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文檔簡介
試題PAGE1試題清單03等式性質與不等式的性質、基本不等式(個考點梳理+題型解讀+提升訓練)【清單01】作差法比較大小作差法的依據:①;②;③步驟:(1)作差;(2)變形;(目的:便于判定差的符號,常用的方法:因式分解、配方、通分、分子有理化等)(3)定號;(當差的符號不確定時,一般需要分類討論)(4)下結論。(根據當差的正負與實數大小關系的基本事實下結論)【清單02】不等式的性質性質性質內容特別提醒對稱性(等價于)傳遞性(推出)可加性(等價于可乘性注意的符號(涉及分類討論的思想)同向可加性同向同正可乘性可乘方性,同為正數【清單03】重要不等式一般地,,有,當且僅當時,等號成立.【清單04】基本不等式鏈(其中,當且僅當時,取“”號)(注意:一正,二定,三相等,特別“一正”,“三相等”這兩類陷阱)【考點題型一】比較兩個代數式的大小【解題方法】作差法【例1】(24-25高一上·北京延慶·期中)若和,則和的大小關系為(
)A. B. C. D.【變式1-1】(24-25高一上·江西南昌·期中)下列命題:①若,則
②若,則③若,則
④若,則其中真命題的個數是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【變式1-2】(24-25高一上·福建莆田·期中),,,則有.(請填“”、“”、“”、“”、“”)【考點題型二】基本不等式(和為定值求積的最值)【例2】(24-25高三上·山東棗莊·期中)求下列各式的最值(1)當時,求的最小值;(2)已知,求的最大值.【變式2-1】(24-25高一上·新疆省直轄縣級單位·階段練習)若,且,則的最大值是.【變式2-2】(24-25高一上·四川成都·期中)已知,,且.(1)求xy的最大值;(2)求的最小值.【考點題型三】基本不等式(積為定值求和的最值)【例3】(24-25高一上·北京·期中)當時,恒成立,則的最大值為(
)A.6 B.10 C.12 D.13【變式3-1】(24-25高一上·陜西寶雞·期中)已知,則的最小值為(
)A.4 B.5 C.6 D.7【變式3-2】(24-25高一上·北京·期中)函數的最小值是.【考點題型四】基本不等式(湊項(系數))形如:【例4】(24-25高一上·上海閔行·期中)函數的最小值是.【變式4-1】(24-25高一上·貴州六盤水·期中)已知,則的最大值是.【變式4-2】(24-25高一上·北京·期中)已知函數,則當且僅當時,有最小值.【考點題型五】基本不等式(常數代換法)形如:①已知,求;或已知,求【例5】(24-25高一上·湖南·期中)已知兩個正實數,滿足,且不等式有解,則實數的取值范圍是.【變式5-1】(24-25高一上·天津紅橋·期中)已知,,且,則的最小值.【變式5-2】(24-25高一上·云南德宏·期中)已知正數滿足,則的最小值為.【考點題型六】基本不等式(二次與二次(或一次)商式)形如:或者,常用換元法:令【例6】(24-25高一上·上海·開學考試)若,則的最小值為.【變式6-1】(24-25高一上·遼寧沈陽·階段練習)已知正實數x,則的最大值是(
)A. B. C. D.【變式6-2】(22-23高一上·貴州貴陽·階段練習)已知,求的最小值【考點題型七】條件等式求最值形如:,目標①求型;目標②求型【例7】(24-25高一上·江蘇淮安·階段練習)已知,且,則的最小值是(
)A. B. C. D.【變式7-1】(24-25高一上·天津西青·期中)已知、為正實數,且,則的最小值是.【變式7-2】(24-25高一上·云南昆明·期中)已知正實數,滿足.(1)求的最小值,并求出此時,的值;(2)若的最小值是25,求的值.【考點題型八】對鉤函數求最值形如或者【例8】(23-24高二上·河南)已知函數的最小值為,則的解析式可以是(
)A. B.C. D.【變式8-1】(多選)(23-24高一上·江蘇連云港·期中)下列命題中,是假命題的有(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【變式8-2】(多選)(23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習)下列說法正確的是(
)A.的最小值是2 B.的最小值是2C.的最小值是 D.若,則的最大值是【考點題型九】基本不等式的恒成立問題【例9】(23-24高二上·黑龍江綏化)設正數,滿足,若不等式對任意實數恒成立,則實數的取值范圍是(
)A. B.C. D.【變式9-1】(24-25高一上·廣東深圳·階段練習)已知,且,若對任意的恒成立,則實數的取值是(
)A. B.C. D.【變式9-2】(24-25高一上·廣東深圳·期中)已知滿足.(1)求的最小值;(2)若恒成立,求的取值范圍.【考點題型十】在實際問題中判斷使用基本不等式求最值【例10】(24-25高一上·福建泉州·期中)某公司為提高企業經濟效益,大力進行新產品研發,現計劃投入72萬元,全部用于甲、乙兩種產品的研發,每種產品至少要投入15萬元,在對市場進行調研分析完后發現,甲產品的利潤,乙產品的利潤與研發投入(單位:萬元)滿足,,設甲產品的投入為(單位:萬元),兩種產品的總收益為(單位:萬元).(1)求的表達式,并求當甲產品投入26萬元時,兩種產品的總收益為多少萬元;(2)試問如何安排甲、乙兩種產品的研發投入,才能使總收益最大?【變式10-1】(24-25高一上·北京·期中)已知某商品每件的成本為8元,每月銷量(萬件)與每件售價(元)的函數關系近似為:,若使每月的凈利潤最高,則每件售價應定為(
)(注:凈利潤銷售總額總成本)A.10元 B.12元 C.15元 D.16元【變式10-2】(24-25高一上·浙江杭州·期中)現使用一架兩臂不等長的天平稱20g藥品,操作方法如下:先將10g的砝碼放在天平左盤中,取出一些藥品放在天平右盤中,使天平平衡;再將10g的砝碼放在天平右盤中,再取出一些藥品放在天平左盤中,使得天平平衡.你認為兩次實際稱得的藥品總重量(
)A.等于20g B.大于20g C.小于20g D.以上都有可能【考點題型十一】不等式中的新定義題【例11】(24-25高一上·四川成都·期中)對于基本不等式,即當,時有(當且僅當時不等式取“=”),我們稱為正數,的算術平均數,為它們的幾何平均數,兩個正數的算術平均數不小于他們的幾何平均數.這只是均值不等式的一個簡化版本.均值不等式的歷史可以追溯到19世紀,由在1882年發表的論文中首次提出.均值不等式,也稱為平均值不等式或平均不等式,是數學中的一個重要公式.它的基本形式包括調和平均數、幾何平均數、算術平均數和平方平均數之間的關系.它表明:個正數的平方平均數大于等于它們的算術平均數大于等于幾何平均數大于等于調和平均數,且當這些數全部相等時,等號成立.(1)請直接運用上述不等式鏈中某個的情形求的最小值;(2)寫出時調和平均數與幾何平均數之間的關系,并證明;(3)如圖,把一塊長為的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形,再將它的邊沿虛線折轉做成一個無蓋的方底盒子.問切去的正方形邊長是多少時,才能使盒子的容積最大?【變式11-1】(24-25高一上·江蘇常州·階段練習)定義:為實數中較大的數.若,則的最小值為.【變式11-2】(24-25高一上·福建福州·階段練習)若一個集合含有個元素,且這個元素之和等于這個元素之積,則稱該集合為元“復活集”.(1)直接寫出一個2元“復活集”(無需寫出求解過程);(2)求證:對任意一個2元“復活集”,若其元素均為正數,則其元素之積一定大于4;(3)是否存在某個3元“復活集”,其元素均為正整數?若存在,求出所有符合條件的3元“復活集”;若不存在,說明理由.提升訓練1.(24-25高一上·內蒙古赤峰·階段練習)已知,則以下錯誤的是(
)A. B.C. D.2.(24-25高一上·遼寧大連·期中)已知,,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.3.(24-25高一上·廣東佛山·期中)已知,則的大小關系為(
)A. B.C. D.與的取值有關4.(湖北省部分高中聯考協作體2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題)已知正實數滿足,則恒成立,則實數的取值范圍為(
)A. B.或C. D.或5.(浙江省寧波市五校聯盟2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題)已知,,且,則的最小值為(
)A.9 B.10 C.11 D.136.(24-25高一上·北京·期中)使“函數的最小值為2”為假命題的的一個值可以是(
)A.-2 B.-1 C.0 D.17.(24-25高三上·福建龍巖·期中)已知正數a,b滿足,則的最小值為(
)A.4 B.6 C. D.88.(24-25高一上·江西上饒·階段練習)已知正數x、y滿足,不等式恒成立.則實數m的取值范圍是(
)A. B. C. D.9.(多選)(24-25高一上·河北石家莊·期中)設正實數滿足,則下列說法正確的是(
)A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為10.(多選)(24-25高一上·江蘇無錫·期中)若且,則下列說法正確的是(
)A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最大值為11.(24-25高一上·海南海口·期中)若,則的最小值為.12.(24-25高一上·河北·階段練習)已知,,,則的最小值為.四、解答題13.(24-25高一上·內蒙古呼和浩特·期中)已知正實數滿足:.(1)求的最大值;(2)求的最小值;14.(24-25高一上·貴州·期中)已知,,且.(1)求的取值范圍;(2)證明:;(3)求的最小值.15.(24-25高一上·江蘇徐州·期中)已知、為東西方向的海岸線上相距的兩地(在的東側),是、之間距地處的一地,在地正南方向處有一海島,由海島開往海岸的小船以的速度按直線方向航行.(1)某人在海島上乘小船在距地正東方向處的地登岸,登岸后以的速度向東步行到地,求此人從海島到達地的時間;(2)一快遞員以的速度從地向地騎行,同時某人乘小船從海島向海岸出發,兩人恰好相遇于、之間的地,且距地,求快遞員的速度的最大值.16.(24-25高一上·四川綿陽·階段練習)問題:正實數滿足,求的最小值.其中一種解法是:,當且僅當且時,即且時取等號.學習上述解法并解決下列問題:(1)若正實數滿足,求的最小值;(2)若實數滿足,試比較和的大小,并指明等號成立的條件;(3)求代數式的最小值,并求出使得最小的的值.清單03等式性質與不等式的性質、基本不等式(個考點梳理+題型解讀+提升訓練)【清單01】作差法比較大小作差法的依據:①;②;③步驟:(1)作差;(2)變形;(目的:便于判定差的符號,常用的方法:因式分解、配方、通分、分子有理化等)(3)定號;(當差的符號不確定時,一般需要分類討論)(4)下結論。(根據當差的正負與實數大小關系的基本事實下結論)【清單02】不等式的性質性質性質內容特別提醒對稱性(等價于)傳遞性(推出)可加性(等價于可乘性注意的符號(涉及分類討論的思想)同向可加性同向同正可乘性可乘方性,同為正數【清單03】重要不等式一般地,,有,當且僅當時,等號成立.【清單04】基本不等式鏈(其中,當且僅當時,取“”號)(注意:一正,二定,三相等,特別“一正”,“三相等”這兩類陷阱)【考點題型一】比較兩個代數式的大小【解題方法】作差法【例1】(24-25高一上·北京延慶·期中)若和,則和的大小關系為(
)A. B. C. D.【答案】C【知識點】作差法比較代數式的大小【分析】根據條件,通過作差法,得到,即可求解.【詳解】因為,,所以,當且僅當時取等號,所以,故選:C.【變式1-1】(24-25高一上·江西南昌·期中)下列命題:①若,則
②若,則③若,則
④若,則其中真命題的個數是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數式的大小【分析】根據不等式的性質以及作差法可判斷結果.【詳解】對于①:若,則,即或,故①錯誤;對于②:若,當時,,故②錯誤;對于③:若,,則,故③正確;對于④:若,,所以,故④錯誤;綜上,只有③正確,故選:A.【變式1-2】(24-25高一上·福建莆田·期中),,,則有.(請填“”、“”、“”、“”、“”)【答案】【知識點】作差法比較代數式的大小【分析】利用作差法可得出、的大小關系.【詳解】因為,故.故答案為:.【考點題型二】基本不等式(和為定值求積的最值)【例2】(24-25高三上·山東棗莊·期中)求下列各式的最值(1)當時,求的最小值;(2)已知,求的最大值.【答案】(1)(2)【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值【分析】(1)由,結合基本不等式求解即可;(2)由,結合基本不等式求解即可.【詳解】(1)因為,所以,則,當且僅當,即時,取等號,所以的最小值為;(2)因為,所以,則,當且僅當,即時,取等號,所以的最大值為.【變式2-1】(24-25高一上·新疆省直轄縣級單位·階段練習)若,且,則的最大值是.【答案】【知識點】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意,,當且僅當時等號成立.故答案為:【變式2-2】(24-25高一上·四川成都·期中)已知,,且.(1)求xy的最大值;(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、條件等式求最值、基本不等式求積的最大值【分析】(1)方法一:利用基本不等式得到,求出;方法二:由得到,,求出的最大值為;(2)利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】(1)方法一:∵,,,∴,當且僅當,即,時等號成立,∴,∴,的最大值為;方法二:,解得,,,當時,的最大值為,此時;(2)∵,又∵,,∴,,∴,當且僅當時等號成立,∵,∴,,∴,∴當,時,的最小值為9.【考點題型三】基本不等式(積為定值求和的最值)【例3】(24-25高一上·北京·期中)當時,恒成立,則的最大值為(
)A.6 B.10 C.12 D.13【答案】C【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】根據題意,由基本不等式代入計算,即可得到結果.【詳解】因為,所以,當且僅當時,即時,等號成立,所以由題意可知,,即的最大值為.故選:C【變式3-1】(24-25高一上·陜西寶雞·期中)已知,則的最小值為(
)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】將原式變形為,利用基本不等式求得最小值.【詳解】因為,當且僅當,即時取等號,所以最小值為,故選:D.【變式3-2】(24-25高一上·北京·期中)函數的最小值是.【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】利用配湊法、基本不等式解決即可.【詳解】由基本不等式可得,等號成立當且僅當,所以函數的最小值是.故答案為:.【考點題型四】基本不等式(湊項(系數))形如:【例4】(24-25高一上·上海閔行·期中)函數的最小值是.【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】,當且僅當時等號成立,故所求最小值為,故答案為:.【變式4-1】(24-25高一上·貴州六盤水·期中)已知,則的最大值是.【答案】【知識點】基本(均值)不等式的應用【分析】利用基本不等式求解.【詳解】解:,,,當且僅當,即時等號成立,的最大值是.故答案為:【變式4-2】(24-25高一上·北京·期中)已知函數,則當且僅當時,有最小值.【答案】/0.52【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】,當且僅當,即時取等號,且的最小值為2,故答案為:,2【考點題型五】基本不等式(常數代換法)形如:①已知,求;或已知,求【例5】(24-25高一上·湖南·期中)已知兩個正實數,滿足,且不等式有解,則實數的取值范圍是.【答案】【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式有解等價于有解,解出即可得.【詳解】由均為正實數,且,故,當且僅當,即時,等號成立,則不等式有解等價于有解,即有,解得或.故答案為:.【變式5-1】(24-25高一上·天津紅橋·期中)已知,,且,則的最小值.【答案】5【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”妙用即可得解.【詳解】因為,,且,所以,當且僅當,即時取“”.故答案為:5.【變式5-2】(24-25高一上·云南德宏·期中)已知正數滿足,則的最小值為.【答案】2【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】將展開,再利用基本不等式求解即可.【詳解】由,則,當且僅當,即時,等號成立,即時,取得最小值為,故答案為:.【考點題型六】基本不等式(二次與二次(或一次)商式)形如:或者,常用換元法:令【例6】(24-25高一上·上海·開學考試)若,則的最小值為.【答案】4【知識點】二次與二次(或一次)的商式的最值【分析】根據給定條件,利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】當時,,則,當且僅當,即時取等號,所以的最小值為4.故答案為:4【變式6-1】(24-25高一上·遼寧沈陽·階段練習)已知正實數x,則的最大值是(
)A. B. C. D.【答案】D【知識點】二次與二次(或一次)的商式的最值【分析】利用基本不等式可求,當且僅當時等號成立,化簡已知即可求解.【詳解】解:因為,又因為,所以,所以,當且僅當時,即時等號成立,所以,即y的最大值是.故選:D.【變式6-2】(22-23高一上·貴州貴陽·階段練習)已知,求的最小值【答案】6【知識點】二次與二次(或一次)的商式的最值【分析】根據給定條件,利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】當時,,則,當且僅當,即時取等號,所以的最小值為6.【考點題型七】條件等式求最值形如:,目標①求型;目標②求型【例7】(24-25高一上·江蘇淮安·階段練習)已知,且,則的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】A【知識點】條件等式求最值【分析】由可得,后由基本不等式可得答案.【詳解】因,則,則.當且僅當,結合,,即,時取等號.故選:A【變式7-1】(24-25高一上·天津西青·期中)已知、為正實數,且,則的最小值是.【答案】【知識點】條件等式求最值【分析】利用基本不等式可得出關于的不等式,即可解得的最小值.【詳解】因為、為正實數,由基本不等式可得,即,因為,所以,,即,當且僅當時,即當時,等號成立,故的最小值為.故答案為:.【變式7-2】(24-25高一上·云南昆明·期中)已知正實數,滿足.(1)求的最小值,并求出此時,的值;(2)若的最小值是25,求的值.【答案】(1),,(2)【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】(1)根據“1”的代換,結合基本不等式求解;(2)利用基本不等式求出的最小值,進而求出值.【詳解】(1)由變形得到:,于是,當且僅當,時取等號,所以.(2),當且僅當時取等號,解得.【考點題型八】對鉤函數求最值形如或者【例8】(23-24高二上·河南)已知函數的最小值為,則的解析式可以是(
)A. B.C. D.【答案】D【知識點】對勾函數求最值【分析】取特殊值可判斷AC,利用基本不等式可判斷BD.【詳解】若,則,故A選項不滿足題意;若,則,當且僅當,即時,“”成立,這顯然不成立,故B選項不滿足題意;若,則,故C選項不符合題意;若,則,當且僅當時,“”成立,故D選項符合題意.故選:D.【變式8-1】(多選)(23-24高一上·江蘇連云港·期中)下列命題中,是假命題的有(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【答案】AC【知識點】對勾函數求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用特殊值判斷A、C,利用基本不等式判斷D,根據對勾函數的性質判斷B.【詳解】對于A:當時,故A錯誤;對于B:因為,又在上單調遞增,所以,當且僅當,即時取等號,所以恒成立,故B正確;對于C:當,時,故C錯誤;對于D:因為,所以,當且僅當,即、時取等號,故D正確;故選:AC【變式8-2】(多選)(23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習)下列說法正確的是(
)A.的最小值是2 B.的最小值是2C.的最小值是 D.若,則的最大值是【答案】ACD【知識點】基本不等式求和的最小值、對勾函數求最值【分析】利用基本不等式判斷A、C、D,利用對勾函數的性質判斷B.【詳解】對于A,,,當且僅當時取等號,故A正確;對于B,,令,則且,因為在上單調遞增,所以,即,當且僅當時取等號,故B錯誤;對于C,因為,所以,當且僅當時取等號,所以,當且僅當時取等號,故C正確;對于D,,,當且僅當時取等號,故D正確,故選:ACD.【考點題型九】基本不等式的恒成立問題【例9】(23-24高二上·黑龍江綏化)設正數,滿足,若不等式對任意實數恒成立,則實數的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立問題、基本不等式求和的最小值【分析】首先利用基本不等式求出的最小值,然后根據不等式恒成立,將問題轉化為關于的不等式求解.【詳解】因為正數,滿足,則,因為,所以,則,當且僅當即時等號成立.因為不等式對任意實數恒成立,即恒成立.,所以,即對任意實數恒成立.令,因為,所以.所以.故選:D.【變式9-1】(24-25高一上·廣東深圳·階段練習)已知,且,若對任意的恒成立,則實數的取值是(
)A. B.C. D.【答案】C【知識點】解不含參數的一元二次不等式、分式不等式、基本不等式的恒成立問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據題意,問題可轉化為對任意的恒成立,由題設條件得到,進而得到,接著結合基本不等式求得最小值得到即可求實數的取值范圍.【詳解】因為對任意的恒成立,可得對任意的恒成立,又因為,可得,則,當且僅當即時等號成立,所以最小值為,所以,可得,即,所以,解得或,所以實數的取值范圍為.故選:C.【變式9-2】(24-25高一上·廣東深圳·期中)已知滿足.(1)求的最小值;(2)若恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】(1)變形后,利用基本不等式“1”的代換求出最小值;(2)先求出,參變分離得到,變形得到,利用基本不等式求出取得最小值,則,【詳解】(1),當且僅當,即時取等號,即取得最小值.(2)由,得,即,不等式恒成立,即恒成立,,當且僅當,即時取等號,因此當時,取得最小值,則,所以的取值范圍.【考點題型十】在實際問題中判斷使用基本不等式求最值【例10】(24-25高一上·福建泉州·期中)某公司為提高企業經濟效益,大力進行新產品研發,現計劃投入72萬元,全部用于甲、乙兩種產品的研發,每種產品至少要投入15萬元,在對市場進行調研分析完后發現,甲產品的利潤,乙產品的利潤與研發投入(單位:萬元)滿足,,設甲產品的投入為(單位:萬元),兩種產品的總收益為(單位:萬元).(1)求的表達式,并求當甲產品投入26萬元時,兩種產品的總收益為多少萬元;(2)試問如何安排甲、乙兩種產品的研發投入,才能使總收益最大?【答案】(1),88萬元(2)在甲產品投入39萬元,在乙產品投入33萬元【知識點】求二次函數的值域或最值、利用二次函數模型解決實際問題、分段函數模型的應用、基本(均值)不等式的應用【分析】(1)根據題意,分情況列出關系式,寫成分段函數形式即可;(2)分情況求出各段的最大值,結合換元,基本不等式,二次函數知識求解即可.【詳解】(1)甲產品的投入為萬元,則乙產品的投入為萬元,當時,當時,綜上:,即當甲產品投入26萬元時,兩種產品的總收益為88萬元.(2)當時,令,則總收益為顯然當時,(萬元).當時,,當且僅當..,該公司在甲產品投入39萬元,在乙產品投入33萬元,總收益最大,最大總收益為89.5萬元.【變式10-1】(24-25高一上·北京·期中)已知某商品每件的成本為8元,每月銷量(萬件)與每件售價(元)的函數關系近似為:,若使每月的凈利潤最高,則每件售價應定為(
)(注:凈利潤銷售總額總成本)A.10元 B.12元 C.15元 D.16元【答案】B【知識點】基本(均值)不等式的應用【分析】由每件售價,表示出每月的凈利潤,再利用基本不等式求最大值,等號成立時,即可求得,可得答案.【詳解】設每月的凈利潤為,由題意,,當且僅當,即時,等號成立,則每件售價應定為元.故選:B.【變式10-2】(24-25高一上·浙江杭州·期中)現使用一架兩臂不等長的天平稱20g藥品,操作方法如下:先將10g的砝碼放在天平左盤中,取出一些藥品放在天平右盤中,使天平平衡;再將10g的砝碼放在天平右盤中,再取出一些藥品放在天平左盤中,使得天平平衡.你認為兩次實際稱得的藥品總重量(
)A.等于20g B.大于20g C.小于20g D.以上都有可能【答案】B【知識點】基本(均值)不等式的應用【分析】利用平衡條件得出的表達式,結合基本不等式可得答案.【詳解】設天平左臂長為,右臂長為,且,左盤放的藥品為克,右盤放的藥品為克,則,解得,,當且僅當時,取到等號,而,所以.故選:B【考點題型十一】不等式中的新定義題【例11】(24-25高一上·四川成都·期中)對于基本不等式,即當,時有(當且僅當時不等式取“=”),我們稱為正數,的算術平均數,為它們的幾何平均數,兩個正數的算術平均數不小于他們的幾何平均數.這只是均值不等式的一個簡化版本.均值不等式的歷史可以追溯到19世紀,由在1882年發表的論文中首次提出.均值不等式,也稱為平均值不等式或平均不等式,是數學中的一個重要公式.它的基本形式包括調和平均數、幾何平均數、算術平均數和平方平均數之間的關系.它表明:個正數的平方平均數大于等于它們的算術平均數大于等于幾何平均數大于等于調和平均數,且當這些數全部相等時,等號成立.(1)請直接運用上述不等式鏈中某個的情形求的最小值;(2)寫出時調和平均數與幾何平均數之間的關系,并證明;(3)如圖,把一塊長為的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形,再將它的邊沿虛線折轉做成一個無蓋的方底盒子.問切去的正方形邊長是多少時,才能使盒子的容積最大?【答案】(1)(2),其中,,(3)切去的正方形邊長為時,才能使盒子的容積最大.【知識點】基本(均值)不等式的應用、由基本不等式證明不等關系、基本不等式求和的最小值【分析】(1)根據已知條件給出的不等式求解即可;(2)根據已知條件給出的幾何平均數大于等于調和平均數寫出不等式即可,證明見詳解;(3)設出小正方形的邊長,表示出盒子的容積,利用不等式求解最值即可.【詳解】(1)由題意得所以時,,當且僅當時,即時,等號成立,所以的最小值為.(2)由題意可知,當時,調和平均數與幾何平均數之間的關系為,其中,,,當且僅當時,等號成立.證明:所以,,當且僅當時,等號成立.根據題意,可設,,,用,,替換,,可得,當且僅當時,等號成立.所以,所以,當且僅當時,等號成立.(3)設小正方形的邊長為,則盒子的高,底邊邊長為,可得盒子的容積為,其中,則,當且僅當時,即時,等號成立,所以切去的正方形邊長為時,才能使盒子的容積最大,最大容積為.【變式11-1】(24-25高一上·江蘇常州·階段練習)定義:為實數中較大的數.若,則的最小值為.【答案】【知識點】由不等式的性質比較數(式)大小、基本不等式求和的最小值【分析】先根據的范圍,討論的大小關系,在每種情況中分別用均值不等式和不等式的性質確定的范圍,即可得解.【詳解】設,則由題意可得,因為,所以①當時,,只需考慮,所以,,所以,可得,當且僅當時取等號;②當時,,只需考慮,所以,可得,當且僅當時取等號.綜上所述,的最小值為2.故答案為:2.【點睛】關鍵點點睛:本題的關鍵點是在利用均值不等式和不等式的性質時,特別注意同向不等式的應用和均值不等式成立的條件.【變式11-2】(24-25高一上·福建福州·階段練習)若一個集合含有個元素,且這個元素之和等于這個元素之積,則稱該集合為元“復活集”.(1)直接寫出一個2元“復活集”(無需寫出求解過程);(2)求證:對任意一個2元“復活集”,若其元素均為正數,則其元素之積一定大于4;(3)是否存在某個3元“復活集”,其元素均為正整數?若存在,求出所有符合條件的3元“復活集”;若不存在,說明理由.【答案】(1)(答案不唯一);(2)證明見解析;(3)存在某個3元“復活集”,所有符合條件的3元“復活集”為:.【知識點】基本不等式求和的最小值、集合新定義【分析】(1)根據“復活集”的定義寫出一個2元“復活集”.(2)利用基本不等式證得結論成立.(3)先求得一個3元“復活集”,然后證明這個“復活集”是唯一的,從而確定正確答案.【詳解】(1)設一個2元“復活集”為(),則,由于,所以一個2元“復活集”可為(答案不唯一).(2)由上述分析可知,2元“復活集”()滿足,若,則即,所以(舍去)或即,所以對任意一個2元“復活集”,若其元素均為正數,則其元素之積一定大于4.(3)設元“復活集”,其中都是正整數,且兩兩不相等,根據集合元素的互異性和無序性,不妨設,根據“復活集”可得,因為,所以存在元素均為正整數的元“復活集”.設,則,由,得,整理得,由于且都是正整數,所以,所以,此時元“復活集”為.當時,由,得,所以,由于且都是正整數,所以只有滿足,但與矛盾,所以當時,不存在元素均為正整數的元“復活集”.綜上所述,存在某個3元“復活集”,所有符合條件的3元“復活集”為.【點睛】關鍵點睛:在第(3)小問中的求解過程中,關鍵在于利用分類討論和整數的性質,確定元素的取值范圍.通過先假設一個元素等于1,利用方程的對稱性和因式分解,找出了滿足條件的所有正整數解,并證明了這個解的唯一性;再假設,由“復活集”定義和整數的性質得,從而再由正整數性質進一步可求解.提升訓練1.(24-25高一上·內蒙古赤峰·階段練習)已知,則以下錯誤的是(
)A. B.C. D.【答案】D【知識點】利用不等式求值或取值范圍【分析】由不等式的基本性質判斷各選項即可.【詳解】因為,所以,,故AB正確;而,,所以,,故C正確,D錯誤.故選:D.2.(24-25高一上·遼寧大連·期中)已知,,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【知識點】利用不等式求值或取值范圍【分析】利用不等式性質,先求解出的范圍,然后可求即的范圍.【詳解】因為,所以,所以,即,故選:D.3.(24-25高一上·廣東佛山·期中)已知,則的大小關系為(
)A. B.C. D.與的取值有關【答案】B【知識點】作差法比較代數式的大小【分析】由作差法結合二次函數的性質即可得出答案.【詳解】因為,所以,所以.故選:B.4.(湖北省部分高中聯考協作體2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題)已知正實數滿足,則恒成立,則實數的取值范圍為(
)A. B.或C. D.或【答案】A【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據基本不等式求的最小值,再將恒成立問題轉化為最值問題,可得不等式,求解即可.【詳解】因為,且為正實數,所以,當且僅當,即時,等號成立.所以,則因為恒成立,所以,解得,故選:A.5.(浙江省寧波市五校聯盟2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題)已知,,且,則的最小值為(
)A.9 B.10 C.11 D.13【答案】D【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值,得到答案.【詳解】,且,故,當且僅當,即時,等號成立.故選:D6.(24-25高一上·北京·期中)使“函數的最小值為2”為假命題的的一個值可以是(
)A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】D【知識點】已知命題的真假求參數、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求出取得最小值的條件,進而求出的范圍,再利用其否定為真命題即可得解.【詳解】依題意,,當且僅當,即時取等號,而,則,由“函數的最小值為2”為假命題,所以.故選:D7.(24-25高三上·福建龍巖·期中)已知正數a,b滿足,則的最小值為(
)A.4 B.6 C. D.8【答案】D【知識點】條件等式求最值【分析】由解出a,代入,進行適當變形,應用基本不等式求最小值即可.【詳解】解:因為正數a,b滿足,所以,所以,所以,當且僅當,即時等號成立,所以的最小值為8.故選:D8.(24-25高一上·江西上饒·階段練習)已知正數x、y滿足,不等式恒成立.則實數m的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】將恒成立問題轉化為最值問題,利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為,,所以由基本不等式可得,等號成立當且僅當,即,綜上所述,的最小值為;因為不等式恒成立,所以,所以實數m的取值范圍是.故選:C.9.(多選)(24-25高一上·河北石家莊·期中)設正實數滿足,則下列說法正確的是(
)A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據基本(均值)不等式可判定ABD是正確的,舉反例說明C是錯誤的.【詳解】對A:因為,當且僅當,即時取“”,故A正確;對B:因為,當且僅當,即時取“”,故B正確;對C:當時,滿足,此時,故C錯誤;對D:因為,由A選項可知,,所以,當且僅當時取“”,故D正確.故選:ABD.10.(多選)(24-25高一上·江蘇無錫·期中)若且,則下列說法正確的是(
)A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最大值為【答案】AC【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】根據基本不等式對選項進行分析,從而確定正確答案.【詳解】依題意,且,A選項,,當且僅當時等號成立,,解得,所以,所以A選項正確.B選項,由A選項的分析可知,當且僅當時,取得最小值為,而,但此時,所以取不到最小值,所以B選項錯誤.C選項,(則①),,,當且僅當時,等號成立,所以C選項
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