人教版九年級上冊第23,24,25教案

教學札記

第二十三章旋轉

23.1圖形的旋轉（1）

第一課時

教學內容

1.什么叫旋轉？旋轉中心？旋轉角？

2.什么叫旋轉的對應點？

教學目標

了解旋轉及其旋轉中心和旋轉角的概念，了解旋轉對應點的概念及其應

用它們解決一些實際問題.

通過復習平移、軸對稱的有關概念及性質,從生活中的數學開始，經歷

觀察，產生概念，應用概念解決一些實際問題.

重難點、關鍵

1.重點：旋轉及對應點的有關概念及其應用.

2.難點與關鍵：從活生生的數學中抽出概念.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下面各題.

1.將如圖所示的四邊形ABCD平移，使點B的對應點為點D，作出平移

后的圖形.

2.如圖，已知MBC和直線L,請你畫出“BC關于L的對稱圖形"BC'.

A

教學札記

3.圓是軸對稱圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？

（口述）老師點評并總結：

（1）平移的有關概念及性質.

（2）如何畫一個圖形關于一條直線（對稱軸）的對稱圖形并口述它既

有的一些性質.

（3）什么叫軸對稱圖形？

二、探索新知

我們前面已經復習平移等有關內容，生活中是否還有其它運動變化呢？

回答是肯定的，下面我們就來研究.

1.請同學們看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉動？旋繞代么點呢？

從現在到下課時鐘轉了多少度？分針轉了多少度？秒針轉了多少度？

（口答）老師點評：時針、分針、秒針在不停地轉動，它們都繞時針的

中心.如果從現在到下課時針轉了_____度，分針轉了_______度，秒針轉

了_____度.

2.再看我自制的好像風車風輪的玩具，它可以不停地轉動.如何轉到新

的位置？（老師點評略）

3.第1、2兩題有什么共同特點呢?

共同特點是如果我們把時針、風車風輪當成一個圖形，那么這些圖形都

可以繞著某一固定點轉動一定的角度.

像這樣，把一個圖形繞著某一點0轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，

點0叫做旋轉中心,轉動的角叫做旋轉角.

如果圖形上的點P經過旋轉變為點P',那么這兩個點叫做這個旋轉的對

應點.

下面我們來運用這些概念來解決一些問題.

B

E

A

0

例1.如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB,它繞0點按順時針方向

旋轉得到&OEF,在這個旋轉過程中：

(1)旋轉中心是什么？旋轉角是什么？

(2)經過旋轉，點A、B分別移動到什么位置？

解：(1)旋轉中心是0,ZAOE、ZBOF等都是旋轉角.

(2)經過旋轉，點A和點B分別移動到點E和點F的位置.

例2.(學生活動)如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是邊長為1的正

方形.

(1)這個圖案可以看做是哪個"基本圖案"通過旋轉得到的？

E

(2)請畫出旋轉中心和旋轉角.

(3)指出，經過旋轉，點A、B、C、D分別移到什么位置？

(老師點評)

(1)可以看做是由正方形ABCD的基本圖案通過旋轉而得到的.(2)

畫圖略.(3)點A、點B、點C、點D移到的位置是點E、點F、點G、點H.

最后強調，這個旋轉中心是固定的，即正方形對角線的交點，但旋轉角

和對應點都是不唯一的.

三、鞏固練習

教材P65練習1、2、3.

四、應用拓展

例3.兩個邊長為1的正方形，如圖所示,讓一個正方形的頂點與另一

個正方形中心重合,不難知道重合部分的面積為,，現吉巴其中一個正方形固

4

定不動，另一個正方形繞其中心旋轉，問在旋轉過程中，兩個正方形重疊部

分面積是否發生變化？說明理由.

分析：設任轉一角度，如圖中的虛線部分，要說明旋轉后正方形重疊部

分面積不變，只要說明SAOEE-SAODD',那么只要說明△OEF^AODD'.

解：面積不變.

理由：設任轉一角度，如圖所示.

教學札記

在Rt^ODD'和Rt^OEE'中

N0DD'=N0EE'=90。

ND0D':NE0E'=900-NB0E

OD=OD

「.△ODD隴AOEE'

ASAODD*=SAOEE'

，S四邊形OE'BD'=S正方形OEBD=~7

4

五、歸納小結(學生總結，老師點評)

本節課要掌握：

1.旋轉及其旋轉中心、旋轉角的概念.

2.旋轉的對應點及其它們的應用.

六、布置作業

23.1圖形的旋轉(2)

第二課時

教學內容

1.對應點到旋轉中心的距離相等.

2.對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.

3.旋轉前后的圖形全等及其它們的運用.

教學目標

理解對應點到旋轉中心的距離相等；理解對應點與旋轉中心所連線段的

夾角等于旋轉角；理解旋轉前、后的圖形全等.掌握以上三個圖形的旋轉的

基本性質的運用.

先復習旋轉及其旋轉中心、旋轉角和旋轉的對應點概念，接著用操作幾

何、實驗探究圖形的旋轉的基本性質.

重難點、關鍵

教學札記

1.重點：圖形的旋轉的基本性質及其應用.

2.難點與關鍵：運用操作實驗幾何得出圖形的旋轉的三條基本性質.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）老師口問，學生口答.

1.什么叫旋轉？什么叫旋轉中心？什么叫旋轉角？

2.什么叫旋轉的對應點？/

3.請獨立完成下面的題目.

如圖，0是六個正三角形的公共頂點,正六邊形ABCDEF能否看做

是某條線段繞0點旋轉若干次所形成的圖形？

（老師點評）分析：能.看做是一條邊（如線段AB）繞。點，按照同一

方法連續旋轉60。、120。、180。、240。、300。形成的.

二、探索新知

上面的解題過程中，能否得出什么結論，請回答下面的問題：

1.A、B、C、D、E、F到0點的距離是否相等?

2.對應點與旋轉中心所連線段的夾角NBOC、/COD、ZD0Ex/EOF、ZFOA

是否相等？

3.旋轉前、后的圖形這里指三角形"AB、-OBC、皿、△ODE.-OEF、

△OFA全等嗎？

老師點評：（1）距離相等，（2）夾角相等，（3）前后圖形全等，那么

這個是否有T殳性？下面請看這個實驗.

請看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個三角形的洞，再挖一

個點0作為旋轉中心，把挖好的硬紙板放在黑板上，先在黑板上描出這個挖

掉的三角形圖案（"BC）,然后圍繞旋轉中心0轉動硬紙板，在黑板上再

描出這個挖掉的三角形（"BC）,移去硬紙板.

(分組討論)根據圖回答下面問題(一組推薦一人上臺說

學札記

明)

1.線段0A與0A\OB與0E*,0C與0C有什么關系?

2.zAOA*,/BOB',NC0C'有什么關系?

3."BC與"BC形狀和大小有什么關系？

老師點評：1.0A=0A',0B=03"OC=OC"也就是對應點到旋轉中心相等.

2.ZAOA^ZBOB^ZCOC1,我們把這三個相等的角,即對應點與旋轉中心

所連線段的夾角稱為旋轉角.

3."BC和形狀相同和大小相等，即全等.

綜合以上的實驗操作和剛才作的(3)，得出

(1)對應點到旋轉中心的距離相等；

(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

(3)旋轉前、后的圖形全等.

例1.如圖，MBC繞C點旋轉后，頂點A的對應點為點D,試

確定頂點B對應點的位置，以及旋轉后的三角形.人

分析：繞C點旋轉，A點的對應點是D點,那么旋轉角就是N/

ACD,根據對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即NBCB，B

=ACD,又由對應點到旋轉中心的距離相等,即CB=CB',就可確定

B'的位置，如圖所示.

解：(1)連結CD

(2)以CB為一邊作NBCE,使得NBCE=NACDE

(3)在射線CE上截取CB=CB

則B'即為所求的B的對應點.BC

(4)連結DB'

則ADB'C就是"BC繞C點齷專后的圖形.

例2.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且DE=i,△

4"學札記

AB卜?是打"的旋轉圖形.

(1)旋轉中心是哪一點？尸BC

(2)旋轉了多少度？

(3)AF的長度是多少?

(4)如果連結EF,那么MEF是怎樣的三角形?

分析：由MBF是MDE的旋轉圖形，可直接得出旋轉中心和旋轉角,要

求AF的長度，根據旋轉前后的對應線段相等，只要求AE的長度，由勾股定

理很容易得到."BF與"DE是完全重合的，所以它是直角三角形.

解：(1)旋轉中心是A點.

(2)?"ABF是由&ADE旋轉而成的

??.B是D的對應點

??.NDAB=90°就是旋轉角

(3)-/AD=1,DE=-

4

，AE=』+(?，=粵

.?對應點到旋轉中心的距離相等且F是E的對應點

.AF血

4

(4)./EAF=90°(與旋轉角相等)且AF二AE

."EAF是等腰直角三角形.

三、鞏固練習

教材P64練習1、2.

四、應用拓展

例3如圖K是正方形ABCD內一點以AK為一邊作正方形AKLM,

學札記

使L、M在AK的同旁,連接BK和DM,試用旋轉的思想說明線段BK

與DM的關系.

分析：要用旋轉的思想說明就是要用旋轉中心、旋轉角、對應

點的知識來說明.

解：??四邊形ABCD、四邊形AKLM是正方形

/.AB=AD,AK=AM,且/BAD=/KAM為旋轉角且為90°

是以A為旋轉中心，ZBAD為旋轉角由"BK旋轉而成的

/.BK=DM

五、歸納小結(學生總結，老師點評)

本節課應掌握：

1.對應點到旋轉中心的距離相等；

2.對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

3.旋轉前、后的圖形全等及其它們的應用.

六、布置作業

23.1圖形的旋轉(3)

第三課時

教學內容

選擇不同的旋轉中心或不同的旋轉角，設計出不同的美麗的圖案.

教學目標

理解選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角度，會出現不同的效果，掌握

根據需要用旋轉的知識設計出美麗的圖案.

復習圖形旋轉的基本性質，著重強調旋轉中心和旋轉角然后應用已學的

知識作圖，設計出美麗的圖案.

重難點、關鍵

1.重點：用旋轉的有關知識畫圖.

教學札記

2.難點與關鍵：根據需要設計美麗圖案.

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

1.(學生活動)老師口問,學生口答.

(1)各對應點到旋轉中心的距離有何關系呢？

(2)各對應點與旋轉中心所連線段的夾角與旋轉角有何關系？

(3)兩個圖形是旋轉前后的圖形，它們全等嗎？

2.請同學獨立完成下面的作圖題.

如圖，“0B繞。點旋轉后，G點是B點的對應點，作.G

出“OB旋轉后的三角形.

(老師點評)分析：要作出“0B旋轉后的三角形，應/------o

找出三方面：第一，旋轉中心：0；第二，旋轉角：ZB0G；

第三，A點旋轉后的對應點：A，.

二、探索新知

從上面的作圖題中，我們知道，作圖應滿足三要素：旋轉中心、旋轉角、

對應點，而旋轉中心、旋轉角固定下來，對應點就自然而然地固定下來.因

此，下面就選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角來進行研究.

1.旋轉中心不變，改變旋轉角

畫出以下圖所示的四邊形ABCD以0點為中心，旋轉角分別為30。、60。

的旋轉圖形.

教學札記

2.旋轉角不變，改變旋轉中心

畫出以下圖，四邊形ABCD分別為0、0為中心，旋轉角都為30°的旋轉

圖形.

因此，從以上的畫圖中，我們可以得到旋轉中心不變，改變旋轉角與旋

轉角不變，改變旋轉中心會產生不同的效果，所以，我們可以經過旋轉設計

出美麗的圖案.

例1.如下圖是菊花一葉和中心與圓圈,現以。為旋轉中心畫出分別旋

轉45。、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花圖案.

A

分析：只要以0為旋轉中心、旋轉角以上面為變化，旋轉長度為菊八

花的最長0A,按菊花葉的形狀畫出即可.

解：(1)連結OA

(2)以0點為圓心，0A長為半徑旋轉45。，得A.?O

(3)依此類推畫出旋轉角分別為90。、135°、180。、225。、270°、315°

的A、A、A、A、A、A.

(4)按菊花一葉圖案畫出各菊花一葉.

那么所畫的圖案就是繞。點旋轉后的圖形.

例2.(學生活動)如圖，如果上面的菊花一葉，繞下八

面的點0'為旋轉中心,請同學畫出圖案，它還是原來的菊'

花嗎？

?o'

V

老師點評：顯然，畫出后的圖案不是菊花，而是另外的一種花了.

教學札記

三、鞏固練習

教材P65練習.

四、應用拓展

例3.如圖，如何作出該圖案繞0點按逆時針旋轉90。的圖

形.

分析：該備案是一個上匕較復雜的圖案,是作出幾個復合圖

形組成的圖案，因此，要先畫出圖中的關鍵點，這些關鍵點往

往是圖案里線的端點、角的頂點、圓的圓心等，然后再根據旋

D

轉的特征，作出這些關鍵點的對應點，最后再按原圖案作出旋

轉后的圖案.

解：(1)連結OA,過。點沿OA逆時針作NAOA，=90。，在射線上截取

OA^OA；

(2)用同樣的方法分別求出B、C、D、E、F、G、H的對應點B\C\D\

E\F\G\H'；

(3)作出對應線段AB、BfC\C'D'、DE、EF、F,A;A'G'、G'D\DrH\

IKA*;

(4)所作出的圖案就是所求的圖案.

五、歸納小結(學生歸納，老師點評)

本節課應掌握：

1.選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角，設計出美麗的圖案；

2.作出幾個復合圖形組成的圖案旋轉后的圖案,要先求出圖中的關鍵

點一線的端點、角的頂點、圓的圓心等.

六、布置作業

第三課時作業設計

教學札記

一、選擇題

1.如圖才罷放有五雜梅花，下列說法錯誤的是(以中心梅花為初始位置X)

A.左上角的梅花只需沿對角線平移即可

B.右上角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針旋轉45°

C.右下角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針旋轉180

D.左下角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針旋轉90°

2.同學們曾玩過萬花筒吧，它是由三塊等寬等長的玻璃鏡片圍成的，如圖

23-33是看到的萬花筒的一個圖案，圖中所有三角形均是等邊三角形，其

中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A為中心()

A.順時針旋轉60°得到的B.順時針旋轉120°得到的

3下面的圖形23-34繞著一個點旋轉120。后，能與原來的位置重合的是(

A.(1),(4)B.(1),(3)C.(1),(2)D.(3),

(4)

。△☆口

(1)(2)(3)(4)

二、填空題

1.如圖，五角星也可以看作是一個三角形繞中心點旋轉次得到的，

每次旋轉的角度是_______.

教學札記

A

2.圖形之間的變換關系包括平移、一軸對稱以及它們的組合變換.

3.如圖，過圓心0和圖上一點A連一條曲線，將0A繞0點按同一方向連續

旋轉三次，每次旋轉90。，把圓分成四部分,這四部分面積_________.

三、綜合提高題.

1.請你利用線段、三角形、菱形、正方形、圓作為"基本圖案"繪制一幅以

"校運動會”為主題的徽標.

2.如圖，是某設計師設計的方桌布圖案的一部分，請你運用旋轉的方法，

將該圖案繞原點。順時針依次旋轉90。、180。、270。，并畫出圖形，你來

試一試吧！但是涂陰影時，要注意利用旋轉變換的特點，不要涂錯了位置，

否則你將得不到理想的效果，并且還要扣分的噢！

3.如圖，^ABC的直角三角形，BC是斜邊，將dABP繞點A逆時針旋轉后,

與UCP'重合，如果AP=3,求PP'的長.

A

23.2中心對稱⑴

教學札記

第一課時

教學內容

兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點等

概念及其運用它們解決一些實際問題.

教學目標

了解中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點等概念及掌握這些概念解

決一些問題.

復習運用旋轉知識作圖，旋轉角度變化，設計出不同的美麗圖案來引

入旋轉180。的特殊旋轉一中心對稱的概念，并運用它解決一些實際問題.

重難點、關健

1.重點：利用中心對稱、對稱中心、關于中心對稱點的概念解決一些問

題.

2.難點與關鍵：從一般旋轉中導入中心對稱.

教具、學具準備

小黑板、三角尺

教學過程

一、復習引入

請同學們獨立完成下題.

如圖，"BC繞點0旋轉，使點A旋轉到點D處，畫出旋

轉后的三角形，并寫出簡要作法.<

老師點評：分析，本題已知旋轉后點A的對應點是點D,

且旋轉中心也已知，所以關鍵是找出旋轉角和旋轉方向.顯BC

然，逆時針或順時針旋轉都符合要求，一般我們選擇小于|

180。的旋轉角為宜，故本題選擇的旋轉方向為順時針方向；已知一對對應點|

和旋轉中心，很容易確定旋轉角.如圖，連結OA、0D,M

則NA0D即為旋轉角.接下來根據“任意一對對應點

與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角"和"對應點到旋轉中心的距離相等"

教學札記

這兩個依據的乍圖即可.

作法：(1)連結OA、0B、作0D；

(2)分另！J以OB、0B為邊作NBOMNCON=NAOD；

(3)分別截取0E二OB,OF=0C；

(4)依次連結DE、EF、FD；

即：SEF就是所求作的三角形，如圖所示.

二、探索新知

問題作出如圖的兩個圖形繞點。旋轉180。的圖案，并回答下列的問題：

1.以。為旋轉中心，旋轉180。后兩個圖形是否重合？

2.各對稱點繞()旋轉180。后，這三點是否在一條直線上？

A

QB/

*ob

老師點評：可以發現，如圖所示的兩個圖案繞。旋轉180。都是重合的

即甲圖與乙圖重合，MAB與MOD重合.

像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果它能夠與另一個圖形

重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中

心.

這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點.

例1.如圖，四邊形ABCD繞D點旋轉180。，請作出旋轉后的圖案，寫出

作法并回答.

(1域兩個圖形是中心對稱圖形嗎？如果是對稱中心是哪一點？如果不

教學札記

是，請說明理由.

(2)如果是中心對稱,那么A、B、C、D關于中心的對稱點是哪些點.

bA

BC

分析(1%艮據中心對稱的定義便直接可知這兩個圖形是中心對稱圖形,

對稱中心就是旋轉中心.

(3)旋轉后的對應點，便是中心的對稱點.

解：作法：(1)延長AD,并且使得DA'=AD

(2)同樣可得：BD=B'D,CD=€fD

(3)連結AE、BC、CD，則四邊形AECD為所求的四邊形，如圖23-44

所示.

答：(1)根據中心對稱的定義便知這兩個圖形是中心對稱圖形，對稱中

心是D點.

(2)A、B、C、D關于中心D的對稱點是A'、B'、C;D',這里的D'與D

重合.

例2.如圖,已知AD是"BC的中線,畫出以點D為對稱中心,與MBD

成中心對稱的三角形.

分析：因為D是對稱中心且AD是&ABC的中線，所以C、B為一對的對應

點，因此，只要再畫出A關于D的對應點即可.

解：(1)延長AD，且使AD二DA',因為C點關于D的中心對稱點是B(C),

教學札記

B點關于中心D的對稱點為C(B*)

(2)連結A'B'、A'C'.

則△ABC'為所求作的三角形，如圖所示.

三、鞏固練習

教材P74練習2.

四、應用拓展

例3.如釁，在“BC中,ZC=7O°,BC=4,AC=4,現將&ABC沿CB方向平

移到MBC的位置.

(1)若平移的距離為3,求"BC與"'B'C’重疊部分的面積.

(2)若平移的距離為x(0<x<4)，求MBC與"'BC重疊部分的面積y,

寫出y與x的關系式.

分析:(l)vBC=41AC=4

」.△ABC是等腰直角三角形，易得SDC'也是等腰直角三角形且BC'=1

(2)二,平移的距離為x,.,.BCf-4-x

解:(1).CC=3,CB=4ELAC=BC

.?.BC'=C'D=1

?"?SABDC--X1X1=一

22

(2)「COx,「.BE-x

?/AC=BC=4

教學札記

.-.DC-4-x

.'.SABDC=-(4-x)(4-x)=-X2-4X+8

22

五、歸納小結(學生歸納，老師點評)

本節課應掌握：

1.中心對稱及對稱中心的概念；

2.關于中心的對稱點的概念及其運用.

六、布置作業

23.2中心對稱(2)

第二課時

教學內容

1.關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且

被對稱中心所平分.

2.關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

教學目標

理解關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且

被對稱中心所平分；理解關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形；掌握這兩個

性質的運用.

復習中心對稱的基本概念(中心對稱、對稱中心，關于中心的對稱點)，

提出問題，讓學生分組討論解決問題，老師引導總結中心對稱的基本性質.

重難點、關鍵

1.重點：中心對稱的兩條基本性質及其運用.

2.難點與關鍵：讓學生合作討論，得出中心對稱的兩條基本性質.

教學過程

教學札記

一、復習引入

（老師口問，學生口答）

1.什么叫中心對稱？什么叫對稱中心？

2.什么叫關于中心的對稱點？

3.請同學隨便畫一三角形，以三角形一頂點為對稱中心，畫出這個三

角形關于這個對稱中心的對稱圖形，并分組討論能得到什么結論.

（每組推薦一人上臺陳述，老師點評）

（老師）在黑板上畫一個三角形ABC,分兩種情況作兩個圖形

（1）作“8。一頂點為對稱中心的對稱圖形；

（2）作關于一定點0為對稱中心的對稱圖形.

第一步,畫出△ABC.

第二步，以MBC的C點（或，。點）為中心，旋轉180。畫出ME和4EC,

如圖1和用2所示.

從圖1中可以得出△ABC與MBC是全等三角形；

分別連接對稱點AA：BB;CC"點。在這些線段上且。平分這些線段.

下面，我們就以圖2為例來證明這兩個結論.

證明：（1）在CBC和"EC中,

OA=OA*,OB=OB',NAOB:NA'OB'

?..△AOB乎A'OB'

「.AB=A'B'

同理可證：AC=AC,BOB'。

教學札記

「.△ABC2A'B'C'

(2點A，是點A繞點0旋轉180。后得到的即線段0A繞點。旋轉180°

得到線段0A\所以點0在線段AA'上，且0A=0A',即點0是線段AA'的中點

同樣地，點0也在線段BB和CC'上，且0B=OB',0C=0C',即點0是BB'

和CC'的中點.

因此，我們就得到

1.關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被

對稱中心所平分.

2.關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

例1.如圖，已知"BC和點0,畫出MEF,使^DEF和MBC關于點0成中

心對稱.

分析中心對稱就是旋轉180。關于點。成中心對稱就是繞。旋轉180。,

因此，我們連AO、BO、C0并延長，取與它們相等的線段即可得到.

解：(1)連結A0并延長A0到D,使0D=0A,于是得到點A的對稱點D,

如圖所示.

(2)同樣畫出點B和點C的對稱點E和F.

(3)順次連結DE、EF、FD.

則MEF即為所求的三角形.

例2.（學生練習，老師點評）如圖，已知四邊形ABCD和點0,畫四邊

教學札記

形A'BCD',使四邊形A'B'C'D'和四邊形ABCI）關于點0成中心對稱（只保留作

圖痕跡，不要求寫出作法）.

二、鞏固練習

教材P70練習.

三、應用拓展

例3.如圖等邊&ABC內有一點0，試說明：OA+OB>OC.

分析：要證明OA+OB>OC,必然把OA、OB、0C轉為在一個三角形內,應

用兩邊之和大于第三邊（兩點之間線段最短）來說明，因此要應用旋轉.以

A為旋轉中心，旋轉60。，便可fE0A、OB、0C轉化為一個三角形內.

解：如圖，把"OC以A為旋轉中心順時針方向旋轉60。后，至gA（YB的

位置，則“0（衛"O'B.

/.AO=AO,,OC=OfB

又???/0A0'=60°,.?.△AO'O為等邊三角形.

..?A0=00'

在400'中,OO,+OB>BO,

即OA+OB>OC

四、歸納小結（學生總結，老師點評）

教學札記

本節課應掌握：

中心對稱的兩條基本性質：

1.關于中心對稱的兩個圖形，對應點所連線都經過對稱中心，而且被

對稱中心所平分；

2.關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形及其它們的應用.

五、布置作業

23.2中心對稱（3）

第三課時

教學內容

1.中心對稱圖形的概念.

2.對稱中心的概念及其它們的運用.

教學目標

了解中心對稱圖形的概念及中心對稱圖形的對稱中心的概念，掌握這兩

個概念的應用.

復習兩個圖形關于中心對稱的有關概念，利用這個所學知識探索一個圖

形是中心對稱圖形的有關概念及其它的運用.

重難點、關鍵

1.重點：中心對稱圖形的有關概念及其它們的運用.

2.難點與關鍵：區別關于中心對稱的兩個圖形和中心對稱圖形.

教具、學具準備

小黑板、三角形

教學過程

一、復習引入

1.（老師口問）口答：關于中心對稱的兩個圖形具有什么性質？

（老師口述）：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱

教學札記

中心，而且被對稱中心所平分.

關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

2.（學生活動）作圖題.

（1）作出線段A0關于。點的對稱圖形，如圖所示.

A0

（2）作出三角形AOB關于0點的對稱圖形，如圖所示.

B

(2)延長/\0使000,

延長B0使0D二B0,

連結CD

則MOD為所求的，如圖所示.

二、探索新知

從另一個角度看，上面的（1）題就是將線段AB繞它的中點旋轉180°

因為0A=0B,所以，就是線段AB繞它的中點旋轉180。后與它重合.

上面的（2）題，連結AD、BC,則剛才的兩個關于中心對稱的兩個圖形,

就成平行四邊形，如圖所示.

,/AO=OC,BO=0D,ZAOB=ZCOD

/.△AOB^ACODBC

「.AB二CD

教學札記

也就是，ABCD繞它的兩條對角線交點0旋轉180。后與它本身重合.

因此，像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形

能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的

對稱中心.

（學生活動）例1：從剛才講的線段、平行四邊形都是中心對稱圖形外，

每一位同學舉出三個圖形，它們也是中心對稱圖形.

老師點評：老師邊提問學生邊解答.

（學生活動）例2：請說出中心對稱圖形具有什么特點?

老師點評：中心對稱圖形具有勻稱美觀、平穩.

例3.求證：如圖任何具有對稱中心的四邊形是平行四邊形.

分析：中心對稱圖形的對稱中心是對應點連線的交點，也是對應點間的

線段中點，因此，直接可得到對角線互相平分.

證明：如圖,0是四邊形ABCD的對稱中心，根據中心對稱性質，線段AC、

BD必過點0,且A0;CO,B0二DO,即四邊形ABCD的對角線互相平分，因此

四邊形ABCD是平行四邊形.

三、鞏固練習

教材P72練習.

四、應用拓展

例4.如圖，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,若將矩形折疊，使C點和A點

重合，求折痕EF的長.

分析：將矩形折疊，使C點和A點重合，折痕為EF,就是A、C兩點關

于0點對稱，這方面的知識在解決一些翻折問題中起關鍵作用，對稱點連線

被對稱軸垂直平分,進而轉化為中垂線性質和勾股定理的應用，求線段長度

教學札記

或面積.

解:連接AF,

,?點C與點A重合，折痕為EF,即EF垂直平分AC.

???AF=CF,A0=CO,NF0C=90"又四邊形ABCD為矩形，ZB=9O°,AB=CD=3,

AD=BC=4

設CF=x,則AF=x,BF=4-x,

Ad,ED

匚

BFC由勾股定理得AC2=BC?+AB2=52

/.AC=5,OC=iAC=-

22

VAB2+BF2=AF2/.32+(4-x)=2=x2

25

--X------

8

-.ZFOC=9O°

755

.-.OF2=FC2-OC2=(V)2-(T)2=(-

o2

同理OE=—,艮［1EF=OE+OF=—

84

五、歸納小結(學生歸納，老師點評)

本節課應掌握：

1.中心對稱圖形的有關概念；

2.應用中心對稱圖形解決有關問題.

六、布置作業

23.2中心對稱(4)

教學札記

第四課時

教學內容

兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反，即點p(X,y),關于

原點的對稱點為P'(-xz-y)及其運用.

教學目標

理解P與點P'點關于原點對稱時，它們的橫縱坐標的關系，掌握P(x

f

y)關于原點的對稱點為P(-xf-y)的運用.

復習軸對稱、旋轉，尤其是中心對稱，知識遷移到關于原點對稱的點的

坐標的關系及其運用.

重難點、關健

1.重點：兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反，即點P(x,y)

關于原點的對稱點P'(-x,-y)及其運用.

2.難點與關鍵：運用中心對稱的知識導出關于原點對稱的點的坐標的性

質及其運用它解決實際問題.

教具、學具準備

小黑板、三角尺

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們完成下面三題.

1.已知點A和直線L,如圖，請畫出點A關于L對稱的點A*.

1

A.

2.如圖，"BC是正三角形，以點A為中心,把"DC順時針旋轉60°,

畫出旋轉后的圖形.

AD

BC

3.如圖“BO，繞點。旋轉180°,畫出旋轉后的圖形.

老師點評：老師通過巡查，根據學生解答情況進行點評.(略)

二、探索新知

(學生活動)如圖23-74,在直角坐標系中，已知A(-3,1)、B(-4

0)、C(0,3)、D(2,2)、E(3,-3)、F(-2,-2),作出A、B、C、

氏E、F點關于原點0的中心對稱點，并寫出它們的坐標，并回答：

這些坐標與已知點的坐標有什么關系？

A

B??°

老師點評：畫法：(1)連結A0并延長A0

(2)在射線A0上截取OA'=OA

(3)過A作AD'JLx軸于D'點,過A作A'D"_Lx軸于點D”.

?.?△AD'O與"①"。全等

.,.AD'=A'D",OA=OAf

教學札記

/.A1(3,-1)

同理可得B、C、D、E、F這些點關于原點的中心對稱點的坐標.

(學生活動)分組討論(每四人一組)：討論的內容：關于原點作中心

對稱時，①它們的橫坐標與橫坐標絕對值什么關系？縱坐標與縱坐標的絕對

值又有什么關系？②坐標與坐標之間符號又有什么特點？

提問幾個同學口述上面的問題.

老師點評：(1)從上可知，橫坐標與橫坐標的絕對值相等，縱坐標與縱

坐標的絕對值相等.(2)坐標符號相反，即設P(x,y)關于原點0的對稱

點P'(-x,-y).

兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，

例1.如圖，利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出與線段AB關于

原點對稱的圖形.

分析：要作出線段AB關于原點的對稱線段，只要作出點A、點B關于原

點的對稱點A'、B'即可.

解：點P(x,y)關于原點的對稱點為Pf(-x,-y),

因此，線段AB的兩個端點A(0,-1)zB(3r0)關于原點的對稱點分

別為A(1,0),B(-3,0).

連結A'B'.

則就可得到與線段AB關于原點對稱的線段AB.

教學札記

(學生活動)例2.已知AABC,"1,例，B(-1,3),C(-2,4)利

用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出"BC關于原點對稱的圖形.

老師點評分析：先在直角坐標系中畫出A、B、C三點并連結組成MBC

要作出MBC關于原點0的對稱三角形，只需作出“BC中的A、B、C三點關

于原點的對稱點，依次連結，便可得到所求作的MEC.

三、鞏固練習

教材P73練習.

四、應用拓展

例3.如圖，直線AB與x粕、y軸分別相交于A、B兩點，將直線AB繞

點0順時針旋轉9(r得到直線A島.

(1)在圖中畫出直線AB.

(2)求出線段AB中點的反比例函數解析式.

(3)是否存在另一條與直線AB平行的直線y=kx+b(我們發現互相平行

的兩條直線斜率k值相等)它與雙曲線只有一個交點，

若存在，求此直線的函數解析式，若不存在,

請說明理由.

分析：(1)只需畫出A、B兩點繞點0順時針旋轉90。得到的點卜、B,

連結A.B,.

(2)先求出AB中點的坐標，設反比例因數解析式為y=&代入求k.

x

(3)要回答是否存在，如果你判斷存在，只需找出即可；如果不存在，

教學札記

才加予說明.這一條直線是存在的，因此A】Bi與雙曲線是相切的,只要我們

通過ABi的線段作4、Bi關于原點的對稱點A2、B2,連結A2B2的直線就是

我們所求的直線.

解：(1)分別作出A、B兩點繞點0順時針旋轉90。得到的點Ai(1,0),

Bi(2,0),連結A1B1,那么直線A1B1就是所求的.

(2)???AiBi的中點坐標是(1,；)

設所求的反比例函數為y=-

x

n.i1k,1

則7二；，—

212

]_

???所求的反比例函數解析式為y=2

x

(3)存在.

???設AB:y=k，x+b'過點Ai(0,1),Bi(2f0)

仿'=1

\=b'I

0=2k+b,|r=--

把線段AiBi作出與它關于原點對稱的圖形就是我們所求的直線.

根據點P(x,y)關于原點的對稱點P'(-x,-y)得：

Ai(0,1),Bi(2,0)關于原點的對稱點分別為A2(0,-1),B,(-2,

VA2B2:y=kx+b

-\=b

<0=-2k>b

AA2B2：y=~—x-1

2

下面證明尸4XT與雙曲線相切教學札記

X2+2x+l=0,b2-4ac=4-4x1x1=0

..直線y二-gxT與y=2相切

2x

?.?A】Bi與A2B2的斜率k相等

.,.AzBz與AiBi平行

AA2B2:y=--x-l為所求.

2

五、歸納小結(學生總結，老師點評)

本節課應掌握：

兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x,y),關于

原點的對稱點P'(-X,-y),及其利用這些特點解決一些實際問題.

六、布置作業

23.3課題學習圖案設計

教學內容

課題學習一圖案設計

教學目標

利用平移、軸對稱和旋轉的這些圖形變換中的一種或組合進行圖案設計

設計出稱心如意的圖案.

通過復習平移、軸對稱、旋轉的知識，然后利用這些知識讓學生開動腦

筋，敝開胸懷大膽聯想，設計出一幅幅美麗的圖案.

重難點、關鍵

教