專題24圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1第二問求曲線方程（10年6考）2022·天津卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·天津卷2018·全國卷、2017·全國卷、2017·天津卷、2015·天津卷2015·安徽卷熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及方程的求解，通常大題第一問考查方程求解掌握軌跡方程的求解，近年該考點多次考查熟練掌握直線方程的求解，會求斜率值或范圍會弦長等距離的求解，會定值定點定直線的求解及證明，該內容也是高考命題熱點考點2求軌跡方程（10年5考）2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2019·全國卷2017·全國卷、2015·湖北卷考點3求直線方程（10年8考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全國甲卷、2021·天津卷2020·天津卷、2018·江蘇卷、2017·全國卷、2017·天津卷2015·江蘇卷考點4求斜率值或范圍（10年6考）2021·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全國乙卷、2019·天津卷2018·天津卷、2018·天津卷、2017·天津卷、2017·山東卷2016·山東卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全國卷2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷考點5離心率求值或范圍綜合（10年7考）2024·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全國卷2019·天津卷、2019·全國卷、2016·四川卷、2016·浙江卷2015·重慶卷、2015·重慶卷考點6弦長類求值或范圍綜合（10年6考）2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全國卷、2017·浙江卷2016·北京卷、2016·全國卷、2015·四川卷、2015·山東卷考點7其他綜合類求值或范圍綜合（10年5考）2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2019·全國卷、2016·四川卷、2015·四川卷考點8定值定點定直線問題（10年7考）2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2022·全國乙卷2020·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·北京卷、2019·北京卷2017·全國卷、2017·北京卷、2017·全國卷、2016·北京卷2016·北京卷、2015·陜西卷、2015·全國卷考點9其他證明綜合（10年9考）2024·全國甲卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2019·全國卷2018·北京卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷2017·北京卷、2017·全國卷、2016·四川卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·四川卷、2015·湖南卷2015·全國卷、2015·福建卷考點10圓錐曲線與其他知識點雜糅問題（10年3考）2024·全國新Ⅱ卷、2018·全國卷、2016·四川卷考點01第二問求曲線方程1．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．2．（2020·全國·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.3．（2019·全國·高考真題）已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為.（1）證明：直線過定點：（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.4．（2019·天津·高考真題）設橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.5．（2018·全國·高考真題）設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．6．（2017·全國·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程.7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.8．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的上頂點為B,左焦點為,離心率為,（Ⅰ）求直線BF的斜率;（Ⅱ）設直線BF與橢圓交于點P（P異于點B）,過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B）直線PQ與y軸交于點M,.（ⅰ）求的值;（ⅱ）若,求橢圓的方程.9．（2015·安徽·高考真題）設橢圓E的方程為，點O為坐標原點，點A的坐標為，點B的坐標為，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（Ⅰ）求E的離心率e；（Ⅱ）設點C的坐標為，N為線段AC的中點，點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為，求E的方程.考點02求軌跡方程1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.3．（2019·全國·高考真題）已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.4．（2017·全國·高考真題）設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.5．（2015·湖北·高考真題）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子在滑槽AB內做往復運動時，帶動繞轉動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．

（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．考點03求直線方程1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．3．（2022·全國甲卷·高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．4．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．若，求直線的方程．5．（2020·天津·高考真題）已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．6．（2018·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．7．（2017·全國·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程.8．（2017·天津·高考真題）設橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設上兩點，關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.9．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3.

（1）求橢圓的標準方程；（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.考點04求斜率值或范圍1．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.2．（2021·北京·高考真題）已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交交于點M，N，當|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．3．（2021·全國乙卷·高考真題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.4．（2019·天津·高考真題）設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.5．（2018·天津·高考真題）設橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若(O為原點)，求k的值.6．（2018·天津·高考真題）設橢圓的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，與直線交于點M，且點P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.8．（2017·山東·高考真題）在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.9．（2016·山東·高考真題）已知橢圓的長軸長為4，焦距為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過動點的直線交軸與點，交于點(在第一象限)，且是線段的中點.過點作軸的垂線交于另一點，延長交于點.（ⅰ）設直線的斜率分別為，證明為定值；（ⅱ）求直線的斜率的最小值.10．（2016·上海·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點.（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設，若的斜率存在，且，求的斜率.11．（2016·天津·高考真題）設橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.12．（2016·全國·高考真題）已知橢圓E:的焦點在軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）當t=4，時，求△AMN的面積；（Ⅱ）當時，求k的取值范圍.13．（2016·上海·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點．（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設，若的斜率存在，且，求的斜率．14．（2016·天津·高考真題）設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.15．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為,離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為c，.（Ⅰ）求直線的斜率；（Ⅱ）求橢圓的方程；（Ⅲ）設動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍.16．（2015·北京·高考真題）已知橢圓，過點且不過點的直線與橢圓交于，兩點，直線與直線交于點．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若垂直于軸，求直線的斜率；（Ⅲ）試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由．考點05離心率求值或范圍綜合1．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．4．（2020·全國·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.5．（2019·天津·高考真題）設橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.6．（2019·全國·高考真題）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.7．（2016·四川·高考真題）已知數列{}的首項為1，為數列{}的前n項和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差數列，求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設雙曲線的離心率為，且，證明：.8．（2016·浙江·高考真題）如圖，設橢圓（a＞1）.

（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（Ⅱ）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.9．（2015·重慶·高考真題）如圖，橢圓的左右焦點分別為，且過的直線交橢圓于兩點，且.(1)若，，求橢圓的標準方程.(2)若，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.10．（2015·重慶·高考真題）如圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且

（1）若，求橢圓的標準方程（2）若求橢圓的離心率考點06弦長類求值或范圍綜合1．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．2．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．3．（2019·全國·高考真題）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．4．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知拋物線.點A，拋物線上的點P（x,y）,過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.（I）求直線AP斜率的取值范圍；（II）求的最大值5．（2016·北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.6．（2016·全國·高考真題）（2016新課標全國卷Ⅰ文科）在直角坐標系中，直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H.（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由.7．（2015·四川·高考真題）如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.8．（2015·山東·高考真題）平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點.（i）求的值；（ⅱ）求面積的最大值.考點07其他綜合類求值或范圍綜合1．（2024·上海·高考真題）已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.(1)若離心率時，求的值．(2)若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標．(3)連接并延長，交雙曲線于點，若，求的取值范圍．2．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．3．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．4．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．5．（2019·全國·高考真題）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.6．（2016·四川·高考真題）已知橢圓：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線：與橢圓有且只有一個公共點T．（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；（Ⅱ）設是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數，使得，并求的值．7．（2015·四川·高考真題）橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于兩點，是否存在常數，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由考點08定值定點定直線問題1．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.2．（2023·全國乙卷·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．3．（2022·全國乙卷·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．4．（2020·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．5．（2020·全國·高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.6．（2019·北京·高考真題）已知橢圓的右焦點為，且經過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點.7．（2019·北京·高考真題）已知拋物線C：x2=?2py經過點（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；（Ⅱ）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點．8．（2017·全國·高考真題）已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.9．（2017·北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點．10．（2017·全國·高考真題）設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.11．（2016·北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.12．（2016·北京·高考真題）已知橢圓過點兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設為第三象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．13．（2015·陜西·高考真題）如圖，橢圓經過點，且離心率為.(I)求橢圓的方程；(II)經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點（均異于點），問：直線與的斜率之和是否為定值？若是，求出此定值；若否，說明理由．14．（2015·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，點在上（1）求的方程（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.考點09其他證明綜合1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．3．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設為第一象限內E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.5．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F三點共線的充要條件是．6．（2019·全國·高考真題）已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.7．（2018·北京·高考真題）已知拋物線C：=2px經過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設O為原點，，，求證：為定值．8．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．（1）證明：；（2）設為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數列，并求該數列的公差．9．（2018·全國·高考真題）設拋物線，點，，過點的直線與交于，兩點．（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）證明：．10．（2018·全國·高考真題）設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：.11．（2017·北京·高考真題）已知橢圓C的兩個頂點分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．12．（2017·全國·高考真題）設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設點在直線上，且.證明