面AC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的大小．AADBCEABCED第10題圖答案：如圖1，過點D作DM⊥AE于M，延長DM與BC交于N，在翻折過程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不變，翻折后，如圖2，∠DMN為二面角D－AE－B的平面角，∠DMN＝60

，AE⊥平面DMN，又因為AE平面AC，則AC⊥平面DMN．（Ⅰ）在平面DMN內，作DO⊥MN于O，∵平面AC⊥平面DMN，∴DO⊥平面AC．連結OE，DO⊥OE，∠DEO為DE與平面AC所成的角．如圖1，在直角三角形ADE中，AD＝3，DE＝2，如圖2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，，則∴DE與平面AC所成的角為（Ⅱ）如圖2，在平面AC內，作OF⊥EC于F，連結DF，∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO為二面角D－EC－B的平面角．如圖1，作OF⊥DC于F，則Rt△EMD∽Rt△OFD，∴如圖2，在Rt△DOM中，OM＝DMcos∠DMO＝DM·cos60

＝．如圖1，在Rt△DFO中，∴二面角D－EC－B的大小為．9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E是BB1的中點，D∈AB，∠A1DE＝90°.（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角D－A1C－A的大小.（Ⅱ）解：10．如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點，E是A1C1的中點，F是B1B中點，異面直線CF與DE所成的角為90°.（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中點分別為H、N，連結HC1，連結FN，交HC1于點K，則點K為HC1的中點，因FN//HC，則△HMC∽△FMK，因H為BC中點BC=AB=2，則KN=，∴則HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1，解得HC1=，C1C=2.（2）連CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，連CG，由三垂線定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=，從而DG=∴tan∠CGD=，故二面角C—AF—B大小為arctan.11.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，，M、N分別是AD、PB的中點。（Ⅰ）求證：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求點A到平面MNC的距離。解：（I）連PM、MB∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥MD…1分∴PM=BM又PN=NB∴MN⊥PB………3分得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC……5分平面PBC∴平面MNC⊥平面PBC……6分（II）取BC中點E，連AE，則AE//MC∴AE//平面MNC，A點與E點到平面MNC的距離相等…7分取NC中點F，連EF，則EF平行且等于BN∵BN⊥平面MNC∴EF⊥平面MNC，EF長為E點到平面MNC的距離……9分∵PD⊥平面ABCD，BC⊥DC∴BC⊥PC.即點A到平面MNC的距離為……12分12．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長的3，側棱AA1=D是CB延長線上一點，且BD=BC.（Ⅰ）求證：直線BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；（Ⅲ）求三棱錐C1—ABB1的體積.（Ⅰ）證明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四邊形BDB1C1是平行四邊形，∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直線BC1//平面AB1D.（Ⅱ）解：過B作BE⊥AD于E，連結EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中點，在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小為60°（Ⅲ）解法一：過A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=即三棱錐C1—ABB1的體積為解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，即三棱錐C1—ABB1的體積為13．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1，BC=BB1=1，D為BC上一點，且滿足AD⊥C1D.（I）求證：截面ADC1⊥側面BC1；（II）求二面角C—AC1—D的正弦值；（III）求直線A1B與截面ADC1距離.（I）由題知：……………4分I（II）I故∠CEF為二面角C—AC1—D的平面角…………6分在Rt△C1CD中，求出………………8分（III）∥A1B∥面AC1D，設B到面ADC1距離為d……10分…12分注：其他證法相應給分14．如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求點A到平面PBC的距離。解：（1）在底面ABCD內，過A作AE⊥CD，垂足為E，連結PE∵PA⊥平面ABCD，由三垂線定理知：PE⊥CD∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角………………2分在中，………………4分在中，∴二面角P—CD—A的正切值為………………6分（II）在平面APB中，過A作AH⊥PB，垂足為H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB∴AH⊥平面PBC故AH的長即為點A到平面PBC的距離………………10分在等腰直角三角形PAB中，，所以點A到平面PBC的距離為…………12分15．直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD∥⊥AB，，VA⊥平面ABCD。（1）求證：VC⊥CD。（2）若，求CV與平面VAD所成的角。（1）連結AC取AD中點G，連CG，則ABCG為正方形又…………（4分）VA⊥平面ABCD，DC⊥AC由三垂線定理：VC⊥CD………………（6分）（2）連VG，由面VAD是CV與平面VAD所成的角………………（9分）∴CV與平面VAD所成角為………（12分）16．如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，點E、M分別為A1B、C1C的中點，過點A1，B，M三點的平面A1BMN交C1D1于點N.（Ⅰ）求證：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.（A）（Ⅰ）證明：取A1B1的中點F，連EF，C1F∵E為A1B中點∴EF∥BB1…………2分又∵M為CC1中點∴EF∥C1M∴四邊形EFC1M為平行四邊形∴EM∥FC1……4分而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N∴A1N//EM//FC1∴N為C1D1中點過B1作B1H⊥A1N于H，連BH，根據三垂線定理BH⊥A1N∠BHB1即為二面角B—A1N—B1的平面角……8分設AA1=a，則AB=2a，∵A1B1C1D1為正方形∴A1H=又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=即二面角B—A1N—B1的正切值為……12分17．如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點. （Ⅰ）求證：AF∥平面PCE； （Ⅱ）若二面角P—CD—B為45°，AD=2，CD=3，求點F到平面PCE的距離.（Ⅰ）取PC中點M，連結ME、MF.，即四邊形AFME是平行四邊形，……2/；‘。。。。分∴AF//EM，∵AF平在PCE，∴AF∥平面PCE.……4分（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，根據三垂線定理知，CD⊥PD∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，則∠PDA=45°……6分于是，△PAD是等腰直角三角形，AF⊥PD，又AF⊥CD∴AF⊥面PCD.而EM//AF,∴EM⊥面PCD.又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD.……8分在面PCD內過F作FH⊥PC于H，則FH為點F到平面PCE的距離.……10分由已知，PD=2，PF=∵△PFH∽△PCD∴……12分18．如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點，E是A1C1的中點，F是B1B中點，異面直線CF與DE所成的角為90°.（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中點分別為H、N，連結HC1，連結FN，交HC1于點K，則點K為HC1的中點，因FN//HC，則△HMC∽△FMK，因H為BC中點BC=AB=2，則KN=，∴則HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1，解得HC1=，C1C=2.（2）連CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，連CG，由三垂線定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=，從而DG=∴tan∠CGD=，故二面角C—AF—B大小為arctan.19．如圖，正方體，棱長為a，E、F分別為AB、BC上的點，且AE＝BF＝x．（1）當x為何值時，三棱錐的體積最大？（2）求三棱椎的體積最大時，二面角的正切值；（3）（理科做）求異面直線與所成的角的取值范圍．（1），當時，三棱錐的體積最大．（2）取EF中點O，由，所以就是二面角的平面角．在Rt△中．（3）在AD上取點H使AH＝BF＝AE，則，，，所以（或補角）是異面直線與所成的角在Rt△中，，在Rt△中，，在Rt△HAE中，，在△中，因為，所以，，，20．已知，如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P—BCG的體積為.（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成的角；（Ⅱ）求點D到平面PBG的距離；（Ⅲ）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值.解（I）由已知∴PG=4…………2′在平面ABCD內，過C點作CH//EG交AD于H，連結PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角.………………3′在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴異面直線GE與PC所成的角為arccos……4′（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD在平面ABCD內，過D作DK⊥BG，交BG延長線于K，則DK⊥平面PBG∴DK的長就是點D到平面PBG的距離…………6′在△DKG，DK=DGsin45°=∴點D到平面PBG的距離為……8′（III）在平面ABCD內，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結MF，又因為DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=…………10′…………12′21．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為AA1、BB1的中點，求：（I）CM與D1N所成角的余弦值；（II）異面直線CM與D1N的距離．解：（I）如圖，以D為原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，……………1′則C（0，2，0）、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1），∴＝（2，－2，1），＝（2，2，－1），……3′設CM與D1N所成的角為θ，則cosθ＝＝）…………………6′（II）取DD1的中點E，分別連接EM、EB，則EM∥BC，EB∥D1N，∴B、C、E、M共面且D1N∥平面BCEM，∴D1到平面BCEM的距離d等于異面直線CM與D1N的距離，……8、∵＝（――）·23＝…………10、即SBCEM·d＝而SBCEM＝BM·BC＝2∴d＝………………12、22．如圖，四棱錐P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.（Ⅰ）求證：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；（Ⅲ）求直線CD與平面AMN所成角的大小.（I）證明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD……3分∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.∴AM⊥平面PCD.∴AM⊥PD.…………5分（II）解：∵AM⊥平面PCD（已證）.∴AM⊥PM，AM⊥NM.∴∠PMN為二面角P-AM-N的平面角.…………7分∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.∵PA=AD，AM⊥PD，∴M為PD的中點，PM=PD=由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴.…………10分即二面角P—AM—N的大小為.（III）解：延長NM，CD交于點E.∵PC⊥平面AMN，∴NE為CE在平面AMN內的射影∴∠CEN為CD（即（CE）與平在AMN所成的角.…………12分∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.在Rt△PMN中，∴CD與平面AMN所成的角的大小為…………15分23．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，，D為棱CC1上的一動點，M、N分別為的重心．（1）求證：； （2）若二面角C—AB—D的大小為，求點C1到平面A1B1D的距離； （3）若點C在上的射影正好為M，試判斷點C1在的射影是否為N？并說明理由．解：（1）連結并延長，分別交于，連結，分別為的重心，則分別為的中點 在直三棱柱中，

（2）連結即為二面角的平面角在中，PQPQ連結同上可知，設（3）PQCCPQCC1DNM∽.24．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1B1B⊥底面ABC，側棱AA1與底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點。E是線段BC1上一點，且BE=BC1．（１）求證：GE∥側面AA1B1B；（２）求平面B1GE與底面ABC所成銳二