第四章隨機變量的數字特征第一節數學期望第二節方差第三節協方差與相關系數本章小結

第一節數學期望

一、離散型隨機變量的數學期望定義4-1設離散型隨機變量X的分布律為

例4-1甲、乙兩人進行射擊訓練,所得環數分別記為X、Y,其分布律分別為

試比較他們成績的好壞。

解分別計算X和Y的數學期望:

這意味著,如果進行多次射擊,甲所得環數的平均值為9.7,而乙所得環數的平均值為9.6,因此甲的成績要好于乙。

1.0－1分布

設隨機變量X服從01分布,其分布律如表4-1所示。其中0<p<1,則E(X)=0×(1-p)+1×p=p。

2.二項分布

設隨機變量X服從二項分布B(n,p),即

則

3.泊松分布

設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布P

(λ),其分布律為

則

二、連續型隨機變量的數學期望

例4-2設隨機變量X的概率密度為

求E(X)。

1.均勻分布

設隨機變量X~U(a,b),其概率密度為

則

即數學期望位于區間(a,b)的中點。

2.指數分布

設連續型隨機變量X服從參數為λ的指數分布E(λ),其概率密度

則

3.正態分布

設連續型隨機變量X服從參數為μ、σ(σ>0)的正態分布N(μ,σ2),其概率密度為

則

三、隨機變量函數的數學期望

定理4-1設g(x)是連續函數,Y是隨機變量X的函數:Y=g(X)。

(1)如果X是離散型隨機變量,其分布律為

例4-3設隨機變量X的分布律為

例4-4-設風速V在(0,a)上服從均勻分布,即具有概率密度

又設飛機機翼受到的正壓力W是V的函數:W=kV2(k>0且為常數),求E(W)。

四、數學期望的性質

設隨機變量X、Y的數學期望E(X)、E(Y)存在,C為常數,則有如下性質:

性質1

E(C)=C。

性質2

E(CX)=CE(X)。

性質3

E(X+Y)=E(X)+E(Y)。

此性質可推廣到任意有限個隨機變量之和的情況,即

性質4-當X、Y相互獨立時,有E(XY)=E(X)E(Y)

此性質可推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情況,即

例4-5設一電路中電流I(A)與電阻R(Ω)是兩個相互獨立的隨機變量,其概率密度分別為

試求電壓V=IR的期望。

第二節方差

一、方差的概念引例甲、乙兩人進行射擊訓練,所得環數分別記為X、Y,其分布律分別為

試比較他們成績的好壞。

定義4-3設X是一個隨機變量,若數學期望E{[X-E(X)]2}存在,則稱E{[X-E(X)]2}為隨機變量X的方差,記為D(X)或Var(X),即

這樣,我們得到了計算方差的一個重要公式:

例4-6設連續型隨機變量X的分布函數為

二、方差的性質

設隨機變量X、Y的方差D(X)、D(Y)都存在,C為常數,則有如下性質:

性質1D(C)=0。

性質2

D(CX)=C2D(X)。

性質3當X與Y相互獨立時,有

當X與Y不相互獨立時,有

證明由于

性質4-D(X)=0的充分必要條件是X以概率1取常數C,即P{X=C}=1,其中C=E(X)。

例4-7設隨機變量X服從0－1分布,其分布律為

例4-8設隨機變量X~U(a,b),求D(X)。

三、常用分布的期望和方差

六種常見分布的期望和方差的結果歸納見表4-2。

第三節協方差與相關系數

一、協方差定義4-4-設(X,Y)是一個二維隨機變量,且數學期望E(X)、E(Y)存在,如果

例4-9設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律為

求Cov(X,Y)

例4-10設二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度為

協方差具有下列性質:

性質1Cov(X,Y)=Cov(Y,X)。

性質2Cov(aX,bY)=abCov(Y,X),其中a、b為任意常數。

性質3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)。

性質4-設X與Y相互獨立,則有Cov(X,Y)=0。

二、相關系數

定義4-5若D(X)>0,D(Y)>0,則稱為X和Y的相關系數,記為ρXY,即

例4-11設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律為

定理4-2若X、Y獨立,則X、Y不相關。

證明若X、Y獨立,則有