第05講函數(shù)的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性，周期性【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、函數(shù)奇偶性定義設(shè)為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間），如果對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)為偶函數(shù)；如果對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)為奇函數(shù).性質(zhì)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.二、函數(shù)的單調(diào)性定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，區(qū)間，若對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有（或），則稱函數(shù)在區(qū)間M上是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的，區(qū)間M為函數(shù)的一個(gè)增（減）區(qū)間.熟練掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的如下兩種等價(jià)形式：設(shè)且，則在上是增函數(shù)過(guò)單調(diào)遞增函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)的割線的斜率恒大于零.在上是減函數(shù).性質(zhì)對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：在公共區(qū)間上，增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減.若為增函數(shù)，且或），則為減函數(shù).若為減函數(shù)，且或），則為增函數(shù).復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).三、函數(shù)的周期性定義設(shè)函數(shù)，如存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任何，且，則函數(shù)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個(gè)周期.若在所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期.注：函數(shù)的周期性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，即對(duì)于定義域D中的任何一個(gè)，都滿足；若是周期函數(shù)，則其圖像平移若干整數(shù)個(gè)周期后，能夠完全重合.性質(zhì)若的周期為T，則也是函數(shù)的周期，并且有.有關(guān)函數(shù)周期性的重要結(jié)論（如表所示）函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.【典型例題】例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不具奇偶性，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋詾榉瞧娣桥己瘮?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋圆皇窃龊瘮?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，定義域?yàn)椋驗(yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，，令為增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是增函數(shù).故D正確.故選：D.例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．遞增區(qū)間是 B．遞減區(qū)間是C．遞增區(qū)間是 D．遞增區(qū)間是【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是和．故選：D．例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，在上為減函數(shù)，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，且有，所以，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，，又函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，（2）（3），即（2）（3），，，的大小關(guān)系為．故選：．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．－1C．±1 D．0【答案】C【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即恒成立，所以，即．當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋遥史项}意；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋遥史项}意；故選：C.（多選題）例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．的圖象關(guān)于對(duì)稱C．D．【答案】ABD【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱．故選項(xiàng)B正確，由可得，由可得，所以，可得，所以，所以周期為4，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確，.故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C不正確.故選:ABD．例7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）用定義法證明在上是增函數(shù)；（3）解關(guān)于x的不等式．【解析】（1）由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，即，可得，即，又由，可得，解得，所以，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)的解析式為，（2）解：設(shè)且，則，因?yàn)榍遥傻茫裕矗院瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（3）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則不等式可化為，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，可得，解得，即不等式的解集為【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足對(duì)任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，則a的取值范圍為（）A． B．(0，1) C． D．(0，3)【答案】A【分析】根據(jù)給定不等式可得函數(shù)f(x)為減函數(shù)，再利用分段函數(shù)單調(diào)性列出限制條件求解即得.【詳解】因?qū)θ我鈞1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，則f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)為R上的減函數(shù)，則函數(shù)在上是減函數(shù)，有，函數(shù)在上是減函數(shù)，有，即，并且滿足：，即，解和，綜上得，所以a的取值范圍為.故選：A2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，均有成立，若，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性進(jìn)行比較即可．【詳解】解：對(duì)任意，，均有成立，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，，，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕裕裕?故選：D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）A．是奇函數(shù)，單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，單調(diào)遞減 D．是偶函數(shù)，單調(diào)遞增【答案】D【分析】利用奇偶性和單調(diào)性的定義判斷即可【詳解】解：定義域?yàn)椋驗(yàn)椋詾榕己瘮?shù)，任取，且，則，因?yàn)椋裕裕栽趩握{(diào)遞增，故選：D4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸，而拋物線的開口向下，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，從而可求出的取值范圍【詳解】解：函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D5．（2022·上海·高三專題練習(xí)）函數(shù)，若滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，且，∴函數(shù)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)．于是，可以變?yōu)椋矗啵芍獙?shí)數(shù)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的增函數(shù)，則滿足，所以，，解得.故選：D.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，列出不等式即可求出范圍.【詳解】易知為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，由，得，于是得，解得.故選:C.8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則滿足的x取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，將原不等式化為，再根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，所以可化為，即，也就是，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，得.所以滿足的x取值范圍是.故選：A9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(2)=0，則不等式≤0的解集為（）A．(-∞，-2]∪(0，2] B．[-2，0)∪[2，+∞)C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，0)∪(0，2]【答案】D【分析】由給定條件可得函數(shù)f(x)在(0，2)上的函數(shù)值為正，在(2，+∞)上的函數(shù)值為負(fù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，解出不等式即得.【詳解】因函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(2)=0，即函數(shù)f(x)在(0，2)上的函數(shù)值為正，在(2，+∞)上的函數(shù)值為負(fù)，又f(x)是奇函數(shù)，于是得，因此，當(dāng)x>0時(shí)，，則有0<x≤2，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)≤0，由奇函數(shù)的性質(zhì)得-2≤x<0，綜上，不等式≤0的解集為[-2，0)∪(0，2].故選：D10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是減函數(shù)，則有（）A．f<f<fB．f<f<fC．f<f<fD．f<f<f【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的周期，以及對(duì)稱性，畫出函數(shù)的草圖，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為4，并且，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，作出f(x)的草圖(如圖)，由圖可知<<，故選：C11．（2022·上海寶山·一模）已知函數(shù)，則（）A．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的定義判斷.【詳解】定義域?yàn)椋遥巧系钠婧瘮?shù)，又是上的增函數(shù)，是上的減函數(shù)，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，故選：A.12．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率是（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用偶函數(shù)求的解析式再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求處的切線斜率.【詳解】設(shè)，則，，又為偶函數(shù)，∴，則對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為，∴，即所求的切線斜率為2.故選：B13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先設(shè)，得到，再代入，利用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，即：.故選：D14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，（a，）為奇函數(shù)，則的值為（）A． B． C．1 D．4【答案】B【分析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，通過(guò)帶特殊值可以求出的值，從而得到答案【詳解】利用和可得：解得：，，所以，.故選B.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可以確定函數(shù)的解析式與周期，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②，且關(guān)于對(duì)稱，所以的周期為，令，由①得，由②得又，所以，，令，由①得，所以，，所以.故選：B16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．1 C．3 D．【答案】C【分析】先求出時(shí)，的解析式，再利用奇函數(shù)求【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，解得：.所以當(dāng)時(shí)，.所以.故選：C【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用:(1)一般用或;(2)有時(shí)為了計(jì)算簡(jiǎn)便,我們可以對(duì)x取特殊值:或.17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值，再根據(jù)奇偶性求出函數(shù)的周期，最后利用函數(shù)的周期進(jìn)行代入求值即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因此當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，而為奇函數(shù)，所以，因此有，因此有，所以，因此的周期為，，故選：A18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A．﹣2x B．2﹣x C．﹣2﹣x D．2x【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，，由已知表達(dá)式可求得，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得與的關(guān)系，從而可求出．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則．又是上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)．故選：C．19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)奇偶性可得，代入時(shí)，，解得，進(jìn)而可求得結(jié)果．【詳解】為奇函數(shù)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，.故選：B.20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．若，則的值為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】由奇函數(shù)的定義域可得的值，再由解出，進(jìn)而求出答案．【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解得．又，則，所以．故選：A21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則（）A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】用替換原式中的，可得，利用奇偶性可得，與相減即可求，進(jìn)而可得的值.【詳解】因?yàn)棰伲裕驗(yàn)椋謩e是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以②，②-①得：，所以，所以，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知條件可得，即，與已知條件，兩式相減可得解析式，即可求函數(shù)值.22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝()A．ex－e－x B．(ex＋e－x)C．(e－x－ex) D．(ex－e－x)【答案】D【分析】由已知中定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，我們易得到關(guān)于、的另一個(gè)方程：，解方程組即可得到的解析式．【詳解】∵為定義在R上的偶函數(shù)，∴，又∵為定義在R上的奇函數(shù)，，由，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法——方程組法，及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義構(gòu)造出關(guān)于關(guān)于、的另一個(gè)方程：，是解答本題的關(guān)鍵．23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】函數(shù)，分析其性質(zhì)可求的值，再求并討論其性質(zhì)即可作答.【詳解】由已知得，則，顯然為偶函數(shù).令，顯然為奇函數(shù).又為偶函數(shù)，所以，，所以.故選：A.24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù).若對(duì)于都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，得到，在代入解析式求值，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，所以，又因?yàn)閷?duì)于，都有，所以函數(shù)的周期，且當(dāng)時(shí)，，所以故選：C.25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范固是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，然后根據(jù)，得到求解.【詳解】因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕裕獾茫詀的取值范固是，故選：C26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），且當(dāng)x∈（2，4）時(shí)，f（x）=x3-3x，則f（2021）等于（）A．2 B．-18 C．18 D．-2【答案】B【分析】先判斷出的周期性，然后根據(jù)的周期性和奇偶性求得.【詳解】因?yàn)閒（x）滿足f（x+4）=f（x），所以f（x）是周期為4的函數(shù)，所以f（2021）=f（505×4+1）=f（1）=f（-3），因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（2，4）時(shí)，f（x）=x3-3x，所以f（-3）=-f（3）=-（33-3×3）=-18，故f（2021）=-18.故選：B27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得出：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，從而求的值；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域求不等式的解集.【詳解】∵函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，∴，得到，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以滿足，則，所以，所以得到所以，且函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t等價(jià)于，∴，又因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，∴，解得，∴原不等式的解集為，故選：C．28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先將轉(zhuǎn)化為或，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解和，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋曰颍驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，因?yàn)樵谏蠟槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，因此，綜上：不等式的解集為.故選：C.29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，則（）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)是R上的奇函數(shù)，且即可得出的周期為2，從而可求出，并且可得出，這樣即可得出答案.【詳解】解：∵是R上的奇函數(shù)，且，∴，∴，∴的周期為2，∴，且，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性周期性，題目中基本是奇偶性和對(duì)稱性相結(jié)合推出函數(shù)的周期性，最后根據(jù)周期性求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，或者根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解，需要在備考過(guò)程中多總結(jié).30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意R，都有，且，則的值為（）A．0 B． C．2 D．6【答案】C【分析】判斷出的周期，結(jié)合的奇偶性求得的值.【詳解】令，則，所以，則，故，所以是周期為的周期函數(shù)，所以.故選：C31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在的函數(shù)，若為偶函數(shù)，且，則是（）A．周期為2的奇函數(shù) B．周期為4的奇函數(shù)C．周期為2的偶函數(shù) D．周期為4的偶函數(shù)【答案】B【分析】利用為偶函數(shù)，可得，結(jié)合可得周期，然后利用周期及可得奇偶性.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，，因?yàn)椋裕裕粗芷跒?；由，得，即有，所以為奇函數(shù).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)，綜合了周期性和奇偶性，轉(zhuǎn)化為周期的常見形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．是奇函數(shù)【答案】D【詳解】與都是奇函數(shù)，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)．33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是偶函數(shù)，則一定有（）A．b=0 B．a(chǎn)c=0C．a(chǎn)=0且c=0 D．a(chǎn)=0，c=0且b≠0【答案】C【分析】利用偶函數(shù)的定義求得恒成立，即可求出a，c，再驗(yàn)證b=0時(shí)情況即可判斷作答.【詳解】顯然函數(shù)定義域?yàn)镽，因是偶函數(shù)，即，亦即，整理得，而ex-e-x不恒為0，因此，2ax2+2c恒為0，即a=0且c=0，當(dāng)b也等于0時(shí)，也是偶函數(shù)，D不正確，所以一定正確的是C.故選：C34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f（x）=ax2+bx是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的奇偶性求得，從而求得.【詳解】由于是偶函數(shù)，所以，且.故選：B35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則（）A．5 B．-2 C．1 D．2【答案】D【分析】先根據(jù)對(duì)稱性分析出的奇偶性，然后根據(jù)分析出為周期函數(shù)并求解出一個(gè)周期，根據(jù)奇偶性和周期性求解出的值.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可知，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故為偶函數(shù)，又由，得，所以是周期為的偶函數(shù).所以，故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：通過(guò)對(duì)稱性判斷函數(shù)奇偶性的常見情況：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則為偶函數(shù)；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則為奇函數(shù).36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，進(jìn)而根據(jù)周期性求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋运裕春瘮?shù)是周期函數(shù)，周期為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以所以故選：C37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知時(shí)，，則x∈[-2，0]時(shí)，f（x）的解析式為f（x）=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合時(shí)，，可得答案．【詳解】解：∵是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，時(shí)，，∴時(shí)，，，此時(shí)，時(shí)，，，此時(shí)，綜上可得：時(shí)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，，恒有,且當(dāng)時(shí)，,則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)是定義在上的奇函數(shù)可推導(dǎo)出;用替換中的，可求出的周期；根據(jù)周期可得的值.【詳解】,,用替換中的得到，，的最小正周期是4，是定義在上的奇函數(shù)，,時(shí)，，，，，，的最小正周期是4，.故選：C39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)對(duì)任意都有且成立，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由以及可推導(dǎo)是周期為的周期函數(shù)，由此，，代入可計(jì)算結(jié)果，又，代入計(jì)算即可.【詳解】由可知．又，，，，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，，，．由可得，即，.故選：C．40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足，下列說(shuō)法：①的圖象關(guān)于對(duì)稱；②的圖象關(guān)于對(duì)稱；③在內(nèi)至少有個(gè)零點(diǎn)；④若在上單調(diào)遞增，則它在上也是單調(diào)遞增．其中正確的是（）A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④【答案】C【分析】推導(dǎo)出，可判斷①②的正誤；分析得出，可判斷③的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、周期性的關(guān)系可判斷④的正誤.【詳解】因?yàn)榍沂嵌x在上的奇函數(shù)，則，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且，所以，，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，①錯(cuò)誤，②正確；由題意可知，，因?yàn)椋睿傻茫矗裕瑥亩屎瘮?shù)在內(nèi)至少有個(gè)零點(diǎn)，③正確；因?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上也為增函數(shù)，故函數(shù)在上也是單調(diào)遞增，④正確.故選：C.41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇函數(shù)對(duì)稱性可得，代入已知解析式解得.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，.又，則，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】圖象具有對(duì)稱性的函數(shù)求值題型關(guān)鍵在于區(qū)間轉(zhuǎn)化，將未知區(qū)間的問(wèn)題利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.二、多選題42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下面說(shuō)法正確的有（）A．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱C．的值域?yàn)?D．，且【答案】ACD【分析】判斷的奇偶性即可判斷選項(xiàng)AB，求的值域可判斷C，證明的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)D，即可得正確選項(xiàng).【詳解】的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；，因?yàn)椋裕裕裕傻玫闹涤驗(yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；設(shè)任意的，則，因?yàn)椋裕矗裕蔬x項(xiàng)D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法（1）取值：設(shè)是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且；（2）作差變形：即作差，即作差，并通過(guò)因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號(hào)的方向變形；（3）定號(hào)：確定差的符號(hào)；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義作出結(jié)論.即取值---作差----變形----定號(hào)----下結(jié)論.43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分別判斷函數(shù)的奇偶性，接著判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后得到正確選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋x域?yàn)椋遥院瘮?shù)是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；由函數(shù)的圖像可知：函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B正確；而選項(xiàng)中的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，所以函數(shù)在上也單調(diào)遞增，但是不滿足題意.故選：AB.44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足：是奇函數(shù)，是偶函數(shù).則下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的有（）A． B．周期為2C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．是奇函數(shù)【答案】ACD【分析】由已知條件可得關(guān)于和直線對(duì)稱，從而的周期，，進(jìn)而可判ABC，對(duì)于D，由于關(guān)于和直線對(duì)稱，可得關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合周期可得結(jié)論【詳解】由是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，可得關(guān)于和直線對(duì)稱，從而的周期，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)：由對(duì)稱性及奇函數(shù)的性質(zhì)可知正確；對(duì)選項(xiàng)：有已知關(guān)于和直線對(duì)稱，從而關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)榈闹芷冢傻藐P(guān)于對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，D正確，故選：ACD.三、填空題45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【答案】或【分析】先求出函數(shù)的定義域，由，然后換元，令，則，再利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法求解即可【詳解】解：由題意得，解得，，（），令（），則，因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，因?yàn)樵谏线f減，所以在上遞減，在上遞增，故答案為：或【點(diǎn)睛】此題考查求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用了換元法，屬于基礎(chǔ)題46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若函數(shù)y＝|4x－1|在(－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為____________．【答案】(－∞，0]【分析】作出函數(shù)y＝|4x－1|的圖象，結(jié)合圖象即可得到k的取值范圍.【詳解】函數(shù)y＝|4x－1|的圖象是由函數(shù)y＝4x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．由圖象知，其在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以k的取值范圍是(－∞，0]．故答案為：(－∞，0].47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，又，則的解集是___________【答案】【分析】根據(jù)已知作出函數(shù)的大致圖象，解不等式組或，即得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)．作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，而，等價(jià)于，即，則或，所以或，解得或．綜上，的解集是．故答案為：48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則的解集為__________【答案】【分析】證明在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，解不等式即得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞增，又由是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.由，得，則，兩邊平方整理得，解得.故答案為：49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則不等式的解集為__________【答案】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)單調(diào)性的加減法則，可得時(shí)，單調(diào)減，再結(jié)合為偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化原式為，又，結(jié)合單調(diào)性和奇偶性即得解【詳解】，為偶函數(shù).，由，可得，又令，由于，單增，單增故在單調(diào)遞增；又在單調(diào)遞減，由函數(shù)單調(diào)性的加減法則，可知時(shí)，單調(diào)減，所以，得，或，解得或.故答案為：50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________【答案】【分析】證明的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，解不等式即得解.【詳解】∵，∴的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，∵和都在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．又，∴，即或，解得或．故答案為：51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋剩驗(yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：152．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值等于__________【答案】或【分析】利用奇函數(shù)定義可構(gòu)造方程求得，代入解析式即可求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)，，即，，整理可得：，，解得：；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；綜上所述：或.故答案為：或.53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若，則__________．【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性及奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)周期為4，從而.【詳解】函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，又為上的奇函數(shù)，則，因此函數(shù)的周期為4，因此.故答案為：1.54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則____【答案】2【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，構(gòu)造函數(shù)，可判斷為奇函數(shù)，則，由奇函數(shù)的對(duì)稱性即可求解.【詳解】，令，則，即為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，，且，，則．故答案為：2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了利用奇函數(shù)的對(duì)稱性求解函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)并靈活利用奇函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題．55．（2022·全國(guó)·高三專題