PAGEPAGE8習題5.11.設在每次實驗中，事件發生的概率為0.75，利用切比雪夫不等式估計在1000次獨立試驗中，發生的次數在700-800之間的概率.【解】設發生的次數為，則，所求概率為：.2.假設一條生產線生產的產品合格率是0.8.要使一批產品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%，問這批產品至少要生產多少件？【解】令而至少要生產n件，則i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn獨立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.現要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.習題5.21.某車間有同型號機床200臺，每部機床開動的概率為0.7，假定各機床開動與否互不影響，開動時每部機床消耗電能15個單位.問至少供應多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產.【解】要確定最低的供應的電能量，應先確定此車間同時開動的機床數目最大值m，而m要滿足200部機床中同時開動的機床數目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應15m單位電能就可滿足要求.令X表同時開動機床數目，則X~B（200，0.7）,查表知,m=151.所以供電能151×15=2265（單位）.2.一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk（k=1，2，…，20），設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區間（0，10）上服從均勻分布.記V=，求P{V＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20由中心極限定理知，隨機變量于是即有P{V>105}≈0.3483.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設100根中有X根短于3m，則X~B（100，0.2）從而4.某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對于醫治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1)X~B(100,0.8)，(2)X~B(100,0.7)，5.用拉普拉斯中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數X，則p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故6.設有30個電子器件.它們的使用壽命T1，…，T30服從參數λ=0.1[單位：]的指數分布，其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，以此類推.令T為30個器件使用的總計時間，求T超過350小時的概率.【解】故7.上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用（假定一年有306個工作日，每個工作日為8小時）.【解】設至少需n件才夠用.則E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.從而即故所以需272a元.8.對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長數相與獨立，且服從同一分布.（1）求參加會議的家長數X超過450的概率？（2）求有1名家長來參加會議的學生數不多于340的概率.【解】（1）以Xi(i=1,2,…,400)記第i個學生來參加會議的家長數.則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.而,由中心極限定理得于是(2)以Y記有一名家長來參加會議的學生數.則Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得9.設男孩出生率為0.515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數，則X~B（10000，0.515）要求女孩個數不少于男孩個數的概率，即求P{X≤5000}.由中心極限定理有10.設有1000個人獨立行動，每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計，在一次行動中：（1）至少有多少個人能夠進入？（2）至多有多少人能夠進入？【解】用Xi表第i個人能夠按時進入掩蔽體（i=1,2,…,1000）.令Sn=X1+X2+…+X1000.(1)設至少有m人能夠進入掩蔽體，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件由中心極限定理知：從而故所以m=900-15.65=884.35≈884人(2)設至多有M人能進入掩蔽體，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.11.在一定保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內一個人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險公司領得1000元賠償費.求：（1）保險公司沒有利潤的概率為多大；（2）保險公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設X為在一年中參加保險者的死亡人數，則X~B（10000，0.006）.(1)公司沒有利潤當且僅當“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率為(2)因為“公司利潤≥60000”當且僅當“0≤X≤60”于是所求概率為習題5.3一復雜系統由100個相互獨立起作用的部件構成.在整個系統運行期間每個部件損壞的概率為0.1，為了使整個系統起作用，至少必須有85個部件正常工作，（1）利用MATLAB軟件精確計算整個系統起作用的概率；（2）利用中心極限定理估計整個系統起作用的概率.【解】程序代碼：p=0.9;P1=1-binocdf(84,100,p)P2=1-normcdf(85,90,3)輸出結果：P1=0.9601,P2=0.9522.某保險公司多年統計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機抽查的10000個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數.（1）利用MATLAB軟件，精確求被盜索賠戶不少于1900戶且不多于2100戶的概率.；（2）利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于1900戶且不多于2100戶的概率近似值.【解】輸入程序：p=0.2;P1=binocdf(2100,100,p)-binocdf(1899,10000,p)P2=normcdf(2100,2000,40)-normcdf(1900,2000,40)輸出結果：P1=0.9942,P2=0.9876.第5章考研真題1.設隨機變量X和Y的數學期望都是2，方差分別為1和4，而相關系數為0.5試根據切比雪夫不等式給出P{|X-Y|≥6}的估計.（2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以2.設獨立同分布，，用切比雪夫不等式估計（2022研考）【解】由得，，故從而，由切比雪夫不等式，.3.某保險公司多年統計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機抽查的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數.（1）寫出X的概率分布；（2）利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.（1988研考）【解】（1）X可看作100次重復獨立試驗中，被盜戶數出現的次數，而在每次試驗中被盜戶出現的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是(2)被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率即為事件{14≤X≤30}的概率.由中心極限定理，得4.一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的.假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.(2001研考)【解】設Xi（i=1,2