高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2024-2025學年高二上學期期末調研考試數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3．考試結束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為向量，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為故選：A．2.若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若直線l的方向向量是，則直線l的斜率，所以，則或.故選：D.3.已知拋物線和雙曲線的公切線（是與拋物線的切點），與拋物線的準線交于，為拋物線的焦點，若，則拋物線的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖過作拋物線的準線于，根據拋物線的定義可知，，，在中，，，即直線的斜率為1，故設的方程為：，由，消去得，則，解得，即，由得，，得，則拋物線的方程是，故選：A．4.若為雙曲線的左焦點，過原點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得,,,則左焦點,右焦點,因為題中給出為雙曲線左焦點,則,,又因為雙曲線與過原點的直線都關于原點對稱,所以,又根據雙曲線的定義,所以,設，所以,設,,令,解得或,（）,所以在單調遞減,在單調遞增,,,所以的取值范圍為,則的取值范圍是,故選：D5.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，甲是否擊中對乙沒有影響，設“甲中靶”，“乙中靶”，則（）A.與，與，與，與都相互獨立B.與是對立事件C.D.【答案】A【解析】對于A，兩人射擊結果沒有相互影響，與，與，與，與都相互獨立，A正確；對于B，表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其對立事件為“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，表示事件“乙中靶且甲未中靶”，與不是對立事件，B錯誤；對于C，與相互獨立，，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：A.6.下列命題中正確的是（

）A.點關于平面對稱的點的坐標是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則D.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為【答案】D【解析】對于A，點關于平面對稱的點的坐標是，A選項錯誤；對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，因為，所以，則或，B選項錯誤；對于C，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則，解得，C選項錯誤；對于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，D選項正確；故選：D.7.以下四個命題表述正確的是（）①若點，圓的一般方程為，則點A在圓上②圓的圓心到直線的距離為2③圓與圓外切④兩圓與的公共弦所在的直線方程為A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【解析】將點代入圓方程，滿足，故①正確；圓的圓心為，到直線的距離為，②錯誤；圓，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑為，圓心距為，故③正確；兩圓與方程相減得到，即公共弦方程為：，④錯誤.故選：B.8.等腰直角內接于拋物線,其中為拋物線的頂點,，的面積為16，為的焦點，為上的動點，則的最大值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】設等腰直角三角形的頂點，，則，．由得：，，即，，，，，即關于軸對稱．直線的方程為：，與拋物線聯立，解得或，故，．的面積為16，；焦點，設，則，，設到準線的距離等于，則．令，，則（當且僅當時，等號成立）．故的最大值為，故選．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某高中舉行的數學史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數據用該組區間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（）A.考生參賽成績的平均分約為72.8分B.考生參賽成績的第75百分位數約為82.5分C.分數在區間內的頻率為0.2D.用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區間應抽取30人【答案】BC【解析】對于A，平均成績為，A錯誤；對于B，由頻率分布直方圖知，分數在內的頻率為0.7，在內的頻率為0.9，因此第75百分位數位于內，第75百分位數為，B正確；對于C，分數在區間內的頻率為，C正確；對于D，區間應抽取人，D錯誤故選：BC10.已知為坐標原點，拋物線的焦點為為上第一象限的點，且，過點的直線與交于兩點，圓，則（）A.B.若，則直線傾斜角的正弦值為C.若的面積為6，則直線的斜率為D.過點作圓的兩條切線，則兩切點連線的方程為【答案】ACD【解析】設Ax0,y0，則，則，故，故設直線，聯立則，設，則，故.，解得，則直線傾斜角的正弦值為，故B錯誤；，解得，則直線的斜率為，故C正確；由上述分析可知，，圓可化為，圓心，半徑，易知為其中一條切線，切點為，且兩切點連線與垂直，，兩切點連線的斜率為，故兩切點連線為，即，故D正確.故選：ACD11.如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱的中點，點為線段上的一點，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.直線與所成角的余弦值為C.平面與平面夾角的余弦值為D.點到直線的距離的最小值為【答案】AC【解析】以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，，，；對于A，，，，，，，，又，平面，平面，平面，平面平面，A正確；對于B，，，，即直線與所成角的余弦值為，B錯誤；對于C，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，，平面，平面的一個法向量為，，平面與平面所成角的余弦值為，C正確；對于D，，設，則，，又，，到直線的距離，當時，，即點到直線距離的最小值為，D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．12.A，兩名乒乓球選手進行決賽，根據賽前兩位選手的統計數據，在一局比賽中獲勝的概率是，若采用“五局三勝制”，則選手獲勝的概率為_______________.【答案】【解析】若比賽進行了3局，則A獲勝的概率是；若比賽進行了4局，A獲勝的概率是；若比賽進行了5局，A獲勝的概率是.故選手獲勝的概率為.故答案為：.13.若點在橢圓上，則稱點為點的一個“橢點”.已知直線與橢圓相交于兩點，且兩點的“橢點”分別為，以線段為直徑的圓經過坐標原點，則的值為_____．【答案】【解析】設，，則，，以線段為直徑的圓經過坐標原點，，由得：，，即，，，，，解得：（滿足），的值為.故答案為：.14.已知橢圓的左右頂點分別為，，且，為上不同兩點（，位于軸右側），，關于軸的對稱點分別為為，，直線、相交于點，直線、相交于點，已知點，則的最小值為_____________．【答案】【解析】設點，則，，則，，，點的軌跡方程為，即點的軌跡方程為，同理可得，點也在雙曲線上，點恰為雙曲線的左焦點，設雙曲線的右焦點為，根據雙曲線定義可得：，當且僅當三點共線時，即得，的最小值為．故答案為:．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在平行六面體中,設,,，分別是的中點.（1）用向量表示；（2）若，求實數x，y，z的值.解：（1）在平行六面體中，，由分別是的中點，得.（2），而，且不共面，所以.16.為了建設書香校園，營造良好的讀書氛圍，學校開展“送書券”活動該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結果互不影響.連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券.游戲規則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球顏色和數量大小質地完全相同的紅球3個，白球2個（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）取球規則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）當時，求游戲三的獲勝概率；（3）一名同學先玩了游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大.解：（1）設事件“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，游戲一中取出一個球的樣本空間為，則，因為，所以，.所以游戲一獲勝的概率為.游戲二中有放回地依次取出兩個球的樣本空間，則，因為，所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為.（2）游戲三中不放回地依次取出兩個球的樣本的個數為，時，樣本的個數為2，所以所求概率為；（3）設“先玩游戲二，獲得書券”，“先玩游戲三，獲得書券”，則，且，，互斥，相互獨立，所以又，且，，互斥，所以若要接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率大，則，所以，即.進行游戲三時，不放回地依次取出兩個球的所有結果如下表：第二次第一次1234512345當時，，舍去當時，，滿足題意，因此的所有可能取值為.17.在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在軸上的圓經過兩點和，直線的方程為.（1）求圓的方程；（2）當時，為直線上的定點，若圓上存在唯一一點滿足，求定點的坐標；（3）設點A，B為圓上任意兩個不同的點，若以AB為直徑的圓與直線都沒有公共點，求實數的取值范圍.解：（1）設圓的方程為，將M，N坐標帶入，得：，解得，所以圓的方程為.（2）設，，由，即，化簡得，由題意，此圓與圓C相切，故，解得，所以或（3）記以AB為直徑的圓為圓M，設圓M上有一動點，設，則圓M的半徑，于是，其中為的夾角，.因為，所以.故點在以為圓心，為半徑的圓的內部(含邊界)，所以點C到直線l的距離，即，解得.18.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形ACFE為矩形，平面平面，，點M是線段EF的中點．（1）求平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值；（2）求出直線CD到平面MAB的距離．解：（1）因為在梯形ABCD中，，，，如圖，過C作交AB于G，則四邊形是平行四邊形.可得，.在中，由余弦定理得，所以，得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；因為四邊形ACFE為矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則.如圖，分別以所在直線軸，建立空間直角坐標系，則A3,0,0，，，，，所以，，，，設平面MAB的法向量為，則，取，得，設平面EAD的法向量為，則，取，得，所以．所以平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值為．（2）由，平面，平面，則平面.則直線到平面的距離即為點到平面的距離.由（1）知，，平面的一個法向量，則點到平面的距離.故直