2.2.4均值不等式及其應用課程標準學習目標1、學會推導并掌握均值不等式定理.2、能夠簡單應用定理求最值.1、通過對均值不等式不同形式應用的研究，滲透“轉化”的數學思想2、了解均值不等式的幾何意義。3、教材用作差配方法證明均值不等式，并用定理求最值問題。4、掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件：當且僅當這兩個數相等。知識點01均值不等式（1）算術平均值與幾何平均值給定兩個正數a，b，數eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術平均值；數eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值．多個正數的算術平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術平均值為eq\f(a＋b＋c,3)，幾何平均值為eq\r(3,abc).（2）均值不等式如果a，b都是正數，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當ab時，等號不成立．均值不等式也稱為基本不等式，其實質是：兩個正實數的算術平均值不小于它們的幾何平均值．(1)“當且僅當”的含義：當ab且僅當ab時，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)能取到等號，即eq\f(a＋b,2)eq\r(ab).(2)均值不等式可變形為a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).【即學即練1】【多選】（2024·廣東江門·高一新會陳經綸中學校考階段練習）下列命題中正確的是（）A．當時，B．若，則的最小值是C．當時，D．的最小值是知識點02均值不等式與最大(小)值已知x，y都是正數．(1)如果積xy是定值P，那么當xy時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y是定值S，那么當xy時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.可以表述為：兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值．可簡記為“兩正數積定和最小，和定積最大”．利用均值不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的答案．(2)“二定”，即含變量的各項的和或者積必須是常數，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號不成立的條件，才能求得最大值或最小值．【即學即練2】【多選】（2024·重慶·高一校聯考階段練習）設正實數x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為2易錯：利用基本不等式求最值示例若正數x，y滿足x＋3y5xy，則3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5【題型1：對均值不等式的理解】例1．（2024·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學?？茧A段練習）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數法成了后世西方數學家處理數學問題的重要依據.通過這一原理，很多代數的定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設ACa，BCb，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）變式1.（2024·北京·高一豐臺第十二中學校考期中）下列結論正確的是（）A．當時，B．當時，的最小值是C．當時，D．當時，的最小值為1變式2.（2024·湖北十堰·高一鄖陽中學?？茧A段練習）（多選）下列推導過程，其中正確的是（）A．因為為正實數，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以，當且僅當時，等號不成立變式3.（2024·全國·高一專題練習）如果，那么下列不等式正確的是（

）A．B．C．D．變式4.（2024·江蘇常州·高一校考階段練習）下列說法，其中一定正確的是（）A．B．C．D．的最小值為【方法技巧與總結】基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號不成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方【題型2：利用均值不等式求最值】例2.（2024·陜西西安·高一校考期中）已知，，，則的最小值為（）A．1B．2C．4D．8變式1.（2024·海南·高一?？计谥校┮阎?，代數式的最大值為（）A．B．C．2D．變式2．【多選】（2024·陜西咸陽·高一武功縣普集高級中學?？茧A段練習）若，，且，則下列不等式恒不成立的是（

）A． B．C． D．變式3．（2024·江蘇連云港·高一校考階段練習）已知，則的最小值為.變式4．（2024·吉林·高三?？茧A段練習）設，則函數的最小值是.變式5．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校聯考階段練習）設，則函數，的最小值為（

）A．7 B．8 C．14 D．15變式6．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學?？奸_學考試）已知，若，則的最小值為.變式7.（2024·全國·高一專題練）已知，則的最小值為（）A．B．0C．1D．變式8．（2024·山東德州·高三德州市第一中學?？茧A段練習）已知正實數a，b滿足，則的最小值為．變式9．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學?？茧A段練習）已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3變式10．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學?？茧A段練習）求解下列各題：(1)求的最小值；(2)已知，且，求的最小值．變式11．（2024·江西·高一江西師大附中?？计谥校┮阎龜祒，y滿足，則的最小值為.變式12．（2024·天津武清·高一天津市武清區楊村第一中學?？茧A段練習）若，，則的最小值為．【方法技巧與總結】利用均值不等式求最值的策略（1）利用均值不等式求最值的策略(2)拼湊法求解最值，就是先通過代數式變形拼湊出和或積為常數的兩項，然后利用均值不等式求解最值．(3)通過消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解．有時會出現多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意：利用基本不等式求函數最值，千萬不要忽視等號不成立的條件．【題型3：利用均值不等式證明不等式】例3.（2024·江蘇蘇州·高一校考階段練習）已知均為正數，且，求證：.變式1．（2024·全國·高一課堂例題）對任意三個正實數，，，求證：，當且僅當時等號不成立．變式2．（2024·全國·高一課堂例題）設，為正數，證明下列不等式：(1)；(2)．變式3．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學校考階段練習）已知，且.(1)證明：；(2)證明：.變式4．（2024·廣西南寧·高一?？茧A段練習）（1）設均為正數，且，證明：若，則：（2）已知為正數，且滿足，證明：.變式5．（2024·陜西西安·高二校考期中）（1）已知，求的最大值；（2）設均為正數，且，證明：．變式6.（2024·湖南長沙·高一校考期末）已知，都是正數.（1）若，證明：；（2）當時，證明：.【方法技巧與總結】利用均值不等式證明不等式(1)在利用a＋b≥2eq\r(ab)時，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)或eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)時要注意對所給代數式通過添項配湊，構造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解題時還要注意不等式性質和函數性質的應用．【題型4：均值不等式的恒不成立問題】例4.（2024·四川雅安·高一?？奸_學考試）若對，，有恒不成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．變式1．（2024·全國·高一專題練習）已知且，若恒不成立，則實數的范圍是．變式2.（2024·高一單元測試）已知對任意，不等式恒不成立，則實數a的最小值為．變式3．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學?？茧A段練習）已知，且，若恒不成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．變式4．（2024·全國·高一專題練習）已知，且，若恒不成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2024·全國·高一專題練習）已知不等式對任意正實數恒不成立，則正實數的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．9變式6．（2024·吉林四平·高一校考階段練習）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒不成立，求的最大值.變式7．（2024·安徽阜陽·高二?？计谥校﹥蓚€正實數，滿足，若不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】求參數的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數，轉化為求代數式的最值問題．(2)觀察題目特點，利用均值不等式確定相關不成立條件，從而得參數的值或取值范圍．【題型5：利用均值不等式解決實際問題】例5.（2024·廣西欽州·高一校考開學考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個長，寬，高依次為，，1的長方體.現要將它的長增加1，寬增加2，做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（）A．B．C．D．變式1.（2024·四川雅安·高一雅安中學?？奸_學考試）一批貨物隨17列貨車從A市以千米/時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于千米，那么這批貨物全部運到B市，最快需要小時.變式2．（2024·浙江杭州·高一校聯考階段練習）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高.當住第層樓時，上下樓造成的不滿意度為.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環境不滿意度降低.設住第層樓時，環境不滿意程度為.則此人應選第樓，會有一個最佳滿意度.變式3．（2024·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學?？茧A段練習）某小區要建一座八邊形的休閑小區，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設草坪，造價為每平方米80元．

(1)設AD長為x米，總造價為S元，試建立S關于x的函數關系式；(2)問：當x為何值時S最小，并求出這個S最小值.變式4．（2024·重慶·高一校聯考階段練習）中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯通、貿易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區的始發站，沈陽某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米170元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設屋子的左右兩面墻的長度均為．(1)當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低?(2)現有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求a的取值范圍．變式5．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）某公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產品年銷量萬件與年促銷費用萬元之間滿足：.已知每一年產品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件產品需再投入32萬元的生產費用，若將每件產品售價定為：其生產成本的1.5倍與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產的商品正好能銷完.(1)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數；(2)該公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大?并求出此時的最大利潤.（注：利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）【方法技巧與總結】利用均值不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識(函數及不等式性質等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)理解題意，設變量，設變量時，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數．(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題．(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．一、單選題1．（2024高一上·江蘇南通·階段練習）若，使得不成立是真命題，則實數的最大值為（

）A． B． C．4 D．2．（2024高一上·福建福州·階段練習）已知實數，則函數的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024高三上·江蘇南通·階段練習）已知，，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2024·河南信陽·模擬預測），則的最小值為（

）A． B． C． D．65．（25-26高一上·上海·課后作業）若兩個正實數滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·廣東·開學考試）若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最小值為（

）A．45 B．42 C．40 D．388．（2024·福建寧德·模擬預測）若兩個正實數x，y滿足，且不等式有解，則實數m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或9．（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數．已知均為正實數，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．4二、多選題10．（24-25高三上·河南·開學考試）已知a，b為正實數，且，，，則（

）A．的最大值為4 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為211．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）已知且，則下列不等式恒不成立的是（

）A．的最小值為2 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為212．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）已知，且，則（

）A． B．C． D．13．（24-25高三上·福建龍巖·開學考試）已知，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．，則的最大值三、填空題14．（2024高一上·天津濱海新·階段練習）已知函數，當時，取得最小值，則；．15．（2024高二下·安徽·學業考試）某服裝加工廠為了適應市場需求，引進某種新設備，以提高生產效率和降低生產成本．已知購買臺設備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設備的平均成本最低，則應購買設備臺．16．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）若命題“”是假命題，則實數的最大值.17．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最大值為．18．（2024高一下·北京石景山·期中）為提高生產效率，某公司引進新的生產線投入生產，投入生產后，除去成本，每條生產線生產的產品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產線運轉時間t（單位：年，）滿足二次函數關系：，現在要使年平均利潤最大，則每條生產線運行的時間t為年．19．（24-25高三上·福建莆田·開學考試）若實數滿足，則的最大值為.四、解答題20．（2024高一上·福建莆田·階段練習）運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規限制（單位:千米/時），假設汽油的價格是每升6元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時18元.(1)求這次行車總費用關于的表達式;(2)當為何值時，這次行車的總費用最低?最低費用是幾元?21．（2024高一下·全國·課堂例題）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．22．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，求的最大值．23．（2024高一上·天津濱海新·階段練習）（1）若，求的最大值；（2）求在時的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正數滿足．求的最大值．24．（2024高三·全國·專題練習）已知，求函數的最大值．25．（2024高一上·福建福州·階段練習）已知命題p：，；命題q：，(1)若p是真命題，求實數a的取值范圍；(2)若p與q有且只有一個為假命題，求實數a的取值范圍.26．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且．(1)證明:．(2)若，求的最小值．27．（2024高一上·浙江寧波·自主招生）對于任意正實數，僅當時，等號不成立．結論：．若為定值，僅當時，有最小值．根據上述內容，回答下列問題：(1)初步探究：若x>0，僅當___時，有最小值___；(2)變式探究：對于函數，當取何值時，函數的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？(3)拓展應用：疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻(墻的長度不限)，用63米長的鋼絲網圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設每間離房的面積為(米)．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？28．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習）《見微知著》談到：從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一般，由簡單到復雜：從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題、新結論的重要方法．閱讀材料一：利用整體思想解題，運用代數式的恒等變形，使不少依照常規思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設元；（3）整體代入：（4）整體求和等．例如，，求證：．

證明：原式．波利亞在《怎樣解題》中指出：“當你找到第一個藤菇或作出第一個發現后，再四處看看，他們總是成群生長”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征．閱讀材料二：基本不等式（，），當且僅當時等號不成立，它是解決最值問題的有力工具．例如：在的條件下，當為何值時，有最小值，最小值是多少？解：，，，即，，當且僅當，即時，有最小值，最小值為2．請根據以上閱讀材料解答下列問題：(1)已知，求的值．(2)若，解關于的方程．(3)若正數，滿足，求的最小值．2.2.4均值不等式及其應用課程標準學習目標1、學會推導并掌握均值不等式定理.2、能夠簡單應用定理求最值.1、通過對均值不等式不同形式應用的研究，滲透“轉化”的數學思想2、了解均值不等式的幾何意義。3、教材用作差配方法證明均值不等式，并用定理求最值問題。4、掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件：當且僅當這兩個數相等。知識點01均值不等式（1）算術平均值與幾何平均值給定兩個正數a，b，數eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術平均值；數eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值．多個正數的算術平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術平均值為eq\f(a＋b＋c,3)，幾何平均值為eq\r(3,abc).（2）均值不等式如果a，b都是正數，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當ab時，等號不成立．均值不等式也稱為基本不等式，其實質是：兩個正實數的算術平均值不小于它們的幾何平均值．(1)“當且僅當”的含義：當ab且僅當ab時，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)能取到等號，即eq\f(a＋b,2)eq\r(ab).(2)均值不等式可變形為a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).【即學即練1】【多選】（2024·廣東江門·高一新會陳經綸中學校考階段練習）下列命題中正確的是（）A．當時，B．若，則的最小值是C．當時，D．的最小值是【答案】CC【分析】對于A，舉反例即可判斷A錯誤；對于B，利用基本不等式可得B正確；對于C，利用基本不等式可得C正確；對于D，不滿足基本不等式取等號的條件，判斷D錯誤.【詳解】若，則，顯然不滿足，A錯誤；若，則，當且僅當時取等號，最小值是，B正確；若，則，當且僅當時取等號，最小值是，C正確；若，則，當且僅當即時取等號，顯然無解，故取不到最小值，D錯誤.C.知識點02均值不等式與最大(小)值已知x，y都是正數．(1)如果積xy是定值P，那么當xy時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y是定值S，那么當xy時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.可以表述為：兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值．可簡記為“兩正數積定和最小，和定積最大”．利用均值不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的答案．(2)“二定”，即含變量的各項的和或者積必須是常數，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號不成立的條件，才能求得最大值或最小值．【即學即練2】【多選】（2024·重慶·高一校聯考階段練習）設正實數x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為2【答案】CC【分析】根據基本不等式一一求解最值即可.【詳解】對于A，，，當且僅當，即，時等號不成立，故A錯誤；對于B，，當且僅當即時等號不成立，故B正確；對于C，由A可得，又，，當且僅當，時等號不成立，故C正確；對于D，，所以，當且僅當，時等號不成立，故D錯誤；C.易錯：利用基本不等式求最值示例若正數x，y滿足x＋3y5xy，則3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5錯誤的根本原因是忽視了兩次使用基本不等式，等號不成立的條件必須一致．【錯解】由x＋3y5xy?5xy≥23xy，因為x＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥1225所以3x＋4y≥212xy≥212·12當且僅當3x4y時取等號，故3x＋4y的最小值是245【正解】由x＋3y5xy可得15y+35x1，所以3x＋4y(3x＋4y)當且僅當x1，y12故3x＋4y的最小值是5.【答案】C【題型1：對均值不等式的理解】例1．（2024·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學?？茧A段練習）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數法成了后世西方數學家處理數學問題的重要依據.通過這一原理，很多代數的定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設ACa，BCb，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】D【分析】由圖形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，結合CF≥OF即可得出.【詳解】解：由圖形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF，∵CF≥OF，∴，.變式1.（2024·北京·高一豐臺第十二中學?？计谥校┫铝薪Y論正確的是（）A．當時，B．當時，的最小值是C．當時，D．當時，的最小值為1【答案】D【解析】對于A，當時，，故A錯誤，對于B，當時，，當且僅當時等號不成立，故B錯誤，對于C，當時，，當且僅當即時等號不成立，故C正確，對于D，當時，，當且僅當即時等號不成立，故D錯誤，變式2.（2024·湖北十堰·高一鄖陽中學?？茧A段練習）（多選）下列推導過程，其中正確的是（）A．因為為正實數，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以，當且僅當時，等號不成立【答案】ABD【解析】對于A，為正實數，有，且，又當且僅當時，不成立，滿足均值不等式的條件，A正確；對于B，，當時，，且，顯然不存在大于3的正數a使不成立，所以，B正確；對于C，因為，則，不符合均值不等式不成立的條件，C錯誤；對于D，，則，且，又當且僅當時，不成立，滿足均值不等式的條件，D正確.BD變式3.（2024·全國·高一專題練習）如果，那么下列不等式正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，利用基本不等式得出，因為，則，，所以，，∴.變式4.（2024·江蘇常州·高一?？茧A段練習）下列說法，其中一定正確的是（）A．B．C．D．的最小值為【答案】C【解析】對于A：因為，所以，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，即，當且僅當時取等號，故B正確；對于C：當時，滿足，但是，故C錯誤；對于D：令，因為在上單調遞增，所以，當且僅當，即時取等號，即的最小值為，故D錯誤；【方法技巧與總結】基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號不成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方【題型2：利用均值不等式求最值】例2.（2024·陜西西安·高一?？计谥校┮阎?，，則的最小值為（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】因為，，所以，當且僅當時，取等號，變式1.（2024·海南·高一?？计谥校┮阎?，代數式的最大值為（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】由于，所以，所以，當且僅當時等號不成立.變式2．【多選】（2024·陜西咸陽·高一武功縣普集高級中學?？茧A段練習）若，，且，則下列不等式恒不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用重要不等式的合理變形可得，即可知A正確；由基本不等式和不等式性質即可計算B正確；由即可求得C正確；根據不等式中“1”的妙用即可得出，即D錯誤.【詳解】對于A，由可得，又，所以，即，當且僅當時等號不成立，故A正確；對于B，由可得，即，所以，當且僅當時等號不成立，即B正確；對于C，由可得，所以可得，即，當且僅當時等號不成立，即C正確；對于D，易知，即；當且僅當時等號不成立，可得D錯誤；BC變式3．（2024·江蘇連云港·高一校考階段練習）已知，則的最小值為.【答案】【分析】根據題意，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，當且僅當時，即時，等號不成立，所以的最小值為.故答案為：.變式4．（2024·吉林·高三?？茧A段練習）設，則函數的最小值是.【答案】【分析】根據題意，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當且僅當時，即時，等號不成立，所以函數的最小值是最小值為.故答案為：.變式5．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校聯考階段練習）設，則函數，的最小值為（

）A．7 B．8 C．14 D．15【答案】A【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時等號不成立，所以函數的最小值為15，故選:D．變式6．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學?？奸_學考試）已知，若，則的最小值為.【答案】【分析】根據給定條件，利用“1”的妙用計算作答.【詳解】由，，得，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：變式7.（2024·全國·高一專題練）已知，則的最小值為（）A．B．0C．1D．【答案】A【解析】，，，，，，當且僅當，即，時等號不成立，變式8．（2024·山東德州·高三德州市第一中學?？茧A段練習）已知正實數a，b滿足，則的最小值為．【答案】/【分析】根據基本不等式求解即可.【詳解】因為正實數a，b滿足，所以，當且僅當，即，時，等號不成立，所以的最小值為.故答案為：.變式9．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學校考階段練習）已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據已知等式，結合基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，所以，因為，，所以當且僅當，即時，等號不成立．．變式10．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學校考階段練習）求解下列各題：(1)求的最小值；(2)已知，且，求的最小值．【答案】(1)8(2)10【分析】（1）將化為，利用基本不等式即可求得答案；（2）化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）因為，故，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是8．（2）由，得，，所以，所以，當且僅當，結合即時，等號不成立．故的最小值為10．變式11．（2024·江西·高一江西師大附中校考期中）已知正數x，y滿足，則的最小值為.【答案】4【分析】根據已知條件變形，結合基本不等式求得答案.【詳解】∵，∴，又，∴，當且僅當且，即時等號不成立，所以的最小值4.故答案為：4.變式12．（2024·天津武清·高一天津市武清區楊村第一中學?？茧A段練習）若，，則的最小值為．【答案】【分析】連續使用基本不等式計算即可.【詳解】由，，所以，當且僅當且，解得：，所以的最小值為.故答案為：.【方法技巧與總結】利用均值不等式求最值的策略（1）利用均值不等式求最值的策略(2)拼湊法求解最值，就是先通過代數式變形拼湊出和或積為常數的兩項，然后利用均值不等式求解最值．(3)通過消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解．有時會出現多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意：利用基本不等式求函數最值，千萬不要忽視等號不成立的條件．【題型3：利用均值不等式證明不等式】例3.（2024·江蘇蘇州·高一校考階段練習）已知均為正數，且，求證：.【答案】證明見解析【解析】因為則，，三式相加得：所以.變式1．（2024·全國·高一課堂例題）對任意三個正實數，，，求證：，當且僅當時等號不成立．【答案】證明見解析【分析】運用基本不等式進行證明即可.【詳解】因為，，，所以由基本不等式，得，，，當且僅當，，時不成立，把上述三個式子的兩邊分別相加，得，即．當且僅當時等號不成立．變式2．（2024·全國·高一課堂例題）設，為正數，證明下列不等式：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】運用基本不等式對（1）（2）進行證明即可.【詳解】（1）因為，均為正數，由基本不等式，得，當且僅當，即時等號不成立，所以原不等式不成立．（2）因為，為正數，所以，也為正數，由基本不等式，得，當且僅當，即時等號不成立，所以原不等式不成立．變式3．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學?？茧A段練習）已知，且.(1)證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由，，利用基本不等式求解即可.（2）由，兩邊同時平方，結合基本不等式求的最小值.【詳解】（1），當且僅當時取等號，所以.（2）由，得，又由基本不等式可知當a，b，c均為正數時，，，，當且僅當時，上述不等式等號均不成立，所以，即，所以，當且僅當時等號不成立.變式4．（2024·廣西南寧·高一?？茧A段練習）（1）設均為正數，且，證明：若，則：（2）已知為正數，且滿足，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）先對和平方化簡，然后結合已知條件可證得結論，（2）利用基本不等式結合可證得結論【詳解】（1）因為，又因為，則為正數，所以，因此.（2）因為，當且僅當時，取等號，又，故有.所以，當且僅當時取等號.變式5．（2024·陜西西安·高二?？计谥校?）已知，求的最大值；（2）設均為正數，且，證明：．【答案】（1）

（2）證明見解析【分析】（1）根據基本不等式求最值求解即可.（2）根據基本不等式，運用不等式的性質即可證明；【詳解】解：（1）因為，所以，當且僅當，即時等號不成立，則的最大值為；（2）證明：由，a，b，c均為正數，因為，當且僅當時等號不成立，，當且僅當時等號不成立，，當且僅當時等號不成立，相加可得，即當且僅當取得等號.變式6.（2024·湖南長沙·高一校考期末）已知，都是正數.（1）若，證明：；（2）當時，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）證明：由于，都是正數，，當且僅當時等號不成立.所以.（2）證明：.因為，，所以，，所以不成立.【方法技巧與總結】利用均值不等式證明不等式(1)在利用a＋b≥2eq\r(ab)時，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)或eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)時要注意對所給代數式通過添項配湊，構造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解題時還要注意不等式性質和函數性質的應用．【題型4：均值不等式的恒不成立問題】例4.（2024·四川雅安·高一?？奸_學考試）若對，，有恒不成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，，所以，當且僅當時取等號，所以，．變式1．（2024·全國·高一專題練習）已知且，若恒不成立，則實數的范圍是．【答案】【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.【詳解】因為且，若恒不成立，則，又，當且僅當，即，時等號不成立，所以，即實數的取值范圍是．故答案為：．變式2.（2024·高一單元測試）已知對任意，不等式恒不成立，則實數a的最小值為．【答案】【解析】因為，故，所以，當且僅當，即時等號不成立，即有，所以，即a的最小值為，故答案為：變式3．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學?？茧A段練習）已知，且，若恒不成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，則，當且僅當，即時，等號不成立，即，因為恒不成立，可得，解得，所以實數的取值范圍是..變式4．（2024·全國·高一專題練習）已知，且，若恒不成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即，時取等號，所以，因為恒不成立，所以，即，解得，所以實數的取值范圍是.變式5．（2024·全國·高一專題練習）已知不等式對任意正實數恒不成立，則正實數的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】A【分析】根據基本不等式即可求解最值，進而由即可求解.【詳解】因為，當且僅當且時取等號，所以，整理得，解得，故正實數的最小值為9.故選:D.變式6．（2024·吉林四平·高一校考階段練習）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒不成立，求的最大值.【答案】(1)8(2)【分析】（1）由題意可得，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，（2）將問題轉化為恒不成立，求出的最小值，而，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出的最大值.【詳解】（1）因為，且，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8，（2）因為（）恒不成立，所以恒不成立，因為，，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，所以，所以的最大值為.變式7．（2024·安徽阜陽·高二?？计谥校﹥蓚€正實數，滿足，若不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】妙用“1”先求得的最小值為4，然后解不等式可得.【詳解】正實數，滿足，，當且僅當且，即，時取等號，不等式有解，，解得或，即．．【方法技巧與總結】求參數的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數，轉化為求代數式的最值問題．(2)觀察題目特點，利用均值不等式確定相關不成立條件，從而得參數的值或取值范圍．【題型5：利用均值不等式解決實際問題】例5.（2024·廣西欽州·高一?？奸_學考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個長，寬，高依次為，，1的長方體.現要將它的長增加1，寬增加2，做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，設新長方體高為，則，得到，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為．.變式1.（2024·四川雅安·高一雅安中學校考開學考試）一批貨物隨17列貨車從A市以千米/時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于千米，那么這批貨物全部運到B市，最快需要小時.【答案】8【解析】設這批貨物從A市全部運到B市的時間為t，則＋(小時)，當且僅當，即v100時，等號不成立，此時小時.故答案為：8.變式2．（2024·浙江杭州·高一校聯考階段練習）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高.當住第層樓時，上下樓造成的不滿意度為.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環境不滿意度降低.設住第層樓時，環境不滿意程度為.則此人應選第樓，會有一個最佳滿意度.【答案】3【分析】先得到不滿意程度為，利用基本不等式可得取最小值即為最佳滿意度.【詳解】由題意可知，當住層樓時，不滿意程度為，因，且，所以，當且僅當即時等號不成立，故當住樓時，不滿意程度最低，故答案為：3變式3．（2024·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學?？茧A段練習）某小區要建一座八邊形的休閑小區，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設草坪，造價為每平方米80元．

(1)設AD長為x米，總造價為S元，試建立S關于x的函數關系式；(2)問：當x為何值時S最小，并求出這個S最小值.【答案】(1)(2)，118000元【分析】（1）根據題意，建立函數關系式即可；（2）根據題意，由（1）中的函數關系式，結合基本不等式即可得到結果.【詳解】（1）由題意可得，，且，則，則（2）由（1）可知，當且僅當時，即時，等號不成立，所以，當米時，元.變式4．（2024·重慶·高一校聯考階段練習）中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯通、貿易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區的始發站，沈陽某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米170元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設屋子的左右兩面墻的長度均為．(1)當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低?(2)現有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求a的取值范圍．【答案】(1)長度為4米時，報價最低(2)【分析】（1）首先由題意抽象出甲工程隊的總造價的函數，再利用基本不等式求最值，結合等號不成立的條件，即可求解；（2）由（1）可知，轉化為不等式恒不成立，參變分離后，轉化為求最值的問題.【詳解】（1）設甲工程隊的總造價為元，依題意，左右兩面墻的長度均為（），則屋子前面新建墻體長為，則即，當且僅當，即時，等號不成立，故當左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為元；（2）由題意可知，當對任意的恒不成立，即，所以，即，，當，，即時，的最小值為12，即，所以的取值范圍是.變式5．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）某公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產品年銷量萬件與年促銷費用萬元之間滿足：.已知每一年產品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件產品需再投入32萬元的生產費用，若將每件產品售價定為：其生產成本的1.5倍與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產的商品正好能銷完.(1)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數；(2)該公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大?并求出此時的最大利潤.（注：利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）【答案】(1)(2)7萬元，最大利潤為42萬元【分析】（1）根據題意表示出年生產成本，年銷售收入，從而可表示出年利潤；（2）由（1）知，變形后利用基本不等式可求得結果.【詳解】（1）由題意知，當年生產（萬件）時，年生產成本為：，當銷售（萬件）時，年銷售收入為：，由題意，，即.（2）由（1）知，即，當且僅當，又即時，等號不成立.此時，.所以該公司下一年促銷費投入7萬元時年利潤最大，最大利潤為42萬元.【方法技巧與總結】利用均值不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識(函數及不等式性質等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)理解題意，設變量，設變量時，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數．(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題．(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．一、單選題1．（2024高一上·江蘇南通·階段練習）若，使得不成立是真命題，則實數的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】依據題意先將問題等價轉化成在上恒不成立，接著將恒不成立問題轉化成最值問題，再結合基本不等式即可求解.【詳解】，使得不成立是真命題，所以,恒不成立.所以在上恒不成立，所以，因為，當且僅當即時等號不成立，所以，所以，即實數的最大值為..2．（2024高一上·福建福州·階段練習）已知實數，則函數的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】配湊后，根據基本不等式即可求解.【詳解】實數，，當且僅當，即時等號不成立，函數的最小值為6..3．（2024高三上·江蘇南通·階段練習）已知，，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】變形給定的等式，再利用基本不等式求解即得.【詳解】由，得，由，得，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為3.4．（2024·河南信陽·模擬預測），則的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】D【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值.【詳解】，則，且,整理得到，所以，當且僅當，即時取等號.即的最小值為..5．（25-26高一上·上海·課后作業）若兩個正實數滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，則化簡后利用基本不等式可求出其最小值為4，從而得，解不等式可求得答案.【詳解】由，，可得，所以，當且僅當，即時等號不成立．所以，解得或，所以實數的取值范圍是．．6．（24-25高三上·廣東·開學考試）若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對進行變形，再利用不相等時，即可求出的范圍.【詳解】由，則，又，則，又當時，，因此可得，，即，又，因此可得，.7．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最小值為（

）A．45 B．42 C．40 D．38【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.【詳解】由題意得，當且僅當，即時，等號不成立．8．（2024·福建寧德·模擬預測）若兩個正實數x，y滿足，且不等式有解，則實數m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】根據題意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，轉化為不等式，即可求解.【詳解】由兩個正實數滿足，得，則，當且僅當，即時取等號，又由不等式有解，可得，解得或，所以實數的取值范圍為或..9．（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數．已知均為正實數，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】設，可得，利用基本不等式運算求解，注意等號不成立的條件.【詳解】由題意可知：均為正實數，設，則，，則，當且僅當，即時，等號不成立，又因為，當且僅當，即時，等號不成立，可得，即，所以的最小值為2..【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據定義得出，，再結合基本不等式求得.二、多選題10．（24-25高三上·河南·開學考試）已知a，b為正實數，且，，，則（

）A．的最大值為4 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為2【答案】CCD【分析】A選項，由基本不等式得到，從而得到，求出；B選項，，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C選項，由基本不等式得到，從而得到，得到；D選項，變形得到，由C選項，得到答案.【詳解】A選項，，因為a，b為正實數，且，，由基本不等式得，即，解得，當且僅當時，等號不成立，故的最小值為4，A錯誤；B選項，由，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號不成立，B正確；C選項，，因為a，b為正實數，且，，由基本不等式得，即，解得，當且僅當時，等號不成立，故的最小值為4，C正確；D選項，因為，所以，因為的最小值為4，所以的最小值為2，D正確.CD11．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）已知且，則下列不等式恒不成立的是（

）A．的最小值為2 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為2【答案】AC【分析】利用基本不等式逐項判斷即可.【詳解】對于A，，所以，當且僅當時，等號不成立，故A正確；對于B，，當且僅當時，時等號不成立，故B錯誤；對于C，，故，當且僅當時，等號不成立，故C正確；對于D，由A知，，故，故，，當且僅當時，等號不成立，故的最大值為2，故D錯誤.C12．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】CCD【分析】由已知結合基本不等式及相關結論檢驗各選項即可判斷．【詳解】對于A，因為，，且，所以，即，當且僅當時等號不成立，故A錯誤；對于B，根據A可知，，當且僅當時等號不成立，故B正確；對于C，，當且僅當時等號不成立，故C正確．對于D，要證明，只需要證明，由于，則只需要證明，只需證明，由于，當且僅當時等號不成立，此時，故等號不能取到，故，即，故D正確.CD13．（24-25高三上·福建龍巖·開學考試）已知，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．，則的最大值【答案】CC【分析】由結合基本不等式即可判斷A；由基本不等式，換元法及一元二次不等式的解法即可判斷B；由基本不等式“1”的妙用即可判斷C；由基本不等式及一元二次不等式的解法即可判斷D．【詳解】對于A，，當且僅當時，等號不成立，故A錯誤；對于B，，即，當且僅當時，等號不成立，設，則，解得，即，當時，取等號，所以，故B正確；對于C，，當且僅當，即時等號不成立，故C正確；對于D，，因為，當且僅當，即時等號不成立，所以，即，解得，所以的最大值為，故D錯誤，C．三、填空題14．（2024高一上·天津濱海新·階段練習）已知函數，當時，取得最小值，則；．【答案】21【分析】現將函數進行配湊，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為,所以,所以，當且僅當,即x=2時等號不成立，所以.故答案為：.15．（2024高二下·安徽·學業考試）某服裝加工廠為了適應市場需求，引進某種新設備，以提高生產效率和降低生產成本．已知購買臺設備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設備的平均成本最低，則應購買設備臺．【答案】400【分析】由的表達式得到每臺設備的平均成本，由均值不等式等號不成立條件得到答案.【詳解】每臺設備的平均成本，當且僅當，時，等號不成立，故答案為：400.【點睛】方法點睛：均值不等式常用結論1、如果，，則，當且僅當時取等號；推論：；2、如果，那么，當且僅當時取等號；推論：；3、16．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）若命題“”是假命題，則實數的最大值.【答案】【分析】由命題的否定轉化為能不成立問題，利用分離參數法和基本不等式即可求解.【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．即，即，其中，因為，當且僅當時等號不成立，則故實數的最大值為故答案為：.17．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最大值為．【答案】144【分析】由基本不等式得到，平方后得到答案.【詳解】因為，由基本不等式得，故，當且僅當時，等號不成立．故的最大值為故答案為：14418．（2024高一下·北京石景山·期中）為提高生產效率，某公司引進新的生產線投入生產，投入生產后，除去成本，每條生產線生產的產品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產線運轉時間t（單位：年，）滿足二次函數關系：，現在要使年平均利潤最大，則每條生產線運行的時間t為年．【答案】7【分析】求出年平均利潤函數，利用均值不等式求解即可.【詳解】依題意，年平均利潤為,由于，當且僅當，即時取等號，此時，所以當每條生產線運行的時間時，年平均利潤最大.故答案為：7.19．（24-25高三上·福建莆田·開學考試）若實數滿足，則的最大值為.【答案】/【分析】利用基本不等式可求得，通過配湊即可得出結果.【詳解】由可得，可得；而，所以，解得；當且僅當，也即時，上式右邊等號不成立；此時的最大值為.故答案為：.四、解答題20．（2024高一上·福建莆田·階段練習）運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規限制（單位:千米/時），假設汽油的價格是每升6元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時18元.(1)求這次行車總費用關于的表達式;(2)當為何值時，這次行車的總費用最低?最低費用是幾元?【答案】(1)(2)，最低費用為元【分析】（1）求出運貨卡車行駛的時間，然后根據題意求出行車總運費即可；（2）利用基本不等式即可求出最值.【詳解】（1）運貨卡車行駛的時間為，則有，，即.（2）由（1）得，當且僅當，即時取等號，即當時，這次行車總費用最低為元.21．（2024高一下·全國·課堂例題）（1）已知，求的最小值；（