專題7.5空間向量的概念與運算【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間向量的線性運算】 4【題型2空間共線向量定理的應用】 5【題型3空間向量數量積及其應用】 6【題型4空間向量基本定理及其應用】 6【題型5證明三點共線、四點共面】 7【題型6空間向量的坐標運算】 91、空間向量的概念與運算考點要求真題統計考情分析(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直2023年新高考I卷：第18題，12分2024年上海卷：第15題，5分空間向量與立體幾何是高考的重點、熱點內容，空間向量的概念與運算是空間向量與立體幾何的基礎.從近幾年的高考情況來看，空間向量的概念與運算考查相對較少，常以選擇題、填空題的形式考查，主要涉及空間向量的線性運算、數量積運算與空間向量基本定理等，難度較易.【知識點1空間向量的有關概念】1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【知識點2空間向量的線性運算】1．空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共線向量定理(1)共線向量定理對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.(2)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點共線.【知識點3空間向量的數量積】1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.性質①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．4．空間向量數量積的計算求空間向量數量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積．(3)代入求解．【知識點4空間向量基本定理及其應用】1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.4．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.5．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．6．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．【知識點5空間向量的坐標運算】1．空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標運算設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【方法技巧與總結】1．三點共線：在平面中A,B,C三點共線(其中x+y=1)，O為平面內任意一點.2．四點共面：在空間中P,A,B,C四點共面(其中x+y+z=1)，O為空間中任意一點.【題型1空間向量的線性運算】【例1】（2024·山東棗莊·模擬預測）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，化簡AB?AD+CC1A．BD1 B．DB1 C．【變式1-1】（2024·上海·模擬預測）設A、B、C、D為空間中的四個點，則“AD=AB+AC”是“A、B、C、A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面體ABCD中，G是BD的中點，則CA+12A．AG B．CG C．BG D．CB【變式1-3】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）在四棱柱ABCD?A1B1C1DA．AM=13C．AQ=14【題型2空間共線向量定理的應用】【例2】（2024·貴州六盤水·模擬預測）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2A．0 B．1 C．2 D．3【變式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面【變式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空間直角坐標系中，已知點A0,0,1，B1,2,3，Cm,n,2，若向量AB與向量BC共線，則mA．0 B．12 C．1 D．【變式2-3】（23-24高二上·遼寧大連·期末）在四面體ABCD中，E為AD的中點，G為平面BCD的重心．若AG與平面BCE交于點F，則AFAG=（A．12 B．23 C．34【題型3空間向量數量積及其應用】【例3】（2023·江蘇淮安·模擬預測）在四面體ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，則AC?BD的值為（A．7 B．9 C．11 D．13【變式3-1】（2024·江西贛州·二模）已知球O內切于正四棱錐P?ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一條直徑，點Q為正四棱錐表面上的點，則QE?QF的取值范圍為（A．[0,2] B．[4?23,2] C．[0,4?3【變式3-2】（2024·河南新鄉·二模）已知圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，若點P在圓錐MO的側面上運動，則PA?PB的最小值為（A．?94 B．?32 C．【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知圓錐SO的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側面（異于頂點和底面圓周）上任意一點，則OP?OQ的取值范圍為（A．?4,4 B．?4,4 C．?2,2 D．?2,2【題型4空間向量基本定理及其應用】【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱錐P-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F分別為側棱PA，PB，PC的中點，若a=AF，b=CE，c=A．13a+13b+13【變式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面體O?ABC中，a=OA,b=OB,c=A．3 B．34 C．12 【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1

A．54 B．34 C．52【變式4-3】（23-24高二上·湖北·開學考試）在四面體ABCD中（如圖），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等邊三角形，AD=CD，AD⊥CD，M為AB的中點，N在側面BCD上（包含邊界），若MN=xAB+yAC+z

A．若x=12，則MN∥平面ACD B．若z=0C．當MN最小時，x=14 D．當MN【題型5證明三點共線、四點共面】【例5】（23-24高三上·四川成都·開學考試）在四棱柱ABCD?A1B1C

(1)當k=34時，試用AB,(2)證明：E,F,G,H四點共面；【變式5-1】（2024高二上·全國·專題練習）已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間9個點(如圖)，并且OE=kOA,OF=kOB，(1)A,B,C,D四點共面；(2)AC//(3)OG=k【變式5-2】（23-24高二上·上海·課后作業）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個面都是平行四邊形，點M在對角線A′(1)設向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【變式5-3】（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）已知a，b，c是空間中不共面的向量，若AB=2a?b+(1)若B,C,D三點共線，求m,n的值；(2)若A,B,C,D四點共面，求mn的最大值．【題型6空間向量的坐標運算】【例6】（2024·河南·模擬預測）已知空間向量a=1,2,0,b=(0,?1,1),c=(2,3,m)A．1 B．2 C．3 D．4【變式6-1】（2023·西藏日喀則·一模）已知向量a→=(?2,1,3)，b→=(?1,1,x)，若a與bA．2 B．52 C．213 【變式6-2】（2024·四川內江·模擬預測）已知a=(2,?2,?3)，b=(2,0,4)，則cos?A．48585 B．?485【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）設A,B,C三點在棱長為2的正方體的表面上，則AB?AC的最小值為（A．?94 B．?2 C．?3一、單選題1．（2024·河北·模擬預測）如圖，在四面體ABCD中，G為△ACD的重心，若BG=xAB+yAC+zA．?13 B．13 C．?2．（2024·浙江嘉興·模擬預測）設x，y∈R,a=1,1,1,b=1,y,zA．22 B．0 C．3 D．3．（24-25高二上·上海·課后作業）設e1，e2是空間兩個不共線的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3eA．-8 B．-4 C．-2 D．84．（2024·湖南長沙·一模）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AAA．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.55．（2024·全國·模擬預測）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AP=AB+A．1 B．2 C．322 6．（2024·山東日照·二模）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，以正方體中心為球心的球O與正方體的各條棱相切，若點A．2 B．74 C．34 7．（2023·河南·模擬預測）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD，側面A1ADD1都是正方形，且二面角A1?AD?B的大小為

A．3 B．5 C．7 D．38．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，現有一陽馬P?ABCD，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，M為底面ABCD及其內部的一個動點且滿足PM=5，則PM?BMA．[1?22,1+22] B．[?1,2] C．二、多選題9．（23-24高二下·全國·課后作業）如圖所示，在正方體ABCD?A1BA．AB+BC+CCC．AB+BB1+10．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是π3，M為A1C1與B1D1的交點．若AB=a，ADA．CM=?12C．BD1=11．（2024·江蘇南京·二模）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的棱長均為2，A．A1P//平面BC．PC1≥三、填空題12．（2024·上海·三模）已知空間向量a=1,?1,0，b=0,1,1，c13．（2024·山東濟南·一模）在三棱柱ABC?A1B1C1中，AM=2MB，A114．（2024·遼寧·一模）已知e1，e2是空間單位向量，e1，e2=105°，若空間向量a滿足a?e1四、解答題15．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知平行六面體ABCD?A

(1)AB+(2)DD(3)AB+16．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知空間三點A?2,0,2，B?1,1,2，C?3,0,4，設a(1)若ka+b與k(2)若c=3，c//BC17．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是菱形，對角線AC,BD交于點O，OA=4，OB=3，OP=4,OP⊥底面ABCD，E,F分別為側棱PB,PD的中點，點M在CP上且CM=2MP．求證：18．（2024·貴州六盤水·模擬預測）如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)試用a，b，c表示EF；(2)求EF的長.19．（2024·云南·模擬預測）三階行列式是解決復雜代數運算的算法，其運算法則如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+(1)①若A0,2,1,B?1,3,2②證明：OA×(2)記△AOB的面積為S△AOB，證明：S(3)問：(OA×OB)2的幾何意義表示以專題7.5空間向量的概念與運算【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間向量的線性運算】 4【題型2空間共線向量定理的應用】 6【題型3空間向量數量積及其應用】 8【題型4空間向量基本定理及其應用】 11【題型5證明三點共線、四點共面】 14【題型6空間向量的坐標運算】 171、空間向量的概念與運算考點要求真題統計考情分析(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直2023年新高考I卷：第18題，12分2024年上海卷：第15題，5分空間向量與立體幾何是高考的重點、熱點內容，空間向量的概念與運算是空間向量與立體幾何的基礎.從近幾年的高考情況來看，空間向量的概念與運算考查相對較少，常以選擇題、填空題的形式考查，主要涉及空間向量的線性運算、數量積運算與空間向量基本定理等，難度較易.【知識點1空間向量的有關概念】1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【知識點2空間向量的線性運算】1．空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共線向量定理(1)共線向量定理對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.(2)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點共線.【知識點3空間向量的數量積】1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.性質①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．4．空間向量數量積的計算求空間向量數量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積．(3)代入求解．【知識點4空間向量基本定理及其應用】1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.4．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.5．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．6．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．【知識點5空間向量的坐標運算】1．空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標運算設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【方法技巧與總結】1．三點共線：在平面中A,B,C三點共線(其中x+y=1)，O為平面內任意一點.2．四點共面：在空間中P,A,B,C四點共面(其中x+y+z=1)，O為空間中任意一點.【題型1空間向量的線性運算】【例1】（2024·山東棗莊·模擬預測）如圖，在長方體ABCD?A1B1CA．BD1 B．DB1 C．【解題思路】由空間向量的線性運算結合長方體的結構特征進行運算.【解答過程】由長方體的結構特征，有CC則AB?故選：B.【變式1-1】（2024·上海·模擬預測）設A、B、C、D為空間中的四個點，則“AD=AB+AC”是“A、B、C、A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【解題思路】根據共面的性質，結合空間向量的加法和減法的幾何意義、充分性、必要性的定義進行判斷即可.【解答過程】由AD=當“A、B、C、D四點在同一條直線上時，

A,B,C,D四點不共圓，若A、B、C、D四點共圓，當ABCD是矩形時，此時AC，BD為圓的直徑,滿足AD=AB+AC，而當ABCD不是矩形時，顯然AC，故選:D.【變式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面體ABCD中，G是BD的中點，則CA+12A．AG B．CG C．BG D．CB【解題思路】根據已知條件作出圖形，利用空間向量的加法法則即可得解.【解答過程】因為四面體ABCD中，G是BD的中點，所以CA+故選：B.【變式1-3】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）在四棱柱ABCD?A1B1C1DA．AM=13C．AQ=14【解題思路】借助空間向量的線性運算計算即可得.【解答過程】AM=ABAQ=A故選：D.【題型2空間共線向量定理的應用】【例2】（2024·貴州六盤水·模擬預測）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據向量共線設AB=xBC，從而得到方程組，求出【解答過程】因為A,B,C三點共線，所以AB=x即e1+e2+所以λ+μ=1+1=2.故選：C.【變式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面【解題思路】利用空間向量的共線定理與共面定理.【解答過程】若MA,MC共線，則又MC=5MA?3與條件矛盾，故A錯誤；同理若MB,MC共線，則又MC=5MA?3與條件矛盾，故B錯誤；根據空間向量的共面定理可知MA,故選：C.【變式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空間直角坐標系中，已知點A0,0,1，B1,2,3，Cm,n,2，若向量AB與向量BC共線，則mA．0 B．12 C．1 D．【解題思路】根據向量平行的坐標關系直接求解可得.【解答過程】根據題意：AB=1,2,2，AB與BC共線，所以BC=λ可得λ=?12，故選：B.【變式2-3】（23-24高二上·遼寧大連·期末）在四面體ABCD中，E為AD的中點，G為平面BCD的重心．若AG與平面BCE交于點F，則AFAG=（A．12 B．23 C．34【解題思路】根據共線定理及空間向量線性運算可得結果.【解答過程】如圖：連接DG交BC于H，則H為BC中點，連接AH,EH,AG,因為AG?平面AHD，EH?平面AHD，設AG∩EH=K，則K∈EH,K∈AG，又EH?平面BCE，所以K∈平面BCE，故K為AG與平面BCE的交點，又因為AG與平面BCE交于點F，所以F與K重合，又E為AD的中點，G為平面BCD的重心，因為點A，F，G三點共線，則AF=m=又因為點E，F，H三點共線，則AF=xAF=x所以m3=x2x+y=1m3故選：C.【題型3空間向量數量積及其應用】【例3】（2023·江蘇淮安·模擬預測）在四面體ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，則AC?BD的值為（A．7 B．9 C．11 D．13【解題思路】根據空間數量積的運算律計算可得.【解答過程】因為AC=AB+所以AC=16+AB又AB+BC+即AB2即32所以AB?所以AC?

故選：B.【變式3-1】（2024·江西贛州·二模）已知球O內切于正四棱錐P?ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一條直徑，點Q為正四棱錐表面上的點，則QE?QF的取值范圍為（A．[0,2] B．[4?23,2] C．[0,4?3【解題思路】根據給定條件，利用體積法求出球O半徑，再利用向量數量積的運算律計算即得.【解答過程】令H是正四棱錐P?ABCD底面正方形中心，則PH⊥平面ABCD，而AH=2則PH=PA2?AH正四棱錐P?ABCD的表面積S=4×3顯然球O的球心O在線段PH上，設球半徑為r，則V=13Sr在△POA中，∠PAO<45°=∠APO，于是OA>OP，又EF因此QE?顯然OH≤QO≤AO，則(QE?QF所以QE?QF的取值范圍為故選：A.【變式3-2】（2024·河南新鄉·二模）已知圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，若點P在圓錐MO的側面上運動，則PA?PB的最小值為（A．?94 B．?32 C．【解題思路】由PA?PB=OA?OP?【解答過程】圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，則有OA=?OB，點P在圓錐MO的側面上運動，則PA?OP最小時，PA?PB有最小值，OP的最小值為Rt△MOA中，OA=3，OM=1，則AM=2，O點到MA的距離則OP的最小值為32，PA?PB故選：A.【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知圓錐SO的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側面（異于頂點和底面圓周）上任意一點，則OP?OQ的取值范圍為（A．?4,4 B．?4,4 C．?2,2 D．?2,2【解題思路】利用空間向量的線性運算及數量積公式結合夾角余弦的范圍計算即可.【解答過程】如圖所示，延長SQ交底面圓周于B，過Q作QG⊥底面圓于G點，顯然OP?由題意可知cosOP所以OP?OQ的取值范圍為故選：A.【題型4空間向量基本定理及其應用】【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱錐P-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F分別為側棱PA，PB，PC的中點，若a=AF，b=CE，c=A．13a+13b+13【解題思路】根據空間向量的線性運算，結合重心的性質即可求解.【解答過程】取BC中點為M，a三個式子相加可得a+又OP==?PA故選：D.【變式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面體O?ABC中，a=OA,b=OB,c=A．3 B．34 C．12 【解題思路】根據空間向量的基本定理與應用即可求解.【解答過程】MN=又MN=xa+y所以x+y+z=3故選：B.【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1

A．54 B．34 C．52【解題思路】以AA1，AD，AB作為一組基底表示出BM，再根據數量積的運算律求出【解答過程】依題意BM=A所以BM==1所以BM=52故選：C.【變式4-3】（23-24高二上·湖北·開學考試）在四面體ABCD中（如圖），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等邊三角形，AD=CD，AD⊥CD，M為AB的中點，N在側面BCD上（包含邊界），若MN=xAB+yAC+z

A．若x=12，則MN∥平面ACD B．若z=0C．當MN最小時，x=14 D．當MN【解題思路】根據可證CD⊥平面ABD，設BN=λBC+μBD，且λ,μ∈0,1,λ+μ≤1，進而可得x=12?λ?μy=λz=μ，對于A：若x=12，則點N即為點B，進而可得結果；對于B：若z=0，可得點N在線段BC【解答過程】因為AD⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，CD?平面ACD，所以CD⊥平面ABD，且BD?平面ABD，可得CD⊥BD，又因為N在側面BCD上（包含邊界），設BN=λBC+μ可得MN=1又因為MN=xAB+yAC+z對于選項A：若x=12?λ?μ=12，則λ=μ=0顯然MN∩平面ACD=A，故A錯誤；對于選項B：若z=μ=0，則BN=λBC，可得點N在線段由CD⊥平面ABD，可知當且僅當點N為點B，MN⊥CD，故B錯誤；過M作ME⊥BD，垂足為E，可得BE=BM?

因為CD⊥平面ABD，ME?平面ABD，則ME⊥CD，且BD∩CD=D，BD,CD?平面BCD，所以ME⊥平面BCD，可得MN=對于選項C：顯然當點N即為點E時，MN最小，此時λ=0,μ=1可得y=0,z=1對于選項D：顯然當點N即為點C時，NE最大，則MN最大，此時λ=1,μ=0，可得y=1,z=0,x=1故選：C.【題型5證明三點共線、四點共面】【例5】（23-24高三上·四川成都·開學考試）在四棱柱ABCD?A1B1C

(1)當k=34時，試用AB,(2)證明：E,F,G,H四點共面；【解題思路】（1）根據空間向量線性運算進行求解；（2）設AC=λAB+μAD（【解答過程】（1）四棱柱ABCD?A1B因為k=3所以AF=1（2）設AC=λAB+μEG=kλD則EF,EG,EH共面且有公共點E【變式5-1】（2024高二上·全國·專題練習）已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間9個點(如圖)，并且OE=kOA,OF=kOB，(1)A,B,C,D四點共面；(2)AC//(3)OG=k【解題思路】（1）根據向量的共面定理，即可求解；（2）根據空間向量的運算法則，準確運算，即可求解；（3）根據空間向量的運算法則，準確運算，即可求解.【解答過程】（1）解：因為AC=由共面向量的基本定理，可得AC,又因為AC,AD,AB有公共點（2）解：因為OE=k則EG==kAD所以AC//（3）解：由（1）及OE=k可得EG=k所以OG=EG?【變式5-2】（23-24高二上·上海·課后作業）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個面都是平行四邊形，點M在對角線A′(1)設向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【解題思路】（1）借助空間向量的線性運算計算即可得；（2）借助向量共線定理證明MN//【解答過程】（1）因為A′M=所以D′又因為A′N=所以D=1（2）因為MN=14BC所以MN=14MD′，即【變式5-3】（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）已知a，b，c是空間中不共面的向量，若AB=2a?b+(1)若B,C,D三點共線，求m,n的值；(2)若A,B,C,D四點共面，求mn的最大值．【解題思路】（1）由B,C,D三點共線可設BD=λBC，列方程求（2）由A,B,C,D四點共面可設AD=xAB+yAC，列方程可得【解答過程】（1）因為B,C,D三點共線，則BD=λ又BC=AC?有?3=?λ,m+1=3λ,n?1=?2λ.}解得（2）因為A,B,C,D四點共面，則AD=x則?a+mb有?1=2x+y,m=?x+2y,n=x?y.解得所以mn=m??1?3m當m=?16時，mn【題型6空間向量的坐標運算】【例6】（2024·河南·模擬預測）已知空間向量a=1,2,0,b=(0,?1,1),c=(2,3,m)A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據空間向量共面定理可知存在一對有序實數(x,y)，使c=x【解答過程】因為a=1,2,0,所以存在一對有序實數(x,y)，使c=x所以(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,?1,1)=(x,2x?y,y)，所以x=22x?y=3y=m，解得故選：A.【變式6-1】（2023·西藏日喀則·一模）已知向量a→=(?2,1,3)，b→=(?1,1,x)，若a與bA．2 B．52 C．213 【解題思路】根據垂直關系可得x，進而根據坐標運算以及模長公式即可求解.【解答過程】由于a與b垂直，所以a?b=2+1+3x=0?x=?1故a+2故選：D.【變式6-2】（2024·四川內江·模擬預測）已知a=(2,?2,?3)，b=(2,0,4)，則cos?A．48585 B．?485【解題思路】利用空間向量的夾角余弦值公式cos<【解答過程】解：∵a=(2,?2,?3)，b∴cos故選：B.【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）設A,B,C三點在棱長為2的正方體的表面上，則AB?AC的最小值為（A．?94 B．?2 C．?3【解題思路】建立空間直角坐標系，不妨假設A在平面xOy中，設Aa1,a2,0，Bb1,b2,b3，【解答過程】將正方體置于空間直角坐標系O?xyz中，且A在平面xOy中，點O和點2,2,2的連線是一條體對角線．設Aa1,a2B′b1,b2,0和C可得B′B=(0,0,b3)則AB=A因為AB當且僅當點C為B′可得?A所以AB?AC≥?2，當A1,1,0，故選：B.一、單選題1．（2024·河北·模擬預測）如圖，在四面體ABCD中，G為△ACD的重心，若BG=xAB+yAC+zA．?13 B．13 C．?【解題思路】根據題意，由空間向量的運算，代入計算，即可得到結果.【解答過程】如圖，連接AG并延長交CD于點E.則E為CD的中點，所以BG=所以x?y+z=?1+1故選：A.2．（2024·浙江嘉興·模擬預測）設x，y∈R,a=1,1,1,b=1,y,zA．22 B．0 C．3 D．【解題思路】根據向量的垂直和平行，先求出x,y,z的值，再求所給向量的模.【解答過程】由a⊥c?a?c=0?x?4+2=0由b∥c?12=y?4=所以2a+b=故選：D.3．（24-25高二上·上海·課后作業）設e1，e2是空間兩個不共線的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3eA．-8 B．-4 C．-2 D．8【解題思路】利用空間向量共線定理求解即可.【解答過程】因為A、B、D三點共線，所以?λ∈R,使得AB又AB=2e1+ke所以AD則2則λ=2,λk+4=k,故選：A.4．（2024·湖南長沙·一模）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AAA．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.5【解題思路】將AB,AD,【解答過程】由題意得AC=AB+因為AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°所以AC=?=?=?16+4×5=?16+10+9+7.5=10.5，故選：A.5．（2024·全國·模擬預測）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AP=AB+A．1 B．2 C．322 【解題思路】根據題意，得到BC=14BM，再由面面平行的性質，證得【解答過程】如圖所示，因為AP=AB+因為平面ADD1A1//平面BCC1B1，設平面A又因為AD1過點P作PE⊥BC,PF⊥BB1，可得則E為BC的中點，F為BB又因為MN//BC1，所以M為BC的四等分點，所以故選：C．

6．（2024·山東日照·二模）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，以正方體中心為球心的球O與正方體的各條棱相切，若點A．2 B．74 C．34 【解題思路】取AB中點E，根據空間向量的數量積運算得PA?PB=【解答過程】取AB中點E，可知E在球面上，可得EB=?所以PA?

點P在球O的正方體外部（含正方體表面）運動，當PE為直徑時，PEmax所以PA?PB的最大值為故選：B.7．（2023·河南·模擬預測）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD，側面A1ADD1都是正方形，且二面角A1?AD?B的大小為

A．3 B．5 C．7 D．3【解題思路】根據平行六面體的結構特征及向量對應線段位置關系，結合向量加法、數乘的幾何意義用AB,AD,AA【解答過程】在平行六面體ABCD?A1B又P是C1D,CD1的交點，所以所以AP=由題意AB?AD=0，AB所以AP2=1故選：B.8．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，現有一陽馬P?ABCD，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，M為底面ABCD及其內部的一個動點且滿足PM=5，則PM?BMA．[1?22,1+22] B．[?1,2] C．【解題思路】由已知可求得|AM|=1，建立空間坐標系，利用已知設Mcosθ,sin【解答過程】PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，連接PM,AM，由|PM|=5，可得AM四邊形ABCD為矩形，以AB,AD,AP為x,y,z軸建立如圖所示坐標系，則B2,0,0,D0,2,0，P0,0,2，設則PM=所以PM=因為θ∈0,π2，則cos所以PM?故選：D.二、多選題9．（23-24高二下·全國·課后作業）如圖所示，在正方體ABCD?A1BA．AB+BC+CCC．AB+BB1+【解題思路】利用向量加法的運算，對四個式子逐一計算出結果，由此得出正確選項.【解答過程】對于A,AB+對于B，AA對于C,AB+對于D,AA故選：ABCD.10．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是π3，M為A1C1與B1D1的交點．若AB=a，ADA．CM=?12C．BD1=【解題思路】由題意可知，a?【解答過程】由題意可知，a?對于A，CM=CC對于B，又因為AC所以CM?所以CM，AC對于C，BD1=對于D，AD?BD故選：AD．11．（2024·江蘇南京·二模）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的棱長均為2，A．A1P//平面BC．PC1≥【解題思路】由面面平行的判定及性質即可判斷A；以AB,AD,AA1為基底，證明出【解答過程】對于A，連接CD由平行六面體ABCD?A1B1C1D1得，平面因為平面A1BCD1∩平面AB所以A1B//因為CD1?平面B1C所以A1B//平面B1C因為A1B∩BD=B，A1B，所以平面A1BD//又A1P?平面A1BD，所以對于B，以AB,則AC1=AB+因為平行六面