2025年北京市海淀區高三上學期期末數學試卷本試卷共9頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A B.C. D.2.在的展開式中，的系數為（）A. B. C. D.3.若復數滿足，則（）A. B. C. D.4.拋物線的焦點為，點在上，則（）A. B. C. D.5.已知直線與圓交于兩點，則（）A. B. C. D.6.已知等差數列的前項和為，，則（）A. B. C. D.7.已知橢圓的焦點在軸上，點，則（）A.在外 B.的長軸長為C.在內 D.的焦距為8.設函數，則“”是“沒有極值點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.如圖，正方體的棱長為2，分別為棱的中點，為正方形邊上的動點（不與重合），則下列說法中錯誤的是（）A.平面截正方體表面所得的交線形成的圖形可以是菱形B.存在點，使得直線與平面垂直C.平面把正方體分割成的兩個幾何體的體積相等D.點到平面的距離不超過10.2023年，甲、乙兩公司的盈利規律如下：從2月份開始，甲公司每個月盈利比前一個月多200萬元；乙公司每個月盈利比前一個月增加.記甲、乙兩公司在2023年第個月的盈利分別為，（單位：萬元）.已知，，則最大時，的值為（）（參考數據：，）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.雙曲線的漸近線方程為__________．12.已知向量，，則_________，的最小值為_________.13.已知為等腰三角形，且，則_________.14.已知函數存在最小值，則的取值范圍是_________.15.已知曲線.給出下列四個結論：①曲線關于直線對稱；②曲線上恰好有個整點（即橫、縱坐標均是整數的點）；③曲線上存在一點，使得到點的距離小于；④曲線所圍成區域的面積大于.其中，所有正確結論序號為_________.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數.（1）求曲線的兩條對稱軸之間距離的最小值；（2）若在區間上的最大值為，求的值.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，，是的中點，在棱上，且平面.（1）求證：是的中點；（2）再從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.條件①：平面平面；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.18.某校為評價學生參加選修課的學習效果，組織了選修課學習的過程性評價測試.選修課程甲的所有學生的原始成績統計如下：原始成績8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112（1）從這12名學生中隨機抽取2人，求這2人原始成績不同的概率；（2）對課程甲采取“四分位數賦分法”進行賦分，記選修該課程的總人數為，規定原始成績排名為的學生賦分成績如下：當時，賦分成績為100分；當，賦分成績為85分；當時，賦分成績為70分；當時，賦分成績為60分.①從課程甲的原始成績不低于的學生中隨機抽取人，記為這人賦分成績之和，求的分布列和數學期望；②選修課程乙的所有學生的原始成績統計如下：原始成績9.7588757.565.755.75排名12244677原始成績54.754.54.542543.753.5排名910111113141516對課程乙也采取“四分位數賦分法”進行賦分.現從課程甲、課程乙的學生中分別隨機抽取1人，記這2人的賦分成績分別為，直接寫出數學期望和的大小關系.19.已知橢圓的左頂點為，離心率.（1）求的標準方程；（2）設點為上異于頂點的一點，點關于軸的對稱點為，過作的平行線，與的另一個交點為.當與不重合時，求證：.20.已知函數.（1）當時，求的定義域；（2）若在區間上單調遞減，求取值范圍；（3）當時，證明：若，，則