2024—2025學年河北省衡水中學高三上學期第五次綜合素養數學試卷

一、單選題(★)1.已知復數滿足，則的虛部為（）

A．B．C．D．(★★)2.在中，，則（）

A．B．C．D．(★★★)3.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺.已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為1和2，側棱與底面所成的角為，則該四棱臺的體積是（）

A．B．C．D．(★★)4.已知等差數列的前項和為，若，且，則（）

A．60B．72C．120D．144(★★★)5.已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面α，β，則下列條件能推出的是（）

A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且(★★★)6.函數，若，則實數a的取值范圍是（）

A．B．C．D．(★★)7.當時，函數取得最大值，則（）

A．B．C．D．1(★★★)8.已知正方體為下底面的中心，為棱的中點，則下列說法錯誤的是（）

A．直線與直線所成角為B．直線與直線所成角為C．直線平面D．直線與底面所成角為二、多選題(★★★)9.已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則(★★★)10.已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且為奇函數，則（）

A．的圖象關于對稱B．C．D．(★★★)11.已知中，，，E，F分別在線段BA，CA上，且，．現將沿EF折起，使二面角的大小為．以下命題正確的是（）

A．若，，則點到平面的距離為B．存在使得四棱錐有外接球C．若，則棱錐體積的最大值為D．若，三棱錐的外接球的半徑取得最小值時，三、填空題(★★★)12.河北省正定縣的須彌塔是中國建筑寶庫的珍貴遺產，是我國建筑之精品，是中國古代高超的建筑工程技術和建筑藝術成就的例證．一名身高的同學假期到河北省正定縣旅游，他在處仰望須彌塔尖，仰角為，他沿直線（假設他的行走路線和塔底在同一條直線上）向塔行走了后仰望須彌塔尖，仰角為，據此估計該須彌塔的高度約為_____________m．（參考數據：，結果保留整數）(★★★)13.如圖，圓與軸的正半軸的交點為，點，在圓上，且點位于第一象限，點的坐標為，.若，則的值為____________.(★★★)14.曲線在，兩點處的切線分別為，，且，則______；若，交點的橫坐標為，則______．四、解答題(★★)15.已知的面積為，為邊的中點，，．(1)求的長；(2)求角的正弦值．(★★★)16.已知函數．(1)討論的單調性；(2)當時，設為兩個不相等的正數，且滿足，證明：．(★★★)17.已知等差數列前項和為（），數列是等比數列，，，，.(1)求數列和的通項公式；(2)若，設數列的前項和為，求.(★★★)18.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且、分別是、上靠近的三等分點．(1)求證：；(2)在上是否存在一點，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(★★★★★)19.設是定義域為且圖象連續不斷的函數，若存在區間和，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為“山峰函數”，為“峰點”，稱為的一個“峰值區間”．(1)判斷是否是“山峰函數”？若是，請指出它的一個峰值區間；若不是，請說明理由；(2)已知是山峰函數，且是它的