第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布第6節事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式1.了解兩個事件相互獨立的含義.2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICEP(A)P(B)BP(A)P(B|A)3.全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝______________，此公式為全概率公式.常用結論與微點提醒×√××2.擲兩枚質地均勻的骰子，設A＝“第一枚出現奇數點”，B＝“第二枚出現偶數點”，則A與B的關系為(

) A.互斥

B.互為對立 C.相互獨立 D.相等C解析事件A與事件B能同時發生，故事件A與事件B既不是互斥事件，也不是對立事件，故A，B均錯誤；事件A與事件B相互獨立，故選C.

4.(選修三P48T3改編)已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則他在第一次拿

到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為________.解析設A＝“甲第一次拿到白球”，B＝“甲第二次拿到紅球”，考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一相互獨立事件的概率例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則(

) A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立B事件甲與事件丙同時發生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯誤；解析由題意，若乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類：感悟提升求相互獨立事件同時發生的概率的方法(1)相互獨立事件同時發生的概率等于他們各自發生的概率之積.(2)當正面計算較復雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算.訓練1(1)(2024·錦州調研)分別拋擲3枚質地均勻的硬幣，設事件M＝“至少有2枚正面朝上”，則與事件M相互獨立的事件是(

)A.3枚硬幣都正面朝上

B.有正面朝上的，也有反面朝上的C.恰好有1枚反面朝上

D.至多有2枚正面朝上B解析分別拋擲3枚質地均勻的硬幣，則樣本空間Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8個樣本點，事件M＝“至少有2枚正面朝上”，設事件C＝“恰好有1枚反面朝上”，則C＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，設事件D＝“至多有2枚正面朝上”，則D＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，解析甲獲勝的情況分三類：考點二條件概率C解析法一設男生甲被選中為事件A，男生乙和女生丙至少一人被選中為事件B，解析設事件A為系統正常工作，事件B為只有K和A1正常工作，因為并聯元件A1，A2能正常工作的概率為感悟提升訓練2(1)(2023·全國甲卷)某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為(

)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4A解析令事件A，B分別表示該學生愛好滑冰、該學生愛好滑雪，事件C表示該學生愛好滑雪的條件下也愛好滑冰，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，ACD考點三全概率公式的應用C解析設事件A1＝“冬季去吉林旅游”，事件A2＝“夏季去吉林旅游”，事件B＝“去了‘一眼望三國’景點”，(2)(2023·天津卷)甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數量的黑球和白球，其總數之比為5∶4∶6.這三個盒子中黑球占總數的比例分別為40%，25%，50%.現從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為________；將三個盒子中的球混合后任取一個球，是白球的概率為________.解析法一設A＝“從甲盒子中取一個球是黑球”，B＝“從乙盒子中取一個球是黑球”，C＝“從丙盒子中取一個球是黑球”，感悟提升利用全概率公式的思路(1)按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算.C解析設事件A表示“小胡答對”，事件B表示“小胡選到有思路的題”.(2)(2024·安慶模擬)設某批產品中，甲、乙、丙三個車間生產的產品分別占45%，35%，20%，甲、乙車間生產的產品的次品率分別為2%和3%.現從中任取一件，若取到的是次品的概率為2.95%，則推測丙車間的次品率為________.5%解析令A表示“取到的是一件次品”，B1，B2，B3分別表示取到的產品是由甲、乙、丙車間生產的，且有P(B1)＝0.45，P(B2)＝0.35，P(B3)＝0.2.由于P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.03，設P(A|B3)＝m，由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.45＋0.03×0.35＋m×0.2.又P(A)＝2.95%，故m＝5%.拓展視野貝葉斯公式1.貝葉斯公式：設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意事件B?Ω，P(B)>0，有2.全概率公式和貝葉斯公式的區別(1)從形式上看，全概率公式是求一個事件發生的總概率，而貝葉斯公式是求一個事件的條件概率.(2)從思想上看，全概率公式是將一個復雜的事件分解為若干個簡單的子事件，然后利用子事件發生的概率和條件概率來求出復雜事件發生的概率.貝葉斯公式是利用已知的結果，反推出原因的可能性，然后利用原因發生的概率和條件概率來更新對原因發生的概率的估計.(3)從應用上看，全概率公式和貝葉斯公式可以相互配合，一般來說，全概率公式可以用來求出貝葉斯公式中的分母(結果發生的總概率)，而貝葉斯可以用來求出全概率公式中的分子(子事件發生的條件概率).ABC解析對于A，由題意任取一個零件是第1臺生產出來的次品概率為6%×25%＝1.5%，正確；對于B，由題設，任取一個零件是次品的概率為6%×25%＋5%×30%＋5%×45%＝5.25%，正確；對于C，由條件概率，取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為解析由題意設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，訓練(1)(2024·安陽模擬)學校給每位教師隨機發了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數的40%，次品率為5%，第2份占總數的60%，次品率為4%.若李老師分份之前隨機拿了一個發現是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為________.解析設事件B為“拿的蘋果是次品”，Ai(i＝1，2)為“拿的蘋果來自第i份”，則P(A1)＝0.4，P(B|A1)＝0.05，P(A2)＝0.6，P(B|A2)＝0.04，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.05＋0.6×0.04＝0.044，(2)(2024·石家莊調研)某批產品來自A，B兩條生產線，A生產線占60%，次品率為4%；B生產線占40%，次品率為5%，現隨機抽取一件進行檢測，若抽到的是次品，則它來自A生產線的概率是________.解析設A＝“抽到的產品來自A生產線”，B＝“抽到的產品來自B生產線”，C＝“抽到的一件產品是次品”，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.04，P(C|B)＝0.05，由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.6×0.04＋0.4×0.05＝0.044，課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.小明上學可以乘坐公共汽車，也可以乘坐地鐵.已知小明上學乘坐公共汽車的概率為0.4，乘坐地鐵的概率為0.6，且乘坐公共汽車與地鐵時，小明遲到的概率分別為0.05和0.04，則小明沒有遲到的概率為(

) A.0.954

B.0.956 C.0.958 D.0.959B解析由題意，小明沒有遲到的概率為0.4×(1－0.05)＋0.6×(1－0.04)＝0.956.BA4.(2024·婁底五校聯考)甲、乙、丙、丁四位同學將代表高一年級參加校運會4×100米接力賽，教練組根據訓練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，p3，假設三次交接棒相互獨立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是(

) A.p1p2p3 B.1－p1p2p3 C.(1－p1)(1－p2)(1－p3) D.1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)C解析∵三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，p3，∴三次交接棒不失誤的概率分別是1－p1，1－p2，1－p3.∵三次交接棒相互獨立，∴此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是(1－p1)(1－p2)(1－p3).5.根據歷年的氣象數據可知，某市5月份發生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風的概率為0.4，既發生中度霧霾又刮四級以上大風的概率為0.2.則在發生中度霧霾的情況下，刮四級以上大風的概率為(

) A.0.8 B.0.625 C.0.5 D.0.1A解析設“發生中度霧霾”為事件A，“刮四級以上大風”為事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，則在發生中度霧霾的情況下，刮四級以上大風的概率為AD解析對于A，因為x＋y＝7，所以x與y必是一奇一偶，又當xy為奇數時，x與y都是奇數，所以事件A和B不能同時發生，即A與B互斥，故A正確；對于B，因為事件A和B不能同時發生，但它們可以同時不發生，如x＝1，y＝2，即A與B不對立，故B不正確；AD解析設Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到紅球”.0.4解析若A，B互斥，則m＝P(AB)＝0，9.某醫生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的條件下，他在周三晚上值班的概率為________.解析設事件A為“周二晚上值班”，事件B為“周三晚上值班”，解析設這位同學在物理、化學、政治科目考試中達A＋的事件分別為A，B，C.11.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如右的樣本數據的頻率分布直方圖：(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)；解法一由于患者的年齡位于區間[20，70)是由患者的年齡位于區間[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)組成的，且相互獨立，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.法二由于患者的年齡位于區間[20，70)是由患者的年齡位于區間[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)組成的，且相互獨立，所以所求概率P＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝0.89.(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間[20，70)的概率；(3)已知該地區這種疾病的患病率為0.1%，該地區年齡位于區間[40，50)的人口占該地區總人口的16%.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間[40，50)，求此人患這種疾病的概率.(以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001)解設從該地區任選一人，年齡位于區間[40，50)為事件A，患這種疾病為事件B，則P(A)＝16%.由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區間[40，50)的概率為0.023×10＝0.23，結合該地區這種疾病的患病率為0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.00023，所以從該地區任選一人，若年齡位于區間[40，50)，則此人患這種疾病的概率為13.(2022·全國乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則(

) A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大 C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大D解析法一設該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為P甲，在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為P乙，在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為P丙，由題意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大，故選D.法二(特殊值法)不妨設p1＝0.4，p2＝0.5，p3＝0.6，則該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝0.4；在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝0.52；在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝0.6.所以P丙最大，故選D.14.(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次；三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1).(

)A.采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為(1－α)(1－β)2B.采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1－β)2C.采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D.當0<α<0.5時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的