第23講立體幾何小題【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1.表面積與體積計(jì)算公式表面積柱體為直截面周長(zhǎng)椎體臺(tái)體球體積柱體椎體臺(tái)體球2.斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法的主要步驟如下:(1)建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的,建立直角坐標(biāo)系.(2)畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于使(或),它們確定的平面表示水平平面.(3)畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸的線段,且長(zhǎng)度保持不變;在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸,且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一般.可簡(jiǎn)化為“橫不變,縱減半”.(4)擦去輔助線.圖畫好后,要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線(虛線).被擋住的棱畫虛線.注:直觀圖和平面圖形的面積比為.3.外接球與內(nèi)切球類型1：正方體或長(zhǎng)方體外接球的球心在其體對(duì)角線的中點(diǎn)。類型2：正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點(diǎn)處。推論：垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）可補(bǔ)成直三菱柱或長(zhǎng)方體。公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理類型3：正棱錐（圓錐）模型(側(cè)棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點(diǎn)與底面外心連線線段(或延長(zhǎng)線）上。半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理類型4：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。類型5：錐體的內(nèi)切球問題三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出【典型例題】例1．（2015·吉林長(zhǎng)春·高三階段練習(xí)（文））已知一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為2,則該四面體的外接球表面積為________.例2．（2015·吉林長(zhǎng)春·高三階段練習(xí)（理））已知三棱錐中,,,.則該三棱錐的外接球表面積為________.例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)部有一個(gè)球，球與正方體的各個(gè)面相切（即正方體的內(nèi)切球）則該球的表面積為_____________．例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是_______．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法：①若，，，則直線與可能平行；②若，，，則直線與可能相交?平行或異面；③若，，則直線與一定垂直；④若，，，則直線與一定平行.以上說(shuō)法正確的是___________.（填序號(hào)）例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是不重合的兩條直線，為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若，，則；②若，且，則；③若，，則．所有正確命題的序號(hào)為__．例7．（2022·上海·高三專題練習(xí)）有一塊四邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，如圖所示，，，，，則這塊菜地的面積為___________.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））四面體中，，，，且面，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為（）．A．4 B．3 C． D．3．（2021·江西上饒·高二階段練習(xí)（理））三棱錐中，平面ABC，且，且，三棱錐的外接球表面積為（）A．16π B．20π C． D．24π4．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知長(zhǎng)方體的兩個(gè)底面是邊長(zhǎng)為的正方形，長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線與底面成角，則此長(zhǎng)方體的外接球表面積為（）A． B． C． D．5．（2021·全國(guó)·高三期末（文））如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，，是線段的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．8．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（）A． B． C． D．9．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·高三階段練習(xí)（文））據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑(biēnào)”為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（）A． B． C． D．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)恰是長(zhǎng)、寬、高分別是m，2，n的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（）A． B．C． D．11．（2019·江西省撫州市第一中學(xué)高三期末（文））在三棱錐中，面，，，，，則三棱錐的外接球表面積是A． B． C． D．12．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與所成的角是，則長(zhǎng)方體的外接球表面積是A． B． C． D．13．（2019·安徽安慶·高三期末（理））正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)，則該棱柱的外接球表面積等于A． B． C． D．14．（2014·全國(guó)·一模（文））正方體內(nèi)切球和外接球半徑的比為A．B．C．D．1:215．（2016·河北武邑·高三期末（理））正三角形的邊長(zhǎng)為，將它沿高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體外接球表面積為A． B． C． D．16．（2016·云南玉溪·三模（文））已知三棱錐的外接球?yàn)榍颍虻闹睆剑叶际堑冗吶切危瑒t三棱錐的體積是A． B． C． D．17．（2021·山西運(yùn)城·高三開學(xué)考試（文））在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．18．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面以及每條母線均相切）的表面積為，則這個(gè)圓柱的體積為（）A． B．2 C． D．19．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（）A． B．2 C． D．20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）蹴鞠(如圖所示)，又名蹴球?蹴圓?筑球?踢圓等，蹴有用腳蹴?踢的含義，鞠最早系外包皮革?內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴?塌?踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠內(nèi)切于三棱錐，面，，，，，則該蹴鞠的體積為（）A． B． C． D．21．（2021·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個(gè)面都相切)的體積是，則該正方體的表面積為（）A． B． C． D．22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面不平行的是（）A． B．C． D．23．（2022·上海·高三專題練習(xí)）一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）A． B． C． D．24．（2022·上海·高三專題練習(xí)）如圖，是的斜二測(cè)直觀圖，其中，斜邊，則的面積是（）A． B．1 C． D．25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，，則下列四個(gè)命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a?b?c是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．若，則a?b?c共面 B．若a?b?c過同一點(diǎn)，則a?b?c共面C．若，則 D．若，則27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為不重合的平面，為不重合的直線，則其中正確命題的序號(hào)為（）①，則；②，則；③，，則；④，則A．①③ B．②③ C．②④ D．③④28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是一條直線，，是兩個(gè)平面，下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（）A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）底面為正三角形的直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線A1M與B1N所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小是（）．A． B． C． D．32．（2022·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)?為兩條直線，?為兩個(gè)平面，則下列命題中假命題是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為異面直線，平面，平面．直線滿足，，則（）A．且B．且C．與相交，且交線垂直于D．與相交，且交線平行于34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B．如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面C．如果平面平面，平面平面，，那么平面D．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面35．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知直二面角，直線在平面上，直線在平面上，且直線與直線不垂直，直線與直線不垂直，則以下判斷正確的是（）A．與可能垂直，但不可能平行B．與可能垂直，也可能平行C．與不可能垂直，但可能平行D．與不可能垂直，也不可能平行36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中P，Q分別是和的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A． B．平面C． D．平面37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四邊形中，，將沿折起，使得平面平面，構(gòu)成四面體，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面二、填空題38．（2021·黑龍江·佳木斯一中高三階段練習(xí)（理））在直三棱柱中，.若該直三棱柱的外接球表面積為，則此三棱柱的高為__________.39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為______.40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點(diǎn)都在此球面上)的表面積為____．41．（2021·廣西柳州·高三開學(xué)考試（文））已知長(zhǎng)方體中，，，，則該長(zhǎng)方體的外接球（長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上）的表面積等于___________.42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和體積都是4，底面是直角三角形，則球О表面積的最小值是___________.43．（2021·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)（理））已知四棱錐的底面是矩形，其中，側(cè)棱底面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球表面積為___________.44．（2020·重慶市