拋物線必會十大基本題型講與練04以拋物線為情景的最值與范圍問題典例分析類型一、以拋物線為情景的點線最值問題1．拋物線上的一動點M到直線距離的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對求導可求與直線平行且與拋物線相切的切線方程，再利用兩平行線的距離公式可得所求的最小距離．【詳解】因為，所以，令，得，所以與直線平行且與拋物線相切的切點，切線方程為，即，由兩平行線的距離公式可得所求的最小距離.2．已知拋物線的焦點為，過點的直線交于，兩點，則的中點到的準線的距離的最小值為（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】設出直線的方程，聯立后利用弦長公式表達出，求出長度的最小值，再利用拋物線的定義來進行轉化，得到的中點到的準線的距離為的一半，進而求出點到的準線的距離的最小值.【詳解】如圖，分別過點，，作準線的垂線，垂足分別為，，，則設直線的方程為，，，，.聯立，整理得，則，.，.3．已知直線和直線，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】結合拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，即直線是拋物線的準線.拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和，也即是到直線與焦點的距離之和，最小值為到直線的距離，即.4．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，直線，動點M在C上運動，記點M到直線l與l′的距離分別為d1，d2，O為坐標原點，則當d1+d2最小時，cos∠MFO＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設MN⊥l'，垂足為N，d1+d2＝|MF|+|MN|，當M、F、N三點共線時，d1+d2最小，再結合點到直線的距離公式，以及直角三角形中的銳角的余弦值即可求出結果.【詳解】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設MN⊥l'，垂足為N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，當M、F、N三點共線時，d1+d2最小，∵拋物線C：y2＝4x，∴焦點F（1，0），∴|FN|＝d＝，設直線l'與x軸的交點為D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．類型二、以拋物線為情景的斜率最值問題1．已知拋物線的焦點為F，點A在拋物線上，若存在點B，滿足，則OB的斜率的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設點，，表示出，考慮的正負情況，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意：，，設點，，A在拋物線上，故，，，由得，即，，當時，；當時，，當且僅當即時，等號成立，2．設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】設出，P點坐標，根據及拋物線方程，得到，從而表達出直線OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【詳解】因為，設，顯然當時，，當時，，則要想求解直線OM的斜率的最大值，此時，設，因為，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，則，當且僅當，即時，等號成立，故直線OM的斜率的最大值為.∴k有最大值，3．已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點到F的距離為3，(1)求拋物線C的方程和點A的坐標；(2)設過點且斜率為k的直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N．若，求斜率k的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據題意求出p，得拋物線方程，代入點即可得解；（2）設直線，聯立拋物線方程得出根與系數的關系，得出的范圍，再根據，求取值范圍即可.【解析】(1)由題意知，得，所以拋物線C的方程為．將點代入，得，所以點A的坐標為．(2)直線與拋物線聯立，消去y得，，解得或．設，則有，則，即，又．所以，則因為，設，則，因為，則，所以因為或，所以k的取值范圍是。類型三、有關拋物線焦點的最值問題1．已知拋物線的焦點為F，準線為l，且l過點，M在拋物線C上，若點，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出拋物線的方程，根據拋物線上的點到焦點的距離轉化為到拋物線的準線的距離，結合圖象，即可求出結果．【詳解】拋物線的焦點為，準線為且l過點，拋物線的準線方程是，則拋物線的方程為，因為，點在拋物線內，過點作準線的垂線，垂足是，在拋物線上，是拋物線的焦點，，當三點共線時，（圖中虛線位置），取到最小值，即最小值為，2．（多選題）已知拋物線焦點為，點，點在拋物線上，則下列結論正確的是（

）A．的最小值為3 B．的最大值為7C．的最小值為-2 D．的最大值為3【答案】ACD【分析】畫出圖象，根據拋物線的圖象可得，，當，，三點共線時即可求解．過作軸平行線，與準線交于點，與拋物線交于點，此時取最小值.【詳解】如圖1，點在拋物線外，，故的最小值為，A正確；如圖2，只有當，，三點共線時最大，最大值為，如圖3，過作軸平行線，與準線交于點，與拋物線交于點，根據拋物線定義，，此時有最小值.3．已知拋物線C：的焦點F到準線l的距離為4，過焦點F的直線與拋物線相交于，兩點，則下列結論中正確的是（

）A．拋物線C的準線l的方程為B．的最小值為4C．若，點Q為拋物線C上的動點，則的最小值為6D．的最小值【答案】ACD【解析】【分析】由焦點到準線的距離可得的值，進而求出拋物線的方程，可判斷A正確；設直線的方程與拋物線的方程聯立，求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質可得弦長的表達式，再由參數的范圍可得其最小值，判斷B不正確；過作準線的垂線，垂足為，由拋物線的性質可得，可判斷C正確；由兩根之積及均值不等式的性質可得的最小值為，判斷D正確．【詳解】由焦點到準線的距離為4可得，所以拋物線的方程為，A中，由拋物線的方程為，所以可得準線方程為，故A正確；中，過焦點的直線為，則，整理可得，可得，，所以，時取等號，最小值為8，所以不正確；中，滿足，可知點在拋物線內部，過作準線的垂線，垂足為，則，當且僅當，，三點共線時取等號，所以的最小值為6，故正確；中，由B的分析可知：由拋物線的方程可得：，所以，當且僅當時取等號，所以正確；類型四、以拋物線為情景的參數范圍問題1．已知拋物線，直線，且在上恰有兩個點到的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設與平行且與拋物線相切的直線方程，利用判別式等于零求得，再根題意得兩直線間的距離，解不等式可得答案.【詳解】設直線與拋物線相切，聯立，得，，∵，∴,由題意得，直線與直線的距離，即，解得，∴,2．已知拋物線上存在關于直線對稱的相異兩點，則實數p的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】存在關于直線對稱的相異兩點，第一步設出直線方程，聯立方程根與系數的關系，求出中點坐標，代入拋物線方程求解即可.【詳解】設拋物線上關于直線對稱的兩點是，設直線的方程為．將代入拋物線方程，得，則，則的中點P的坐標為．因為點P在直上，所以，即．又，將代入得，即，解得3．已知動直線l過拋物線的焦點F，且與拋物線C交于兩點，且點M在x軸上方，O為坐標原點，線段的中點為G.(1)若直線的斜率為求直線l的方程;(2)設點，若恒為銳角，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】設出直線方程，聯立拋物線方程，表達出G點坐標，由直線OG的斜率列出方程，求出直線方程；（2）將恒為銳角轉化為，等價于對任意的恒成立，根據二次函數根的分布，列出不等式組，求出的取值范圍.【解析】(1)由題意得，設直線的方程為，線段的中點．聯立方程，整理得：，由韋達定理得：．，即．∵直線的斜率為，，解得：或，∴直線l的方程為：或．(2)為銳角，等價于．設，則，故恒成立．令，則，原式等價于對任意的恒成立，即對任意的恒成立．令．①，解得：；②，解得：．又，故．綜上所述，的取值范圍是．【點睛】圓錐曲線中求解取值范圍的題目，通常要設出直線，與圓錐曲線聯立，根據兩根之和與兩根之積進行代入化簡，最后利用基本不等式，二次函數根的分布或導函數等進行求解.類型五、以拋物線為情景的面積范圍與最值問題1．已知拋物線的焦點為F，過點F與x軸垂直的直線交拋物線的弦長為2．(1)求拋物線N的方程；(2)點和點為兩定點，點A和點B為拋物線N上的兩動點，線段AB的中點Q在直線OM上，求△ABC面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設，直線AB的斜率為，得到，得到直線的方程，聯立方程組得到，結合弦長公式和點到直線的距離公式，求得面積，令，得到，結合導數求得函數的單調性與最值，即可求解.【解析】(1)由題意得拋物線的焦點為，在方程中，令，可得，所以弦長為，即，解得，所以拋物線C的方程為．(2)由（1）知拋物線的方程為，設，直線AB的斜率為，因為線段的中點在直線上，由可知直線OM的方程為，設，所以，所以，又，所以，即得，設直線的方程為，即，聯立方程組，所以，所以，即，由根據與系數的關系得，則，又由點到直線的距離為，所以，記，因為，所以，所以，令，可得，令，可得，當時，；當時，，所以當時，取得最大值，即有最大值為.2．已知拋物線C：的焦點為F，直線l：與y軸、拋物線C相交于P，A，自下而上，記△、△的面積分別為、．(1)求AB中點M到y軸距離d的取值范圍；(2)求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）問題需求的取值范圍，聯立直線與拋物線的方程，利用韋達定理轉化為求解二次函數的值域；（2）將用A，B兩點的橫坐標表示，從而結合韋達定理建立函數關系式，由滿足的不等關系求解．【解析】(1)聯立消去y，得，設，，則，，∴；(2)由，由（1）知：，由得：，解得或，又，故，由得：，解得，∴，故的取值范圍為3．如圖所示，已知拋物線：，過點的直線與拋物線有兩個交點，若拋物線上存在不同的兩點，關于直線對稱，記的中點為.(1)求點的軌跡方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設直線，，，，，，將，的坐標代入拋物線方程得到，再代入直線方程化簡即可；（2）聯立直線的方程和拋物線方程，將在面積表示出來，再利用求解即可．【解析】(1)由題意可得直線的斜率存在且不為0，設直線，，，，，，如圖，由可得：，所以，所以，代入直線方程得：，又當時，由得，在拋物線開口方向內，，點的軌跡方程為：；(2)由（1）可知直線：，由

得：，直線與拋物線交于，兩點，即則，

，，又，令，

，，由得（負根舍去），知當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小，當時，取得最大值，時，.4．如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點，且線段的中點在拋物線上．(1)求點的縱坐標的取值范圍；(2)設是拋物線上一點，且位于橢圓的左上方，求點的橫坐標的取值范圍，使得的面積存在最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設直線的方程為，則，將直線的方程與橢圓的方程聯立，可求得點的坐標，將點的坐標代入拋物線的方程，可得出，結合可得出的取值范圍，進而可求得的取值范圍，即可得解；（2）設點，計算得出的面積，令，記，則，求導，分析可知函數在內有唯一的極值點，且為極大值點，結合已知條件可得出關于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出點的橫坐標的取值范圍.【解析】(1)由題意可設直線的方程為，則，聯立，可得，，可得，①設點、，由韋達定理可得，，設點，則，，將點的坐標代入拋物線的方程得，則，代入①可得，可得，解得，因此.因此，點的縱坐標的取值范圍是.(2)設點，則點到直線的距離為，，故的面積，②將代入②得，令，記，則，則，因為在上單調遞減，所以，函數在內有唯一的極值點，且為極大值點，所以，，可得，③，因為點在橢圓的左上方，則，④由③④可得，因此，點的橫坐標的取值范圍是.【點睛】圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．鞏固練習1．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，點A，B在拋物線C上，且滿足AF⊥BF．設線段AB的中點到準線的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作輔助線，利用拋物線的定義可知直角梯形的兩底分別等于，利用梯形的中位線定理表示出d，進而表示出，再根據基本不等式求得最小值.【詳解】如圖示：設AB的中點為M,分別過點作準線l的垂線，垂足為C，D，N，設，則，MN為梯形ACDB的中位線，則，由AF⊥BF．可得，故，因為當且僅當a=b時取等號，故，2．已知P為拋物線上一動點，F為E的焦點，點Q為圓上一動點，若的最小值為3，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】過過點作拋物線的準線的垂線，為垂足，則，結合圓的性質可得答案.【詳解】可轉化為，則圓心為，半徑為1.因為的最小值為3，點Q為圓上一動點，設拋物線的準線為，則的方程為：過點作,為垂足，則如圖，則.由，可得，3．已知拋物線的焦點為F，P為C上一點，點，，設取最小值和最大值時對應的點分別為，，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】如圖所示，與拋物線相切時，最小，與拋物線相切時，最大.設切點為，切線的斜率為，由切線方程得到，即得到韋達定理，設，化簡代入韋達定理得解.【詳解】如圖所示，與拋物線相切時，最小，與拋物線相切時，最大.由得，所以.設切點為，切線的斜率為，所以切線方程為,因為切線過點，所以，即.因為有兩個切點，所以，設，則有，所以，所以，代入韋達定理得或.因為，所以.4．已知拋物線C：的焦點為F，過點F分別作兩條直線，，直線l1與拋物線C交于A、B兩點，直線l2與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為1，則的最小值為（）A．16 B．20 C．24 D．32【答案】C【解析】【分析】設出直線，的方程，可知，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線的焦點弦性質，即可得，利用基本不等式的性質，即可求得的的最小值.【詳解】解：拋物線C：的焦點，設直線l1：，直線l2：由題意可知，則，聯立整理得：設，，則，設，，同理可得：由拋物線的性質可得：，∴，當且僅當時，上式“＝”成立．∴的最小值24.5．已知過的直線與拋物線交于，兩點，為弦的中點，為坐標原點，直線與拋物線的另一個交點為，則兩點、縱坐標的比值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】首先設出直線，與拋物線方程聯立，利用韋達定理求得中點的坐標，并求出直線的方程，與拋物線聯立，求得點的縱坐標，即可求得的范圍.【詳解】設直線，代入得，，，，直線，代入得，.6．（多選題）若拋物線y2＝2px(p>0)上的動點Q到其焦點的距離的最小值為1，則（

）A．B．準線方程為C．當時的面積為D．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，則點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】結合拋物線上的點到焦點的距離的最小值求得，進而求得準線方程，結合拋物線的定義來求得的面積，結合拋物線的定義來求得到、的距離之和的最小值.【詳解】到焦點的距離等于到準線的距離，到焦點距離最小時，到準線的距離最小，即為原點時，到焦點的距離最小為，也即，拋物線的準線方程為，A選項錯誤，B選項正確.拋物線方程為，對于C選項，，則，，，C選項正確.對于D選項，直線為拋物線的準線，所以到的距離等于到焦點的距離.所以到直線和直線的距離之和的最小值為“到直線的距離”，焦點，則最小值為，D選項正確.7．（多選題）設拋物線，為其焦點，為拋物線上一點，則下列結論正確的是（

）A．拋物線的準線方程是B．當軸時，取最小值C．若，則的最小值為D．以線段為直徑的圓與軸相切【答案】ACD【分析】A：標準方程是y2＝2px的拋物線的準線方程是x＝－；B：設P點坐標，用兩點間距離公式表示|PF|，結合P點坐標的范圍，即可求|PF|的最小值；C：數形結合，P為動點，根據幾何關系，當P、A、F三點共線時取最小值；D：求出圓的半徑與圓心，比較圓心橫坐標和半徑即可知是否與y軸相切﹒【詳解】A：拋物線的準線為x＝－＝－1，故A正確；B：設，則，則，當時取得最小值，此時在原點，故B錯誤；C：作圖分析：A在拋物線外部，故當P、A、F三點共線時|PF|取最小值，故C正確；D：根據題意，可得拋物線的焦點為，設的中點為，可得，由拋物線的定義，得，，即點到軸的距離等于以為直徑的圓的半徑，因此，以PF為直徑的圓與軸相切，故D正確﹒8．（多選題）已知拋物線與圓的公共點為A，B，點P為圓C的劣弧上不同于A，B的一個動點，過點P作垂直于x軸的直線l交拋物線E于點N，則下列四個命題中正確的是（

）A．B．點P縱坐標的取值范圍是C．點N到圓心C距離的最小值為1D．若l不經過原點，則周長的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】根據題意畫出圖形，聯立圓與拋物線的方程可得A，B的坐標，求得可判斷A；由A，B的縱坐標可判斷B；由拋物線的定義和圖形可知點N到圓心C距離的最小值判斷C；利用轉化思想可知結合的范圍可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】圓的圓心為，半徑，與軸正半軸交于點，拋物線的焦點與重合，準線為，對于選項A：聯立可得，解得或，即，，所以，故選項A不正確；對于選項B：點為圓的劣弧上不同于A，B的一個動點，所以點P縱坐標的取值范圍是，故選項B正確；對于選項C：拋物線的焦點與圓心重合，拋物線上的點到焦點的距離最小值為，所以點N到圓心C距離的最小值為1，故選項C正確；對于選項D：直線l不經過原點，則周長為的取值范圍是，故選項D正確；9．（多選題）已知拋物線的焦點為，若為拋物線上一點，直線的斜率為，且以為圓心的圓與的準線相切于點，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的準線方程為B．直線與拋物線相交所得的弦長為15C．外接圓的半徑為4D．若拋物線上兩點之間的距離為8，則該線段的中點到軸距離的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】根據斜率可知，然后根據拋物線的定義可知拋物線方程，可知直線的方程，根據弦長公式可知弦長，并使用正弦定理可知外接圓半徑，最后根據可知結果.【詳解】過點作垂直于軸，垂足為，，∴直線的傾斜角為120°，，在中，，，又由拋物線的定義可得，，，解得，∴拋物線的方程為，拋物線的準線方程為，故A正確；易知直線的方程為，代入拋物線的方程，得，解得或，∴直線與拋物線相交所得弦長為，選項B不正確；易得，，，，，設外接圓的半徑為，根據正弦定理可得，設拋物線上的兩點分別為，，則，當且僅當，，三點共線時，等號成立，由拋物線的定義可知，，所以，即，所以線段的中點到軸的距離，選項D正確.10．（多選題）拋物線的焦點為F，P為其上一動點，設直線l與拋物線C相交于A，B兩點，點下列結論正確的是（

）A．|PM|+|PF|的最小值為3B．拋物線C上的動點到點的距離最小值為3C．存在直線l，使得A，B兩點關于對稱D．若過A、B的拋物線的兩條切線交準線于點T，則A、B兩點的縱坐標之和最小值為2【答案】AD【解析】根據拋物線的性質對每個命題進行判斷．【詳解】A．設是拋物線的準線，過作于，則，當且僅當三點共線時等號成立．所以最小值是3，A正確；B．設是拋物線上任一點，即，，時，，B錯誤；C．假設存在直線，使得A，B兩點關于對稱，設方程為，由得，所以，，設，則，中點為，則，，必在直線上，所以，，這與直線拋物線相交于兩個點矛盾，故不存在，C錯誤；D．設，由即，得，則切線方程為，即，同理方程是，由，解得，由題意在準線上，所以，，所以，所以時，為最小值．D正確．11．已知P為拋物線上任意一點，則點P到y軸的距離與點P到直線的距離之和的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將點P到y軸的距離與點P到直線的距離之和轉化為點P到準線的距離與點P到直線的距離之和，再借助拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線的焦點，準線，拋物線上的點P到y軸的距離等于它到準線距離減去1的差，由拋物線定義知，，令點P到直線的距離為，于是得點P到y軸的距離與點P到直線的距離之和為，過P作于M，連PF，MF，過點F作于Q，交拋物線于點，如圖，顯然，，當點P與點不重合時，有：，則當點P是過焦點F作直線l的垂線與拋物線交點時，點P到y軸的距離與點P到直線的距離之和取得最小值，此最小值為.12．已知P為拋物線上一個動點，Q為圓上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是________.【答案】4【解析】【分析】根據拋物線定義將線段進行轉化，數形結合進行求解.【詳解】連接PF，根據拋物線定義可知：點P到拋物線的準線距離等于點P到焦點的距離相等，連接圓心與焦點，交圓于點，交拋物線于點，如圖所示，此時點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和最小，其中，故，13．已知拋物線的方程為，圓C：，點A，B在圓C上，點P在拋物線上，且滿足，則的最小值是______.【答案】3【解析】【分析】由題可知AB是圓的直徑，，問題轉化為求拋物線上點P到圓心C的距離的平方減1的最小值.【詳解】∵圓的圓心為C(2，0)，半徑r＝1，，∴AB是圓的直徑，C是AB的中點，連接PC、PA、PB.設.＝，當且僅當m＝0時取等號.14．已知，，O為坐標原點，若在拋物線上存在點N，使得，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】過M作C的一條切線，切點為Q，設，根據在拋物線上存在點N，使得，得到，然后求得當時的即可.【詳解】過M作C的一條切線，切點為Q，如圖所示：設，因為在拋物線上存在點N，使得，所以，當時，直線MQ的方程為，將代入，可得，由，解得，所以的取值范圍為.15．已知點在拋物線上，點在的準線上，線段的中點均在拋物線上，設直線與軸交于點，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】設，進而根據題意得是方程的兩個實數根，故，進而得，再根據直線與軸交于點得，最后結合對勾函數求解即可.【詳解】設，所以的中點坐標為，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的兩個實數根，所以，所以，故，由于直線與軸交于點，所以，即，因為對勾函數的取值范圍是，所以，16．在平面直角坐標系xOy中，為拋物線上的一個動點.若點到直線的距離大于c恒成立，則實數c的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】先利用求出與平行的拋物線的切線方程，點到直線的最近距離為直線與切線間的距離，求出距離即可得實數c的取值范圍.【詳解】設與平行的拋物線的切線方程為，與拋物線方程聯立，消去得，，直線與的距離是所以點到直線的最近距離為，因此，所以點到直線的最近距離為17．已知直線l1:x－y－5=0和直線l2:y=－4，拋物線x2=16y上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是______【答案】【解析】【分析】由題知直線l2:y=－4為拋物線的準線，則P到直線l2的距離為其到焦點的距離，再利用數形結合即得.【詳解】設拋物線的焦點為，則，又直線l2:y=－4為其準線，∴P到直線l2的距離為，設P到直線l1的距離為，如圖，可知動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為點到直線l1:x－y－5=0的距離，即.18．已知拋物線與直線相交于兩點，線段中點的橫坐標為5，且拋物線的焦點到直線的距離為.(1)求，的值；(2)已知點為拋物線上一動點，點為軸上一點，求線段長最小值.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）由點線距離公式及中點坐標公式有，結合已知求，的值；（2）設，利用兩點距離公式有，根據二次函數的性質及拋物線的有界性，討論、求對應線段長最小值.【解析】(1)由題設，拋物線焦點為，則，聯立直線與拋物線可得：，則，綜上，，可得或，又，所以.(2)由（1）知：，設，所以，又，要使線段長最小，即最小即可，當，即時，則時最小值為；當，即時，則若，則，則時最小值為；若，則，則時最小值為；綜上，時線段長最小值為；時線段長最小值為；19．已知拋物線的焦點為，直線分別與軸交于點，與拋物線交于點，且.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，設點都在拋物線上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值.【答案】(1)(2)32【分析】（1）設，列方程組，求出，即可得到拋物線的方程；（2）設點，利用是以為斜邊的等腰直角三角形，表示出，用坐標表示出利用基本不等式求出的最小值.【解析】(1)設點，由已知，則，即.因為，則，所以拋物線的方程是.(2)設點，直線的斜率為，因為，則直線的斜率為.因為，則，得，①因為，則，即，②因為，則，即③將②③代入①，得，即，則，所以因為，則，又，則，從而，當且僅當時取等號，所以的最小值為32.20．已知點在曲線上.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過原點的直線與（1）中的曲線交于、兩點，求的最大值與最小值.【答案】(1)(2)最小值為，最大值為【分析】（1）令，可得，求得，即可求得動點的軌跡的方程；（2）設直線的方程為，聯立方程組得到，根據題意轉化為方程在上有兩解，求得的范圍，結合，進而求得的最值.【解析】(1)由題意，點在曲線上，可得，令，可得，設，則，即動點的軌跡的方程.(2)由題意，設直線的方程為，聯立方程組，整理得，要直線與曲線交于、兩點，則方程在上有兩解，設，可得，解得，設，則，且又由，因為，又因為，所以的最小值為，最大值為.21．已知是拋物線上一點，是軸上的點，以為圓心且過點的圓與軸分別交于點、，且當圓與軸相切時，到拋物線焦點的距離為．(1)求拋物線的標準方程；(2)設線段、長度分別為、，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意圓A與軸相切，A到拋物線焦點的距離為，得到A到拋物線準線的距離為，從而求出及拋物線方程；

（2）設A的坐標，由垂徑定理可知，設，，求得，，，分、討論可得答案．【解析】(1)當軸時，圓A與軸相切，點為切點，由題意可知此時點A的橫坐標為，因為A到拋物線焦點的距離為，所以A到拋物線準線的距離為，故準線與軸之間的距離為，解得，所以拋物線的標準方程為．(2)設A的坐標，由垂徑定理可知，，設，，所以，．所以，當時，則；當時，則，因為，所以，當且僅當時，等號成立.此時．綜上所述，．22．如圖，已知點是焦點為F的拋物線上一點，A，B是拋物線C上異于P的兩點，且直線PA，PB的傾斜角互補，若直線PA的斜率為.(1)求拋物線方程；(2)證明：直線AB的斜率為定值并求出此定值；(3)令焦點F到直線AB的距離d，求的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析，(3)【分析】（1）待定系數法求解拋物線方程；（2）設出直線方程，聯立后得到A點縱坐標，同理得到B點縱坐標，從而求出直線AB的斜率；（3）在前