1第四章整式的加減第1課時：單項式【素養目標】1.理解單項式的概念.2.能確定一個單項式的系數和次數.3.會列單項式表示簡單的數量關系，初步培養學生的抽象能力和應用意識.【教學重點】列單項式表示數量關系，確定一個單項式的系數和次數.【教學難點】確定一個單項式的系數和次數.【教學過程】【情境引入】代數式的類型多種多樣，下面我們研究一類基本的代數式——整式.我們來看看本章引言中的問題(1).汽車在主橋上行駛的平均速度為92km/h,根據路程、速度、時間之間的關系：路程=速度×時間，汽車在主橋上行駛th的路程(單位：km)是92×t=92t.今天我們先來研究92t這樣的代數式，它是整式中的一種.[教學提示]可以先讓學生說說所列代數式中包含哪種類型的運算.[設計意圖]為單項式的引入做鋪墊.活動二：交流討論，探究新知探究點1單項式的概念(教材P89觀察)我們來看92t和上一章中遇到過的一些代數式a2,0.9p,a2h.問題它們都是通過哪種運算得到的?這些代數式有什么共同特點?概念引入：上面的代數式都是數或字母的積，像這樣的代數式叫作單項式.注意：單獨的一個數或一個字母也是單項式，例如，-6,x都是單項式.【對應訓練】①③④⑤.(填序號)[教學提示]這里教師要注意強調單獨一個數或一個字母的情況，還需關注學生能否從運算的角度分析式子的特征，發現它們表示的是“數與字母的乘積，或字母與字母的乘積”,對于字母的乘方，運用乘方的意義可以轉化為幾個相同字母的積.[設計意圖]問題1上面探究點1中92t,a2,0.9p,13a2h出92t,a2,0.9p,13a2h的數字因數分別是什么?分別是92,1,0.9,13.[教學提示]強調單項式的系數包括它前面的符號，例如-7xy2的系數是-7,而不是7.引出單項式的次數的概念對于這些單項式中的數字因數，我們在數學中這么定義：單項式的系數：單項式中的數字因數叫作這個單項式的系數.注意：①單項式表示數與字母相乘時，通常把數寫在前面，如92t.②單項式的系數是1或-1時，1通常省略不寫，如a3,-x.問題2指出單項式a2的系數.它的系數是1.Ⅱ.單項式的次數2問題1說一說單項式92t,a2,0.9p,a2h中，各個字母的指數是多少?對于每個單項式中各個字母的指數的和，我們在數學中這么定義：單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫作這個單項式的次數.如果一個單項式的次數是n,那么稱這個單項式是n次單項式.注意：對于一個非零的數，規定它的次數為0.問題2分別指出單項式92t,a2,0.9p,13a2h的次數，并說一說它們分別是幾次單項式.問題3試指出單項式-6的次數.它的次數是0.【對應訓練】教材P91練習第1題.[教學提示]強調單項式的次數是指式子中所有的字母的指數的和，而且僅僅與字母有關.例如52x3y4,它的次數是3+4=7,與5的指數無關.[設計意圖]引出單項式的次數的概念.【教學過程】例1)用單項式填空，并指出它們的系數和次(2)一個長方體包裝盒的長、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則這個長方體包裝盒的體積為 cm3.(4)《北京2022年冬奧會——冰上運動》是為了紀念北京2022年冬奧會冰上運動發行的郵票，郵票1套共5枚，價格為6元，其中一種版式為一張10枚(2套)(見教材P90例1圖).某中學舉行冬奧會有獎問答活動，買了m張這種版式的郵票作為獎品，共花費元.(5)《中華人民共和國國旗法》規定，國旗旗面為紅色長方形，其長與高之比為3:2,有五種通用尺度(即尺寸規格).若一種尺度的國旗的長為acm,則這種尺度的國旗旗面的面積為cm2.解：(1)12ah,它的系數是12,次數是2.(2)xyz,它的系數是1,次數是3.(3)-n,它的系數是-1,次數是1.(4)12m,它的系數是12,次數是1.(5)23a2,它的系數是23,次數是2.【對應訓練】教材P91練習第2題.[教學提示]第(1)(2)小題列式時可先讓學生回顧下小學學過的面積、體積公式.第(3)小題理解相反數的含義就能做出來.第(4)(5)小題是實際問題，學生答題時可能會遇到障礙，教師應引導學生理解關鍵性語句.第(4)小題關鍵是要理解這種版式的郵票一張10枚(2套),那么價格是12元(2×6);第(5)小題關鍵是要求出高，注意理解關鍵語句“長與高之比為3:2”.[設計意圖]練習用單項式表示數量關系，并鞏固單項式的系數與次數的概念【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么樣的代數式是單項式?2.單項式的系數和次數是怎樣判斷的?3.你能列單項式表示特定的數量關系嗎?【作業布置】1.教材P93習題4.1第1,2,5題.【教學后記】3第2課時：單項式【素養目標】1.理解多項式、整式的概念.2.能確定一個多項式的項數和次數.3.能用多項式表示實際問題中的數量關系，發展應用意識.【教學重點】多項式及整式的有關概念.【教學難點】確定多項式的項數和次數.【教學過程】【回顧導入】下面哪些式子是單項式?并指出單項式的系數與次數.單項式有3,π,a2b,它們的系數分別是：3,π,1,13.它們的次數分別是：0,0,3,1.上面還有一些式子不是單項式，它們是我們今天要學習的對象.[教學提示]對于非單項式的式子，讓學生先觀察它們的特征.[設計意圖]回顧單項式的有關概念，同時引出多項式的學習.活動二：交流討論，探究新知探究點多你能說一說這些式子與單項式有什么區別?有加減運算.下面的代數式中被圈住的部分是不是單項式?這些代數式與被圈住的部分有什么關系?被圈住的部分均是單項式，這些代數式是被圈住的單項式的和.概念引入：1.多項式及其相關概念：像這樣，幾個單項式的和叫作多項式.其中，每個單項式叫作多項式的項，不含字母的項叫作常數項.多項式里，次數最高的項的次數，叫作這個多項式的次數.2.整式：單項式與多項式統稱整式.問題2觀察表格中的多項式，仿照已經給出的例子，完成剩余的填空：項(項數)2n,-10(2項)x2,2x,8(3項)2a,3b(2項)12ab,-πr2【對應訓練】(1)在教學多項式的概念時，要注意和單項式的概念進行比較，通過比較兩者之間的相同點和不同點，掌握兩個概念之間的聯系與區別.(2)多項式的項是單項式，對每個單項式來說都有系數，因此，多項式的每一項都有系數，但對常數項不說系數，對多項式來說，沒有系數的概念.(3)單項式、多項式、多項式的項都有次數，教學中，要注意使學生理解它們之間的聯系與區別.[設計意圖]引入多項式及整式的有關概念，進一步強化符號意識.活動三：融會新知，鞏固提升例(教一個長方形相鄰兩條邊的長分別為a,b,則這個長方形的周長為4某公司向某地投放共享單車，前兩年每年投放a輛，為環保和安全起見，從第三年年初起不再投放，且每個月回收b輛.第三年年底，該地區共有這家公司的共享單車的輛數為現存于陜西歷史博物館的我國南北朝時期的官員獨孤信的印章如圖所示，它由18個相同的正方形和8個相同的等邊三角形圍成.如果其中正方形和等邊三角形的邊長都為a,等邊三角形的高為b,那么這個印章的表面積為解：(1)2a+2b,它的項分別為2a,2b,次數是1.(2)m3-2,它的項分別為m3,-2,次數是3.(3)2a-12b,它的項分別為2a,-12b,次數是1.(4)18a2+4ab,它的項分別為18a2,4ab,次數是2.【對應訓練】教材P93練習第3題.[教學提示]給學生強調，列多項式時，注意找準數量關系.比如，在(3)中，前兩年共投放2a輛，第三年每個月回收b輛，一年有12個月，共回收12b輛，故第三年年底還剩余(2a-12b)輛.在(4)中，印章的表面積等于18個正方形的面積與8個等邊三角形面積的和.[設計意圖]用多項式表示數量關系，強化應用意識【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么樣的式子是多項式?2.什么叫多項式的項?其中什么叫常數項?3.怎樣判斷多項式的項數和次數?4.什么是整式?【作業布置】1.教材P94習題4.1第3,4,6,7,8,9題.【教學后記】第1課時：合并同類項【素養目標】1.理解多項式中同類項的概念，會識別同類項.2.掌握合并同類項的法則.3.體會合并同類項給計算求值帶來的簡化作用，提升運算能力.【教學重點】同類項的概念，合并同類項的法則.【教學難點】找出同類項并合并.【教學過程】【情境引入】數能進行加減運算，整式中的每個字母都表示數，這樣，整式與數一樣，也可以進行加減運算.我們來看本章引言中的問題(2).5汽車從香港口岸到西人工島包含兩段路程，一段為香港口岸到東人工島，另一段為海底隧道.如果汽車通過海底隧道需要ah,那么從香港口岸到東人工島所需時間是1.25ah,香港口岸到西人如何計算72a+120a呢?下面我們類比數的運算，討論整式72a,120a的加法運算.[教學提示]這里明確指出“類比數的運算”,教學中要注意落實，使學生體會"數式通性".[設計意圖]問題1(教材P95探究(1))運用運算律計算：72×(-2)+120×(-2)=(72+120)×(-2)=192×(-2)=-384.可以用分配律簡便計算，計算過程及結果如上.問題2(教材P95探究(2))根據問題1中的方法完成下面的運算，并說明其中的道理：運算過程及結果如上，道理如下：問題3(教材P96探究)填空：[教學提示](2)教學時要注意引導學生：類比數的運算進行式的運算.讓學生體會由數到式、由具體到一般的思想方法.[設計意圖]類比數的運算，得出式的運算方法，強化運算能力.【教學過程】[設計意圖]問題4在問題3中，每一組算式中的兩項，它們含有的字母有什么特點?概念引入：像72a與-120a,3m2與2m2,3xy2與-4xy2這樣，所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫作同類項.幾個常數項也是同類項.【對應訓練】判斷每一組是不是同類項，不是則為前者配一個同類項.對于問題3及對應訓練，教師可向學生強調：同類項只與字母及其指數有關，與系數無關，與字母在單項式中的排列順序也無關.引出同類項的概念.[設計意圖]探究點2合并同類項問題1觀察探究點1中問題3中的三組式子，它們的系數在運算中有什么規律?你能從中得到什么啟示?規律：等號左邊各項的系數的和等于運算結果的系數.啟示：多項式中的字母表示的是數，所以我們也可以利用交換律、結合律、分配律把多項式中的同類項進行合并.問題2對于式子4x2+2x+7+3x-8x2-2,你認為如何進行同類項的合并?=4x2-8x2+2x+3x+7-2(交換律)=(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)(結合律)=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)(分配律)=-4x2+5x+5.(合并同類項)知識引入：6合并同類型的概念：把多項式中的同類項合并成一項，叫作合并同類項.的指數不變.例(教材P96例1)合并下列各式的同類項：(2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2.【對應訓練】(1)交換多項式中項的位置時，要提醒學生注意項的符號.(2)教師適時帶著學生總結合并同類項的步驟：面的符號一起畫；四排：合并后的結果按某一個字母降冪(或升冪)的順序排列.[教學提示]根據運算律，得出合并同類項的法則.[設計意圖]加強對合并同類項法則的掌握，強化運算能力.【教學過程】活動三：熟練運用，鞏固提升例1(教材P97例2)(1)求多項式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值，其中x=12;計算.解：(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2=-x-2.當x=12時，原式=-12-2=-52.當a=-16,b=2,c=-3時，原式=(-16)×2×(-3)=1.例2(教材P97例3)(1)水庫水位第一天(2)某商店原有5袋大米，每袋大米為xkg.上午售出3袋，下午又購進同樣包裝的大米4袋.進貨后這個商店有大米多少千克?cm,第二天水位的變化量是0.5acm.由7可知，這兩天水位總的變化情況為下降了1.5acm.(2)把進貨的數量記為正，售出的數量記為負，則上午大米質量的變化量是-3xkg,下午大米質量的變化量是4xkg.由可知，進貨后這個商店有大米6xkg.【對應訓練】教材P98練習第2,3題.[教學提示]教學時，可讓學生直接代入求值，并與例題的解答方法比較，使學生對“先化簡，再求值，可以簡化計算”有深刻印象.[教學提示]讓學生注意題中用負數表示了相反意義的量[設計意圖]進一步鞏固對合并同類項的掌握，并體會它在簡化計算方面的作用[設計意圖]通過合并同類項解決實際問題，強化應用意識.活動四：隨堂訓練，課堂總結【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是同類項?2.合并同類項的法則是怎樣的?3.合并同類項依據的運算律是什么?4.合并同類項可以簡化計算嗎?【作業布置】1.教材P102習題4.2第1,8,9,10,11題【教學后記】第2課時：去括號【素養目標】1.類比數的運算，找出去括號時的符號變化規律，培養類比歸納的能力.2.熟練掌握去括號法則，并利用去括號法則將整式化簡，加強運算能力.【教學重點】去括號法則.【教學難點】括號前面是“-”號時，去括號后的符號變化.【教學過程】活動一：回顧情境引入新知【回顧情境】與數的運算一樣，進行整式的運算時也會遇到去括號的問題.我們來看本章引言中的問題(3).汽車通過主橋的行駛時間是bh,那么汽車在主橋上行駛的路程是92bkm;通過海底隧道所需時間比通過主橋的時間少0.15h,那么汽車在海底隧道行駛的時間是(b-0.15)h,行駛的路程是72(b-0.15)km.因此，主橋與海底隧道長度的和(單位：km)為92b+72(b-0.15),①主橋與海底隧道長度的差(單位：km)為上面的代數式①②都帶有括號，應如何化簡它們?這就是我們今天要學習的內容.[教學提示]教師引導學生回憶，在有理數的運算中，我們是如何處理括號問題的，再讓學生思考，對于含字母的式子，碰到這種括號，能否同樣處理?8[設計意圖]引入去括號的問題.活動二：交流討論，探究新知探究點去括號問題1運用運算律寫出兩個式子的下一步算式：(2)92×2-72×(2-0.15)=184+(-72)×2+(-72)×(-0.15).問題2按照問題1的運算方法，將活動一中兩個代數式①②化簡.說一說你是怎么做的?92b+72(b-0.15)=92b+92b-72(b-0.15)=92b-72b+10.8=20b+10.8.由于字母表示的是數，所以可以利用分配律，將括號前的乘數與括號內的各項相乘，去掉括號，再合并同類項.知識引入：去括號法則：一般地，一個數與一個多項式相乘，需要去括號.去括號就是用括號外的數乘括號內的每一項，再把所得的積相加.+(x-3)與-(x-3)可以看作1與-1分別乘(x-3).【對應訓練】教材P100練習第1,2題.[教學提示](1)注意引導學生與數的運算進行比較，讓學生看到，式子中的字母表示數，數的運算中去括號的方法在式的去括號中仍然適用.(2)①去括號時，要注意括號外系數的符號，利用分配律和乘法符號法則(同號得正，異號得負)來確定去括號后各項的符號；②去掉括號后，括號內各項的符號，要變則都變，要不變則都不變；③括號內原有幾項，去掉括號后仍有幾項，不要漏乘括號內任何一項.[設計意圖]類比數的運算，總結去括號法則，強化運算能力.【教學過程】例1(教材P99例4)化簡：(2)(4y-5)-3(1-2y)=4y-5-3+6y=10y-8.例2(教材P99例5)兩船從同一港口同時出發反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h,水流速度是akm/h.(2)2h后甲船比乙船多航行多少千米?解：順水航速=船速+水速=(50+a)km/h,逆水航速=船速-水速=(50-a)km/h.(1)由2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200(2)由2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a可知，2h后甲船比乙船多航行4akm.【對應訓練】教材P100練習第3,4題.[教學提示]讓學生回答：為什么-3×(-2y)=6y?(根據有理數乘法法則可知)[教學提示]教師引導學生回顧，船在水中航行時，順水、逆水情況下，航速與船速和水速的關系分別是怎樣的，再由學生自主解答問題.[設計意圖]鞏固去括號法則，強化運算能力和應用意識.活動四：隨堂訓練，課堂總結9【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.去括號時運用的是什么運算律?2.去括號的方法是怎樣的?3.關于整式的運算，我們已經學過了哪兩種法則?【作業布置】1.教材P102習題4.2第2,6題.【教學后記】第3課時整式的加減【素養目標】1.掌握整式加減的運算法則，提升運算能力.2.能根據題意列出式子，用整式的加減解決實際問題，發展應用意識.【教學重點】整式加減的運算法則【教學難點】準確列式，用整式加減運算解決實際問題.【教學過程】【回顧導入】我們前面學習了合并同類項和去括號的法則.請大家算一算：(1)2ab2+3ab2;(2)2x+3y-3(x-y).(2)2x+3y-3(x-y)=2x+3y-3x+3y=-x+6y.合并同類項和去括號是進行整式加減運算的基礎，利用它們就可以進行整式的加減運算.[教學提示]在完成兩個小題的過程中，老師帶領學生回顧合并同類項和去括號的法則.[設計意圖]為整式加減運算的學習做好準備.活動二：交流學習，掌握新知探究點整式的加減運算例1(教材P100例6)計算：(1)(2x-3y)+(5x+4y);解：(1)(2x-3y)+(5x+4y)=2x-3y+5x+4y……去括號=4a-2b.……合并同類項問題結合上面兩小題的解題步驟，說一說：整式加減一般要先做什么?再做什么?先去括號，再合并同類項.例2(教材P100例7)做大、小兩個長方體紙盒，尺寸如表所示.(1)做這兩個紙盒共用紙多少平方厘米?(2)做大紙盒比做小紙盒多用紙多少平方厘米?分析提問：(1)求紙盒用紙量實質上是求什么?求紙盒的表面積.(2)說一說長方體的表面積計算公式是怎樣的?長方體表面積=2×長×寬+2×寬