1.【題目】甲乙兩人從周長為1600米的正方形水池ABCD相對的兩個頂點A、C

同時出發繞水池的邊沿順時針方向行走.甲的速度是每分鐘50米，乙的速度是每

分鐘46米，那么甲乙第一次在同一邊上行走，是發生在出發后的第多少分鐘？

第一次在同一邊上行走了多少分鐘？

【解答】要使兩人在同一邊行走，甲乙相距必須小于一條邊，并且甲要邁過頂點。

甲追乙1600+4=400米，至少需要400+(50—46)=100分鐘，

此時甲行了50X100=5000米，50004-400=12條邊……200米。

因此還要行200+50=4分鐘，出發后100+4=104分鐘在同一邊上行走。

此時甲乙相距400X2—104X(50-46)=384米，乙行完這條邊還有16米，

因此第一次在同一邊上走了16:46=8/23分鐘。

2.【題目】甲乙兩地相距35千米，小張，小李都要從甲地去乙地，他們只有一輛自

行車，小張先步行，小李先乘車，同時出發.小張步行的速度是每小時5千米，小李

步行的速度是每小時4千米兩人乘車的速度都是每小時20千米.那么兩人從甲

地到乙地最短需要時間多少小時？

【解答】如圖，假設小李先乘車到丙地再步行，小張步行到丙地再乘車，要使兩

人時間最短，那么必須滿足同時到達。那么有從甲地到丙地兩人的時間差相當于

兩人從丙地到乙地的時間差，

從甲地到丙地，車和小張的速度比是20：5=4：1,時間比是1：4；

從丙地到乙地，小李和車的速度比是4：20=1：5,時間比是

5：1；

由于時間差相同，那么相差[3,4]=12份的時間。

那么有從甲地到丙地，車和小張的時間比是4：16

還有從丙地到乙地，小李和車的時間比是15：3

行完全程車行了7份的時間，那么每份的時間是35+20+7=1/4小時

每人行完全程用了19份的時間，那么共用去19X1/4=19/4小時。

3.【題目】現有速度固定的甲、乙兩車。如果甲車以現在速度的2倍追乙車，5

小時能追上；如果甲車以現在速度的3倍去追乙車，3小時能追上，那么甲以現

在的速度去追乙車，幾小時能追上乙車？

【解答】根據牛吃草問題的工程解法并且這題的速度的倍數的特殊性來解答。

因為2x2—3=1,所以”(1/5X2-1/3)=15小時。

4.TBTCTD；藍甲蟲沿ATDTCTB.9：30紅甲蟲爬到AB間距離A點10米的E

點后繼續向前爬去，10：15到BC間的F點，再經C向前爬去.藍甲蟲爬到AD間

距離D點5米的G點休息了一會兒再往前爬去.當兩個甲蟲在CD上的H點相遇時,

湊巧四邊形EFHG的面積是正方形面積的一半.求藍甲蟲在G點休息了多長的時

間？

【解答】

要滿足面積是一平，由于F、G不在同一水平線上，H、E在同一豎直線上，EH垂

直正方形的邊AB。

那么有紅甲蟲比藍甲蟲多行(17—10)X2=14米。

每米需要30X0=3分鐘,所以藍甲蟲休息了14x3=42分鐘。

5.【題目】甲、乙兩地公路長74千米，8：15一輛汽車從甲地到乙地，半個小時

后，又有一輛同樣速度的汽車從甲地開往乙地.王叔叔8：25從乙地騎摩托車出

發去甲地，在差5分不到9點時，他遇到了第一輛汽車，9：16遇到第二輛汽車,

王叔叔騎摩托車的速度是多少？

【解答】

汽車和摩托車的速度比是(51-30)：(40-31)=7：3,

摩托車行完需要404-3/7+30=370/3分鐘。

摩托車小時行74^370/3x60=36千米

6.【題目】紅光農場原定9時來車接601班同學去勞動，為了爭取時間，8時同

學們就從學校步行向農場出發，在途中遇到準時來接他們的汽車，于是乘車去農

場，這樣比原定時間早到12分鐘。汽車每小時行48千米，同學們步行的速度是

每小時幾千米？

【解答】

學生步行的路程，汽車需要12+2=6分鐘,

說明是在9：00前.6分鐘接到學生，即8：54分，說明學生行了54分鐘。

汽車的速度是步行的54-6=9倍，步行的速度是每小時行48:9=16/3千米。

7.【題目】一條公路，由甲乙兩個筑路隊合修要12天完成。現在由甲隊修3天

后，再由乙隊修1天，共修這條公路的3/20,如果這條公路由甲隊單獨修要多少

天完成？

【解答】

把甲隊修3天乙隊修1天，看作合修1天甲隊又修2天。

那么甲隊2天修了3/20-1/12=1/15

所以甲隊單獨修需要2-1/15=30天

8.題目】一批任務，師徒二人合作了30天完成，合作時，徒弟中途休息5天，

然后又合作完成全部任務。結果師傅做的是徒弟的二倍。師傅每天比徒弟多做2

個，求全部任務是多少？

【解答】

師傅和徒弟的工作效率的比是(30—5)：(304-2)=5：3

徒弟每天做2彳(5-3)X3=3個，徒弟做了3義(30-5)=75個

全部任務就是75x(1+2)=225個。

9.【題目】一件工程，甲獨做50小時完成，乙獨做30小時完成，現在甲先做1

小時，然后乙做2小時，再由甲做3小時，接著乙做4小時，……,兩人如此交

替工作，完成任務共需多少小時？

【解答】

由丁單獨做甲50小時，乙30小口寸，所以交替做的天數要超過30小時。

工作1+2+3+…+6+7+8=36小時

完成了(1+3+5+7)X1/50+12+4+6+8)X1/30=74/75,

還剩下1-74/75=1/75,此時是甲做,需要1/75+1/50=2/3小時,

因此共需要36小時40分鐘

10.【題目】一項工程，如果甲隊獨做，正好在方案規定的時間內完成，如果乙隊

獨做，那么要超過方案規定的時間10天才能完成，如果甲乙兩隊先合作6天。

然后讓乙隊單獨做，那么正好在方案規定的時間完成。完成這項工程方案用多少

天？

【解答】

甲隊做6天相當于乙隊做1C天，單獨做甲隊比乙隊少做10天，

甲隊需要10：U0-6Jx6=15大，即方案用的天數15大

11.【題目】甲乙兩名工人加工數量相等的一批零件，甲先花去2.5小時改裝機器

才開始工作，因此前4小時后甲比乙少做400個零件，又同時工作4小時后，甲

總共加工的零件反而比乙多4200個，求甲乙每小時各做多少零件？

【解答】

甲4小時比乙多做4200+400=4600個,

甲2.5小時做4600+小0=5000個，

甲每小時做50004-2.5=20C0個,

乙每小時做(2000x1.5+400)：4=850個

12.【題目】一件工程甲獨做12天完成，乙單獨做18天完成，現在甲做了假設干

天后，在由已接著甲單獨做完余下的局部，這樣前后共用了16天，甲做了多少

天？

【解答】

假設16天都是乙做的，就會差1—16/18=1/9沒有完成，

甲參加一天，就會多做1/12—1/18=1/36,

所以甲做了1/9+1/36=4天

13.【題目】甲、乙、丙三個倉庫，各存放著同樣數量的化肥，甲倉庫用一臺皮帶

輸送機和12個工人，需要5小時候才能把甲倉庫搬空；乙倉庫用一臺皮帶輸送

機和28個工人，需3小時才能把乙倉庫搬空；丙倉庫有兩臺皮帶輸送機，如果

要求2小時把丙倉庫搬空，同時還需要多少名工人？〔皮帶輸送機的成效相同，

每個工人每小時的搬運量相同，皮帶輸送機與工人同時往外搬運化肥。〕

【解答】與大家分享四種解法。

解法一：假設每個工人每小時做1份，甲倉庫需要工人搬了12X5=60份，乙倉

庫工人搬了28X3=84份，相差的84-00=24份,就是皮帶運送機5-3=2小

時搬的。說明皮帶運送機每小時送244-2=12份，息共有(12+12)X5=120

份，兩臺皮帶運送機2小時運送2X12X2=48份，工人2小時運送120—48=72

份,那么工人每小時運送72+2=36份,即配備36個工人。

解法二：假設每個工人每小時做1份，甲倉庫需要工人搬了12X5=60份，乙倉

庫工人搬了28X3=84份，相差的84—60=24份，就是皮帶運送機5—3=2小

時搬的。說明皮帶運送機每小時送24+2=12份，因倉庫如果2臺皮帶運送機需

要5小時，多出的5—2=3小時的運送量，需要配備12X3=36個工人。

解法三：比擬甲乙兩個倉庫，相差28—12=16個工人，工作效率相差1/3—1/5

=2/15,每個工人每小時做2/15+16=1/120。綜合甲乙兩個倉庫2皮帶運送機

和28+12=40個工人每小時運送1/3+1/5=8/15,比規定的多了8/15-1/2=

1/30,那么需要減少1/30+1/120=4個工人，即需要配備40—4=36個工人。

解法四：甲乙兩個倉庫工作效率的比是3：5,那么甲倉庫每小時相當于(28—12)

-(5-3)乂3=24個工人做的。一個皮帶運送機就相當于24-12=12個工人送

的。那么每個倉庫2臺運送機可以運送5小時，多出的3小時需要配備3x12=36

個工人。

14.【題目】加工一個零件，甲、乙、丙所需時間分別是6分鐘、7分鐘、8分鐘。

現在有3650個零件要加工，如果規定3人用同樣的時間完成任務，各應加工多

少個？

【解答】

工作效率的比是1/6：1/7：1/8=28：24：21,

完成任務時，甲做28/73,乙做24/73,丙做21/73。

甲加工了3650X28/73=1400個，

乙加工了36加X24/73=1200個，

丙加工了3650x21/73=1050個。

15.【題目】貨場上有一堆沙，如果用3輛卡車來運4天就可以運完。如果用4

輛馬車來運5天可以運完，如果用20輛小板車來運6天可以運完。現在用2輛

卡車、3輛馬車、七輛小板車共同運了2天，余下的改用小板車云且要在2天內

運完，那么每天要用多少輛小板車？

【解答】與大家分享兩種解法。

解法一：份數法

假設小板車每大運1份，共有20X6=120份。

每輛卡車每天運120+3+4=10份，每輛馬車每天運1204-44-5=6份。

2天搬完，每天搬120?2=60份，需要小板車60—2X10—3X6=22份。

剩下的就需要22—7—15輛小板車。

解法二：工程法

2輛卡車2天運了2X2+(3X4)=1/3,

3輛馬車2天運了3X2彳(4X5)=3/10,

7輛小板車2天運了2X7+(20X6)=7/60,

剩下1-1/3-3/10-7/60=1/4,每天運1/4-r2=1/8,

需要1/8x20x6=15輛小板車。

16.【題目】兩只小爬蟲甲和乙，從A點同時出發，沿長方形ABCD的邊，分別按

箭頭方向爬行，在離C點32厘米的E點它們第一次相遇，在離D點16厘米的F

點第二次相遇，在離A點16厘米的G點第三次相遇，長方形的邊AB長多少厘米？

【解答】如圖2,每次相遇兩蟲都是合行1周，那么每次相遇乙蟲行的路程相同。

藍色路線和紫色路線比擬，CF比AB短16厘米，那么BE比CE短16厘米，可以

知道BE=32—16=16厘米。

根據長方形對邊相等，可以知道DG—CE=32厘米。

比擬藍色路線和紅色路線，可以知道AB=DG=32厘米。

解法二：第三次相遇，用AG替換DF,可以知道乙每次相遇行長方形的長。第一

次相遇和第二次相遇比擬，AB+BE=BE+EC,即AB=EC=32厘米。

17.【題目】在一個周長40c米的圓形跑道上，甲乙兩車同時從一點A沿相反方

向出發，甲車每小時行18千米，乙車每小時行72千米，當兩輛車第一次相遇時,

甲車速度提高，每秒比原來多走1米，乙車那么每秒少走1米，仍各自按原方向

行進，以后每次兩車相遇，兩車的速度都如此變化，直到兩車第18次相遇.那么

在此過程中，兩車有沒有恰在A點相遇過？如果有，說明理由并求出是哪幾次相

遇？

【解答】甲車和乙車速度分別是5米/秒和20米/秒。由于速度和不變，那么把

總路程看作20+5=25份，甲行的路程和是25的倍數時，就相遇在A點。

甲行的路程的份數是5+6+7+8+…。

經檢驗，當相遇次數是16時，甲車行了(5+20)X16+2=200份，是25的倍

數。

18.【題目】梯形ABCD底邊BC上一點E,角AED=90°,角C=45°。各邊長度

已經標在了圖上。求梯形ABCD的面積。

【解答】如下列圖，過點

A作AF垂直BC,過點D

BF21C

作DG垂直BC。長方形AFGD的面積是20X15—300,DG長300：25—12,CG長

12,EG長21—12=9,EF長是25—9=16,BF的長也是16。那么梯形面積是(25

+16X2+21]X12+2=468。

19.【題目】ABCD表示一個四位數，EFG表示一個三位數，ABCDEFG表示1?9中

不同的數字，ABCD+EFG=2005,那么ABCDXEFG的最大值和最小值的差是多少？

【解答】和的數字和除以9余數是7,那么加數的數字和除以9的余數是7。7

個數字的數字和在28?42之間，那么數字和是34。9個數字中去掉的兩個數字

的數字和是45—34=11。有四種情況：2+9=3+8=4+7=5+6o

A不能是2,只能是1。如果D+G=5,那么C+F=10,B+E=9,數字和不是34。

只有D+G=15,C+F=9,E+E=9才符合條件。

由于兩數和一定，乘積的有最大值，那么兩數盡量接近。所以E最大是7,B就

是2,I)就只能是6,G只能是9,去掉的兩個數字是3和8。那么C=4,F=5。

由此當乘積最大時兩數是1246和759,乘積最小時兩數是1759和246。

那么乘積之差是

1246X759-1759X246

=(1000+246)X759-(1000+759)X246

=1000X759+246X759—1000X246-759X246

=1000X759-1000X246

=1000X(759-246)

=1000X513

=513000

20.【題目】有六個不同的自然數的倒數之和為1,且六個自然數恰好能分成三組

數，每組中兩數成2倍關系，那么這六個數中的最大數最小是多少？

【解答】設這六個自然數分別是a,2a,b,2b,c,2c,那么有1/a+l/(2a)

+l/b+l/(2b)+l/c+l/(2c)=1,整理得l/a+l/b+l/c=2/3。設aVbV

c,那么aV4,因為1/4+1/5+1/6V2/3。

當a=2時，有l/b+l/c=l/6,b和c最接近的是10和15。

當a=3時,有l/b+l/c=l/3,那么b和c分別是4和12最接近。

因此這六個數中最大數2c=24

附：把分數拆分成1/n兩個分數1/a與1/b的和的形式的公式。〔a-n〕〔b-n〕

=nXno

21.【交流題目】算式中填入數字，使等式成立有多少種可能。

【題目】A和B是三位數，且l/A+l/306=l/B,使得等式成立有多少種可能。

【解答】原式變形I/B-l/A=l/306,有(306-B)(306+A)=306X306。

設x=306—B,y=306+A,因為A和B是三位數，那么有1VXV206,406<y<

1305o

因為306X306處90000,x>90000-?1305^70,那么縮小x的取值范圍為70Vx

<206o

因為306X306=2X2X3X3X3X3X17X17,在x的取值范圍內可以取值為：

①17義2義3；②17X3X3；③17X2X2X3；

④3X3X3X3；⑤3X3X3X3X2；⑥3X3X3X2X2

那么a的結果是204,153,102,225,144,198,

且b的結果是612,306,153,850,272,561。

即這題有6種情況可以使等式成立。

附：此題利用一個拆分公式，在1/a—1/b=1/n時，那么〔n-a〕〔n+b〕=n

Xn

22.【交流題目】根據條件填出九宮格中的每個數據。

【解答】根據條件2,只有5,4,3才滿足條件，可以確定“人〃=5,“迎〃和

“你〃不能確定。

當“迎〃=3時，"你〃=4。那么“大〃和“附〃是1或6。

如果“大〃是1,那么“歡〃是3,不符合條件；

如果“大”是6,那么"歡”是8,這樣就剩下2,7,9填中間，但“校”比”中〃

大4,沒有符合條件的數。

這樣可推出，“迎〃=4,“你〃=3。

這時，如果“大〃是6,“附〃是1,那么“歡〃是7,剩下2,8,9填第二行，

“校〃比“中〃大4,沒有符合條件的數。

那么“大〃是1,“附〃是6,“歡〃是2,第二行中的“校〃比”中〃小1,剩

下的數有7,8,9,那么最終有兩種結果。

“人大附中歡送你":516897243,516978243

23.

5.在下面兩個算式:

[解答]將__這兩個式子改變

ABBC=I)xDDE.CBRA=DxFFG

成如下形式：

巾，相同的字母代表相同的數字,不同的字母

1000A+代為不同的數/，那么B+D+F-----；110B+C=DX

(110XD+E)

1000C+110B+A=DX(110XF+G)

兩式相減得999X(A-C)=I)X[110X(D-F)+(E-G)]

必有E—G=D—F,兩邊除以111變形成9義(A-C)=DX(D-F),由于F#0,

那么D—FW9,再因為D>A且D>C,可知D>A-C,那么D是3的倍數。

當D=9時，99DX9=899A,△只能是1,那么口是9,不符合要求。

當D=6時，66DX6=399A,可ZX993不是6的倍數，也不符合要求。

當1)=3時，33DX3=100A,△001+3是三位數，那么△<?,那么只有△=?

時才可以。

即334X3=1002,

667X36.將圖中左右相鄰的兩數相加.則除以12.將所=2001才滿足條件,

行的余數有在它們卜彳j相應的圓圈內。依次

所以B逐行進行1二面的操作.最后得到最底端的一個+D+F=0+3+6=

數，對于第一行中不同的口然數次最底端的數

90共仃種取侑.分別是：

24.

【解答】用含有未知數的

式子代替進行計算。

第二行分別是1+x,x+5,0,4>

第三行分別是2x+6,x+5,4,

第四行分別是3x+lLx+9

第五行只能是4x+8

當x=l時，余數是0；當x=2時，余數是4；當x=3時，余數是8；然后周期

出現，那么最底層的數一共有3種取值，分別是0,4,8

25.【題目】由紅點與藍點組成的16行與16列的正方形點陣中，相鄰同色兩點

用與點同色的線段連結，相鄰異色兩點均用黃色的線段連結.共有133個紅點，

其中32個點在方陣的邊界上，2個點在方陣的角上.假設共有196條黃色線段,

試問應有條藍色線段.

【解答】把每個條線段都看作有方向的，角上每個點可以畫出2條線段，邊上每

個點可以畫出3條線段，中間每個點可以畫出4條線段。

133個紅點有2個在角上，32個在邊上，有133—2—32=99個在中間，共可畫

出的有向線段長度是2X2+32X3+99X4=496條，其中有196條連著藍點，那

么有496—196=300條有向線段連著紅點，即有300+2=150條紅色線段。

總共有15X16X2=480條線段，那么藍色線段有480—150—196=134條。

26.將戰小的io個部數填制圖中所求表格的io個

空格中?要求滿足以下條件：

【解1）填入的數能被它所在列的第一個數整除：答】最小的十個

2）最后一行中每個數郴比它上面那一格中的數

合數大，分別是4,6,8,

那么，最后一行中5個數的和最小可能是

9,10,12,14,15,16,

73456

18。要使最后一行的

和盡量小，那么上百

一行的數就盡量大。

有幾個數是很容易確定的。10和15分別填在5下面的兩格；12和18分別填在6

下面的兩格；14和16分別填在2下面的兩格；剩下的6和9填在3下面的兩格;

4和8填在4下面的兩格。

所以最下面一行的五個數的和是16+9+8+15+18=66。

27.【交流題目】8.閣中右大、小兩個jE方形.9或4個三”1形.

,1今8有個數月j次埼入圖中I劃圈.回沖卜

共有多少種填而內四.口目則紿山〃公.否則說叫」中小：

法？?）如果？厚個」I.方，修的“q個頂，.1處燈川勺敬；g

仙性利同.隴吉使7號個:“J彩頂點處數字之和

【解答】根本卻力I等？女口果熊.共有種填法：（翻轉、

旋轉的情況，I猙一種）

）如果沒“第一條的有他性理求.徒古便於￡

思想：計算四2

個杉1^.點：處數?產之和排和1號，如果健:？共

<!種填法；（翻轉、艇轉的E；兄只身

個三角形的和

和，>C―----（~---（~

時，小正方形的數加了兩次。并且小正方形四個數的2倍加上大正方形四個頂點

上的數，必定是4的倍數。

第一問：如果四個頂點是奇數，每個三角形的三個數是兩個偶數一個奇數，其和

是奇數。可四個頂點：1+3+5+7=16,小正方形：2+4+6+8=20,三角形：

(20X2+16)+4=14。矛盾了。

如果四個頂點的數都是偶數，那么三角形的三個數是一個偶數兩個奇數，其和是

偶數。可三角形三數之和是(20+16X2)4-4=13,因此矛盾了。

第二問：

⑴大正方形的四個頂點必須是兩個奇數兩個偶數，并且是4的倍數。

無論是一個奇數三個偶數還是三個奇數一個偶數，和都是奇數，小正方形的和2

倍是偶數，四個三角形的總和是奇數不是4的倍數。

大、小正方形都是兩個奇數兩個偶數，其和都是偶數，小正方形的2倍是4的倍

數，大正方形的四個數的和是4的倍數才能滿足三角形的總和是4的倍數。

⑵大正方形相對的兩數和相等。

因為每個三角形的數字和相等，去掉對著的兩個三角形，剩下的兩數和是頂點上

的，和就應該是相等的。

⑶大正方形四個頂點的數的和是12、16、20、24o

四個數最小是1+2+3+4=10,最大是5+6+7+8=26,在這范圍內，4的倍數

有12、16、20、24o

⑷分類進行探討：

①當四個數的和為12時，頂點的兩數和為6,6=1+5=24-4,有一種情況滿足

條件。

②當四個數的和為16時，頂點的兩數和為8,8=1+7=2+6=3+5,那么有1、

7、2、6和2、6、3、5兩種情況。

③當四個數的和為20時，頂點的兩數和為10,10=2+8=3+7=4+6,那么有

3、7、2、8和3、7、4、6兩種情況。

④當四個數的和為24時，頂點的兩數和為12,12=8+4=7+5,有一種情況滿

足條件。

因此一共有6種填法。

28.【交流題目】求滿足下面各小題條件的整數a

【解答】第一題：a在最高位不能是0,a

在個位必「求滿足卜而各他條件的整數比須是偶數，a4a的百位是偶數,

偶數個100I)8；疝&3〃4G2)9|疝加小4〃是8的倍數，那么看4a是8的

倍數，那么只有a=8時滿足條件。

3)\i\a\a2a3ci4a

第二題：根據9的倍數的特征，各位數字

和是9的倍數，那么有5a+10是9的倍數，也說明a+2是9的倍數，那么a=7

滿足條件。

第三題：根據11的倍數的特征，奇數位數字和與偶數位數字和的差是11的倍數,

那么有5a—10是11的倍數，也說明a—2是11的倍數，由于aVIO,那么a=2

滿足條件。

29-2,5^^725x730x735x742x700*計購果褓

【解任有5個字，且十萬:融也那么」答】要使末尾恰有5個零,

那么一個三位黑；質因數5和2的個數都不

能少于5個。

725里面包含2個質因數5,730里面包含1個質因數5,735里面包含1個質因

數5,那么最后一個三位數至少包含1個質因數5。

730里面包含1個質因數2,742里面包含1個質因數2,那么最后一個三位數至

少包含3個質因數2。

因為十萬位數字是奇數，說明質因數2的個數只能是5個，那么最后一個三位數

包含3個質因數2,如果質因數5的個數是2個，那么這個三位數是8X25=20。

的倍數，顯然不符合要求，那么質因數5的個數是1個，那么這個三位數是8X5

=40的奇數倍，那么最后一個三位數是760。

29.【題目】如果六位數2005□□能被105整除，那么它的最后兩位數是；

如果將“2005〃改成其它四位數，可能會使得問題無解，這個是此題無解的四位

數最小是0

【解答】

第一問：假設這個數是200E99,它除以105后余數是49,所以口里面填99—49

=50o

第二問:因為100099?105的余數是34,那么最小的105的倍數是100065。這

時，每增加一個105,那么百位增加1,當末兩位要向百位進位時，百位就增加2,

此時在百位只增加1,就滿足條件了。當10065+105X7時,末兩位剛好進位。

所以四位數最小是1000+7=1007。

30.--------

4.六位數工199W.能被52整除，那么x=_,

【解答】.

V—___;

因為52=13X4,那么六位數是4的倍數，末兩位也是4的倍數，那么y是2或

6o

這個六位數也是13的倍數，根據7、11、13的倍數的特征，可以知道91()+丫一

100x-19=891+y-100x=13X(68~8x)+7+y+4x是13的倍數。

那么7+y+4x是13的倍數，當y=2時，x=l滿足條件。

3L5.?悻做I俘互不相同的5位批㈱3、51

II?那么這個五位嬲快—，聯

【分n析】根據5的倍數的特征確

龍;

定個位數字，根據7、11、13的數

的特和3的倍數的特征，結合最小與最大綜合考慮。【解答】根據5的倍數的特

征，個位是0或者5o

第一問：要求最小值，我們不妨假設這個五位數是10AB5,A+B是3的倍數，AB5

一10是11和7的倍數，由于差的個位是5,那么77X5=385,AB5是395,3+9

=12是3的倍數，符合條件。那么這個數是10395。

第二問：要求最大值，我們不妨假設這個五位數是98CD5,C+D除以3余2,CD5

—98是11和7的倍數，由于差的個位是7,那么77X11=847,CD5是945,數

字9重復；或者77X1=77,CD5是175。1+7=8除以3余2,符合條件，五位

數是981750

如果假設這個五位數是98CD0,C+D除以3余1,CD0—98是11和77的倍數，

由于差的個位是2,那么77X6=462,CD0是560,可5+6=11除以3余2,不

滿足條件。

因此最大的五位數98175。

32.

…6,在.六位雙“12口匚112”中的方樞內各埴入?個

【解七.從八』e3.答】19X23—437，

數字，使此效能被19和23整除，那么方框中

則硒個加;依次之_、120000+437>274,商的個

位數字是口2+7=6,(12口口12

-437X6)+10的最后一位是9,那么商的十位是口9+7=7,所以六位數是

276X437=120612,那么兩個數字依次是0和6。

7.1至9排成一成.請你在某兩個數字之間剪開.

分別按順時針和逆時針次

【分析】兩個九位數是

序形成兩個九位數。如果

9的倍要求這兩個九位數之差能數，差也是9的倍

被396整除，那么應該在

數，考慮這兩個九位數的

和之間剪開；

差是396+9一仰的倍數。兩個九位數的奇數位數字和與偶數位數字和相差是一

樣的，說明差就是11的倍數，那么只用根據4的倍數的特征分析差的最后兩位

數字就行了。

【解答】要使兩個九位數的差是4的倍數，其個位是偶數，那么剪開之處就應該

是奇偶相同,即有可能在4、6；5、7；7、3之間。

根據這三種情況進行計算：當在4、6之間時，差的最后兩位是94-16=78,不

是4的倍數，那么差就不是4的倍數；

當在7、3之間時，差的最后兩位是83—57=26,不是4的倍數，那么差就不是

4的倍數；

當在5、7之間時，差的最后兩位是125—37=88,是4的倍數，所以該從5和7

之間剪開。

34.

8.倉陣里仃兩只裝仃杯子的箱子,各貼仃“總價

【分132.□△兀”、“七價123.0?元”（口、△、°、析】132口△不可能

?四個數，己所認不清?似是它們互不相同）。

是77已知其中TS裝了77只/型杯子?另箱裝了個杯子的。因為132

75只8型杯子.每只杯子的價格都是整數分。

是11那么,4、"型樣「的單價分別是、元：的倍數，口△就同樣

是11的倍數，兩位數中11的倍數的兩位數字是相同的，這樣與題目條件矛盾。

因此132.口△是B型杯子的總價，123.O?是A型杯子的總價。【解答】通過分

析可以知道,132.994-75=1.770.24,因為132.99—0.24=132.75,末尾兩

位不同，那么B型杯子的單價是1.77元。

兀。

9.籽fl然數I、2、3、…依次寫卜去連成?個多

位數“12345678910II12-w.當寫到某個數N

時,所形成的多位數恰好第次能破45整除.

那么心；

35.

【分析】45=5X9,根據5的倍數的特征知個位是0或者5,再根據9的倍數的

特征可知數字和是9的倍數，并且每個數除以9的余數與這個數的數字和除以9

的余數相同。【解答】當個位數字是0時，N的最小值是9X9—1=80,當個位

數字是5時，N的最小值是4X9—1=35。

36.【題目】用數字1至9組成一個九位數，使得它從左數前ni位形成的數恰能

被m整除（m=1、2、…、9）,這個九位數是。

【解答】根據條件偶數位上是偶數，奇數位上是奇數，萬位上是5,假設這個九

位數是abcd5efgh。根據4和8的倍數，d的值有2或6兩種可能，g的值也是2

或6兩種口」能。根據3和6的倍數，oj以知道d5e也是3的倍數，那么d5e可能

是258也可能是654。

分兩種情況進行討論：

⑴當中間三位是258時，可知g=6,b=4,原數變成a4c258f6h。根據8的倍數

可知，f為1或9。

①當f=l時，根據3的倍數，a和c沒有可取的數。

②當f=9時，根據3的倍數，a和c只能取1或7。前七位利用倒除法那么需判

斷a4cl是否是7的倍數，在1471和7411中沒有7的倍數。

⑵當中間三位是654時，可知g=2,b=8,原數變成a8c654f2h。根據8的倍數

可知，f為3或7。

①當f=3時，根據3的倍數，a和c可能是1和9,也可能是7和9。前七位用

倒除法那么需判斷a8c2是否是7的倍數，在1892,9812,7892,9872中沒有7

的倍數，那么f不是3。

②當f=7時，根據3的倍數，a和c可能是1和3,也可能是1和9。前七位利

用倒除法，那么需判斷a8c5是否是7的倍數，在1835,3815,1895,9815中只

有3815是7的倍數。

綜上所述，這個九位數是381654729。

37.【題目】小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從

學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早1()分鐘到達城門，當面包車

到達城門時,，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米？

【解答】小轎車1/6小時行了9千米，小轎車每小時行9:1/6=54千米，面包車

每小時行54—6=48千米，面包車到達城門時行了9:6=1.5小時，所以從學校到

城門的距離是48x1.5=72千米。

38.【題目】五個長方形，它們的長寬都是整數，并且5個長、5個寬恰好是1-10

這10個整數，現用這5個長方形拼成一個大正方形，大

正方形的面積的最小值為多少？

【解答】因為1X10+2X9+3X8+4X7+5X6=

110,那么最小值可能是11X11=121,因為11X11的

拼法可以如下，因此最小值是121

39.【題目1］現有四個自然數，它們的和是1111,如果要求這四個數的最大公

約數盡可能大，那么這四個數的最大公約數最大可能是多少。〔101〕

【解答】1111=11X101所以最大是101

【題目2】A、B兩城相距6c千米，甲、乙兩人都騎自行車從A城同時出發，甲

比乙每小時慢4千米，乙到B城當即折返，于距離B城12千米處與甲相遇，那

么甲的速度是多少。〔8千米/時〕

【解答】相遇的時間是12X2+4=6小時，速度是(60—12)+6=8千米/時

【題目3】10年前母親的年齡是女兒的7倍，10年后母親的年齡是女兒的2倍。

現在母親的年齡是多少歲？〔38歲〕

【解答】畫圖解答一下。

【題目4］在一個正六邊形的紙片內有60個點，以這60個點和六邊形的6個頂

點為頂點的三角形，最多能剪出多少個？〔124個〕

【解答】每增加一個點就增加兩個三角形，加上原來六邊形的4個三角形，所以

是60X2+4=124

【題目5］林玲在450米長的環形跑道上跑一圈，她前一半時間每秒跑5米，后

一半時間每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？〔55秒〕

【解答】全程的時間是450+(5+4)X2=100秒，前一半的時間450?2+5=

45秒，后一半就是100—45=55秒。

【題目6】抽干一口井，在無滲水的情況下，用甲抽水機要20分鐘，用乙抽水機

要30分鐘。現因井底滲水，且每分鐘滲水量相等，用兩臺抽水機合抽18分鐘正

好抽干。如果單獨用甲抽水機抽水，多少分鐘把水抽干？〔45分鐘〕

【解答】14-(1/18-1/30)=45分鐘

40.【題目】?個K方形長1%山、寬18c川，如果把這個K方形分割成假設干個邊

長為整數的小正方形，那么這些小正方形最少有多少

個？如何分割？118

【答案】最少有7個小正方形，如下列圖：

5

41.【題目】甲乙兩車同時從AB兩地出發往_IrM---J----返于兩地

之間，經48分鐘相遇，相遇后又經12分鐘J一~~■—5^甲被從A

地返回的乙追上，甲到達B地時被乙追上幾次？

【解答】畫個圖就更清楚。

乙行12分鐘的路程甲需要行48X2+12=108分鑰，

乙的速度就是甲的108+12=9倍，

甲行1個單程，乙行9個單程，乙每次返回追上甲一次，共追上4次。

42.【題目】一支解放軍隊伍全長900米，排尾的通訊員騎摩托車從排尾趕到排頭

將電報交給排頭的首長，然后以原速的1/8回到排尾將命令傳達給指揮官，這時

隊伍共前進了900米，隊伍勻速前進，當通訊員趕到排頭時，解放軍隊伍已經行

走了多少米？這段時間通訊員共走了多少米？

【解答】設通訊員的速度是隊伍速度的X倍。

9004-(x-1)+9004-(x/8+l)=900,解得x=4,

通訊員趕到排頭時隊伍已行了900—(4—1)=300米。

通訊員共走了600X44-8+300X4=1500米。

43.【題目】一只船從甲港到乙港往返一次共用6小時，去時順水比回來時每小時

多行10千米，因此前3小時比后3小時多行25千米，這只船靜水速度是多少千

米/時，水流速度呢？

【解答】

水流速度是10+2=5千米/時，

順水時間是25+10=2.5小時，逆水時間是6-2.5=3.5小時,

逆水每小時行2.5X10-(3.5—2.5)=25千米,

靜水每小時行25+5=30千米。

44.【題目】甲乙二人分別從A,B兩地同時出發相向而行，5小時后相遇在C點。

如果甲速度不變，乙每小時多行4千米，且甲乙還從A,B兩地同時出發相向而行,

那么相遇點D距C點10千米；如果乙速度不變，甲每小時多行3千米，且甲乙

還從A,B兩地同時出發相向而行，那么相遇點E距C點5千米，問甲原來的速度

是多少？

【解答】

根據第一種假設，甲如果行到c點，甲需要再行10千米，乙需要再行4X5—10

=10千米，在同樣的時間內，甲乙行的路程相等，說明甲乙此時的速度相等，也

就說明原來甲每小時比乙多行4千米。

根據第二種假設，乙行到C還要走5千米，甲就還要行3X5—5=10千米，相同

的時間，甲行的路程是乙的10?5=2倍，說明此時用的速度是乙的2倍，也就

是甲每小時多行3千米，就是乙的2倍。

可以得出乙每小時行是3+4=7千米，甲每小時行7+4=11千米。

45.【題目】客車和貨車同時從A地出發反向行駛，5小時后客車到達甲地，貨車

離乙地還有90千米，A地到甲地的距離與甲乙兩地間的距離比是1:3,貨車與客

車的速度比是5:3,甲乙兩地間的距離是多少千米？

【解答】

客車行1份到甲地，貨車就行5/3份距離乙地90千米，

這90千米就是3-1-5/3=1/3份，每份是904-1/3=270千米，

甲乙兩地間的距離是270X3=810千米。

46.【題目】某校在400米環行跑道上進行1萬米比賽，甲、乙兩名運發動同時起

跑后乙的速度始終保持不變，開始時甲比乙慢，在第15分鐘時甲加快速度并保

持這個速度不變，在第18分鐘時甲追上乙并且開始超過乙。在第23分鐘時甲再

次追上乙，而在23分50秒時甲到達終點。那么乙跑完全程所用的時間是多少分

鐘？

【解答】

后來甲23-18=5分鐘就超過乙一圈，又行50秒就多行50/604-5=1/6圈。

10000米是25圈，乙用23又5/6分鐘行了25—1-1/6=23又5/6圈，乙每分鐘

行1圈。

乙行完全程需要25分鐘。

47.【題目】一條河上有甲、乙兩個碼頭，甲在乙的上游50千米處。客船和貨船

分別從甲乙兩個碼頭同時出發向上游行使。兩船的靜水速度相同且始終保持不

變。客船出發時有一物品從船上掉入水中，10分鐘后此物品距離客船5千米。客

船在行使20千米后折回向下游追趕此物，追上時恰好與貨船相遇。求水流的速

度。

【解答】

船靜水每小時行54-10/60=30千米，

客船從返回到與貨船相遇的時間是50+(30X2)=5/6小時,

由于這個時候客船也追上了物品，客船逆水行20千米用了5/6小時，

逆水每小時行204-5/6=24千米，水流每小時30-24=6千米。

48.【題目】在同一路線上有ABCD四個人，每人的速度固定不變。A在12時追上

C,14時時與D迎面相遇，16時時與B迎面相遇。而B在17時時與C迎面相遇,

18時追上D,那么D在幾時迎面遇到C。

【分析】把12時AB的距離看作單位1,四人速度分別用ABCD來表示。

A和B4小時相遇,速度和是1/4,B和C5小時相遇,速度和是1/5。

A2小時和D相遇，B6小時追上D,當2小時后，A和I)相遇時，B還需要6—2=

4小時追上D,還需要4-2=2小時和A相遇，說明A和B的速度和是B和D的

速度差的4+2=2倍，那么B和D的速度差是1/4+2=1/8。

12時A和C在同一個地方，A和I)的距離就是C和I)的距離。由于B和I)的速度

差是1/8,說明D的速度比B的速度少1/8,那么A和D的速度和就比A和B的

速度和少1/8,由于A和B的速度和是1/4,所以A和D的速度和是1/4-1/8=

1/8,由于A和I)是2小時相遇的，所以12點的時候，A和I)的距離是1/8X2=

1/4,即C和D的距離是1/4。

由于B和D的速度差是1/8,說明D的速度比B的速度少1/8,那么C和D的速

度和比B和C的速度和少1/8,由于B和C的速度和是1/5,所以C和D的速度

和是1/5-1/8=3/40。

有了C和D相距的路程和速度和以后，就可以計算出相遇時間是1/4+3/40=10/3

小時，即在15時20分的時候C和1)相遇。

【解答】把12時AB的距離看作單位1,四人速度分別用ABCD來表示。A+B

=1/4,B+C=l/5。2(A+D)+6(B-D)=4(A+B),得出B—D=l/2(A

+B)=1/2X1/4=178,12時C和D相距2X(1/4-1/8)=1/4,C+D=l/5-

1/8=3/40,需要的時間是1/4+3/40=10/3小時,即在15時20分的時候C和D

相遇。

49.【題目】船順流航行速度是每小時8千米，逆流而上的速度是每時7