第02講隨機變量及其分布列課程標準學習目標1．理解隨機現象以及隨機變量的概念；2．掌握離散型隨機變量的分布列的概念，會求簡單的分布列．1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義，會用離散型隨機變量描述隨機現象．2.理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念與性質.3.會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列.4.理解兩點分布，并能簡單的運用．知識點01隨機變量1．定義：一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應有唯一確定的實數值，就稱X為隨機變量．2．表示：隨機變量常用大寫字母X，Y，…或小寫希臘字母ξ，η，ζ…表示．【解讀】在引入了隨機變量之后，可以利用隨機變量來表示事件．一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數，那么Xa，X≤b，X>b等都表示事件，而且：(1)當a≠b時，事件Xa與Xb互斥；(2)事件X≤a與X>a相互對立，因此P(X≤a)＋P(X>a)1.在用隨機變量表示事件及事件的概率時，有時可不寫出樣本空間．【即學即練1】(多選)下列說法正確的是()A．隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個B．在拋擲一枚質地均勻的硬幣試驗中，“出現正面的次數”為隨機變量C．隨機變量是用來表示不同試驗結果的量D．在擲一枚質地均勻的骰子試驗中，“出現的點數”是一個隨機變量，它有6個取值知識點02離散型隨機變量1．定義：取值為有限個或可以一一列舉出來的隨機變量．【解讀】（1）離散型隨機變量的取值可以是有限個，例如取值為1，2，…，n；也可以是無限個，如取值為1，2，…，n，…（2）離散型隨機變量的特征：①可用數值表示；②試驗之前可以判斷其可能出現的所有值；③試驗之前不能確定取何值；=4\*GB3④試驗結果能一一列出．連續型隨機變量：與離散型隨機變量對應的是連續型隨機變量，一般來說，連續型隨機變量可以在某個實數范圍內連續取值.【即學即練2】(多選)下列隨機變量是離散型隨機變量的是()A．某賓館每天入住的旅客數量是XB．某人在車站等出租車的時間C．一個沿直線yx進行隨機運動的質點，它在該直線上的位置Y是一個隨機變量D．某網站未來1小時內的點擊量知識點03隨機變量之間的關系一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是實數且a≠0，則YaX＋b也是一個隨機變量．由于Xt的充要條件是Yat＋b，因此P(Xt)P(Yat＋b).知識點04離散型隨機變量的分布列1．定義：一般地，當離散型隨機變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時，如果對任意k∈{1，2，…，n}，概率P(Xxk)pk都是已知的，則稱隨機變量X的概率分布是已知的．離散型隨機變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個表格稱為X的概率分布或分布列．Xx1x2…xnPp1p2…pn2．分布列的圖形直觀表示：【解讀】(1)離散型隨機變量的分布列類似于函數，也有三種表示形式，即解析式、表格和圖象，但離散型隨機變量的分布列多是表格表示；(2)由離散型隨機變量的分布列能一目了然地看出隨機變量X的取值范圍及取這些值的概率，可以全面了解隨機變量X在隨機試驗中取值的概率分布情況，是進一步研究隨機變量數字特征的基礎．3．性質：(1)pi≥0，i1，2，…，n(2)p1＋p2＋…＋pn1【解讀】(1)pi表示的是事件Xxi發生的概率，因此每一個pi都是非負數；(2)因為分布列給出了隨機變量能取的每一個值，而且隨機變量取不同的值時的事件是互斥的，因此p1＋p2＋…＋pn應該等于1；另一方面，由此可以得出隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和．【即學即練3】下列表中能成為隨機變量X的分布列的是()知識點05兩點分布定義：一般地，如果隨機變量的分布列能寫成如下形式(其中0<p<1)：W10Pp1－p則稱這個隨機變量服從參數為p的兩點分布(或0－1分布).【解讀】(1)兩點分布中，隨機試驗X的取值只有兩個可能性：0或1，且其概率之和為1；(2)由于一個所有可能結果只有兩種的隨機試驗，通常稱為伯努利試驗，所以兩點分布也常稱為伯努利分布，兩點分布中的p也常被稱為成功概率．【即學即練4】下列問題中的隨機變量不服從兩點分布的是()A．拋擲一枚骰子，所得點數為隨機變量B．某射手射擊一次，擊中目標的次數為隨機變量C．從裝有5個紅球，3個白球的袋中取1個球，令隨機變量Xeq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1取出白球，,0取出紅球))D．某醫生做一次手術，手術成功的次數為隨機變量題型01隨機變量的概念【典例1】判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)北京國際機場候機廳中2023年5月1日的旅客數量；(2)2023年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數；(3)2023年6月1日濟南到北京的某次動車到北京站的時間；(4)體積為1000cm3的球的半徑長．【變式1】下列變量中，不是隨機變量的是()A．一射擊手射擊一次命中的環數B．一標準大氣壓下，水沸騰時的溫度C．拋擲兩枚骰子，所得點數之差D．某電話總機在時間區間(0，T)內收到的呼叫次數【變式2】10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是()A．取到產品的件數 B．取到正品的概率C．取到次品的件數 D．取到次品的概率題型02離散型隨機變量的判定【典例2】（23-24高二下·重慶·期中）下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的是（

）①某食堂在中午半小時內進的人數；

②某元件的測量誤差；③小明在一天中瀏覽網頁的時間；

④高一2班參加運動會的人數；A．①② B．③④ C．①③ D．①④【變式1】（23-24高二下·河南周口·期中）下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數；②一個沿軸進行隨機運動的質點，它在軸上的位置；③某派出所一天內接到的報警電話次數；④某同學上學路上離開家的距離．其中是離散型隨機變量的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（23-24高二下·全國·課后作業）（多選）給出下列四個命題正確的是（

）A．某次數學期中考試前，其中一個考場30名考生中做對選擇題第12題的人數是隨機變量B．黃河每年的最大流量是隨機變量C．某體育館共有6個出口，散場后從某一出口退場的人數是隨機變量D．方程根的個數是隨機變量【變式3】（23-24高二下·江蘇·課后作業）（多選）下列隨機變量中是離散型隨機變量的是（

）A．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數B．某林場的樹木最高達30m，則此林場中樹木的高度C．某加工廠加工的某種銅管的外徑與規定的外徑尺寸之差D．某高中每年參加高考的人數題型03對離散型隨機變量的理解【典例3】拋擲兩顆骰子，所得點數之和為ξ，那么ξ4表示的隨機試驗的結果是()A．一顆是3點，一顆是1點B．兩顆都是2點C．兩顆都是4點D．一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點【變式1】某人進行射擊，共有5發子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數為ξ，則{ξ5}表示的試驗結果是()A．第5次擊中目標B．第5次未擊中目標C．前4次均未擊中目標D．第4次擊中目標【變式2】拋擲兩枚骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點數與第二枚擲出的點數之差，則X的所有可能的取值為()A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z5．袋中裝有10個紅球，5個黑球，每次隨機抽取一個球，若取到黑球，則另換一個紅球放回袋中，直到取到紅球為止，若抽取的次數為X，則表示“放回5個紅球”的事件為()A．X4 B．X5C．X6 D．X≤4【變式3】在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規則規定：每題回答正確得2分，回答不正確倒扣1分，記選手甲回答這三個問題的總得分為ξ，則ξ的所有可能取值構成的集合是________．題型04分布列的性質的應用【典例4】（23-24高二下·河北石家莊·期末）設離散型隨機變量X的分布列如表所示，則（

）X12PA． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·吉林·期末）下表是離散型隨機變量的分布列，則常數的值是（

）0120.36A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【變式2】（23-24高二下·陜西西安·期末）設隨機變量的分布列為，，則（

）A．3 B． C．2 D．【變式3】（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）隨機變量的分布列如下（為常數）：0120.3則（

）A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2【變式4】（23-24高二下·貴州遵義·期末）某一射手射擊所得環數的分布列如下：45678910P0.020.050.060.08mm0.21則（

）．A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21題型05求離散型隨機變量的分布列【典例5】（23-24高二下·重慶渝北·期中）已知袋中有個不同的小球，紅球、黃球、藍球各個（除顏色外完全相同），現從中任取個球（1）求取出的球中紅球數多于黃球數的概率；（2）設表示取出的個球中紅色球的個數，求的分布列．【變式1】（23-24高二下·重慶·月考）某考試分為筆試和面試兩個部分，每個部分的成績分為A，B，C三個等級，其中A等級得3分、B等級得2分、C等級得1分.甲在筆試中獲得A等級、B等級、C等級的概率分別為，，，在面試中獲得A等級、B等級、C等級的概率分別為，，，甲筆試的結果和面試的結果相互獨立.（1）求甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級的概率；（2）求甲筆試和面試的得分之和X的分布列與期望.【變式2】（23-24高二下·湖北武漢·期中）ChatGPT是OpenAI研發的一款聊天機器人程序，是人工智能技術驅動的自然語言處理工具，它能夠基于在預訓練階段所見的模式和統計規律來生成回答，但它的回答可能會受到訓練數據信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對某一類問題進行測試時發現，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為；如果出現語法錯誤，它回答正確的概率為.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨立.該公司科技人員小張想挑戰一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的個問題中隨機抽取個作答，已知在這個問題中，小張能正確作答其中的個.（1）在小張和ChatGPT的這次挑戰中，求小張答對的題數的分布列；（2）給ChatGPT輸入一個問題，求該問題能被ChatGPT回答正確的概率；【變式3】（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補齊貧困地區義務教育發展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區教師資源匱乏的問題，某市教育局擬從5名優秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優秀教師中，2人有支教經驗，3人沒有支教經驗．（1）求5名優秀教師中的“甲”，在第一批次支教活動中就被抽選到的概率；（2）求第一次抽取到無支教經驗的教師人數的分布列；（3）求第二次抽選時，選到沒有支教經驗的教師的人數最有可能是幾人？請說明理由．題型06兩點分布【典例6】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知隨機變量服從兩點分布，若，則（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【變式1】（23-24高二下·全國·單元測試）（多選）下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點數B．某射擊手射擊一次，擊中目標的次數C．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球?3個白球的袋中任取1個球，設D．某醫生做一次手術，手術成功的次數【變式2】一個袋子中裝有7個大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個，編號為1，2，3；黑球3個，編號為1，2，3；白球1個，編號為1.從袋子中隨機取出3個球，記其中白球的個數為ξ，求ξ的分布列．解析：由題意知，ξ的取值范圍是{0，1}，故ξ服從兩點分布．且P(ξ0)eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))eq\f(4,7)，P(ξ1)1－P(ξ0)1－eq\f(4,7)eq\f(3,7).故ξ的分布列為ξ01Peq\f(4,7)eq\f(3,7)【變式3】（23-24高二下·全國·課堂例題）從裝有個白球和個紅球的口袋中任取個球，用表示“取到的白球個數”，則的取值為或，即，求隨機變量的概率分布．題型07兩個相關離散型隨機變量的分布列【典例7】已知離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．【變式1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【變式2】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知離散型隨機變量X的概率分布如表，離散型隨機變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【變式3】已知X的分布列如下表：X12345Peq\f(1,6)eq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,12)試求：(1)|2X－3|的分布列；(2)X2－1的分布列．一、單選題1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（

）A．某電子元件的壽命B．高速公路上某收費站在一小時內經過的車輛數C．某人早晨在車站等出租車的時間D．測量某零件的長度產生的測量誤差2．（20-21高二·全國·課后作業）一個袋中有4個白球和3個紅球，從中任取2個，則隨機變量可能為（

）A．所取球的個數B．其中含紅球的個數C．所取白球與紅球的總數D．袋中球的總數3．（23-24高二下·黑龍江綏化·期中）已知隨機變量的分布列為51015則（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·內蒙古呼和浩特·期中）在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規定：每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個問題的總得分的所有可能取值的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（23-24高二下·浙江·期中）隨機變量的分布列如下表，其中，，成等差數列246則（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·河北邢臺·期末）隨機變量的分布列如下：其中，則等于（

）01A． B． C． D．7．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點分布，若，則（

）A． B． C． D．8．（23-24高二下·浙江臺州·期中）已知隨機變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二下·全國·課后作業）（多選）水果籃中有8個水果，其中有2個是石榴，現從水果籃中隨機地抽取3個，那么概率是的事件為（

）A．恰有1個不是石榴 B．3個全不是石榴C．恰有2個石榴 D．至少2個不是石榴10．（23-24高二下·廣西河池·階段練習）已知隨機變量的分布列如下表：-1012若，則（

）A． B． C． D．11．（24-25高二下·全國·課后作業）已知隨機變量的分布列為，其中是常數，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（23-24高二下·安徽安慶·期中）已知隨機變量ξ的分布如下：則實數a的值為.ξ123P13．（23-24高二下·江蘇無錫·期中）若隨機變量的分布列為01230.10.20.20.30.10.1則當時，實數的取值范圍是.14．（23-24高二下·福建泉州·階段練習）某旅游品生產廠家要對生產產品進行檢測，后續進行產品質量優化．產品分為優秀、良好、合格、不合格四個等級，設其級別為隨機變量，且優秀、良好、合格、不合格四個等級分別對應的值為1、2、3、4，其中優秀產品的數量是良好產品的數量的兩倍，合格產品的數量是良好產品的數量的一半，不合格產品的數量與合格產品的數量相等，從這批產品中隨機抽取一個檢驗質量，則．四、解答題15．（23-24高二上·全國·課后作業）設離散型隨機變量X的分布列為：X01234P0.20.10.10.3m求隨機變量的分布列．16．（23-24高二下·山東棗莊·期中）在一個不透明的袋子里裝有3個黑球，2個紅球，1個白球，從中任意取出2個球，然后再放入1個紅球和1個白球．(1)求取球放球結束后袋子里白球的個數為2的概率；(2)設取球放球結束后袋子里紅球的個數為隨機變量，求的分布列．17．（2024·寧夏銀川·二模）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是:先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n．如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗;如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗;其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．假設這批產品的優質品率為70%，即取出的產品是優質品的概率都為，且各件產品是否為優質品相互獨立(1)求這批產品通過檢驗的概率;(2)已知每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元)，求X的分布列．18．（23-24高二下·河南·期中）在一個密閉不透明的箱子中有五個淺色球，其中一個球的標號為1，另一個密閉不透明的箱子中有五個深色球，其中兩個球的標號為2，3.(1)若在兩個箱子中各抽取兩個球，求抽取的四個球中，標號為1，2，3的三個球中至少有兩個的概率;(2)若在兩個箱子中共隨機抽取四個球，記其中淺色球的個數為X，求X的分布列.19．（23-24高二下·北京大興·期末）某同學參加闖關游戲，需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個問題回答正確得20分，回答不正確得分．已知這位同學回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，若回答這三個問題的總分不低于10分就算闖關成功．(1)求至少回答正確一個問題的概率；(2)求這位同學回答這三個問題的總得分的分布列．第02講隨機變量及其分布列課程標準學習目標1．理解隨機現象以及隨機變量的概念；2．掌握離散型隨機變量的分布列的概念，會求簡單的分布列．1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義，會用離散型隨機變量描述隨機現象．2.理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念與性質.3.會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列.4.理解兩點分布，并能簡單的運用．知識點01隨機變量1．定義：一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應有唯一確定的實數值，就稱X為隨機變量．2．表示：隨機變量常用大寫字母X，Y，…或小寫希臘字母ξ，η，ζ…表示．【解讀】在引入了隨機變量之后，可以利用隨機變量來表示事件．一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數，那么Xa，X≤b，X>b等都表示事件，而且：(1)當a≠b時，事件Xa與Xb互斥；(2)事件X≤a與X>a相互對立，因此P(X≤a)＋P(X>a)1.在用隨機變量表示事件及事件的概率時，有時可不寫出樣本空間．【即學即練1】(多選)下列說法正確的是()A．隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個B．在拋擲一枚質地均勻的硬幣試驗中，“出現正面的次數”為隨機變量C．隨機變量是用來表示不同試驗結果的量D．在擲一枚質地均勻的骰子試驗中，“出現的點數”是一個隨機變量，它有6個取值【答案】ABCD【解析】A.因為隨機變量的每一個取值，均代表一個試驗結果，試驗結果有限個，隨機變量的取值就有有限個，試驗結果有無限個，隨機變量的取值就有無限個．B.因為擲一枚硬幣，可能出現的結果是正面向上或反面向上，以一個標準如正面向上的次數來描述這一隨機試驗，那么正面向上的次數就是隨機變量ξ，ξ的取值是0，1.C.因為由隨機變量的定義可知，該說法正確．D.因為隨機試驗所有可能的結果是明確并且不只一個，只不過在試驗之前不能確定試驗結果會出現哪一個，故該說法正確．知識點02離散型隨機變量1．定義：取值為有限個或可以一一列舉出來的隨機變量．【解讀】（1）離散型隨機變量的取值可以是有限個，例如取值為1，2，…，n；也可以是無限個，如取值為1，2，…，n，…（2）離散型隨機變量的特征：①可用數值表示；②試驗之前可以判斷其可能出現的所有值；③試驗之前不能確定取何值；=4\*GB3④試驗結果能一一列出．連續型隨機變量：與離散型隨機變量對應的是連續型隨機變量，一般來說，連續型隨機變量可以在某個實數范圍內連續取值.【即學即練2】(多選)下列隨機變量是離散型隨機變量的是()A．某賓館每天入住的旅客數量是XB．某人在車站等出租車的時間C．一個沿直線yx進行隨機運動的質點，它在該直線上的位置Y是一個隨機變量D．某網站未來1小時內的點擊量【答案】AD【解析】對于A，隨機變量X的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它是離散型隨機變量；對于B，無法按一定次序一一列出；對于C，一個沿直線yx進行隨機運動的質點，它在該直線上的位置Y是隨機變量，但所有可能取值在直線上連續，故不是離散型隨機變量；對于D，某網站未來1小時內的點擊量X是一個隨機變量，且X為自然數，故X是離散型隨機變量．知識點03隨機變量之間的關系一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是實數且a≠0，則YaX＋b也是一個隨機變量．由于Xt的充要條件是Yat＋b，因此P(Xt)P(Yat＋b).知識點04離散型隨機變量的分布列1．定義：一般地，當離散型隨機變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時，如果對任意k∈{1，2，…，n}，概率P(Xxk)pk都是已知的，則稱隨機變量X的概率分布是已知的．離散型隨機變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個表格稱為X的概率分布或分布列．Xx1x2…xnPp1p2…pn2．分布列的圖形直觀表示：【解讀】(1)離散型隨機變量的分布列類似于函數，也有三種表示形式，即解析式、表格和圖象，但離散型隨機變量的分布列多是表格表示；(2)由離散型隨機變量的分布列能一目了然地看出隨機變量X的取值范圍及取這些值的概率，可以全面了解隨機變量X在隨機試驗中取值的概率分布情況，是進一步研究隨機變量數字特征的基礎．3．性質：(1)pi≥0，i1，2，…，n(2)p1＋p2＋…＋pn1【解讀】(1)pi表示的是事件Xxi發生的概率，因此每一個pi都是非負數；(2)因為分布列給出了隨機變量能取的每一個值，而且隨機變量取不同的值時的事件是互斥的，因此p1＋p2＋…＋pn應該等于1；另一方面，由此可以得出隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和．【即學即練3】下列表中能成為隨機變量X的分布列的是()【答案】D【解析】由離散型隨機變量分布列的性質可知，概率非負且和為1.知識點05兩點分布定義：一般地，如果隨機變量的分布列能寫成如下形式(其中0<p<1)：W10Pp1－p則稱這個隨機變量服從參數為p的兩點分布(或0－1分布).【解讀】(1)兩點分布中，隨機試驗X的取值只有兩個可能性：0或1，且其概率之和為1；(2)由于一個所有可能結果只有兩種的隨機試驗，通常稱為伯努利試驗，所以兩點分布也常稱為伯努利分布，兩點分布中的p也常被稱為成功概率．【即學即練4】下列問題中的隨機變量不服從兩點分布的是()A．拋擲一枚骰子，所得點數為隨機變量B．某射手射擊一次，擊中目標的次數為隨機變量C．從裝有5個紅球，3個白球的袋中取1個球，令隨機變量Xeq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1取出白球，,0取出紅球))D．某醫生做一次手術，手術成功的次數為隨機變量【答案】A【解析】選項A中隨機變量X的取值有6個，不服從兩點分布．題型01隨機變量的概念【典例1】判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)北京國際機場候機廳中2023年5月1日的旅客數量；(2)2023年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數；(3)2023年6月1日濟南到北京的某次動車到北京站的時間；(4)體積為1000cm3的球的半徑長．【解析】(1)旅客人數可能是0，1，2，…，出現哪一個結果是隨機的，因此是隨機變量．(2)所查酒駕的人數可能是0，1，2，…，出現哪一個結果是隨機的，因此是隨機變量．(3)動車到達的時間可在某一區間內任取一值，是隨機的，因此是隨機變量．(4)球的體積為1000cm3時，球的半徑為定值，不是隨機變量．【變式1】下列變量中，不是隨機變量的是()A．一射擊手射擊一次命中的環數B．一標準大氣壓下，水沸騰時的溫度C．拋擲兩枚骰子，所得點數之差D．某電話總機在時間區間(0，T)內收到的呼叫次數【答案】C【解析】B項中水沸騰時的溫度是一個確定值．【變式2】10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是()A．取到產品的件數 B．取到正品的概率C．取到次品的件數 D．取到次品的概率【答案】D【解析】A中取到產品的件數是一個常量不是變量，B，D也是一個定值，而C中取到次品的件數可能是0，1，2，是隨機變量．題型02離散型隨機變量的判定【典例2】（23-24高二下·重慶·期中）下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的是（

）①某食堂在中午半小時內進的人數；

②某元件的測量誤差；③小明在一天中瀏覽網頁的時間；

④高一2班參加運動會的人數；A．①② B．③④ C．①③ D．①④【答案】A【解析】對于①，某食堂在中午半小時內進的人數可以一一列舉出來，故①是離散型隨機變量；對于②，某元件的測量誤差不能一一列舉出來，故②不是離散型隨機變量；對于③，小明在一天中瀏覽網頁的時間不能一一列舉出來，故③不是離散型隨機變量；對于④，高一2班參加運動會的人數可以一一列舉出來，故④是離散型隨機變量；.【變式1】（23-24高二下·河南周口·期中）下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數；②一個沿軸進行隨機運動的質點，它在軸上的位置；③某派出所一天內接到的報警電話次數；④某同學上學路上離開家的距離．其中是離散型隨機變量的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于①，十分鐘內經過的車輛數可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；對于②，沿軸進行隨機運動的質點，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；對于③，一天內接到的報警電話次數可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；對于④，某同學上學路上離開家的距離可為某一區間內的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③．．【變式2】（23-24高二下·全國·課后作業）（多選）給出下列四個命題正確的是（

）A．某次數學期中考試前，其中一個考場30名考生中做對選擇題第12題的人數是隨機變量B．黃河每年的最大流量是隨機變量C．某體育館共有6個出口，散場后從某一出口退場的人數是隨機變量D．方程根的個數是隨機變量【答案】ABC【解析】選項ABC對應的量都是隨機的實數，故正確；選項D中方程的根有2個是確定的，不是隨機變量．BC.【變式3】（23-24高二下·江蘇·課后作業）（多選）下列隨機變量中是離散型隨機變量的是（

）A．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數B．某林場的樹木最高達30m，則此林場中樹木的高度C．某加工廠加工的某種銅管的外徑與規定的外徑尺寸之差D．某高中每年參加高考的人數【答案】AD【解析】對于A，從10個球中取3個球，所得的結果有以下幾種：3個白球；2個白球和1個黑球；1個白球和2個黑球；3個黑球，即其結果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義；對于B，林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取（0，30]內的一切值，是連續型隨機變量；對于C，實際測量值與規定值之間的差值無法一一列出，是連續型隨機變量；對于D，每年參加高考的人數可一一列出，符合離散型隨機變量的定義．D題型03對離散型隨機變量的理解【典例3】拋擲兩顆骰子，所得點數之和為ξ，那么ξ4表示的隨機試驗的結果是()A．一顆是3點，一顆是1點B．兩顆都是2點C．兩顆都是4點D．一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點【答案】A【解析】拋擲一顆骰子，可能出現的點數是1，2，3，4，5，6，而ξ表示拋擲兩顆骰子所得到的點數之和，ξ41＋33＋12＋2，所以ξ4表示的隨機試驗的結果是一顆是1點、另一顆是3點或者兩顆都是2點，即若將兩顆骰子的點數記為(x，y)，那么ξ4表示的隨機試驗的結果是(1，3)，(3，1)，(2，2).【變式1】某人進行射擊，共有5發子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數為ξ，則{ξ5}表示的試驗結果是()A．第5次擊中目標B．第5次未擊中目標C．前4次均未擊中目標D．第4次擊中目標【答案】D【解析】{ξ5}表示前4次均未擊中，而第5次可能擊中，也可能未擊中，故選C.【變式2】拋擲兩枚骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點數與第二枚擲出的點數之差，則X的所有可能的取值為()A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z【答案】A【解析】兩次擲出的點數均可能為1～6的整數，所以X∈[－5，5](X∈Z).5．袋中裝有10個紅球，5個黑球，每次隨機抽取一個球，若取到黑球，則另換一個紅球放回袋中，直到取到紅球為止，若抽取的次數為X，則表示“放回5個紅球”的事件為()A．X4 B．X5C．X6 D．X≤4【答案】D【解析】第一次取到黑球，則放回1個紅球；第二次取到黑球，則放回2個紅球……共放了五回，第六次取到了紅球，試驗終止，故X6.【變式3】在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規則規定：每題回答正確得2分，回答不正確倒扣1分，記選手甲回答這三個問題的總得分為ξ，則ξ的所有可能取值構成的集合是________．【答案】{6，3，0，－3}【解析】三個問題回答完，其回答可能結果有：三個全對，兩對一錯，兩錯一對，三個全錯，故得分可能情況是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的所有可能取值構成的集合為{6，3，0，－3}題型04分布列的性質的應用【典例4】（23-24高二下·河北石家莊·期末）設離散型隨機變量X的分布列如表所示，則（

）X12PA． B． C． D．【答案】C【分析】由分布列的性質可得，求解即可.【詳解】由分布列的性質可得,即，解得.又，解得，故.故選:B.【變式1】（23-24高二下·吉林·期末）下表是離散型隨機變量的分布列，則常數的值是（

）0120.36A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】C【分析】直接根據分布列的概率和為1列方程計算即可.【詳解】由已知得，解得或（舍去）..【變式2】（23-24高二下·陜西西安·期末）設隨機變量的分布列為，，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據概率和為1列式求解即可.【詳解】根據題意，隨機變量的分布列為，，則有，解可得..【變式3】（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）隨機變量的分布列如下（為常數）：0120.3則（

）A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2【答案】D【分析】根據給定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式計算即得.【詳解】依題意，，解得，所以.【變式4】（23-24高二下·貴州遵義·期末）某一射手射擊所得環數的分布列如下：45678910P0.020.050.060.08mm0.21則（

）．A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21【答案】C【分析】根據分布列中的概率和為1可得的方程，求得的值，進而結合對立事件概率公式可求得結果.【詳解】由題意可得，解得，..題型05求離散型隨機變量的分布列【典例5】（23-24高二下·重慶渝北·期中）已知袋中有個不同的小球，紅球、黃球、藍球各個（除顏色外完全相同），現從中任取個球（1）求取出的球中紅球數多于黃球數的概率；（2）設表示取出的個球中紅色球的個數，求的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見解析【解析】（1）記取出的球中紅球數多于黃球數為事件，若取出一個紅球則只需另取出兩個籃球，有種取法；若取出兩個紅球則從剩下的四個球中再取出一個球即可，故有種取法；所以.（2）依題意的可能取值為、、，所以，，，所以的分布列為：【變式1】（23-24高二下·重慶·月考）某考試分為筆試和面試兩個部分，每個部分的成績分為A，B，C三個等級，其中A等級得3分、B等級得2分、C等級得1分.甲在筆試中獲得A等級、B等級、C等級的概率分別為，，，在面試中獲得A等級、B等級、C等級的概率分別為，，，甲筆試的結果和面試的結果相互獨立.（1）求甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級的概率；（2）求甲筆試和面試的得分之和X的分布列與期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，數學期望為【解析】（1）甲在筆試和面試中恰有一次獲得等級的概率為.（2）由題意得的可能取值為2，3，4，5，6，，，，，，則的分布列為23456所以.【變式2】（23-24高二下·湖北武漢·期中）ChatGPT是OpenAI研發的一款聊天機器人程序，是人工智能技術驅動的自然語言處理工具，它能夠基于在預訓練階段所見的模式和統計規律來生成回答，但它的回答可能會受到訓練數據信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對某一類問題進行測試時發現，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為；如果出現語法錯誤，它回答正確的概率為.假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨立.該公司科技人員小張想挑戰一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的個問題中隨機抽取個作答，已知在這個問題中，小張能正確作答其中的個.（1）在小張和ChatGPT的這次挑戰中，求小張答對的題數的分布列；（2）給ChatGPT輸入一個問題，求該問題能被ChatGPT回答正確的概率；【答案】（1）分布列見解析；（2）【解析】（1）由題知的可能取值為，，，所以小張答對的題數的分布列為（2）設事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被ChatGPT回答正確”，由題知，，，，則.【變式3】（23-24高二下·甘肅蘭州·月考）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補齊貧困地區義務教育發展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區教師資源匱乏的問題，某市教育局擬從5名優秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優秀教師中，2人有支教經驗，3人沒有支教經驗．（1）求5名優秀教師中的“甲”，在第一批次支教活動中就被抽選到的概率；（2）求第一次抽取到無支教經驗的教師人數的分布列；（3）求第二次抽選時，選到沒有支教經驗的教師的人數最有可能是幾人？請說明理由．【答案】（1）；（2）分布列見解析；（3）1，理由見解析【解析】（1）5名優秀教師中的“甲”在第一批次支教活動中就被抽選到的概率：．（2）表示第一次抽取到的無支教經驗的教師人數，的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：0120.10.60.3（3）設表示第二次抽取到的無支教經驗的教師人數，可能的取值有，則有：因為，故第二次抽取到的無支教經驗的教師人數最有可能是1人．題型06兩點分布【典例6】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知隨機變量服從兩點分布，若，則（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】A【解析】因為隨機變量服從兩點分布，則..【變式1】（23-24高二下·全國·單元測試）（多選）下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點數B．某射擊手射擊一次，擊中目標的次數C．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球?3個白球的袋中任取1個球，設D．某醫生做一次手術，手術成功的次數【答案】CCD【解析】由題意可知B，C，D中的隨機事件只有兩種結果，隨機變量均服從兩點分布，而拋擲一枚骰子，所得點數的取值為1，2，3，4，5，6，所以A中的隨機變量不服從兩點分布.故選:BCD【變式2】一個袋子中裝有7個大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個，編號為1，2，3；黑球3個，編號為1，2，3；白球1個，編號為1.從袋子中隨機取出3個球，記其中白球的個數為ξ，求ξ的分布列．解析：由題意知，ξ的取值范圍是{0，1}，故ξ服從兩點分布．且P(ξ0)eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))eq\f(4,7)，P(ξ1)1－P(ξ0)1－eq\f(4,7)eq\f(3,7).故ξ的分布列為ξ01Peq\f(4,7)eq\f(3,7)【變式3】（23-24高二下·全國·課堂例題）從裝有個白球和個紅球的口袋中任取個球，用表示“取到的白球個數”，則的取值為或，即，求隨機變量的概率分布．【答案】分布列見解析【解析】由題意知，，故隨機變量的概率分布列如下表所示：01題型07兩個相關離散型隨機變量的分布列【典例7】已知離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．【分析】先由分布列的性質求出m的值，然后求出X取每一個值時對應的2X＋1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(X－1))的值，再分別把2X＋1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(X－1))取相同的值時所對應的概率相加，列出分布列．【解析】由分布列的性質知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m1，解得m0.3.由題意列表如下X012342X＋113579|X－1|10123P0.20.10.10.30.3(1)易得2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)易得|X－1|的分布列為|X－1|0123P0.10.30.30.3【變式1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【答案】A【解析】由題意可知，當時，即，解得，又因為隨機變量服從兩點分布，且，所以..【變式2】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知離散型隨機變量X的概率分布如表，離散型隨機變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，所以解得，所以離散型隨機變量Y的概率分布列為：Y-1135P所以..【變式3】已知X的分布列如下表：X12345Peq\f(1,6)eq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,12)試求：(1)|2X－3|的分布列；(2)X2－1的分布列．【解析】由分布列的性質知eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)1，解得meq\f(1,6).由題意列表如下X12345|2X－3|11357X2－10381524Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(1,12)(1)易得|2X－3|的分布列為|2X－3|1357Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(1,12)(2)易得X2－1的分布列為X2－10381524Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(1,12)一、單選題1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（

）A．某電子元件的壽命B．高速公路上某收費站在一小時內經過的車輛數C．某人早晨在車站等出租車的時間D．測量某零件的長度產生的測量誤差【答案】C【分析】根據離散型隨機變量的定義直接求解.【詳解】某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；一小時內經過的車輛數可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量；測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量．．2．（20-21高二·全國·課后作業）一個袋中有4個白球和3個紅球，從中任取2個，則隨機變量可能為（

）A．所取球的個數B．其中含紅球的個數C．所取白球與紅球的總數D．袋中球的總數【答案】C【分析】根據離散型隨機變量的定義逐一判斷四個選項的正誤，即可得正確選項.【詳解】對于A：所取球的個數為2個，是定值，故不是隨機變量，故選項A不正確；對于B：從中任取2個其中含紅球的個數為是隨機變量，故選項B正確；對于C：所取白球與紅球的總數為2個，是定值，故不是隨機變量，故選項C不正確；對于D：袋中球的總數為7個，是定值，故不是隨機變量，故選項D不正確；.3．（23-24高二下·黑龍江綏化·期中）已知隨機變量的分布列為51015則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分布列性質計算即可.【詳解】由分布列的性質，得，解得．故選:D.4．（23-24高二下·內蒙古呼和浩特·期中）在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規定：每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個問題的總得分的所有可能取值的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】列出的可能取值即可判斷.【詳解】依題意每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個問題的總得分的可能取值為，，，共種情況.5．（23-24高二下·浙江·期中）隨機變量的分布列如下表，其中，，成等差數列246則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數列得到等差中項，由分布列知概率之和為，從而解出的值，得到.【詳解】因為，，成等差數列，所以，由分布列知，所以，解得，所以，.6．（23-24高二下·河北邢臺·期末）隨機變量的分布列如下：其中，則等于（

）01A． B． C． D．【答案】A【分析】根據分布列性質結合已知條件求得，再求解概率；【詳解】根據分布列可得，解得，則..7．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據兩點分布的特征計算即可.【詳解】由題意得，則．故選：.8．（23-24高二下·浙江臺州·期中）已知隨機變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據隨機變量的分布列結合互斥事件概率和公式計算即可.【詳解】..二、多選題9．（24-25高二下·全國·課后作業）（多選）水果籃中有8個水果，其中有2個是石榴，現從水果籃中隨機地抽取3個，那么概率是的事件為（

）A．恰有1個不是石榴 B．3個全不是石榴C．恰有2個石榴 D．至少2個不是石榴【答案】AC【分析】利用組合公式計算總事件數，進一步進算出恰有0個石榴，恰有1個石榴，恰有2個石榴的方法數，再利用古典概型進行計算概率．【詳解】水果籃中隨機地抽取3個的總事件數為，因為其中有2個石榴，所以可能出現的事件有：恰有0個石榴，恰有1個石榴，恰有2個石榴，取法數分別為；所以恰有1個不是石榴的概率為，3個全不是石榴的概率為，恰有2個石榴的概率為，至少2個不是石榴的概率為，C．10．（23-24高二下·廣西河池·階段練習）已知隨機變量的分布列如下表：-1012若，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據給定條件，利用分布列的性質列式求解即得.【詳解】依題意，，所以.D11．（24-25高二下·全國·課后作業）已知隨機變量的分布列為，其中是常數，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據分布列的性質，列出方程求得，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】根據題意，隨機變量的分布列為，則有，解得，則，．BC.三、填空題12．（23-24高二下·安徽安慶·期中）已知隨機變量ξ的分布如下：則實數a的值為.ξ123P【答案】或【分析】由求解.【詳解】解：由題可得，∴或，經檢驗適合題意.故答案為：或.13．（23-24高二下·江蘇無錫·期中）若隨機變量的分布列為01230.10.20.20.30.10.1則當時，實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據給定的分布列，求出即可求出的取值范圍.【詳解】由分布列知，，，而，所以.故答案為：14．（23-24高二下·福建泉州·階段練習）某旅游品生產廠家要對生產產品進行檢測，后續進行產品質量優化．產品分為優秀、良好、合格、不合格四個等級，設其級別為隨機變量，且優秀、良好、合格、不合格四個等級分別對應的值為1、2、3、4，其中優秀產品的數量是良好產品的數量的兩倍，合格產品的數量是良好產品的數量的一半，不合格產品的數量與合格產品的數量相等，從這批產品中隨機抽取一個檢驗質量，則．【答案】0.5/【分析】根據取得不同值概率之間的關系式和概率之和為一的性質，可