專題29求數列的通項公式10題型分類1.數列的通項公式如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．2.數列的遞推公式如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式，知道了首項和遞推公式，就能求出這個數列的每一項．（一）觀察法觀察法即根據所給的一列數、式、圖形等，通過觀察分析數列各項的變化規律，求其通項．使用觀察法時要注意：=1\*GB3①觀察數列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有或者部分．=2\*GB3②考慮各項的變化規律與序號的關系．=3\*GB3③應特別注意自然數列、正奇數列、正偶數列、自然數的平方、與有關的數列、等差數列、等比數列以及由它們組成的數列．題型1：觀察法1-1．（2024·湖南長沙·二模）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（

）個球．

A．12 B．20 C．55 D．1101-2．（2024·遼寧·三模）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結構在幾何變換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細的結構.一個正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的邊長為1，圖中正六邊形的個數記為，所有正六邊形的周長之和?面積之和分別記為，其中圖中每個正六邊形的邊長是圖中每個正六邊形邊長的，則下列說法正確的是（

）A． B．C．存在正數，使得恒成立 D．1-3．（2024高二上·山東聊城·期中）若數列的前4項分別是，則該數列的一個通項公式為（

）A． B． C． D．71．（2024高三上·河北唐山·期中）若數列的前6項為，則數列的通項公式可以為（

）A． B．C． D．（二）1.累加法：形如的解析式形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；=2\*GB3②若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；=3\*GB3③若是關于的二次函數，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和．2.累乘法：形如的解析式形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．題型2：累加法2-1．（2024·陜西安康·模擬預測）在數列中，，，則（

）A． B． C． D．2-2．（2024·新疆喀什·模擬預測）若，則（

）A．55 B．56 C．45 D．462-3．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，則的通項為(

)A． B．C． D．2-4．（2024·四川成都·模擬預測）已知是數列的前n項和，且對任意的正整數n，都滿足：，若，則（

）A． B． C． D．題型3：累乘法3-1．（2024高二·全國·課后作業）數列中，，（為正整數），則的值為（

）A． B． C． D．3-2．（2024高二上·陜西咸陽·階段練習）已知，則（

）A．506 B．1011 C．2022 D．40443-3．（2024高一下·青海西寧·階段練習）已知數列滿足，且，則(

)A． B． C． D．（三）待定系數法（一）形如（其中均為常數且）型的遞推式：（1）若時，數列{}為等差數列；（2）若時，數列{}為等比數列；（3）若且時，數列{}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．方法有如下兩種：法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數（待定系數法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數列．再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數列．求出的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當為一次函數類型（即等差數列）時：法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：當的公差為時，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：求出，再可求出（2）當為指數函數類型（即等比數列）時：法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：當的公比為時，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q，r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：再求出．（3）當為任意數列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在通過累加法，求出之后得．題型4：待定系數法4-1．（2024·四川樂山·三模）已知數列滿足，，則．4-2．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，則數列的通項公式為.4-3．（2024高三·全國·專題練習）已知：，時，，求的通項公式．（四）同除法對于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數)型方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以a1＋eq\f(c,p－q)·q為首相以為公比的等比數列。（注：應用待定系數法時，要求pq，否則待定系數法會失效）方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。方法三：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1，則有，然后利用待定系數法求解。題型5：同除法5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，求數列的通項公式．5-2．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，求數列的通項公式．（五）取倒數法對于，取倒數得．當時，數列是等差數列；當時，令，則，可用待定系數法求解．題型6：取倒數法6-1．（2024高三·全國·對口高考）數列中，，，則．6-2．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足：求通項.6-3．（2024高三·全國·專題練習）設，數列滿足，，求數列的通項公式．（六）取對數法形如的遞推公式，則常常兩邊取對數轉化為等比數列求解．題型7：取對數法7-1．（2024高三·全國·專題練習）設正項數列滿足，，求數列的通項公式．7-2．（2024高三·全國·專題練習）設數列滿足，，證明：存在常數，使得對于任意的，都有．（七）已知通項公式與前項的和關系求通項問題對于給出關于與的關系式的問題，解決方法包括兩個轉化方向，在應用時要合理選擇．一個方向是轉化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數列的相關結論，這種方法適用于數列的前項的和的形式相對獨立的情形；另一個方向是將轉化為（，），先考慮與的關系式，繼而得到數列的相關結論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉化法，適用于數列的前項和的形式不夠獨立的情況．簡而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實質是轉化的形式為的形式，適用于的形式獨立的情形，其二稱為轉化法，實質是轉化的形式為的形式，適用于的形式不夠獨立的情形；不管使用什么方法，都應該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關步驟后及時加注的范圍．題型8：已知通項公式與前項的和關系求通項問題8-1．（2024·青海西寧·二模）已知為數列的前項和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20248-2．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知數列的前項和為，若，且，，則的值為A．－8 B．6 C．－5 D．48-3．（2024·陜西渭南·二模）已知數列中，，前n項和為.若，則數列的前2023項和為.8-4．（2024高三下·湖南·階段練習）已知數列滿足.(1)求的通項公式；(2)已知，，求數列的前20項和.（八）周期數列（1）周期數列型一：分式型（2）周期數列型二：三階遞推型（3）周期數列型三：乘積型（4）周期數列型四：反解型題型9：周期數列9-1．（2024高二上·黑龍江·期中）已知數列滿足，，則（

）A． B． C． D．9-2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知數列滿足，，記數列的前項和為，則（

）A． B．C． D．9-3．（2024高二上·河南周口·階段練習）已知數列滿足，若，則（

）A． B．C． D．9-4．（2024高二上·吉林·期末）已知數列滿足：，，，，則（

）.A． B． C．1 D．2（九）前n項積型類比前項和求通項過程：（1），得（2）時，題型10：前n項積型10-1．（2024·福建南平·模擬預測）設為數列的前n項積．已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．10-2．（2024高二上·山東威海·期末）設為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．(1)求，；(2)求證：數列為等差數列；(3)求數列的通項公式．10-3．（2024·四川·模擬預測）已知數列的前項和為,且滿足,數列的前項積.(1)求數列和的通項公式;(2)求數列的前n項和.一、單選題1．（2024高二上·浙江嘉興·期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將正整數中能被3除余2且被7除余2的數按由小到大的順序排成一列，構成數列，則（

）A．17 B．37 C．107 D．1282．（2024·海南·模擬預測）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題，其各項規律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數列為，則（

）A．650 B．1050 C．2550 D．50503．（2024·吉林·三模）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列的第25項與第24項的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．264．（2024·吉林通化·模擬預測）“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，從第三行起，每一行的第三個數1，，，，構成數列，其前n項和為，則（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國·對口高考）數列1，3，7，15，……的一個通項公式是（

）A． B． C． D．6．（2024·四川南充·模擬預測）已知數列滿足：，，，則（

）A． B．C． D．7．（2024·河南·模擬預測）已知數列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．40478．（2024高二·全國·課后作業）已知，，則數列的通項公式是（

）A． B． C． D．n9．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，，則數列的通項公式為（

）A． B．C． D．10．（2024高二下·河南·期中）已知數列滿足，(，)，則數列的通項（

）A． B．C． D．11．（2024高三下·安徽·階段練習）在數列中，且，則它的前項和（

）A． B． C． D．12．（2024高三上·江蘇淮安·階段練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年13．（2024·云南昆明·模擬預測）已知數列滿足，則（

）A． B．1 C．4043 D．404414．（2024·云南玉溪·模擬預測）已知數列滿足，若，則（

）A． B． C． D．215．（2024高三上·福建龍巖·期末）數列滿足，，且其前項和為.若，則正整數（

）A．99 B．103 C．107 D．198二、填空題16．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，，則數列的通項公式為.17．（2024高三·全國·對口高考）已知數列中，，且（，且），則數列的通項公式為．18．（2024·山東泰安·模擬預測）數列的前項和為，滿足，且，則的通項公式是．19．（2024高二上·河南·階段練習）若數列滿足（為常數），則稱數列為等比和數列，稱為公比和，已知數列是以3為公比和的等比和數列，其中，，則.20．（2024高三上·貴州貴陽·階段練習）若數列滿足，則.21．（2024高三·全國·專題練習）數列滿足，前16項和為540，則．22．（2024高三·全國·專題練習）數列滿足，前16項和為508，則．23．（2024高三·全國·專題練習）已知，，則的通項公式為．24．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，則．25．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，則．三、解答題26．（2024高三·全國·專題練習）已知數列，，且對于時恒有，求數列的通項公式．27．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足：求.28．（2024高三·全國·專題練習）已知數列是首項為.(1)求通項公式；(2)求數列的前項和.29．（2024高三·全國·專題練習）已知數列{an}中，，，求{an}的通項.30．（2024高三上·江蘇南通·階段練習）已知數列中，，滿足，設為數列的前項和．(1)證明：數列是等比數列；(2)若不等式對任意正整數恒成立，求實數的取值范圍．31．（2024高三·全國·專題練習）在數列{}中，求通項公式．32．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，求數列的通項公式．33．（2024高二·全國·專題練習）已知數列滿足，，求數列的通項公式．34．（2024高三·全國·專題練習）在數列中，求．35．（2024高三·全國·專題練習）已知，求的通項公式．36．（2024高二·全國·專題練習）已知數列滿足，求數列的通項公式．37．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知數列中，，.(1)求數列的通項公式；(2)求證：數列的前n項和.38．（2024·廣東潮州·二模）已知數列滿足，.(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和，求證：.39．（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前項和為，且（）.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.40．（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前項和滿足．(1)寫出數列的前3項；(2)求數列的通項公式．41．（2024·河北衡水·三模）已知數列的前項和為，．(1)證明：是等差數列；(2)求數列的前項積．42．（2024·海南海口·一模）已知各項均為正數的數列滿足，其中是數列的前n項和.(1)求數列的通項公式；(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數的取值范圍.43．（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前項和為，且，.證明：是等比數列.44．（2024高三·全國·專題練習）已知是各項都為正數的數列，為其前n項和，且，，(1)求數列的通項；(2)證明：.45．（2024高三下·河北石家莊·階段練習）數列的前項和為且當時，成等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)在和之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在3項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.46．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知是數列的前項和，，.(1)求數列的通項公式；(2)已知，求數列的前項和.47．（2024高三·全國·專題練習）已知數列，為數列的前項和，且滿足，．(1)求的通項公式；(2)證明：．48．（2024·河北滄州·模擬預測）已知正項數列的前項和為，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.49．（2024·江西·三模）已知各項為正數的數列的前項和為，滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項的和．50．（2024高三·全國·專題練習）記為數列的前項和．已知．證明：是等差數列；51．（2024高三上·江蘇南通·階段練習）為數列的前n項積，且．(1)證明：數列是等比數列；(2)求的通項公式．52．（2024·湖北·模擬預測）已知數列的前n項之積為，且．(1)求數列和的通項公式；(2)求的最大值．53．（2024高三下·陜西西安·階段練習）已知數