專題35不等式（同步練習）一、判斷兩個數的大小和不等式證明例1-1．已知、為正數，且，比較與。【解析】，∵，且，∴，，∴，即。作差法比較兩個數大小時做差后變形的方法：：①因式分解；②配方；③通分；④對數與指數的運算性質；⑤分母或分子有理化；⑥分類討論。變式1-1-1．比較與的大小，其中。【解析】∵，∴。變式1-1-2．比較與的大小，其中。【解析】∵，又∵且，則，，又，，∴。例1-2．已知，試比較與的大小。【解析】∵，∵，∴當時，，有，當時，，有，當時，，有，綜上，當時，，當時，，當時，。變式1-2．比較與的大小，其中且。【解析】∵，當時，，∴，∴，，當時，，∴，∴，。綜上當且時，。例1-3．已知，試求的取值范圍。【解析】∵，∴，，∴，又，∴，∴，∴，∴的取值范圍是。變式1-3．設且，，求的取值范圍。【解析】法一：設(、為待定系數)，則，于是得，，解得，，∴，又∵，，∴，即的取值范圍是。法二：由，得：，，∴，又∵，，∴，即的取值范圍是。利用不等式的性質證明不等式注意事項：(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式。解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用。(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則。利用不等式性質求代數式的范圍要注意的問題：(1)恰當設計解題步驟，合理利用不等式的性質。(2)運用不等式的性質時要切實注意不等式性質的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質，如由及，推不出；由，推不出等。(3)準確使用不等式的性質，不能出現同向不等式相減、相除的錯誤。二、解一元二次不等式例2-1．解下列關于的不等式：(1)；(2)；(3)。【解析】(1)原不等式可化為，∴原不等式的解集為。(2)；當，即或時，原不等式解集為，當，即或時，原不等式解集為，當，即時，原不等式解集為；(3)，當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為。例2-2．解關于的不等式：()。【解析】原不等式化為，①或時，解集為；②當或時，，解集為；③當或時，，解集為。例2-3．解關于的不等式：()。【解析】原不等式化為，當或時解集為；當時解集為；當時解集為；當時解集為。三、線性規劃例3-1．以下各點不在表示的平面區域內的是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】將點的坐標代入，ABC均滿足上述不等式，故選D。例3-2．已知點和點在直線的異側，則的取值范圍是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】要使、兩點在的異側，則代入后它們的符號相異，由此得到關于的不等式：，即，解得，故的范圍為，故選A。例3-3．設、滿足約束條件，則的最大值為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】畫可行域，由，得，欲求的最大值，可將直線向下平移，當經過區域內的點，且滿足在軸上的截距最小時，即得的最大值，如圖可知當過點時最大，由得即，，故選C。例3-4．已知變量、滿足約束條件，目標函數()僅在點處取得最大值，則的范圍為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】畫出已知約束條件的可行域為內部(包括邊界)，如圖，易知當時，不符合題意，當時，由目標函數得，則由題意得，，故選D。例3-5．已知、滿足約束條件，若的最大值為，則()。A、B、C、D、【答案】C【解析】不等式組表示的平面區域如圖陰影部分所示，易知，由得，由，得，∴當或時，在處取得最大值，最大值為，不滿足題意，排除A、B選項，當或時，在處取得最大值，∴，∴，排除D，故選C。四、基本不等式例4-1．已知，，且，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，，且，∴，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為，故選B。變式4-1．已知，，且，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴，即最小值為，故選A。例4-2．已知()，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】當時，，∴，當且僅當，即時取等號，∴的取值范圍為，故選B。變式4-2．已知，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】，若，則，若，則，∴的取值范圍為，故選A。例4-3．已知，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，，∴，∴的取值范圍為，故選C。變式4-3．當時，則的最大值為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，，，∴，即最大值為，故選D。例4-4．已知兩正數、滿足，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】，令，則，又在上的最小值為當時，最小值為，∴當時有最小值，故選D。誤區警示：(1)在利用基本不等式求最值時，過多地關注形式上的滿足，極容易忽視符號和等號成立條件的滿足，這是造成解題失誤的重要原因。如()有最大值而不是有最小值。(2)當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否都能保證等號成立，并且要注意取等號條件的一致性，否則就會出錯。變式4-4．已知，，求的最小值及相應的、的值。【解析】，∵，∴，∴，且當時等號成立，∴，。例4-5．如圖，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成。(1)現有可圍長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長