第07講立體幾何中的軌跡、截面、動點、范圍問題（9類核心考點精講精練）立體幾何中的動點軌跡問題，是一個備受關注的重要專題，它在各級各類考試中占據一席之地，特別是在高考中亦常有所見。此類題型不僅是檢驗學生空間想象能力、思維能力和創新意識的有效手段，也是培養學生數學核心素養的重要途徑。在高考復習備考過程中，其試題常以選擇、多選、填空等形式呈現，設計巧妙，注重知識間的交匯與融合，題型新穎靈活，旨在全面考查學生的綜合素質。通過此類題型，不僅能夠檢驗學生對各部分知識間的縱向和橫向聯系的掌握程度，還能夠激發學生的創新意識和創新能力，滲透數學思想方法，充分體現新課程標準的要求和數學核心素養的培育目標。然而，由于這類問題通常涉及較為復雜的空間幾何體結構特征，對于許多學生而言，確實存在一定的挑戰和難度。知識講解方法點睛1：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：1、立體幾何中的動態問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般是根據線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關系的存在性問題，首先假設存在，然后再該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論，則否定假設；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.方法點睛2：立體幾何中的軌跡問題：1、由動點保持平行性求軌跡.（1）線面平行轉化為面面平行得軌跡；（2）平行時可利用法向量垂直關系求軌跡.2、動點保持垂直求軌跡.（1）可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標運算求軌跡；（3）利用垂直關系轉化為平行關系求軌跡.3、由動點保持等距（或者定距）求軌跡.（1）距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線的定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；（2）利用空間坐標計算求軌跡.4、由動點保持等角（或定角）求軌跡.（1）直線與面成定角，可能是圓錐側面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側面；（3）利用空間坐標系計算求軌跡.5、投影求軌跡.（1）球的非正投影，可能是橢圓面；（2）多面體的投影，多為多邊形.6、翻折與動點求軌跡.（1）翻折過程中尋求不變的垂直關系求軌跡；（2）翻折過程中尋求不變的長度關系求軌跡；（3）利用空間坐標運算求軌跡.考點一、軌跡形狀1．（浙江·高考真題）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支2．（北京·高考真題）平面的斜線交于點，過定點的動直線與垂直，且交于點，則動點的軌跡是（）A．一條直線 B．一個圓 C．一個橢圓 D．曲線的一支3．（北京·高考真題）如圖，在正方體中，是側面內一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡是（

）A．直線 B．圓C．雙曲線 D．拋物線4．（天津·高考真題）如圖，定點A，B都在平面內，定點，C是內異于A和B的動點，且，則動點C在平面內的軌跡是（

）A．一條線段，但要去掉兩個點 B．一個圓，但要去掉兩個點C．一段弧，但要去掉兩個點 D．半圓，但要去掉兩個點5．（重慶·高考真題）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線6．（浙江·高考真題）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是A．圓 B．橢圓C．一條直線 D．兩條平行直線7．（重慶·高考真題）若三棱錐的側面內一動點P到底面的距離與到棱的距離相等，則動點P的軌跡與組成圖形可能是（

）A． B．C． D．8．（北京·高考真題）如圖，動點在正方體的對角線上，過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于M，N．設，，則函數的圖象大致是（）A．B．C．D．1．（2023·浙江·一模）已知線段垂直于定圓所在的平面，是圓上的兩點，是點在上的射影，當運動，點運動的軌跡（

）A．是圓 B．是橢圓 C．是拋物線 D．不是平面圖形2．（2023·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內的動點，當直線與的所成角為45°時，點Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，正四棱柱中，，點是面上的動點，若點到點的距離是點到直線的距離的2倍，則動點的軌跡是（

）的一部分A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線4．（2023·全國·模擬預測）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點到、距離相等，則點在平面內的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線5．（2023·云南文山·模擬預測）用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側面的交線）是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線．記圓錐軸截面半頂角為，截口曲線形狀與，有如下關系：當時，截口曲線為橢圓；當時，截口曲線為拋物線：當時，截口曲線為雙曲線．其中，，現有一定線段AB，其與平面所成角（如圖），B為斜足，上一動點P滿足，設P點在的運動軌跡是，則（

）A．當，時，是橢圓 B．當，時，是雙曲線C．當，時，是拋物線 D．當，時，是圓6．（2024·浙江溫州·一模）如圖，所有棱長都為1的正三棱柱，，點是側棱上的動點，且，為線段上的動點，直線平面，則點的軌跡為（

）

A．三角形（含內部） B．矩形（含內部）C．圓柱面的一部分 D．球面的一部分7．（2023·貴州黔西·一模）在正方體中，點為平面內的一動點，是點到平面的距離，是點到直線的距離，且（為常數），則點的軌跡不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線考點二、軌跡長度1．（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）已知正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為底面正方形ABCD上一動點，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡的長度為．2．（2024·四川南充·二模）三棱錐中，，，為內部及邊界上的動點，，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）已知正四棱錐的體積為，底面的四個頂點在經過球心的截面圓上，頂點在球的球面上，點為底面上一動點，與所成角為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北襄陽·模擬預測）如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個定點，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點A在平面BCD內的射影H在的內部（包括邊界），則點H的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．5．（2024·江西·二模）已知正方體的棱長為4，點滿足，若在正方形內有一動點滿足平面，則動點的軌跡長為（

）A．4 B． C．5 D．6．（2023·江西贛州·二模）在棱長為4的正方體中，點滿足，，分別為棱，的中點，點在正方體的表面上運動，滿足面，則點的軌跡所構成的周長為（

）A． B． C． D．7．（2024·廣西南寧·一模）在邊長為4的菱形中，．將菱形沿對角線折疊成大小為的二面角．若點為的中點，為三棱錐表面上的動點，且總滿足，則點軌跡的長度為（

）A． B． C． D．8．（22-23高三下·江蘇南京·階段練習）如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點，與交于點，現將，，，分別沿，，，把這個矩形折成一個空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點分別記為，，為的中點，則多面體的體積為；若點是該多面體表面上的動點，滿足時，點的軌跡長度為．1．（2024·江蘇·一模）在棱長為的正方體中，點分別為棱，的中點．已知動點在該正方體的表面上，且，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．2（2023·河北·模擬預測）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長為2，其內切球O的表面積為，動點Q在正方形ABCD內運動，且滿足，則動點Q形成軌跡的周長為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·三模）在棱長為5的正方體中，是中點，點在正方體的內切球的球面上運動，且，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點，為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知點是邊長為1的正方體表面上的動點，若直線與平面所成的角大小為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西銅川·模擬預測）在正四棱臺中，，，是四邊形內的動點，且，則動點運動軌跡的長度為（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，底面是等邊三角形，側面是等腰直角三角形，，是平面內一點，且，若，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．8．（2023·青海·模擬預測）在正四棱臺中，，點在底面內，且，則的軌跡長度是.考點三、軌跡區域面積1．（2023·四川成都·三模）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為．2．（2024·四川成都·二模）在所有棱長均相等的直四棱柱中，，點在四邊形內（含邊界）運動．當時，點的軌跡長度為，則該四棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2022·山東濰坊·三模）已知正方體的棱長為1，空間一動點滿足，且，則，點的軌跡圍成的封閉圖形的面積為．4．（2023·上海·模擬預測）正方體的邊長為1，點分別為邊的中點，是側面上動點，若直線與面的交點位于內（包括邊界），則所有滿足要求的點構成的圖形面積為.5．（2023·廣西·一模）如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內部（含邊界）的一個動點，則（

）A．有且僅有一個點P，使得 B．平面C．若，則三棱錐外接球的表面積為 D．M為的中點，若MP與平面ABCD所成的角為，則點P的軌跡長為1．（2024·四川成都·二模）在正方體中，點在四邊形內（含邊界）運動.當時，點的軌跡長度為，則該正方體的表面積為（

）A．6 B．8 C．24 D．542．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知四棱錐中，側面底面，，底面是邊長為的正方形，是四邊形及其內部的動點，且滿足，則動點構成的區域面積為（

）A． B． C． D．3．（2022·福建三明·模擬預測）已知正方體中，，點E為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點E的軌跡所圍成的面積為．4．（2024·北京延慶·一模）已知在正方體中，，是正方形內的動點，，則滿足條件的點構成的圖形的面積等于（

）A． B． C． D．5．（22-23高三上·江西撫州·期中）已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時.若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為.

6．（2024·四川綿陽·三模）如圖，正方體的棱長為3，點是側面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且．則下列結論不正確的是（

）A．若保持．則點的運動軌跡長度為B．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C．沿正方體的表面從點到點的最短路程為D．當在點時，三棱錐的外接球表面積為考點四、軌跡中長度的最值及范圍1．（2022·青海西寧·二模）在棱長為3的正方體中，P為內一點，若的面積為，則AP的最大值為．2．（17-18高二下·山西大同·階段練習）已知正方體的棱長為2，點M，N分別是棱，的中點，點P在平面內，點Q在線段上，若，則長度的最小值為.

3．（23-24高三上·河北承德·期中）如圖，在直三棱柱中，，若為空間一動點，且，則滿足條件的所有點圍成的幾何體的體積為；若動點在側面內運動，且，則線段長的最小值為．

1．（2024·江西宜春·模擬預測）如圖，在四面體中，和均是邊長為6的等邊三角形，，則四面體外接球的表面積為；點E是線段AD的中點，點F在四面體的外接球上運動，且始終保持EF⊥AC，則點F的軌跡的長度為.2．（2023·山東棗莊·二模）如圖，在棱長為1的正方體中，M是的中點，點P是側面上的動點，且．平面，則線段MP長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·陜西西安·模擬預測）已知正方體的棱長為是正方形（含邊界）內的動點，點到平面的距離等于，則兩點間距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．考點五、軌跡中體積的最值及范圍1．（2024·重慶·三模）已知棱長為1的正方體內有一個動點M，滿足，且，則四棱錐體積的最小值為.2．（2023·福建龍巖·二模）正方體的棱長為2，若點M在線段上運動，當的周長最小時，三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．1．（2024·山東·模擬預測）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直，點在正方形及其內部運動，點在矩形及其內部運動．設，，若，當四面體體積最大時，則該四面體的內切球半徑為．2．（2024·山東青島·三模）已知長方體中，，點為矩形內一動點，記二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值為.考點六、軌跡中空間角的最值及范圍1．（2021·山東濱州·二模）在正方體中，是棱的中點，是底面內（包括邊界）的一個動點，若平面，則異面直線與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇鹽城·三模）動點在正方體從點開始沿表面運動，且與平面的距離保持不變，則動直線與平面所成角正弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（17-18高三上·江西鷹潭·階段練習）如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點，C、D是平面內的兩點，且，，，，．P是平面上的一動點，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．14．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知正方形的邊長為2，是平面外一點，設直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（

）A． B． C． D．1．（2021·湖南永州·模擬預測）已知正四面體內接于半徑為的球中，在平面內有一動點，且滿足，則的最小值是；直線與直線所成角的取值范圍為.2．（2023·河南·模擬預測）正方體的棱長為，為中點，為平面內一動點，若平面與平面和平面所成銳二面角相等，則點到的最短距離是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·青海西寧·開學考試）如圖，正四面體的棱長為2，點E在四面體外側，且是以E為直角頂點的等腰直角三角形．現以為軸，點E繞旋轉一周，當三棱錐E?BCD的體積最小時，直線與平面所成角的正弦值的平方為（

）

A． B． C． D．考點七、截面問題1．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知，底面半徑的圓錐內接于球，則經過和中點的平面截球所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）在正方體中，E，F分別為棱，的中點，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·二模）用兩個平行平面去截球體，把球體夾在兩截面之間的部分稱為球臺．根據祖暅原理（“冪勢既同，則積不容異”），推導出球臺的體積，其中分別是兩個平行平面截球所得截面圓的半徑，是兩個平行平面之間的距離．已知圓臺的上、下底面的圓周都在球的球面上，圓臺的母線與底面所成的角為，若圓臺上、下底面截球所得的球臺的體積比圓臺的體積大，則球O的表面積與圓臺的側面積的比值的取值范圍為．4．（22-23高三下·湖北武漢·期中）在正四棱臺中，，AA1=23，M為棱的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面MBD截該正四棱臺的截面面積是（

A． B． C． D．5．（2024·北京豐臺·二模）“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”．利用這個原理，小明在家里用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2024·四川瀘州·三模）已知正方體的棱長為2，P為的中點，過A，B，P三點作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·云南曲靖·模擬預測）正方體外接球的體積為，、、分別為棱的中點，則平面截球的截面面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣西·模擬預測）在三棱錐中，平面，，，，點為棱上一點，過點作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當該截面面積取得最大值時，（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·四川德陽·階段練習）已知正三棱錐的外接球是球，正三棱錐底邊，側棱，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·重慶·三模）在三棱錐中，為正三角形，為等腰直角三角形，且，，則三棱錐的外接球的體積為；若點滿足，過點作球的截面，當截面圓面積最小時，其半徑為.考點八、軌跡、截面、動點、范圍多選題綜合1．（2024·重慶·模擬預測）已知正方體的棱長為2，M為的中點，N為ABCD（包含邊界）上一動點，為平面上一點，且平面ABCD，那么（

）A．若，則N的軌跡為圓的一部分B．若三棱柱的側面積為定值，則N的軌跡為橢圓的一部分C．若點N到直線與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線的一部分D．若與AB所成的角為，則N的軌跡為雙曲線的一部分2．（2024·廣東廣州·模擬預測）在棱長為1的正方體中，若點為四邊形內（包括邊界）的動點，為平面內的動點，則下列說法正確的是（

）A．若，則平面截正方體所得截面的面積為B．若直線與所成的角為，則點的軌跡為雙曲線C．若，則點的軌跡長度為D．若正方體以直線為軸，旋轉后與其自身重合，則的最小值是1203．（2024·遼寧大連·二模）在棱長為2的正方體中，M為中點，N為四邊形內一點（含邊界），若平面BMD，則下列結論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．點N的軌跡長度為 D．的取值范圍為4．（2024·重慶·模擬預測）已知正方體的棱長為1，空間中一動點滿足，分別為的中點，則下列選項正確的是（

）A．存在點，使得平面B．設與平面交于點，則C．若，則點的軌跡為拋物線D．三棱錐的外接球半徑最小值為5．（23-24高二上·廣東清遠·期末）如圖，在正方體中，點為線段上的動點，則下列結論正確的是（

）A．當時，的值最小B．當時，C．若平面上的動點滿足，則點的軌跡是橢圓D．直線與平面所成角的正弦值是6．（23-24高二上·湖北·期末）如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（

）A．當在平面上運動時，三棱錐的體積為定值B．當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．當直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為D．當在底面上運動，且滿足平面時，線段長度的取值范圍是7．（2024·湖南長沙·二模）在正方體中，為的中點，是正方形內部一點（不含邊界），則（

）A．平面平面B．平面內存在一條直線與直線成角C．若到邊距離為，且，則點的軌跡為拋物線的一部分D．以的邊所在直線為旋轉軸將旋轉一周，則在旋轉過程中，到平面的距離的取值范圍是8．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成角記為，當為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓．著名數學家創立的雙球實驗證明了上述結論．如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．下列結論中正確的有（

）

A．橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等B．橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C．所得橢圓的離心率D．其中為橢圓長軸，為球半徑，有9．（2024·浙江臺州·二模）已知正方體的棱長為1，為平面內一動點，且直線與平面所成角為，E為正方形的中心，則下列結論正確的是（

）A．點的軌跡為拋物線B．正方體的內切球被平面所截得的截面面積為C．直線與平面所成角的正弦值的最大值為D．點為直線上一動點，則的最小值為1．（2024·遼寧大連·一模）正四棱柱中，，動點滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．當時，直線平面B．當時，的最小值為C．若直線與所成角為，則動點P的軌跡長為D．當時，三棱錐外接球半徑的取值范圍是2．（2024·河北保定·二模）已知正三棱柱的所有棱長均為為的中點，平面過點與直線垂直，與直線分別交于點是內一點，且，則（

）A．為的中點B．C．為的中點D．的最小值為3．（2024·浙江·三模）在棱長為1的正方體中，已知分別為線段的中點，點滿足，則（

）A．當時，三棱錐的體積為定值B．當，四棱錐的外接球的表面積是C．周長的最小值為D．若，則點的軌跡長為4．（2024·河北石家莊·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，則下列說法正確的有（

）

A．若點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為B．若點為線段上的動點（包含端點），則的最小值為C．若點為的中點，則平面與四邊形的交線長為D．若點在側面正方形內（包含邊界）且，則點的軌跡長度為5．（2024·湖南益陽·三模）如圖，點P是棱長為2的正方體的表面上的一個動點，則下列結論正確的是（

）A．當點P在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當點P在線段AC上運動時，與所成角的取值范圍為C．使直線AP與平面ABCD所成角為的動點P的軌跡長度為D．若F是的中點，當點P在底面ABCD上運動，且滿足平面時，PF長度的最小值為6．（2024·貴州貴陽·模擬預測）在正三棱柱中，，點P滿足，其中，則（

）A．當時，最小值為B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，平面AB1P⊥D．若，則P的軌跡長度為7．（2024·河北衡水·三模）已知在正方體中，，點為的中點，點為正方形內一點（包含邊界），且平面，球為正方體的內切球，下列說法正確的是（

）A．球的體積為 B．點的軌跡長度為C．異面直線與BP所成角的余弦值取值范圍為 D．三棱錐外接球與球內切8．（2024·浙江嘉興·模擬預測）如圖，點P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（

）A．當P在平面上運動時，三棱錐的體積為定值B．當P在線段AC上運動時，與所成角的取值范圍是C．若F是的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足時，長度的最小值是D．使直線AP與平面ABCD所成的角為的點P的軌跡長度為9．（23-24高三下·山東·開學考試）如圖，在棱長為1的正方體中，M為平面所在平面內一動點，則（

）

A．若M在線段上，則的最小值為B．過M點在平面內一定可以作無數條直線與垂直C．若平面，則平面截正方體的截面的形狀可能是正六邊形D．若與所成的角為，則點M的軌跡為雙曲線考點九、軌跡、截面、動點、范圍大題綜合1．（2022·廣東汕頭·二模）如圖所示，C為半圓錐頂點，O為圓錐底面圓心，BD為底面直徑，A為弧BD中點．是邊長為2的等邊三角形，弦AD上點E使得二面角的大小為30°，且．(1)求t的值；(2)對于平面ACD內的動點P總有平面BEC，請指出P的軌跡，并說明該軌跡上任意點P都使得平面BEC的理由．2．（2024·重慶·一模）如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，．

(1)若為的中點，求證：平面平面；(2)若平面與平面所成的角的余弦值為．（ⅰ）求線段的長；（ⅱ）設為內（含邊界）的一點，且，求滿足條件的所有點組成的軌跡的長度．3．（22-23高二上·北京石景山·期末）如圖1，在中，是直角，，是斜邊的中點，分別是的中點．沿中線將折起，連接，點是線段上的動點，如圖2所示．(1)求證：平面；(2)從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作為已知，當二面角的余弦值為時．求的值．條件①：；條件②：．4．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知四邊形是直角梯形，，平面是的中點，E是的中點，的面積為，四棱錐的體積為．(1)求證：平面;(2)若P是線段上一動點，當二面角的大小為時，求的值．5．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點，證明：平面平面；(2)若，，線段上的點滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實數的值.1．（2023·湖南·模擬預測）如圖，四棱錐內，平面，四邊形為正方形，，．過的直線交平面于正方形內的點，且滿足平面PAM⊥平面.(1)當時，求點的軌跡長度；(2)當二面角的余弦值為時，求二面角的余弦值.2．（22-23高二上·重慶九龍坡·期中）如圖①所示，長方形中，，，點是邊靠近點的三等分點，將△沿翻折到△PAM，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設的大小為，若，求平面PAM和平面夾角余弦值的最小值.3．（22-23高三上·浙江寧波·期末）在菱形中，G是對角線上異于端點的一動點（如圖1），現將沿向上翻折，得三棱錐（如圖2）.(1)在三棱錐中，證明：；(2)若菱形的邊長為，，且，在三棱錐中，當時，求直線與平面所成角的正弦值.4．（23-24高二上·上海·期末）把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中底面長軸，短軸長為下底面橢圓的左右焦點，為上底面橢圓的右焦點，為上的動點，為上的動點，為過點的下底面的一條動弦（不與重合）．(1)求證：當為的中點時，平面(2)若點是下底面橢圓上的動點，是點在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的取值范圍．(3)求三棱錐的體積的最大值．5．（2024·湖北·模擬預測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點P在平面內的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點F為棱上一點，滿足，在棱上是否存在一點Q，使得直線與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.6．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點，點，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.1．（2021·遼寧沈陽·模擬預測）在長方體中，點是底面上的一個動點，當三角形的面積為定值時，滿足條件的點所形成的圖形為（

）A．圓的一部分 B．直線的一部分C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分2．（2021·河北保定·一模）已知長方體，動點到直線的距離與到平面的距離相等，則在平面上的軌跡是（

）A．線段 B．橢圓一部分 C．拋物線一部分 D．雙曲線一部分3．（2021·安徽合肥·模擬預測）已知正四棱柱，底面邊長為4，側棱長為，平面為經過且與平面平行的平面，平面內一動點P滿足到點的距離與到直線BD的距離相等，則動點P的軌跡為（

）A．圓 B．雙曲線 C．兩條直線 D．拋物線4．（陜西西安·階段練習）如圖，正方體中，P為底面上的動點，于E，且則點P的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分5．（2021·廣東韶關·一模）設正方體的棱長為1，為底面正方形內的一動點，若三角形的面積，則動點的軌跡是（

）A．圓的一部分 B．雙曲線的一部分C．拋物線的一部分 D．橢圓的一部分6．（2021·福建龍巖·一模）正方體的棱長為a，P是正方體表面上的動點，若，則動點P的軌跡長度為.7．（2023·上海松江·一模）動點的棱長為1的正方體表面上運動，且與點的距離是，點的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為8．（2021·浙江溫州·模擬預測）已知過平面外一點A的斜線l與平面所成角為，斜線l交平面于點B，若點A與平面的距離為1，則斜線段在平面上的射影所形成的圖形面積是（

）A． B． C． D．9．（2022·河南許昌·三模）如圖，在體積為3的三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，若點M是側面CBP內一動點，且滿足，則點M的軌跡長度的最大值為（

）A．3 B．6 C． D．10．（2023·河南·三模）如圖，在棱長為1的正方體中，是截面上的一個動點（不包含邊界），若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．11．（2021·北京海淀·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，是側面內的一個動點（不包含端點），則下列說法中正確的是（

）A．三角形的面積無最大值、無最小值B．存在點，滿足C．存在有限個點，使得三角形是等腰三角形D．三棱錐的體積有最大值、無最小值12．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）已知正四面體的棱長為6，點P在內(不含邊界)，若，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024·山東濰坊·一模）如圖所示，在棱長為1的正方體中，點為截面上的動點，若，則點的軌跡長度是（

）A． B． C． D．12．（23-24高三上·江西撫州·階段練習）設A、B是半徑為的球體O表面上的兩定點，且，球體O表面上動點M滿足，則點M的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·湖北武漢·三模）如圖，已知正方體的棱長為，為底面內（包括邊界）的動點，則下列結論正確的是（

）．A．三棱錐的體積為定值B．存在點，使得C．若，則點在正方形底面內的運動軌跡長為D．若點是的中點，點是的中點，過，作平面平面，則平面截正方體的截面面積為4．（2023·河南·模擬預測）如圖，設正方體的棱長為，點是的中點，點為空間內兩點，且，則（

）

A．若平面，則點與點重合B．設，則動點的軌跡長度為C．平面與平面的夾角的余弦值為D．若，則平面截正方體所得截面的面積為5．（2024·江西九江·三模）如圖，正方體的棱長為1，點在截面內，且，則（

）A．三棱錐的體積為 B．線段的長為C．點的軌跡長為 D．的最大值為6．（2023·湖南·模擬預測）在棱長為1的正方體中，為正方體表面上的動點，為線段上的動點，若直線與的夾角為，則下列說法正確的是（

）A．點的軌跡確定的圖形是平面圖形B．點的軌跡長度為C．的最小值為D．當點在側面上時，的最小值為17．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知正方體棱長為4，點N是底面正方形ABCD內及邊界上的動點，點M是棱上的動點（包括點），已知，P為MN中點，則下列結論正確的是（

）A．無論M，N在何位置，為異面直線 B．若M是棱中點，則點P的軌跡長度為C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP與平面所成角的正弦最大值為8．（2024·廣西南寧·一模）在邊長為2的正方體中，動點滿足，且，下列說法正確的是（

）A．當時，的最小值為B．當時，異面直線與所成角的余弦值為C．當，且時，則的軌跡長度為D．當時，與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題9．（2024·上海奉賢·二模）點是棱長為1的正方體棱上一點，則滿足的點的個數為．10．（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，已知分別是棱的中點，則平面截正方體所得的截面面積為，若為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為．

11．（2024·山西晉城·模擬預測）如圖所示，正方形是圓柱的軸截面，且，已知為圓柱側面上的點，則集合平面平面表示橢圓的離心率為.

12．（2023·江西九江·三模）如圖，棱長為2的正方體中，P，Q為四邊形內的點（包括邊界），且點P到AB的距離等于到平面的距離，點Q到的距離等于到平面ABCD的距離，則的最小值為.第07講立體幾何中的軌跡、截面、動點、范圍問題（9類核心考點精講精練）立體幾何中的動點軌跡問題，是一個備受關注的重要專題，它在各級各類考試中占據一席之地，特別是在高考中亦常有所見。此類題型不僅是檢驗學生空間想象能力、思維能力和創新意識的有效手段，也是培養學生數學核心素養的重要途徑。在高考復習備考過程中，其試題常以選擇、多選、填空等形式呈現，設計巧妙，注重知識間的交匯與融合，題型新穎靈活，旨在全面考查學生的綜合素質。通過此類題型，不僅能夠檢驗學生對各部分知識間的縱向和橫向聯系的掌握程度，還能夠激發學生的創新意識和創新能力，滲透數學思想方法，充分體現新課程標準的要求和數學核心素養的培育目標。然而，由于這類問題通常涉及較為復雜的空間幾何體結構特征，對于許多學生而言，確實存在一定的挑戰和難度。知識講解方法點睛1：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：1、立體幾何中的動態問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般是根據線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關系的存在性問題，首先假設存在，然后再該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論，則否定假設；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.方法點睛2：立體幾何中的軌跡問題：1、由動點保持平行性求軌跡.（1）線面平行轉化為面面平行得軌跡；（2）平行時可利用法向量垂直關系求軌跡.2、動點保持垂直求軌跡.（1）可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標運算求軌跡；（3）利用垂直關系轉化為平行關系求軌跡.3、由動點保持等距（或者定距）求軌跡.（1）距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線的定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；（2）利用空間坐標計算求軌跡.4、由動點保持等角（或定角）求軌跡.（1）直線與面成定角，可能是圓錐側面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側面；（3）利用空間坐標系計算求軌跡.5、投影求軌跡.（1）球的非正投影，可能是橢圓面；（2）多面體的投影，多為多邊形.6、翻折與動點求軌跡.（1）翻折過程中尋求不變的垂直關系求軌跡；（2）翻折過程中尋求不變的長度關系求軌跡；（3）利用空間坐標運算求軌跡.考點一、軌跡形狀1．（浙江·高考真題）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支【答案】C【詳解】用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線．此題中平面上的動點滿足，可理解為在以為軸的圓錐的側面上，再由斜線段與平面所成的角為，可知的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義．故可知動點的軌跡是橢圓．故選C.考點：1.圓錐曲線的定義；2.線面位置關系.2．（北京·高考真題）平面的斜線交于點，過定點的動直線與垂直，且交于點，則動點的軌跡是（）A．一條直線 B．一個圓 C．一個橢圓 D．曲線的一支【答案】A【分析】先找出定點A和直線確定的一個平面，結合平面相交的特點可得軌跡類型.【詳解】如圖，設與是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個平面，且的斜線，由過平面外一點有且只有一個平面與已知直線垂直可知過定點與垂直所有直線都在這個平面內，故動點都在平面與平面的交線上.

【點睛】本題主要考查軌跡的類型確定，熟悉平面的基本性質及推論是求解的關鍵，側重考查直觀想象的核心素養.3．（北京·高考真題）如圖，在正方體中，是側面內一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡是（

）A．直線 B．圓C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】由于在平面內，而平面，因此有，這樣結合拋物線的定義可得結論．【詳解】在正方體中，一定有，∴點為平面內到直線和到點的距離相等的點，其軌跡為拋物線．故選D．【點睛】本題考查拋物線的定義，考查立體幾何中的垂直關系．屬于跨章節綜合題，難度不大．4．（天津·高考真題）如圖，定點A，B都在平面內，定點，C是內異于A和B的動點，且，則動點C在平面內的軌跡是（

）A．一條線段，但要去掉兩個點 B．一個圓，但要去掉兩個點C．一段弧，但要去掉兩個點 D．半圓，但要去掉兩個點【答案】B【分析】連接，由已知條件可得平面，從而可得，則點C在內的軌跡是以為直徑的圓，進而可得答案【詳解】連接，因為，所以，又，，所以平面，又平面，故，因為A，B是平面上的定點，所以點C在內的軌跡是以為直徑的圓，又C是內異于A和B的點，故此軌跡要去掉A、B兩個點，所以B正確.故選：B5．（重慶·高考真題）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【分析】利用空間向量可求動點的軌跡.【詳解】如圖，設兩條相互垂直的異面直線一條為軸，另一條為與軸垂直的直線，且該直線上的點的坐標為，其中為非零常數，設上的點，設，則，而軸的方向向量為，故到軸的距離為,而，的方向向量為同理到軸的距離為，故，化簡可得，取平面，則，此時，故軌跡為雙曲線.故選：D.先做出兩條異面直線的公垂線，以其中一條直線為x軸，公垂線與x軸交點為原點，公垂線所在直線為z軸，過x且垂直于公垂線的平面為xoy平面，建立空間直角坐標系，則兩條異面直線的方程就分別是y=0，z="0"和x=0，z=a（a是兩異面直線公垂線長度，是個常數），空間內任意點設它的坐標是（x，y，z）那么由已知，它到兩條異面直線的距離相等，即兩邊平方，化簡可得，過一條直線且平行于另一條直線的平面是z=0和z=a，分別代入所得式子z=0時代入可以得到，圖形是個雙曲線，z=a時，代入可以得到，圖形也是個雙曲線考點：拋物線的定義；雙曲線的標準方程6．（浙江·高考真題）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是A．圓 B．橢圓C．一條直線 D．兩條平行直線【答案】B【詳解】試題分析：本題其實就是一個平面斜截一個圓柱表面的問題，因為三角形面積為定值，以AB為底，則底邊長一定，從而可得P到直線AB的距離為定值，分析可得，點P的軌跡為一以AB為軸線的圓柱面，與平面α的交線，且α與圓柱的軸線斜交，由平面與圓柱面的截面的性質判斷，可得P的軌跡為橢圓．考點：本題考查了平面與圓柱面的截面性質的判斷點評：解決時要注意截面與圓柱的軸線的不同位置時，得到的截面形狀也不同7．（重慶·高考真題）若三棱錐的側面內一動點P到底面的距離與到棱的距離相等，則動點P的軌跡與組成圖形可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設二面角為，作面于，于，于，根據題設有為常數，進而分析P在上的軌跡，即可得答案.【詳解】若二面角為，作面于，于，于，如上圖示，，由題設有，即為常數，所以P在上的軌跡是一條直線，且與邊夾角較小.故選：D8．（北京·高考真題）如圖，動點在正方體的對角線上，過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于M，N．設，，則函數的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意知，MN⊥平面BB1D1D，則MN在底面ABCD上的射影是與對角線AC平行的直線，故當動點P在對角線BD1上從點B向D1運動時，x變大y變大，直到P為BD1的中點時，y最大為AC．然后x變小y變小，直到y變為0，因底面ABCD為正方形，故變化速度是均勻的，且兩邊一樣．故答案為B．考點：函數的圖像與圖像項變化．點評：本題考查了函數圖象的變化，根據幾何體的特征和條件進行分析兩個變量的變化情況，再用圖象表示出來，考查了作圖和讀圖能力．屬于中檔題．1．（2023·浙江·一模）已知線段垂直于定圓所在的平面，是圓上的兩點，是點在上的射影，當運動，點運動的軌跡（

）A．是圓 B．是橢圓 C．是拋物線 D．不是平面圖形【答案】A【分析】設定圓圓心為，半徑為，由線面垂直的判定與性質可推導證得，由直角三角形性質可確定，由此可得軌跡圖形.【詳解】設定圓圓心為，半徑為，連接，設直徑為，連接，平面，平面，；為直徑，，又，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，平面，，在中，，則點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.故選：A.2．（2023·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內的動點，當直線與的所成角為45°時，點Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓【答案】C【分析】建系，利用空間向量結合線線夾角分析運算.【詳解】以點D為原點，，，為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，設，可得，，因為直線與的所成角為，則，化簡可得，所以點Q的軌跡為拋物線.故選：C.

3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，正四棱柱中，，點是面上的動點，若點到點的距離是點到直線的距離的2倍，則動點的軌跡是（

）的一部分A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】建立如圖空間直角坐標系，設，利用兩點距離公式可得，即可求解.【詳解】由題意知，以D為原點，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標系，則，設，所以，因為到的距離是到的距離的2倍，所以，即，整理，得，所以點P的軌跡為雙曲線.故選：C4．（2023·全國·模擬預測）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點到、距離相等，則點在平面內的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】設在內的射影為，以與的交點為原點，為軸，為軸，與的公垂線為軸，建立空間直角坐標系.設，利用空間向量坐標法表示距離，列出方程，求解結果.【詳解】設在內的射影為，到的距離為，以與的交點為原點，為軸，為軸，與的公垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則到的距離為.過點作于點，過點作于點，又在內的射影為，則，連結,又，，所以平面，又平面，所以，所以，所以則到的距離為,因為點到、距離相等，所以，即，所以點在平面內的軌跡為雙曲線.故選：C.【點睛】方法點睛：關于立體幾何中的軌跡問題，一般要建立適當的空間直角坐標系，根據已知信息列出的等量關系，化簡得出軌跡方程，結合方程特征找到軌跡曲線.5．（2023·云南文山·模擬預測）用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側面的交線）是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線．記圓錐軸截面半頂角為，截口曲線形狀與，有如下關系：當時，截口曲線為橢圓；當時，截口曲線為拋物線：當時，截口曲線為雙曲線．其中，，現有一定線段AB，其與平面所成角（如圖），B為斜足，上一動點P滿足，設P點在的運動軌跡是，則（

）A．當，時，是橢圓 B．當，時，是雙曲線C．當，時，是拋物線 D．當，時，是圓【答案】AC【分析】P在以AB為軸的圓錐上運動，結合題干信息，逐一分析即可.【詳解】∵AB為定線段，為定值，∴P在以AB為軸的圓錐上運動，其中圓錐的軸截面半頂角為，與圓錐軸AB的夾角為，對于A，，∴平面截圓錐得橢圓，故A正確；對于B，，平面截圓錐得橢圓，故B錯誤；對于C，，平面截圓錐得拋物線，故C正確；對于D，，平面截圓錐得橢圓，故D不正確．故選：AC．6．（2024·浙江溫州·一模）如圖，所有棱長都為1的正三棱柱，，點是側棱上的動點，且，為線段上的動點，直線平面，則點的軌跡為（

）

A．三角形（含內部） B．矩形（含內部）C．圓柱面的一部分 D．球面的一部分【答案】A【分析】根據題意首先保持在線段上不動（與重合），研究當點運動時的軌跡為線段，再根據點在線段上運動的軌跡即可得出點的軌跡為及其內部的所有點的集合.【詳解】如下圖所示：

首先保持在線段上不動，假設與重合根據題意可知當點在側棱上運動時，若點在點處時，為的中點，此時由可得滿足，當點運動到圖中位置時，易知，取，可得，取棱上的點，滿足，根據三角形相似可得三點共線，當點在側棱上從點運動到點時，點軌跡即為線段；再研究當點在線段上運動，當點在線段上從點運動到點時，點的軌跡是線段，當點在線段上從點運動到點時，點的軌跡是線段，因此可得，當點是側棱上運動時，在線段上運動時，點的軌跡為及其內部的所有點的集合；即可得的軌跡為三角形（含內部）.故選：A7．（2023·貴州黔西·一模）在正方體中，點為平面內的一動點，是點到平面的距離，是點到直線的距離，且（為常數），則點的軌跡不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】根據條件作出正方體，再以為原點，直線、和分別為、和軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為（），再設點，根據題目條件得到，分類討論，、時，結合圓錐曲線的方程特征，即可求解.【詳解】由條件作出正方體，并以為原點，直線、和分別為、和軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設正方體的棱長為（），點，所以得，，由，得，所以，即①（），當時，①式化得：，此時，點的軌跡是拋物線；當時，①式化得：，即，②，當時，，則②式，是雙曲線的方程，即點的軌跡為雙曲線；當時，，則②式，是橢圓的方程，即點的軌跡為橢圓；故選：A.考點二、軌跡長度1．（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）已知正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為底面正方形ABCD上一動點，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡的長度為．【答案】【分析】利用線面角求法得出N的軌跡為正方形內一部分圓弧，求其圓心角計算弧長即可.【詳解】如圖所示，取BC中點G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，

故MN與底面ABCD的夾角即，∴，則，故N點在以G為原點為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，即N的軌跡為圖示中的圓弧，易知，所以長為.故答案為：.2．（2024·四川南充·二模）三棱錐中，，，為內部及邊界上的動點，，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得三棱錐為正三棱錐，即可得三棱錐的高，設點在底面上的射影為，即可得，進而可得點的軌跡及其長度.【詳解】

如圖所示，由，，可知三棱錐為正三棱錐，設中點為，則，，，設點在底面上的射影為，則平面，，又為內部及邊界上的動點，，所以，所以點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓在內部及邊界上的部分，如圖所示，

，，即，，所以點的軌跡長度為，故選：B.3．（2024·全國·模擬預測）已知正四棱錐的體積為，底面的四個頂點在經過球心的截面圓上，頂點在球的球面上，點為底面上一動點，與所成角為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據錐體的體積公式結合外接球的性質可得半徑和四棱錐的底邊邊長，進而根據銳角三角函數可得，即可判斷點的軌跡為為圓心，半徑的圓，即可求解.【詳解】由題意，設球的半徑為．如圖所示，連接交于點，連接，則，，平面，所以，解得．在中，因為，，所以．因為正方形的中心到各邊的距離為，所以點的軌跡為平面內，以點為圓心，半徑的圓，故點的軌跡長度為．故選:D．

4．（2023·湖北襄陽·模擬預測）如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個定點，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點A在平面BCD內的射影H在的內部（包括邊界），則點H的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意：點H的軌跡是以點B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成60°的圓錐側面交線的一部分，該部分是圓心角為的弧長，只要求出半徑即可.【詳解】如圖所示：因為AB與平面BCD所成的角為，且點A在平面BCD上的射影H，，所以，所以點H在以點B為球心，以為半徑的球面上，又點H在以AB為軸，以AH為母線的圓錐的側面上，所以點H的軌跡為以點B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成的圓錐側面交線的一部分，即圖中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，因為二面角α﹣1﹣β的平面角的大小為，所以，又，所以點H的軌跡的長度等于，故選：D.5．（2024·江西·二模）已知正方體的棱長為4，點滿足，若在正方形內有一動點滿足平面，則動點的軌跡長為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】C【分析】在棱上分別取點，使得，，連接，證明平面平面即可得點的軌跡為線段，再計算長度即可.【詳解】如圖，在棱上分別取點，使得，，連接，因為，，所以，，因為平面，平面，所以平面，因為，所以，又，正方體的棱長為4，所以，，，在棱上取點,使得，則且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又且，則四邊形是平行四邊形，所以，所以，因為，所以，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以，平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面平面，所以，在正方形內有一動點滿足平面時，點的軌跡為線段，因為，所以，動點的軌跡長為.故選：C.6．（2023·江西贛州·二模）在棱長為4的正方體中，點滿足，，分別為棱，的中點，點在正方體的表面上運動，滿足面，則點的軌跡所構成的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出輔助線，找到點的軌跡，利用勾股定理求出邊長，得到周長.【詳解】延長，交的延長線與，連接，分別交，于，過點作交于點，過點作交于點，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為，所以平面平面，過點作交于點，連接，則則平行四邊形（點除外）為點的軌跡所構成的圖形，因為正方體棱長為4，，分別為棱，的中點，，所以，因為，所以，過點作⊥于點，則，則由幾何關系可知，所以，由勾股定理得，所以點的軌跡所構成的周長為.故選：D7．（2024·廣西南寧·一模）在邊長為4的菱形中，．將菱形沿對角線折疊成大小為的二面角．若點為的中點，為三棱錐表面上的動點，且總滿足，則點軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二面角的平面角可結合余弦定理求解求，進而利用線面垂直可判斷點軌跡為，求解周長即可．【詳解】連接、，交于點，連接，為菱形，，所以，，，所以為二面角的平面角，于是，又因為，所以，取中點，取中點，連接、、，所以、，所以、，，相交，所以平面，所以在三棱錐表面上，滿足的點軌跡為，因為，，，所以的周長為，所以點軌跡的長度為．故選：A．8．（22-23高三下·江蘇南京·階段練習）如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點，與交于點，現將，，，分別沿，，，把這個矩形折成一個空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點分別記為，，為的中點，則多面體的體積為；若點是該多面體表面上的動點，滿足時，點的軌跡長度為．【答案】【分析】根據給定的幾何體，證明平面，求出四棱錐的體積即可；證明點所在平面平行于平面，作出過點與平面平行的幾何體的截面，求出其周長作答.【詳解】連接，有，而，為中點，則有，，則平面，同理平面，又平面與平面有公共點，于是點共面，而，即有，，因為，，平面，則平面，又平面，即有，則，同理，即，從而，即四邊形為平行四邊形，，，等腰梯形中，高，其面積，顯然平面，所以多面體的體積；因為平面，同理可得平面，又，則平面，依題意，動點所在平面與垂直，則該平面與平面平行，而此平面過點，令這個平面與幾何體棱的交點依次為，則,又為的中點，則點為所在棱的中點，即點的軌跡為五邊形，長度為：.故答案為：；【點睛】思路點睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動點在某個平面內，利用給定條件，借助線面、面面平行、垂直等性質，確定動點與所在平面內的定點或定直線關系，結合有關平面軌跡定義判斷求解.1．（2024·江蘇·一模）在棱長為的正方體中，點分別為棱，的中點．已知動點在該正方體的表面上，且，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據條件得到點軌跡為以為直徑的球，進而得出點的軌跡是六個半徑為a的圓，即可求出結果.【詳解】因為，故P點軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點即為正方體中心，球心在每個面上的射影為面的中心，設在底面上的射影為，又正方體的棱長為，所以，易知，，又動點在正方體的表面上運動，所以點的軌跡是六個半徑為a的圓，軌跡長度為，故選：B．2（2023·河北·模擬預測）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長為2，其內切球O的表面積為，動點Q在正方形ABCD內運動，且滿足，則動點Q形成軌跡的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等體積法及幾何關系求出關于動點Q的等式關系，根據相關幾何意義即可求出動點Q形成軌跡的周長.【詳解】設內切球O的半徑為R，則，∴．如圖，連接AC與BD，設交點為F，取AD的中點E，連接PE，PF，EF．根據等體積法得，∴，整理得，又，解得，．∴，，．在中，．∴點Q在以點F為圓心，為半徑的圓上，其周長為．故選：C．3．（2024·四川成都·三模）在棱長為5的正方體中，是中點，點在正方體的內切球的球面上運動，且，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，作出輔助線，得到⊥平面，由點到平面的距離和球的半徑得到點的軌跡為以為半徑的圓，從而求出點的軌跡長度.【詳解】以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，球心，取的中點，的中點，連接，則，，，故，，又，平面，故⊥平面，故當位于平面與內切球的交線上時，滿足，此時到平面的距離為，，其中為平面截正方體內切球所得截面圓的半徑，故點的軌跡為以為半徑的圓，故點的軌跡長度為.故選：B4．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點，為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標原點，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，由空間向量的位置關系可證得平面，可得點的軌跡為圓，由此即可得．【詳解】解：以為坐標原點，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，，，，，，故，，，設平面的法向量為m=x,y,z，則，令得，，故，因為，故平面，為平面上的動點，直線與直線的夾角為30°，平面，設垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點的軌跡，其中，由對稱性可知，，故半徑，故點的軌跡長度為.故選：C.5．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知點是邊長為1的正方體表面上的動點，若直線與平面所成的角大小為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，分析可得點的軌跡，分別計算各段軌跡的長度即可.【詳解】若點P在正方形內，過點P作平面于，連接.則為直線與平面所成的角，則，又，則，得，則點的軌跡為以為圓心半徑為1的圓（落在正方形內的部分），若點P在正方形內或內，軌跡分別為線段和，因為點P不可能落在其他三個正方形內，所以點的軌跡如圖所示：故點P的軌跡長度為.故選：D6．（2024·陜西銅川·模擬預測）在正四棱臺中，，，是四邊形內的動點，且，則動點運動軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理得到，即可得到點的軌跡，然后求長度即可.【詳解】

設在平面內的射影為，則在線段上，則，，，故動點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓在正方形內部部分，如圖所示，其中，故，又，所以，因為，所以，故，故動點的軌跡長度是．故選：A．7．（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，底面是等邊三角形，側面是等腰直角三角形，，是平面內一點，且，若，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，連接，作交的延長線于點，利用線面垂直的判定得到平面，進而得出，再結合余弦定理和同角三角函數的基本關系可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，最后結合圓的周長計算公式即可求解.【詳解】如圖，取的中點，連接，易得，又，平面，所以平面，又，所以，，，在中，，由余弦定理得，作交的延長線于點，則，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以，在中，，則，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則點的軌跡長度為，故選：C，【點睛】方法點睛：立體幾何中的軌跡問題：1、由動點保持平行性求軌跡.（1）線面平行轉化為面面平行得軌跡；（2）平行時可利用法向量垂直關系求軌跡.2、動點保持垂直求軌跡.（1）可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標運算求軌跡；（3）利用垂直關系轉化為平行關系求軌跡.3、由動點保持等距（或者定距）求軌跡.（1）距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線的定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；（2）利用空間坐標計算求軌跡.4、由動點保持等角（或定角）求軌跡.（1）直線與面成定角，可能是圓錐側面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側面；（3）利用空間坐標系計算求軌跡.5、投影求軌跡.（1）球的非正投影，可能是橢圓面；（2）多面體的投影，多為多邊形.6、翻折與動點求軌跡.（1）翻折過程中尋求不變的垂直關系求軌跡；（2）翻折過程中尋求不變的長度關系求軌跡；（3）利用空間坐標運算求軌跡.8．（2023·青海·模擬預測）在正四棱臺中，，點在底面內，且，則的軌跡長度是.【答案】【分析】過點作交于點，根據已知線段長度和位置關系求解出，然后確定出的軌跡為，再通過扇形的弧長公式求解出軌跡長度.【詳解】連接，連接，過點作交于點，因為，所以，所以，所以，因為幾何體為正四棱臺，所以平面，所以，又因為，平面，平面，所以，所以A1Q⊥平面，又因為，所以，以為圓心，為半徑畫圓，如下圖，即為的軌跡，過作，分別交于，因為，所以，所以，所以，所以的長度為，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查立體幾何中的軌跡問題，對于空間想象能力和計算能力要求較高，難度較大.解答問題的關鍵是求解出的長度從而確定出的軌跡形狀，借助扇形的弧長公式完成相關計算.考點三、軌跡區域面積1．（2023·四川成都·三模）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】10【分析】先推出平面，設過的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，推出平面，從而可得點的軌跡是矩形AEFC，計算這個矩形的面積即可得解.【詳解】因為是圓柱下底面圓的直徑，所以，又，，平面，所以平面，設過的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以點在平面內，又點在圓柱的表面，所以點的軌跡是矩形AEFC，依題意得，，，所以，所以矩形AEFC的面積為.故點的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：.2．（2024·四川成都·二模）在所有棱長均相等的直四棱柱中，，點在四邊形內（含邊界）運動．當時，點的軌跡長度為，則該四棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據軌跡的長度求出棱長，利用四棱柱的表面積公式可求答案.【詳解】設棱長為，延長，過點作垂直于的延長線于，由，可得；由直四棱柱的性質可得，平面，所以；因為，所以.在平面內，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在四邊形內的部分，即圖中圓弧.因為，所以，因為點的軌跡長度為，所以，即.四棱柱的表面積為.故選：A.

3．（2022·山東濰坊·三模）已知正方體的棱長為1，空間一動點滿足，且，則，點的軌跡圍成的封閉圖形的面積為．【答案】【分析】利用，轉化為求的正切值；先確定點的軌跡圍成的封閉圖形為圓，在用面積公式計算.【詳解】.由正方體知平面，又點滿足，所以點在平面內運動，如圖，連接，交于點，連接，，由對稱性，，所以，解得所以所以點的軌跡圍成的封閉圖形是以點為圓心，為半徑的圓，所以面積.故答案為：；.4．（2023·上海·模擬預測）正方體的邊長為1，點分別為邊的中點，是側面上動點，若直線與面的交點位于內（包括邊界），則所有滿足要求的點構成的圖形面積為.【答案】/【分析】設，利用空間向量求交點的坐標，再根據交點位于內（包括邊界），則，求出滿足的關系式，作出相應區域，即可得結果.【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，設，可得，設平面的法向量為，則有，令，則，即，設直線與面的交點為，則，∵點在直線上，可設，則，即，故，則，又∵點在面上，則，解得，故，則，設，則，解得，若點位于內（包括邊界），則，整理得，如圖，在面中，即，作出相應的區域，可得，故點構成的圖形面積為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：（1）根據三點共線：若在直線上，可設，用表示點的坐標；（2）根據共面向量：點位于內（包括邊界），則.5．（2023·廣西·一模）如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內部（含邊界）的一個動點，則（

）A．有且僅有一個點P，使得 B．平面C．若，則三棱錐外接球的表面積為 D．M為的中點，若MP與平面ABCD所成的角為，則點P的軌跡長為【答案】D【分析】根據線面垂直判斷線線垂直可求解A，利用線面平行判斷B，根據外接球與三棱錐的的幾何關系判斷C，利用線面角的定義確定點的軌跡即可求解D,【詳解】對于A，連接,因為平面,平面,所以,且四邊形為正方形，所以,且，平面,所以平面,所以當點在線段上時，必有平面,則，所以存在無數個點P，使得，A錯誤；對于B，當點與點重合時，與平面相交，B錯誤；對于C，若，則為中點，連接,則為等腰直角三角形，且PB⊥PC，且也為等腰直角三角形，且,且平面平面，所以取中點為，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑為,所以我外接球的表面積為，C錯誤；對于D，連接因為平面，所以為MP與平面ABCD所成的角，所以，所以,所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的個圓弧，所以點P的軌跡長為，D正確，故選:D.1．（2024·四川成都·二模）在正方體中，點在四邊形內（含邊界）運動.當時，點的軌跡長度為，則該正方體的表面積為（

）A．6 B．8 C．24 D．54【答案】C【分析】由線段是定值結合正方體的特征得出點的軌跡，結合弧長公式計算即可.【詳解】設正方體棱長為，由正方體性質知平面，平面，得，所以，所以點軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，設圓弧分別交與點，則，所以，同理，所以圓心角是，則軌跡長度為，可得，所以正方體的表面積為.故選：.2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知四棱錐中，側面底面，，底面是邊長為的正方形，是四邊形及其內部的動點，且滿足，則動點構成的區域面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點，連接、，推導出平面，可知點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓及其內部，結合圓的面積公式可求得結果.【詳解】取線段的中點，連接、，因為，為的中點，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為平面，則，因為四邊形是邊長為的正方形，則，所以，，，所以，點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓及其內部，因此，動點構成的區域面積為.故選：B.3．（2022·福建三明·模擬預測）已知正方體中，，點E為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點E的軌跡所圍成的面積為．【答案】【分析】連接交平面于，連接，則有四面體為正三棱錐，由題意可得在平面內的軌跡是以O為圓心，半徑為1的圓即可得答案.【詳解】解：如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面體中，,

,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，,又因為，所以，即在平面內的軌跡是以O為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:.4．（2024·北京延慶·一模）已知在正方體中，，是正方形內的動點，，則滿足條件的點構成的圖形的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，在平面上，分別以為軸建立平面直角坐標系，設，根據已知列出滿足的關系，進而可得滿足條件的點構成的圖形，計算面積即可.【詳解】如圖，連接，則，

如圖，在平面上，分別以為軸建立平面直角坐標系，

則，設，由，得，即，整理得，設直線與交于點，則點在內部(含邊界)，