高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省自貢市2023-2024學年高二上學期期末數學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知點，向量，則向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，則.故選：A.2.已知直線的方程為，則下列說法正確的是（）A.傾斜角為 B.傾斜角為C.方向向量可以為 D.方向向量可以為【答案】A【解析】因為斜率，令，則，故A正確，B錯誤；方向向量時，斜率，故C錯誤；方向向量為時，斜率，故D錯誤；故選：A.3.在正方體中，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，不妨設，則，則，故，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.4.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】曲線表示橢圓，即或.或，“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B．5.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分，過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上，由橢圓一個焦點發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知，，，則光從焦點出發經鏡面反射后到達焦點經過的路徑長為（）A.5 B.10 C.6 D.9【答案】B【解析】如圖，以的中點為坐標原點建立平面直角坐標系，設橢圓的方程為，，當時，，解得，因為，，所以，所以，①又因，所以，②由①②解得，所以光從焦點出發經鏡面反射后到達焦點經過的路徑長為.故選：B.6.已知平面直角坐標系中函數的圖象是雙曲線C，將曲線C繞原點順時針旋轉得到曲線，則（）A. B.C D.【答案】B【解析】因為的兩條漸近線，所以順時針旋轉后的漸近線為，所以，即，設與的交點為，令，解得或，所以，，旋轉后為雙曲線的左右頂點，所以，所以，故選：B.7.下列命題中真命題是（）A.如果不同直線m、n都平行于平面，則m，n一定不相交B.如果不同直線m，n都垂直于平面，則m，n一定平行C.如果平面、互相平行，若直線，直線，則D.如果平面、互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若，則【答案】B【解析】對于A，如果不同直線m、n都平行于平面，則m、n可能平行、相交或異面，A錯誤；對于B，如果不同直線m，n都垂直于平面，根據線面垂直的性質知m，n一定平行，正確；對于C，如果平面、互相平行，若直線，直線，則或異面，C錯誤；對于D，如果平面、互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若，則或或，也可能和相交但不垂直，D錯誤，故選：B8.已知，是圓上的兩個動點，且，則，兩點到直線的距離之和的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以為直角三角形，為斜邊，設線段的中點為，則，從而在圓上，設，兩點到直線的距離之和為，到直線的距離為，由題意得，圓的圓心到直線的距離為，所以，即，所以．故選：D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.已知雙曲線，則雙曲線（）A.焦點坐標為和B.漸近線方程為和C.離心率為D與直線有且僅有一個公共點【答案】CD【解析】A：因為，所以，所以焦點坐標為，故A錯誤；B：因為，所以漸近線方程為，即，故B錯誤；C：因為，所以，故C正確；D：因為與漸近線平行，所以與雙曲線有且僅有一個交點，故D正確；故選：CD.10.如圖，已知三棱錐的截面平行于對棱．下列命題正確的有（）A.四邊形是平行四邊形B.當時，四邊形是矩形C.當時，四邊形是菱形D.當時，四邊形周長為4【答案】ABD【解析】由平面，平面平面，平面，得，同理，于是，同理，因此四邊形是平行四邊形，A正確；當時，則，平行四邊形是矩形，B正確；由，得，由，得，又，則，而與不一定相等，因此與不一定相等，即平行四邊形不一定是菱形，C錯誤；由選項C知，，，兩式相加得，即，所以平行四邊形的周長為4，D正確.故選：ABD11.如圖，在邊長為2的正方形中，點是的中點，點是的中點，將分別沿折起，使三點重合于點，則下列判斷正確的是（）A.B.平面平面C.三棱錐的體積是D.三棱錐的外接球的體積是【答案】ABD【解析】正方形中，，，折起后，有，平面，∴平面，又平面，所以，故A正確；因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正確；折疊后可知三條直線兩兩垂直，，，，故C錯誤；由三條直線兩兩垂直，如圖，補全長方體，則長方體的體對角線即為三棱錐的外接球的直徑，設三棱錐的外接球的半徑為，則，所以，所以三棱錐的外接球的體積是，故D正確.故選：ABD.12.過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，過點作拋物線的切線，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.當時，C.以線段為直徑的圓與直線相切D.當最小時，切線與準線的交點坐標為【答案】ACD【解析】對于A，依題意可設直線的方程為，，，，則，，聯立，消整理得，則，代入得，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故A正確；對于B，結合A可得，，由，得，解得，，故B錯誤；對于C，由題意得拋物線準線方程為，焦點，設，，在準線上的射影為，，，則，，，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故C正確；對于D，結合A可得，當最小時，不妨取，則可設切線的方程為，聯立，消整理得，則，解得，所以切線的方程為，聯立，解得，，即切線與準線的交點坐標為，故D正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡的橫線上）13.離心率的雙曲線與橢圓有公共焦點，則該雙曲線實軸長為______．【答案】8【解析】橢圓的半焦距，依題意，雙曲線的半焦距為，而雙曲線的離心率，則雙曲線實半軸長，所以該雙曲線的實軸長為.故答案為：814.在正方體中，平面，若，則_______．【答案】【解析】在正方體中，連接，連接，顯然平面平面，平面平面，則，即，又正方體的對角面是矩形，即有，于是，所以.故答案為：15.過點的直線與拋物線交于不同兩點A、B．則______．（O為坐標原點）【答案】0【解析】依題意，直線不垂直于軸，設直線的方程為，由消去x并整理得，設，則，所以.故答案為：016.如圖，圓柱形容器內部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑為圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則每個球的表面積為______．【答案】【解析】設球半徑為，依題意，，解得，所以一個小球的表面積為.故答案為：四．解答題（本大題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.設是等差數列，若．（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和及其最值．解：（1）設公差為，由，得，解得，所以；（2）設數列的前項和為，則，函數的對稱軸為，所以，無最小值.18.設圓C圓心在直線上，圓C與直線相切于點（1）求圓C的方程；（2）過點的直線與圓C相交于A、B．若，求直線AB的方程．解：（1）由圓C與直線相切于點，得圓心在垂直于直線的直線上，則直線的斜率為1，方程為，即，由，解得，即點，圓的半徑，所以圓C的方程為.（2）由（1）知，圓：，由弦長為2，得圓心到直線的距離，當直線斜率不存在時，直線方程為，顯然點到此直線距離為1，符合題意，當直線的斜率存在時，設方程為，即，由，解得，即直線方程為，所以直線方程為或.19.如圖，AB是的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一點，且（1）求證：平面；（2）求二面角大小的余弦值．解：（1）由AB是的直徑，得，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面內，得，而平面，所以平面.（2）在平面內過作于，在平面內過作于，連接，由（1）知，平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，而平面，因此平面，而平面，則，從而是二面角的平面角，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面內，則，由，得，，則，，在中，，，所以二面角大小的余弦值.20.雙曲線左右焦點分別為，若雙曲線C經過點且一條漸近線方程為．（1）求雙曲線C的方程；（2）過作傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，求的面積（為坐標原點）．解：（1）由題意可得，，解得，所以雙曲線C的方程為；（2），則直線的方程為，即，則原點到直線的距離，設，聯立，消得，，則，所以，所以的面積.21.如圖，三棱柱中，側棱底面ABC，且各棱長均相等，D，E，F分別為棱AB，BC，的中點．（1）證明平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）在三棱柱中，連接，由分別為的中點，得且，而且，又為的中點，則且，于是且，因此四邊形是平行四邊形，則，而平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，側棱底面，且各棱長均相等，令，取中點，連接，而為中點，則，有底面，由正，得，顯然直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量，則，令，得，令直線與平面所成的角為，于是，所以直線與平面所成角的正弦值.22.已知橢圓的左右焦點分別，若______．請把以下兩個條件中任選一個補充在橫線上作答（若都選擇，則按照第一個解答給分）①四點中，恰有三點在橢圓C上．②橢圓C經過，軸，且．（1）求橢圓C的方程；（2）設點D為橢圓C的上頂點，過點D作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A、B兩點，過D作直線AB的垂線垂足為M，判斷y軸上是否存在定點N，使得為定值？請證明你的結論．解：（1）若選①：因為中有三點在橢圓上，由于關于原點對稱，所以均在橢圓上，又因為的橫坐標相同，所以不在橢圓上，在橢圓上，所