2021年高考數學壓軸必刷題（第三輯）

專題23概率統計解答題突破C輯

1.某大學生參加社會實踐活動，對某公司1月份至6月份銷售某種配件的銷售量及銷售單價進行了調

查，銷售單價x和銷售量y之間的一組數據如下表所示：

月份123456

銷售單價（元）99.51010.5118

銷售量（件）111086514.2

（1）根據1至5月份的數據，求出y關于x的回歸直線方程；

（2）若由回歸直線方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過（）.5元，則認為所得到的回歸直

線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？

（3）預計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關系，若該種機器配件的成本是2.5元

/件，那么該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤:銷售收入-成本）.

參考公式：回歸直線方程+其中6=縣警二2，，>/=392,￡>:=502.5,

V.Xf—nx~/=li=l

【答案】（1）y=-3.2x+40.

（2）可以認為所得到的回歸直線方程是理想的.

（3）該產品的銷售單價定為7.5元/件時，獲得的利潤最大.

【解析】

(1)因為x=g(9+9.5+10+10.5+11)=10,=g(ll+10+8+6+5)=8,

392-5x10x8

所以，==-3.2,則4=8-(一3.2卜10=40,

502.5-5xlO2

于是y關于X的回歸直線方程為?=-3.2X+40；

(2)當x=8時，y=-3.2x8+40=14.4,則|夕一引=14.4-14=0.4v0.5,

所以可以認為所得到的回歸直線方程是理想的;

(3)令銷售利潤為W,則W=(x-Z5乂-3.2x+40)=-3.2f+48x-100(2.5<x<12.5),

因為卬=3.2/(_/+]5)_]00工3.2><仔—；+15)_1Oo=8O^

當且僅當％=—x+15,即％=7.5時，W取最大值.

所以該產品的銷售單價定為7.5元/件時，獲得的利潤最大.

點睛：本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，屬中檔題.

2.為了提高生產線的運行效率，工廠對生產線的設備進行了技術改造.為了上比技術改造后的效果，采集

了生產線的技術改造前后各20次連續正常運行的時間長度(單位：天)數據，并繪制了如莖葉圖：

改造前改造后

986551S

S66543221022679

5441323345677S9

0411223

(1)①設所采集的40個連續正常運行時間的中位數小，并將連續正常運行時間超過陽和不超過〃7的次

數填入下面的列聯表:

超過團不超過

改造前ab

改造后Cd

②根據①中的列聯表，能否有99%的把握認為生產線技術改造前后的連續正常運行時間有差異？

-be?

附:

(4+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

P[K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(2)工廠的生產線的運行需要進行維護，工廠對生產線的生產維護費用包括正常維護費、保障維護費兩

種.對生產線設定維護周期為7天（即從開工運行到第Z7天伏￡N"）進行維護.生產線在一個生產周期內設

置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內，若生產線能連續運行，則不會產生保障維護

費；若生產線不能連續運行，則產生保障維護費.經測算，正常維護費為0.5萬元/次；保障維護費第?次為

0.2萬元/周期，此后每增加一次則保障維護費增加0.2萬元.現制定生產線一個生產周期（以120天計）內

的維護方案：7=30,k=l、2、3、4.以生產線在技術改造后一個維護周期內能連續正常運行的頻率

作為概率，求一個生產周期內生產維護費的分布列及期望值.

【答案】（1）①填表見解析；②有99%的把握認為生產線技術改造前后的連續正常運行時間有差異；（2）

答案不唯一，具體見解析.

（1）①由莖葉圖的數據可得中位數機=30,

2

根據莖葉圖可得：。=5,b=\5,c=15,d=5,則2x2列聯表如下表所示：

超過加不超過m

改造前515

改造后155

②根據①中的列聯表，犬=4°X（5X5-15X15）

=10>6.635*

20x20x20x20

因此，仃99%的把握認為生產線技術改造前后的連續正常運行時間有差異；

（2）120天的一個生產周期內有4個維護周期，一個維護周期為30天，

一個維護周期內,以牛產線在技術改造后一個維護周期內能連續正常運行的頻率作為概率，得

51

p——=一，

204

（1、

設一個生產周期內需要J次維護，4?B4，z,正常維護費為05x4=2萬元，

保障維護費為首項為0.2,公差為0.2的等差數列，共g次維護需要的保障費為

長0.2+0.2+（"1）0.2]一…一

-------------~~-——=0.+0.ig力兀，

故一個生產周期內保障維護X次的生產維護費為（0.修2+0.14+2）萬元，

設?個生產周期內的生產維護費為X萬元，則X可能取值為2、2.2、2.6、3.2、4.

則尸（X=2）=《?

門、3

33

尸（X=3.2）=C；-

\4>4-64

尸（X=4）=（；1

256

則X的分布列為:

X22.22.63.24

81272731

P

2566412864256

oI77273+4x—^―=5824=2.275（萬元）.

故E（X）=2x——+2.2x—+2.6x——+3.2x—

—2566412864256256

3.2019年12月以來，湖北省武漢市持續開展流感及相關疾病監測，發現多起病毒性肺炎病例，均診斷為

病毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（（7。皿。5加江）說農6239,COV/D-19）,簡稱“新冠

肺炎”下圖是2020年1月15日至1月24日累計確診人數隨時間變化的散點圖.

為了預測在未采取強力措施下，后期的累計確診人數，建立了累計確診人數V與時間變量/的兩個回歸模

型，根據1月15日至1月24日的數據（時間變量，的值依次為1,2...,10）建立模型孑=c+力和

§=a+615.

（1）根據散點圖判斷，§=c+A與力1.5'哪一個適宜作為累計確診人數》與時間變量，的回歸方

程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及附表中數據，建立y關于/的回歸方程：

（3）以下是I月25R至1月29日累計確診人數的直實數據.根據（2）的結果問答下列問題:

時間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日

累計確診人數的真實數據19752744451559747111

（/）當1月25日至1月27日這3天的誤差）模型預測數據與真實數據差值的絕對值與真實數據的比值）

都小于0.1則認為模型可靠，請判斷（2）的回歸方程是否可靠？

（"）2020年1月24日在以習近平同志為核心的黨中央堅強領導下，全國人民共同采取了強力的預防“新

冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實數據明顯低于預測數據，則認為防護措施有效，請判斷預防措施

是否有效？

附：一組數據（%,用），…，回歸直線口二。+44公式為

y（wz-w）（vi,-v）￡/匕一加

P—二^=卷——片-河

unu

Z（?；-?）Xi-

i=l/=1

_110

參考數據：其中用=1.53（0=—\（0,.

1UM

10%10;1010

1112,314,5

tyco力a1.51.51.51.51.5

1=1i=li=l1=1

5.539019385764031525154700100150225338507

【答案】（1）§適宜；（2）y=10+201.5/：（3）（/）可靠；（//）有效.

解：（1）根據散點圖可知：￥=。+415適宜作為累計確診人數V與時間變量/的回歸方程類型;

（2）設&=15，則

ioio___

￡3一可（ye）154700_10xl9x390

,以*同=764。一小面-'

；-1r-1

4=歹—醞=390—20x19=10，???y=10+201.5/；

|2010-1975|

(3)⑴f=ll時，9=2010,<0.1

1975

當E2時,整3。]。網翳㈣

當，=13時，亍=4510,邑1。一4515|<0],所以⑵的回歸方程可靠;

4515

(/7)當1=15時，￡=10150,10150遠大于7111,所以防護措施有效.

4.某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購

買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器

時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面

柱狀圖：

0161718192021更換的易損零件數

記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數,y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單

位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數.

(I)若n=19,求y與工的函數解析式；

(II)若要求“需更換的易損零件數不大于〃”的頻率不小于05求n的最小值；

(III)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件，分別計算這

100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數，以此作為決策依據，購買1臺機器的同時應購買19個還是2

0個易損零件？

3800,E9,,、

【答案】⑴y={s八CMs(kwN)；(2)19;(3)購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.

500x-5700,x>19/7

【解析】

(I)當客*：!粵時，)=3800：當富忸調時，y=3800+500(x-19)=500x-5700,所以聲與熏的函

3800,x<19,

數解析式為y={(xeN).

500x-5700,x>19,

(II)由柱狀圖知，需更換的零件數不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故廖的最小值為1

9.

(III)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用

為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的

平均數為」-x(3800x70+4300x20+4800xl0)=4000.

100

若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為400

0,10臺的費用為4500,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數為

j^x(4000x90+4500x!0)=4050.

比較兩個平均數可知，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.

5.2019年2月13日《西安市全民閱讀促進條例》全文發布，旨在保障全民閱讀權利，培養全民閱讀習

慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設.某高校為了解條例發布以來全校學生的閱讀情

況，隨機調查了200名學生每周閱讀時間X(單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數;

(2)為查找影響學生閱讀時間的因素，學校團委決定從每周閱讀時間為[657.5),[7.5,8.5)的學生中抽

取9名參加座談會.

(/)你認為9個名額應該怎么分配？并說明理由；

(”)座談中發現9名學生中理工類專業的較多.請根據200名學生的調研數據，填寫下面的2x2列聯

表，并判斷是否有95%的把握認為學生閱讀時間不足(每周閱讀時間不足8.5小時)與“是否理工類專

業”有關？(精確到0.1)

閱讀時間不足8.5小時閱讀時間超過8.5小時

理工類專業4060

非理工類專業

n(ad-bc)2

附：K2=(n=a-\-b-vc+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

尸（八即）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）9,（2）（/）每周閱讀時間為［6.5,7.5）的學生中抽取3名，每周閱讀時間為［7.5,8.5）的學生

中抽取6名.理由見解析，（"）有95%的把握認為學生閱讀時間不足與“是否理工類專業”有關.

（1）6x0.03+7x0.1+8x0.2+9x0.35+10x0.19+11x0.09+12x0.04=9

（2）U）每周閱讀時間為［6.5,7.5）的學生中抽取3名，每周閱讀時間為［7.5,8.5）的學生中抽取6名.

理由：每周閱讀時間為［6.5,7.5）與每周閱讀時間為［7.5,8.5）是差異明顯的兩層，為保持樣本結構與總體結

構的一致性，提高樣本的代表性，宜采用分層抽樣的方法抽取樣本；因為兩者頻率分別為0.1,0.2,所以

按照1:2進行名額分配

（ii）2x2列聯表為：

閱讀時間不足8.5小時閱讀時間超過8.5小時

理工類專業4060

非理工類專業2674

200x(40x74-26x60)2

K二=_______：_________________?4.4>3.841

-66x134x100x100

所以有95%的把握認為學生閱讀時間不足與“是否理工類專業”有關.

6.“一本書,一碗面.一條河,一座橋”曾是蘭州的城市名片,而現在“蘭州馬拉松”又成為了蘭州的另

一張名片，隨著全民運動健康意識的提高，馬拉松運動不僅在蘭州，而且在全國各大城市逐漸興起，參與

馬拉松訓練與比賽的人口逐年增加.為此，某市對人們參加馬拉松運動的情況進行了統計調查.其中一項

調查是調查人員從參與馬拉松運動的人中隨機抽取200人，對其每周參與馬拉松長跑訓練的天數進行統

計，得到以下統計表:

平均每周進行長跑訓練的天數不大于2天3天或4天不少于5天

人數3013040

若某人平均每周進行長跑訓練天數不少于5天，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”.

（1）經調查，該市約有2萬人參與馬拉松運動，試估計其中“熱烈參與者”的人數；

（2）根據上表的數據，填寫下列2x2列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提

下認為“是否熱烈參與馬拉松”與性別有關？

熱烈參與者非熱烈參與者合計

男140

女55

合計

參考公式及數據：K2=-------------------------，其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k{})0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）4000；（2）不超過0.01的前提下認為“熱烈參與馬拉松”與性別有關

（1）以200人中“熱烈參與者”的頻率作為概率，則該市：熱烈參與者”的人數約為：20000X^=400

0.

(2)

熱烈參與者非熱烈參與者合計

男35105140

女55560

合計40160200

K2=200x（35x55-105x5）^^>292>6635>

40x160x140x60

故能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“熱烈參與馬拉松”與性別有關.

7.某“雙一流”大學專業獎學金是以所學專業各科考試成績作為評選依據，分為專業一等獎學金（獎金

額3000元）、專業二等獎學金（獎金額1500元）及專業三等獎學金（獎金額600元），且專業獎學金每個

學生一年最多只能獲得一次.圖（1）是統計了該校2018年500名學生周課外平均學習時間頻率分布直方

圖，圖（2）是這500名學生在2018年周課外平均學習時間段獲得專業獎學金的頻率柱狀圖.

（I）求這500名學生中獲得專業三等獎學金的人數：

（II）若周課外平均學習時間超過35小時稱為“努力型”學生，否則稱為“非努力型”學生，列2x2聯

表并判斷是否有99.9%的把握認為該校學生獲得專業一、二等獎學金與是否是“努力型”學生有關？

（01）若以頻率作為概率，從該校任選一名學生，記該學生2018年獲得的專業獎學金額為隨機變量X,

求隨機變量X的分布列和期望.

p?>%0.100.050.0100.0050.001

k。2.713.846.647.8810.83

2二n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(I)160人；(H)有；(HI)見解析.

⑴獲得三等獎學金的頻率為：

(0.008+0.016+0.04)x5x0.15+(0.04+0.056+0.016)x5x0.4+(0.016+0.008)x5x0.4=0.32

500x0.32=160.

故這500名學生獲得專業三等獎學金的人數為160人.

(n)每周課外學習時間不超過35小時的“非努力型”學生有

500x(0.008+0.016+0.04+0.04+0.056+0.016)x5=440人，

其中獲得一、二等獎學金學生有

500x(0.008+0.016+0.04)x5x0.05+500x(0.04+0.056+0.016)x5x(0.25+0.05)=92

每周謖外學習時間超過35小時稱為“努力型”學生有500x0.12=60人，

其中獲得一、二等獎學金學生有60x(0.35+0.25)=36人，

2x2列聯表如圖所示：

“非努力型”學生“努力型”學生總計

獲得一二等獎學金學生9236128

未獲得一二等獎學金學

34824372

生

總計44060500

500x(348x36-92x24)2

K2?42.36>10,83

440x60x128x372

故有99.9%的把握認為獲得?二等獎學金與學習“努力型”學生的學習時間有關;

(HI)X的可能取值為0,600,1500,3000

P(X=600)=0.32,

P(X=1500)=0.198,

P(X=3000)=0.058,

p(X=0)=l-0.32-0.198-0.058=0,424

X的分布列

X060015003000

P0.4240.320.1980.058

其期望為EX=0x0.424+600x0.32+150(h0.198+3000x0.058=192+297+174=663元.

8.2018年，依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態的信息負載力，短視頻快速崛起；與

此同時，移動閱讀方興未艾，從側面反應了人們對精神富足的一種追求，在習慣了大眾娛樂所帶來的短暫

愉悅后，部分用戶依舊對有著傳統文學底蘊的嚴肅閱讀青睞有加.

某讀書APP抽樣調查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長（單位：分鐘），繪制成頻

率分布直方圖如下，其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶7

城市M

震不N

（1）請填寫以下2x2列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為用戶活躍與否與所在城市有關?

活躍用戶不活躍用戶合計

城市M

城市N

合計

（2）以頻率估計概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設這3名用戶中活躍用戶

的人數為求J的分布列和數學期望.

（3）該讀書APP還統計了2018年4個季度的用戶使用時長y（單位：百萬小時），發現y與季度（X）線

性相關，得到回歸直線為￡=4x+3,已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時，試以此回歸

方程估計2019年第一季度（x=5）該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時.

附：尸=（?）（%?）（"“）’其中〃="+,+°+小

尸（六“。）

0.0250.0100.0050.001

k。5.0246.6357.87910.828

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）22.3百萬小時

（1）由已知可得以下2x2列聯表：

活躍用戶不活躍用戶合計

城市M6040100

城市N8020100

合計14060200

i+gK2=2()()x(60x20-8()x40r=200%9>524>7>879，

100x100x140x6021

所以有99.5*的把握認為用戶是否活躍與所在城市有關.

34

(2)由統計數據可知，城市M中活躍用戶占城市N中活躍用戶占

設從M城市中任選的2名用戶中活躍用戶數為X，則乂~8(2,|

4

設從N城市中任選的1名用戶中活躍用戶數為y,則y服從兩點分布，其中p(y=i)=g.

故g=0,l,2,3,

1_4

尸(g=0)=尸(X=

5~125

P傳=i)=P(x=o)P(y=i)+P(x=i).p(y=o)=c*J?+c；|*|q噫;

234(33\1_57

尸(g=2)=p(x=i).p(y=i)+p(x=2)p(y=o)=Cw：w+cl

155~125

/、2

%=3)=p(x=2)p(y=i)=C；4=--

\/J14J

故所求專的分布列為

g0123

4285736

p

125125125125

E(^)=Ox—4-lx—+2x—+3x—=2.

'/125125125125

(3)由已知可得亍=2.5,又9=12.3,

可得12.3=4x2.5+4,所以4=2.3,所以$，=4x+2.3.

以x=5代入可得9=22.3(百萬小時)，

即2019年第一季度該讀書APP用尸使用時長約為22.3百萬小時.

9.已知在生產設備正常的情況下，某零件生產線生產的零件尺寸X(單位：mm)服從正態分布

N(85,4),當零件尺寸X滿足3G,X<〃+3o"時合格，當X-3cr或X../+3。時不合格.

(1)已知當零件合格時，每個零件利潤為10元；當零件不合格時，每個零件虧損200元.假設這條生產線

每天生產10000個這樣的零件，則在生產正常的情況下，求該生產線每天利潤的期望；

(2)為了了解生產線的生產是否正常，需要對零件進行檢測.該生產線每天自動檢測100個零件，設零件

不合數為"，8(100,0.003),〃=%(心N')時我們認為該生產線正常生產的概率為尸(%),當

生產線生產的概率低于0.02時我們判定生產線異常.

某天該生產線檢測的零件尺寸如下：

尺寸/mm[78,79)[79,91)[91,92]合計

件數1981100

根據以上檢測數據判斷該生產線是否異常.

(附：若隨機變量X服從正態分布'(〃,4),則尸(〃-g,Xv"+cr)=68.3%,

P(〃-2G,X<〃+2b)=95.4%,P(〃-W,X<〃+3b)=99.7%,0.997*0.740,

9c98

C：000997x0.003x0.223,C.^0.997x0.003?().033)

【答案】(1)937007E；(2)生產線異常.

(1)設一個零件盈利y元，則丫的分布列為

Y10-200

概率0.9970.003

￡(y)=10x0.997+(-200)x0.003=9.37,所以10000x9.37=93700,

則生產正常的情況下，該生產線每天利潤的期望是93700元.

(2)因為M=85,cr=2,所以79Kx<91時，零件合格,

所以自動檢測的100個零件中不合格的有2個，即〃=2,此時生產線正常生產的概率

P（7>2）=1-P（?7=O）-P（?7=1）-P（77=2）

100982

=1-O.997-C：0no.997"x0.003-C^O.997x0.003

?1-0.0740-0.223-0.033=0.004

因為0.004v0.02,所以可以判定生產線異常.

10.某廠計劃購買50臺機床，該種機床使用四年后即被淘汰，并且在使用過程中機床有一易損零件，若在

購進機床同時額外購買這種易損零件作為備用件，此時每個只需300元.在使用期間如果備件不足再購

買，則每個要500元.所以在購買前要決策購買數目.使得該廠購買機床時搭配的易損備用零件費用最

省.為此業內相關人員先搜集了50臺以往這種機床在四年內更換的易損零件數，并整理數據后得如下柱狀

圖.

每臺

更

換易

損

零件

數

以這50臺機床更換的易損零件數的頻率代替每臺機床更換的易損零件數發生的概率.記X表示2臺機床

四年內實際共需更換的易損零件數，〃表示購買2臺機床的同時備用的易損零件數目，P（X=〃）為購買

機床時備用件數〃發生的概率.

（1）求P（XW0.5時〃的最小值；

（2）求X的分布列及備用的易損零件數〃=19時X的數學期望；

（3）將購買的機床分配給50名年齡不同（視技術水平不同）的人加工一批模具，因熟練程度不同而加工

出的產品數量不同，故產生的經濟效益也不同.若用變量x表示不同技工的年齡，變量V為相應的效益值

（元），根據以往統計經驗，他們的每日工作效益滿足最小二乘法和y關于工的線性回歸方程

y=1.2x+40,已知他們年齡x的方差為14.4,所對應的效益方差為4=22.5.

①試預測年齡為50歲的技工使用該機床每日所產生的經濟效益;

②試根據，?的值判斷使用該批機床的技工人員所產生的效益與技工年齡的相關性強弱.

附：下面三個計算回歸直線方程y=bx+a的斜率3和截距a及表示隨機變量”與y相關關系強弱的系數

「計算公式：…熱可’飛(；w序可

【答案】(1)19；⑵分布列見解析，E(X)=5490元；⑶①100元；②該機床的技工所產生的日經

濟效益與技工的年齡具有非常強的相關關系.

(1)根據圖示柱表，易知更換易損零件的頻數為10的頻率為為=0.2.易損零件的頻數為20的頻率為

20八)

—=0.4.

50

???將頻率視為概率，且知每臺機床易損零件的發生與否是相互獨立的，結合圖表得：

當X=16時，P(X=16=8+8)=0.2x0.2=0.04：

當X=17時，P(X=17=8+9=9+8)=0.2x0.4+0.4x0.2=0.16；

當X=18時，P(X=18=94-9=10+8=8+10)=0.4x0.4+2x0.2x0.2=0.24；

當X=19時，P(X=19=10+9=9+10=11+8=8+11)=2x0.4x0.24-2x0.2x0.2=0.24.

據互斥事件發生的概率知P(XW18)=P(X=16)+P(X=17)+尸(X=18)=0.44<0.5；

P(X<19)=P(X<18)+P(X=19)=0.44+0.24=0.68>0.5.

于是力的最小值為19；

(2)由(1)進而知，隨機變量X的可能取值為：16、17、18、19、20、21,

當X=20時，P(X=20=10+10=11+9=94-11)=0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.2；

當X=21時，P(X=21=10+11=11+10)=2x0.2x0.2=0.08：

當X=21時，P(X=22=11+11)=0.2x0.2=0.04.

于是分布列為：

X16171819202122

P0.()40.160.240.240.20.080.04

進而結合(1)知.當備用的易損零件數，=19時,X隨機變曷取值為16、17、18、19、20、21,需

注意的是，雖備用的易損零件數〃=19時，但發生的概率仍按實際需要的X臺機床時計算.

則購買易損零件所產生的實際費用數學期望為

E(X)=19x300x0.04+19x300x0.16+19x300x0.24+19x300x0.24

+(19x300+500)x0.2+(19x300+2x500)x0.08+(19x300+3x500)x0.04

=19x300(0.04+0.16+0.24+0.24)+1240+536+288=3876+1488+536+288=5940(元)；

(3)①先根據回歸方程易知￡=1.2x50+40=100(元)，即50歲的技工日使用該機床產生的效益為

1007U;

②???由方差計算公式知s；='+(“2_%)+…+(如—x)J

即等價化為50s；=■7)2+(W-到2+…+(/0一,~,

同理50s；=(%-y)2+(%—y)2+…+(%—),)2

又s；=14.4,s；=22.5,A=1.2,據公式求出相關系數廠則有

,=l二元)?一方=zla一元)(丫一方*

―亞/廠分*后:仙一寸一70^7

易知：該機床的技工所產生的日經濟效益與技工的年齡具有非常強的相關關系.

U.新型冠狀病毒是一種人傳人，而且隱藏至深、不易被人們直覺發現危及人們生命的嚴重病毒.我們把

與這種身帶新型冠狀病毒(稱之為患者)有過密切接觸的人群稱為密切關聯者.已知每位密切關聯者通過

核酸檢測被確診為陽性后的概率為〃(Ovpvl).一旦被確診為陽性后即將其隔離.某位患者在隔離之

前，每天有2位密切關聯者與之接觸(而這女個人不與其他患者接觸)，其中被感染的人數為

X(O<X《A).

(1)求一天內被感染人數X的概率〃(x)的表達式和X的數學期望;

(2)該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天內患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時間.設

每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與女位密切關聯者接觸.從某一從名患者被帶新型冠狀病毒

的第1天開始算起，第〃天新增患者的數學期望記為（九之2）.

①當左=10，P=g，求七8的值；

②試分析每位密切關聯者佩戴口罩后與患者接觸能否降低患病的概率，經大量臨床數據驗證佩戴口罩后被

感染患病的概率p'滿足關系式p'=ln（l+p）—當p'取得最大值時，計算p'所對應的線'和〃所對

應的E值，然后根據計算結果說明佩戴口罩的必要性（取力二10）.

1?

（參考數據：ln2“0.7,舊3六1.1,In5kl.6,-?0.3,7ko.7,66=46650計算結果保留整數）

337

【答案】⑴p（X）=C^px[\-p）K~X（0<X<K）,E（X）=Kp；（2）?233280；②線=6480

（人）；線'=16（人）；必要性見解析.

（1）根據題意，因為任何一個與患者密切接觸的關聯者，被感染（患?。┑母怕示鶠椤埃?/p>

又每天有％位密切關聯者與一患者接觸，設事件A：被病毒感染的人群，

隨機變量X的取值為：0,1,2,…，k.顯然事件A服從二項分布X~8（￡p）,

即p（X）二點pX（1—p）K'X（0<X<K）,顯然E（X）=.

（2）①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1,

第2天被感染人數增至為：l+lkp=T+kp；

第3天被感染人數增至為：（1+切）+（1+切）切=（1+切）2,

顯然第〃一1天被感染人數增至為；（1+3）”-2,第〃天被感染人數增至為；（1+切）”T,

于是根據題意中均值定義，第〃天新增加人數的數學期望紇=（1+切廣1-（1+切）”，

即紇=S（l+S）”—2,于是&=10x±l+10x±=5x66=233280.

②根據題意函數p'=〃p）=ln（l+p）-|p,求導得：/（〃）=焉告3；二）'

當且僅當T。,小時，r（p）>o,此時P'=/（P）單調遞增；當PE卜，r（p）?o，

即p'=/(p)單調遞減，于是P,M/XP'UX-p(g)=ln3_ln2_；k0.1.

此時p=g,〃'=0.1,

于是E6=10xg(l+10xg)=5X64=6480(人)，

F^IOX—fl+10x—=2"=161人).

610110J

經過計算得知，戴口罩情況下患者與密切接觸的關聯者接觸被感染的人數為16人，

而不戴口罩的情況下患者與密切接觸的關聯者接觸被感染的人數為6480人，

即線遠大于于是戴口罩是非常必要的.

12.某種疾病可分為I、II兩種類型.為了解該疾病類型與性別的關系，在某地區隨機抽取了患該疾病的病

人進行調查，其中女性是男性的2倍，男性患I型病的人數占男性病人的』，女性患I型病的人數占女性

6

病人的L

3

(1)若在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關，求男性患者至少有多少

人？

(2)某藥品研發公司欲安排甲乙兩個研發團隊來研發此疾病的治療藥物.兩個團隊各至多安排2個接種周

期進行試驗.甲團隊研發的藥物每次接種后產生抗體的概率為P,每人每次接種花費加(〃2>0)元，每個周

期至多接種3次，第一個周期連續2次出現抗體則終止本接種周期進入第二個接種周期，否則需依次接種

至第一周期結束，再進入第二周期；第二接種周期連續2次出現抗體則終止試驗，否則需依次接種至至試

驗結束；乙團隊研發的藥物每次接種后產生抗體的概率為4,每人每次花費〃(九>0)元，每個周期接種3

次，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內至少出現2次抗體，則該周期結束后終止試驗，否則進入

第二個接種周期.假設兩個研發團隊每次接種后產生抗體與否均相互獨立.

①若甲團隊的試驗平均花費大于乙團隊的試驗平均花費，求P、9、加、〃滿足的關系式；

②若用二〃，p=2q,從兩個團隊試驗的平均花費考慮，該公司應選擇哪個團隊進行藥品研發？

附：雨=7(a+Z\?)(ca+d*)(林a+)1c)(—Z?+d)

P[K24）0.100.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）12人；（2）?（）nqy-9nq2+2mp2+6n-6m<0：②見解析

解：（1）設男性患者有z人，則女性患者有2z人，列聯表如下：

I型病n型病合計

5zz

男z