PAGE1-1.2回來分析學習目標核心素養1．會用散點圖分析兩個變量是否存在相關關系．(重點)2．會求回來方程、駕馭建立回來模型的步驟，會選擇回來模型．(重點、難點)1．通過回來分析學習，培育學生數據分析、數學建模素養．2．借助求回來方程及相關系數r的值，提升學生的數學運算素養.一、線性回來模型1．回來直線方程其中eq\o(b,\s\up6(^))的計算公式還可以寫成eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2).2．線性回來模型y＝bx＋a＋εi，其中εi稱為隨機誤差項，a和b是模型的未知參數，自變量x稱為說明變量，因變量y稱為預報變量．二、相關性檢驗1．相關系數計算r＝eq\f(∑xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(∑xi－\o(x,\s\up6(－))2∑yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(∑xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(∑x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2∑y\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2))性質范圍|r|≤1線性相關程度|r|越接近1，線性相關程度越強|r|越接近0，線性相關程度越弱2.相關性檢驗的步驟(1)作統計假設：x與Y不具有線性相關關系；(2)依據小概率0.05與n－2在附表中查出r的一個臨界值r0.05；(3)依據樣本相關系數計算公式算出r的值；(4)作統計推斷．假如|r|>r0.05，表明有95%把握認為x與Y之間具有線性相關關系．假如|r|≤r0.05，沒有理由拒絕原來的假設．1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)求回來直線方程前必需進行相關性檢驗． ()(2)兩個變量的相關系數越大，它們的相關程度越強． ()(3)若相關系數r＝0，則兩變量x，y之間沒有關系． ()[解析](1)正確．相關性檢驗是了解成對數據的改變規律的，所以求回來方程前必需進行相關性檢驗．(2)錯誤．相關系數|r|越接近1，線性相關程度越強；|r|越接近0，線性相關程度越弱．(3)錯誤．若r＝0是指x，y之間的相關關系弱，但并不能說沒有關系．[答案](1)√(2)×(3)×2．下列結論正確的是()①函數關系是一種確定性關系；②相關關系是一種非確定性關系；③回來分析是對具有函數關系的兩個變量進行統計分析的一種方法；④回來分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④[解析]函數關系和相關關系的區分為前者是確定性關系，后者是非確定性關系，故①②正確；回來分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種方常用法，故③錯誤，④正確．[答案]C3．設某高校的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系．依據一組樣本數據(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結論中正確的是________(填序號)．(1)y與x具有正的線性相關關系；(2)回來直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；(3)若該高校某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；(4)若該高校某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg.[解析]回來方程中x的系數為0.85>0，因此y與x具有正的線性相關關系，(1)正確；由回來方程系數的意義可知回來直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，(2)正確；依據回來方程中eq\o(b,\s\up6(^))的含義可知，x每改變1個單位，eq\o(y,\s\up6(^))相應改變約0.85個單位，(3)正確；用回來方程對總體進行估計不能得到確定結論，故(4)不正確．[答案](1)(2)(3)回來分析的有關概念【例1】(1)有下列說法：①線性回來分析就是由樣本點去找尋一條直線，使之貼近這些樣本點的數學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀推斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；③通過回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，可以估計和觀測變量的取值和改變趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回來方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．其中正確命題的個數是()A．1 B．2C．3 D．4(2)假如某地的財政收入x與支出y滿意線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a＋ε(單位：億元)，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.8，eq\o(a,\s\up6(^))＝2，|ε|≤0.5，假如今年該地區財政收入10億元，則今年支出預料不會超過________億．[解](1)①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，故正確．③說明的是回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的作用，故正確．④是不正確的，在求回來方程之前必需進行相關性檢驗，以發覺兩變量的關系．(2)由題意可得：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋2＋ε，當x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤0.5，∴9.5≤eq\o(y,\s\up6(^))≤10.5.故今年支出預料不會超過10.5億．[答案](1)C(2)10.51．在分析兩個變量的相關關系時，可依據樣本數據散點圖確定兩個變量之間是否存在相關關系，然后利用最小二乘法求出回來直線方程．2．由線性回來方程給出的是一個預報值而非精確值．3．隨機誤差的主要來源．(1)線性回來模型與真實狀況引起的誤差；(2)省略了一些因素的影響產生的誤差；(3)觀測與計算產生的誤差．1．下列有關線性回來的說法，不正確的是________(填序號)．①自變量取值確定時，因變量的取值帶有確定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系；②在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關關系的兩個量的一組數據的圖形叫做散點圖；③線性回來方程最能代表觀測值x，y之間的關系；④任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回來直線方程．[解析]只有具有線性相關的兩個觀測值才能得到具有代表意義的回來直線方程．[答案]④線性回來分析【例2】為探討拉力x(N)對彈簧長度y(cm)的影響，對不同拉力的6根彈簧進行測量，測得如下表中的數據：x51015202530y7.258.128.959.910.911.8(1)畫出散點圖；(2)假如散點圖中的各點大致分布在一條直線的旁邊，求y與x之間的回來直線方程．[思路探究]eq\x(作散點圖)→eq\x(得到x，y有較好線性關系)→eq\x(代入公式求得線性回來方程)[解](1)散點圖如圖所示．(2)將已知表中的數據列成下表：xi51015202530yi7.258.128.959.910.911.8xiyi36.2581.2134.25198272.5354xeq\o\al(2,i)25100225400625900eq\x\to(x)＝17.5，eq\x\to(y)≈9.49，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1076.2，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2275.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1076.2－6×17.5×9.49,2275－6×17.52)≈0.18，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝9.49－0.18×17.5＝6.34.∴回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.18x＋6.34.本題條件不變，若x增加2個單位，eq\o(y,\s\up6(^))增加多少？[解]若x增加2個單位，則eq\o(y,\s\up6(^))＝0.18(x＋2)＋6.34＝0.18x＋6.34＋0.36，故eq\o(y,\s\up6(^))增加0.36個單位．1．散點圖是定義在具有相關關系的兩個變量基礎上的，對于性質不明確的兩組數據，可先作散點圖，在圖上看它們有無關系，關系的親密程度，然后再進行相關回來分析．2．求回來直線方程時，首先應留意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回來直線方程才有實際意義，否則，求出的回來直線方程毫無意義．非線性回來分析[探究問題]1．已知x和y之間的一組數據，則下列四個函數中，哪一個作為回來模型最好？x123y35.9912.01①y＝3×2x－1； ②y＝log2x；③y＝4x; ④y＝x2.[提示]視察散點圖中樣本點的分布規律可推斷樣本點分布在曲線y＝3×2x－1旁邊．①作為回來模型最好．2．如何解答非線性回來問題？[提示]非線性回來問題有時并不給出閱歷公式．這時我們可以畫出已知數據的散點圖，把它與學過的各種函數(冪函數、指數函數、對數函數等)圖象作比較，選擇一種跟這些散點擬合得最好的函數，然后采納適當的變量變換，把問題化為線性回來分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：【例3】某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170體重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)試建立y與x之間的回來方程；(2)假如一名在校男生身高為168cm，預料他的體重約為多少？[思路探究]先由散點圖確定相應的函數模型，再通過對數變換將非線性相關轉化為線性相關的兩個變量來求解．[解](1)依據表中的數據畫出散點圖，如下：由圖看出，這些點分布在某條指數型函數曲線y＝c1ec2x的四周，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散點圖，如下：由表中數據可求得z與x之間的回來直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.693＋0.020x，則有eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.693＋0.020x.(2)由(1)知，當x＝168時，eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高為168cm，預料他的體重約為57.57kg.兩個變量不具有線性關系，不能干脆利用線性回來方程建立兩個變量的關系，可以通過變換的方法轉化為線性回來模型，如y＝c1eeq\s\up10(c2x)，我們可以通過對數變換把指數關系變為線性關系，令z＝lny，則變換后樣本點應當分布在直線z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的四周.2．有一個測量水流量的試驗裝置，測得試驗數據如下表：i1234567水深h(厘米)0.71.12.54.98.110.213.5流量Q(升/分鐘)0.0820.251.811.237.566.5134依據表中數據，建立Q與h之間的回來方程．[解]由表中測得的數據可以作出散點圖，如圖．視察散點圖中樣本點的分布規律，可以推斷樣本點分布在某一條曲線旁邊，表示該曲線的函數模型是Q＝m·hn(m，n是正的常數)．兩邊取常用對數，則lgQ＝lgm＋n·lgh，令y＝lgQ，x＝lgh，那么y＝nx＋lgm，即為線性函數模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lgm)．由下面的數據表，用最小二乘法可求得eq\o(b,\s\up6(^))≈2.5097，eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.7077，所以n≈2.51，m≈0.196.ihiQixi＝lghiyi＝lgQixeq\o\al(2,i)xiyi10.70.082－0.1549－1.08620.0240.168321.10.250.0414－0.60210.0017－0.024932.51.80.39790.25530.15830.101644.911.20.69021.04920.47640.724258.137.50.90851.57400.82541.4300610.266.51.00861.82281.01731.8385713.51341.13032.12711.27762.4043∑4.0225.14013.78076.642于是所求得的回來方程為Q＝0.196·h2.51.1．下表是x和y之間的一組數據，則y關于x的線性回來方程必過點()x1234y1357A．(2,3) B．(1.5,4)C．(2.5,4) D．(2.5,5)[解析]線性回來方程必過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即(2.5,4)，故選C.[答案]C2．在兩個變量y與x的回來模型中，分別選擇了4個不同的模型．它們的相關指數R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的相關指數R2為0.98B．模型2的相關指數R2為0.80C．模型3的相關指數R2為0.50D．模型4的相關指數R2為0.25[解析]相關指數R2越接近于1，則該模型的擬合效果就越好，精度越高．[答案]A3．如圖所示，有5組(x，y)數據，去掉________這組數據后，剩下的4組數據的線性相關系數最大．[答案]D(3,10)4．為了考查兩個變量Y與x的線性相關性，測是x，Y的13對數據，若Y與x具有線性相關關系，則相關系數r確定值的取值范圍是________．[解析]相關系數臨界值r0.05＝0.553，所以Y與x若具有線性相關關系，則相關系數r