由此可知，系統(tǒng)在諧波輸入后，其響應(yīng)可由

和C來確定，由于C是常數(shù)，研究系統(tǒng)時(shí)，主要考慮

變化，也就是研究頻率變化時(shí)的響應(yīng)特性的影響。例:對于一般的線性定常系統(tǒng)，其輸出為：，在輸入為時(shí)，由解微分方程的方法可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)部分：若系統(tǒng)確定，A(

)和

(

)就僅與

和C有關(guān)了。其中:4.1頻率特性的基本概念

1.頻率特性：在頻率域內(nèi)研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，用G(j

)表示；1)

正弦函數(shù)輸入時(shí)，頻率特性為系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)量與輸入量之比；2)非正弦、非周期函數(shù)輸入時(shí)，為系統(tǒng)輸出量的付氏變換與輸入量的付氏變換之比。2．幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值之比，用A(

)表示;3．相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相位之差，用

(

)表示。一、基本概念4.1頻率特性的基本概念

在傳遞函數(shù)給出具體形式后，我們便可通過反變換求出輸出響應(yīng)，從輸出的穩(wěn)態(tài)項(xiàng)中便可直接求出頻率特性。

諧波輸入信號為：二、頻率特性的求法輸出：設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)4.1頻率特性的基本概念1．從輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)項(xiàng)求取：例如：，當(dāng)輸入為時(shí)經(jīng)過拉氏反變換且整理后，便可得：前一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，則：4.1頻率特性的基本概念把傳遞函數(shù)G(s)中的s換為j

，則G(s)變換為G(j

)

2．從傳遞函數(shù)求取則：由此可知，將傳遞函數(shù)的s換j

后，用傳遞函數(shù)就表示了系統(tǒng)的頻率特性（幅頻、相頻），因?yàn)镚(j

)是一個復(fù)變量，可表示為：仍以為例。將傳遞函數(shù)的s換成j

后，有：

4.1頻率特性的基本概念3．用實(shí)驗(yàn)法求取

用不同的頻率輸入，測出相應(yīng)的輸出X0(

)和

(

)

，然后作圖即可，關(guān)鍵是輸入信號的產(chǎn)生和輸入、輸出的記錄。1.分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性2.可不求解微分方程。頻率分析的作用頻率特性的表達(dá)形式（在工程中多以圖形表達(dá)）

1.幅相頻率特性：它是在極坐標(biāo)下，描繪出的幅值和相角隨

變化的關(guān)系曲線，稱為極坐標(biāo)圖或乃奎斯特圖。

2.對數(shù)頻率特性：其特點(diǎn)是用兩張圖，頻率按對數(shù)分度，稱為Bode圖，它是目前應(yīng)用較為廣泛的一種方法。4.1頻率特性的基本概念

(

)ReU(

)V(

)A(

)G(j

)Im

一、極坐標(biāo)圖（Nyquist

dragram）頻率特性的復(fù)數(shù)表示：當(dāng)

取不同值時(shí)，其端點(diǎn)的軌跡就反映了頻率特性，由于它是在極坐標(biāo)下的圖，因此，把它稱作頻率特性的極坐標(biāo)圖，而它又是首先由Nyquist提出的，因此也把它叫做Nyquist圖。4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖

ImRekImRe

=0二、典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖1．比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）：

積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖是虛軸的下半軸。2．積分環(huán)節(jié)：4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖ReIm

=0

ReT

=13．微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖為虛軸的上半軸

4．慣性環(huán)節(jié):

Im因?yàn)?/p>

(

)<0，所以Nyquist圖在實(shí)軸的下面。

4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖1

(

)為什么其頻率特性是一個半圓？因此，其實(shí)頻和虛頻特性均是以

為參變量的函數(shù)，現(xiàn)消去參變量得：因此，它是一個以1/2為半徑，（1/2，0）為圓心的圓的方程，又由于

(

)

<0，所以它是一個半圓（見上圖）。證：從G(j

)的表達(dá)式中可以看出：4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖ImRe

(

)T

15．一階微分環(huán)節(jié)（或一階導(dǎo)前環(huán)節(jié)）：由于在實(shí)軸上恒為1，虛頻隨的增大而增大，又>0，所以其圖形為平行于虛軸的直線。

4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖

Im

Re

1

2

3

1

2

3

n=1/T6．二階振蕩環(huán)節(jié)：4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖

1

2

3ImRe1

1

2

3ImRe

=0

7．二階微分環(huán)節(jié)：

8．滯后環(huán)節(jié):14.2頻率特性的坐標(biāo)圖

：

三、Nyquist圖的一般作圖方法1．方法與步驟：

1）寫出A(

)和

(

)的表達(dá)式；

2）分別求出

=0和

+時(shí)的G(j

)

；

3）求乃氏圖與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn)；

4）必要時(shí)畫出乃氏圖中間幾點(diǎn)；

5）畫出大致曲線。2．舉例：例：已知：解:作Nyquist圖4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖Im

=0.707Re0.67由此可知，其乃氏圖與負(fù)實(shí)軸虛軸有交點(diǎn)，且隨

的增大，曲線距離原點(diǎn)距離越來越近。令：即：兩邊取正切：則：為該曲線與負(fù)時(shí)軸交點(diǎn)的頻率。為該交點(diǎn)距原點(diǎn)的距離。4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖

=0例：已知：作Nyquist圖解每增加一個慣性環(huán)節(jié)，起始點(diǎn)不變，終點(diǎn)仍在原點(diǎn)，只是相角切入角-90°；此時(shí)，頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸會有交點(diǎn)，應(yīng)準(zhǔn)確求出：令虛部為零，得到

代入實(shí)部便得4.2頻率特性的的極坐標(biāo)圖與上例區(qū)別在于多了一個積分環(huán)節(jié)由于

=0+時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的相角有很小的負(fù)值，所以，曲線在

=0+處應(yīng)在第三象限；=∞時(shí)，相角為-90°，畫出曲線如圖例：已知：作Nyquist圖解4.2頻率特性的的極坐標(biāo)圖四、乃氏圖形狀的判斷方法已知頻率特性的一般形式為：上式可改寫成下列形式：當(dāng)

=0時(shí)，稱系統(tǒng)為0型系統(tǒng)；當(dāng)

=1時(shí)，稱系統(tǒng)為I型系統(tǒng)；當(dāng)

=2時(shí)，稱系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，以此類推。（1）4.2頻率特性的的極坐標(biāo)圖1．低頻段（ω→0）由（1）得：0型系統(tǒng):I型系統(tǒng):II型系統(tǒng):2．高頻段（ω→+∞）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，4.2頻率特性的的極坐標(biāo)圖

例：已知

解：該系統(tǒng)為II型系統(tǒng)

3．加極點(diǎn)使系統(tǒng)相角滯后，加零點(diǎn)使系統(tǒng)相角超前。4．ω從-∞到0和ω從0到+∞的乃氏圖以實(shí)軸對稱。4.2頻率特性的的極坐標(biāo)圖一、Bode圖（Bodediagram）Nyquist圖可以在一張圖上把幅頻和相頻表達(dá)出來，但作圖不太方便，特別是對多環(huán)節(jié)是更是如此。為什么？對于多環(huán)節(jié)一般都是乘除關(guān)系。Bode圖就是頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖，把橫坐標(biāo)用對數(shù)表示。對于幅頻特性的縱坐標(biāo)，引入電信技術(shù)中的分貝單位來表示，而相頻特性的縱坐標(biāo)仍以度表示。因此，利用它有以下幾點(diǎn)好處：1）將乘除化為加減；2）可用來近似作圖；3）對多環(huán)節(jié)，可先分別作出各環(huán)節(jié)，然后疊加。4.3頻率特性的伯德圖

L(

)dbφ(

)

(dec)

(dec)

0.11101100

橫坐標(biāo)以

標(biāo)出，只不過刻度比例以對數(shù)為基礎(chǔ)，若

2=10

1，稱

1

從到

2

為10倍頻程，以（dec）表示。縱坐標(biāo)用的單位是分貝(db），它是指幅值p1，p2滿足20lg(p2/p1)，則稱p1和p2差1分貝。。*分貝的概念取源于電信技術(shù)，原本是表示功率的衰減程度，此處可理解為與另一幅值為1之比4.3頻率特性的伯德圖由于

=0不可能在對數(shù)坐標(biāo)中反映，因此橫坐標(biāo)的起點(diǎn)以要研究的最低頻率來表示。0.1L(

)20lgk

φ(

)

-2020-90

φ(

)L(

)二、典型環(huán)節(jié)的Bode圖1．比例環(huán)節(jié)：2．積分環(huán)節(jié)：

0.11104.3頻率特性的伯德圖

L(

)-202090

φ(

)3．微分環(huán)節(jié)：0.1110

L(

)漸近線精確線-20-20

4．慣性環(huán)節(jié):分析：在低頻段，

很小，在高頻段，

很大4.3頻率特性的伯德圖

T=1/T:

L(

)

45

90

φ(

)205．一階微分環(huán)節(jié)：或：將上面的計(jì)算式與慣性環(huán)節(jié)的計(jì)算式對比可發(fā)現(xiàn)，在

相同時(shí)，兩者的絕對值相等，而符號相反。所以其伯德圖形和慣性環(huán)節(jié)恰好相反。

T4.3頻率特性的伯德圖

T=1/T

=0.1

=0.3

=0.5

=0.8

n=1/T

/

n

L(

)

/

n

-180

-90

φ(

)

n=1/T

1

1

2

26．振蕩環(huán)節(jié)：在低頻段，

很小

在高頻段，

很大對于上式，當(dāng)T

=1

，L(

)=0（轉(zhuǎn)折點(diǎn)）4.3頻率特性的伯德圖-40

用低頻和高頻兩端的曲線我們同樣可以作出振蕩環(huán)節(jié)的近似曲線，或稱為漸近線。但要得到精確圖，我們必須計(jì)算出修正值（表4-3）或作出修正曲線。要注意的兩點(diǎn)是：

1）幅頻特性和相頻特性的大小均與

有關(guān)；

2）幅頻特性曲線都有最大值求證：4.3頻率特性的伯德圖7．二階微分環(huán)節(jié)：（略）8．滯后環(huán)節(jié)：

L(

)φ(

)0.1110

4.3頻率特性的的伯德圖

2．相頻：1）微、積分環(huán)節(jié)時(shí)為

90

，一階環(huán)節(jié)為0～90，二階環(huán)節(jié)為0～180；2）正負(fù)號區(qū)分：s在分母為負(fù)，s在分子為正；3）均對稱于特征點(diǎn)（

T

，45

）（1，90

）（

n，90

）小結(jié):1．幅頻：1）如果傳遞函數(shù)中的變量只在分母中出現(xiàn)，則其高頻漸近線的斜率為負(fù)（積分、慣性、振蕩環(huán)節(jié)）其中，只有一次項(xiàng)，其斜率值為20db/dec（積分、慣性環(huán)節(jié)），有二次項(xiàng)，其斜率值為40db/dec（振蕩環(huán)節(jié)）；如果傳遞函數(shù)中的變量只在分子中出現(xiàn)，則與上相反；2）漸近線均經(jīng)過其表達(dá)頻率的特征參數(shù)之點(diǎn)。如慣性、一階微分經(jīng)過

T

，振蕩、二階微分經(jīng)過

n

；3）有低頻漸近線時(shí)，其低頻漸近線為0。（滯后環(huán)節(jié)除外）4.3頻率特性的伯德圖三、系統(tǒng)Bode圖的繪制對于一個較復(fù)雜的系統(tǒng)，如何作Bode圖呢？1．方法與步驟（P128）2．舉例

例：解：1．化為典型環(huán)節(jié)之積

2．找出特征點(diǎn)，即轉(zhuǎn)折頻率4.3頻率特性的伯德圖L(

)

0.4220lg3

-90

-45

45

90

L1

L3

L2

-20-20

2040

3．作各環(huán)節(jié)的漸近線

4．除比例環(huán)節(jié)外疊加L1、L2、L3當(dāng)

>3

時(shí)當(dāng)

=3

時(shí)當(dāng)

=2時(shí)5．考慮比例環(huán)節(jié)（上移）

6．用誤差修正φ(

)4.3頻率特性的伯德圖

（1）四、最小和非最小相位系統(tǒng)定義：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)均在s平面的左半面，稱此系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否則為非最小相位系統(tǒng)。問題：傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)如何反映系統(tǒng)的相位呢？從系統(tǒng)的相頻特性加以理解。如已知一個系統(tǒng)其傳遞函數(shù)為：

零點(diǎn)是Zi=-1/

i

（i=1，2

m），極點(diǎn)是Pk=-1/Tk（k=1，2

n）其中

i、Tk均>0，則零點(diǎn)和極點(diǎn)均在s平面的左半平面，而在此情況下，系統(tǒng)的相位如何呢？4.3頻率特性的伯德圖（2）假如這個系統(tǒng)有的零點(diǎn)在s平面的右邊，也就是有的

為負(fù)值，比如有q個這樣的點(diǎn),則系統(tǒng)的相位為:對以上兩式進(jìn)行分析，從傳遞函數(shù)的表達(dá)式中可以看出，分子是

m

個一階微分環(huán)節(jié)相乘，微分環(huán)節(jié)的相位是在0～90之間，而分母是n個慣性環(huán)節(jié)之積，其相位也是在0～90變化。當(dāng)時(shí)，（1）式為：G(j

)=-90(n-m)（3）（2）式為：G(j

)=-90(n+2q-m)（4）由（3）（4）比較可知，最小相位系統(tǒng)的相位變化最小。綜上所述，最小相位系統(tǒng)雖然是看零點(diǎn)和極點(diǎn)是否在左半平面，而它的實(shí)質(zhì)是考慮系統(tǒng)相位的變化是否最小。例4-6，（P130），又例4-7，（P134）4.3頻率特性的伯德圖如果系統(tǒng)的物理模型較復(fù)雜，難以建立正確的數(shù)學(xué)模型（微分方程），則可用實(shí)驗(yàn)方法測出系統(tǒng)的頻率特性曲線，再估算出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。當(dāng)

=0

稱該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)；當(dāng)=1

稱該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)；當(dāng)=2

稱該系統(tǒng)為II型系統(tǒng)。以此類推。對于一般的線性定常系統(tǒng)，其頻率特性總可以寫成：

分析：

1）

0型系統(tǒng)令k=k0，則（1）式可寫成：（相當(dāng)于比例、一階微分環(huán)節(jié)分和慣性環(huán)節(jié)迭加）（1）4.4由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)

低頻段：ω很小，L(

)

3-20

2

1-20

20lgk0

轉(zhuǎn)角頻率為：ω1=1/T1,ω2=1/T2,ω3=1/τ1。（設(shè)ω1<ω2<ω3）分別畫出各環(huán)節(jié)的漸近線，迭加后得：注意：如不滿足ω1<ω2<ω3的條件，曲線形狀會改變。P158題4-6(e)已知：k0=10,ω1=0.05,ω2=0.1,ω3=0.5則：-404.4由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)

2）I型系統(tǒng)令k=kI，則上式可寫成：（相當(dāng)于比例、微分、積分和慣性環(huán)節(jié)迭加）低頻段：ω很小，ωτ1、ωT1、ωT2<<1則ω=1時(shí)，

轉(zhuǎn)角頻率為：ω1=1/T1,ω2=1/T2,ω3=1/τ1（設(shè)ω1<ω2<ω3）4.4由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)低頻段近似為積分環(huán)節(jié)，分別畫出各環(huán)節(jié)的漸近線，迭加后得：

-40

-20-60-40圖（b）ω1<1圖（a）ω1>1；20lgkIL(

)

3

2

11-40-20-60-4020lgkIL(

)

3

2

114.4由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)3）II型系統(tǒng)，推導(dǎo)分析方法同上，詳見書P98P275題7-10-40-20-60-40-40-20-6020lg30L(

)

50.114.4由頻率特性曲線求傳