高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市楊浦區2025屆高三上學期模擬質量調研（一模）數學試題一?填空題（本大題滿分54分，共12題，第1—6題每題4分，第7—12題每題5分）1.已知集合，則的子集個數為__________.【答案】4【解析】集合,則集合的子集有：所以集合的子集個數有個.故答案為：4.2.函數的最小正周期是___________．【答案】【解析】的最小正周期是，故答案為：3.不等式的解集為__________.【答案】【解析】分式不等式可以轉化，解得，所以原不等式的解集為.故答案：.4.已知函數是偶函數，則實數的值為__________.【答案】0【解析】由題意可知，由于為偶函數，故，即，即，故，故答案為：05.已知，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】由，當時，上式為，解得（舍），當時，上式為，解得（舍），當時，上式為.所以實數的的取值范圍為.故答案為：.6.已知，若，則向量與的夾角的余弦值為__________.【答案】【解析】設向量與的夾角為，若，則，所以，可得.故答案為：.7.已知一個正四棱錐的每一條棱長都為2，則該四棱錐的體積為__________.【答案】【解析】如圖，正四棱錐，正方形的對角線相交于點，連接，則⊥平面，因為平面，所以⊥，其中，故，所以該四棱錐的體積為.故答案為：8.某次楊浦區高三質量調研數學試卷中的填空題第八題，答對得5分，答錯或不答得0分，全區共4000人參加調研，該題的答題正確率是，則該次調研中全區同學該題得分的方差為__________.【答案】6【解析】同全區同學中答對的人數為人，答錯或不答的人數為人，所以全區同學該題得分的平均數為分，則全區同學該題得分的方差為.故答案為：6.9.將一個半徑為1的球形石材加工成一個圓柱形擺件，則該圓柱形擺件側面積的最大值為__________.【答案】【解析】設圓柱形工件的高為h，底面半徑為r，，則圓柱形工件的側面積為，又因為，當且僅當時等號成立，所以，故答案為：.10.已知，其中實數.若函數有且僅有2個零點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題意可知：有兩根，結合在和都是單調遞增，所以有一解，解得：，有一解，解得：，所以，故答案為：.11.中國探月工程又稱“嫦娥工程”，是中國航天活動的第三個里程碑.在探月過程中，月球探測器需要進行變軌，即從一條橢圓軌道變到另一條不同的橢圓軌道上.若變軌前后的兩條橢圓軌道均以月球中心為一個焦點，變軌后橢圓軌道上的點與月球中心的距離最小值保持不變，而距離最大值擴大為變軌前的4倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2.5倍，則變軌前的橢圓軌道的離心率為__________.（精確到0.01）【答案】【解析】設變軌前的橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，離心率為，變軌后的橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，離心率為，由題意可得，化簡得，即，解得（負值舍去）.故答案為：.12.已知實數，是虛數單位，設集合，集合，如果，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】解法一：由于，設，則，設z對應點，則，所以，其中，當時，該方程的幾何意義為表示所有橢圓的并集，即平面上除去線段的點的集合，其中，集合表示復平面上的圓，圓心為，半徑為a，如果，則該圓與線段無公共點，結合圖形可知的取值范圍為；解法二：先證明：不屬于的復數，恰好是那些區間上的實數.下設是復數.情況一：不是實數，也不是純虛數.設，，并令，.則對，有，即.假設，則，矛盾，所以，從而.又因為，所以.此時，假設：由于，故同理，根據可以得到.對和相加和相減，就能得到，.若假設，則，從而或，這和情況一的定義矛盾，所以.若假設，則，從而，這和情況一的定義矛盾，所以.這就得到，所以，所以，即.這就得到.所以或，無論哪種情況都能得到是實數，故可設.若，則，得是實數，這和情況一的定義矛盾.若，則，得是純虛數，這和情況一的定義矛盾.故前面的假設不成立，所以結合可知，一定存在使得，結合可知.②情況二：是純虛數.此時設，則滿足，且故.③情況三：是實數，且.此時滿足，且，故.④情況四：是實數，且.此時滿足，且，故.⑤情況五：是實數，且.假設，則存在復數使得，且，設.則.從而，，而由可知，所以，故.這就得到，矛盾.所以假設不成立，從而.綜合上面五種情況，就得到了結論：不屬于的復數，恰好是那些區間上的實數.現在回到原題，結合上面的結論，條件等價于中包含的每個實數都不屬于.一方面，若中包含一個實數，滿足.則，，從而.另一方面，若，則實數滿足，.故中包含一個實數，滿足.這就說明，中包含一個實數滿足的充要條件是.所以的取值范圍是.故答案為：.二?選擇題（本大題滿分18分，共4題，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分.）13.已知實數，則“”是“”的（）條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分也非必要【答案】A【解析】由得，解得或，由于或，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A14.如果是獨立事件，分別是的對立事件，那么以下等式不一定成立的是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】對于A,由于是獨立事件，故，A正確，對于B，由于是獨立事件，則也是相互獨立事件，故，B正確，對于C，,故由于不一定為0，故C錯誤，對于D,由于是獨立事件，則也是相互獨立事件，,D正確，故選：C15.小李研究數學建模“雨中行”問題，在作出“降雨強度保持不變”?“行走速度保持不變”?“將人體視作一個長方體”等合理假設的前提下，他設了變量：人的身高人體寬度人體厚度降雨速度雨滴密度行走距離風速行走速度并構建模型如下：當人迎風行走時，人體總的淋雨量為.根據模型，小李對“雨中行”作出如下解釋：①若兩人結伴迎風行走，則體型較高大魁梧的人淋雨是較大；②若某人迎風行走，則走得越快淋雨量越小，若背風行走，則走得越慢淋雨量越小；③若某人迎風行走了秒，則行走距離越長淋雨量越大.這些解釋合理的個數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】①若兩人結伴迎風行走，設體型較高大魁梧的人身高為，寬度為，厚度為，另一人身高為，寬度為，厚度為，則又，，，則，，即，即體型較高大魁梧的人淋雨是較大，①正確；②若某人迎風行走，則，則隨的增大而減小，即走得越快淋雨量越小；若某人逆風行走，則，當時，隨的增大而減小，即走得越快淋雨量越小，當時，，隨的增大而減小，即走得越慢淋雨量越小，當時，淋雨量與無關，②錯誤；③若某人迎風行走了秒，則為定值，且，則，所以隨的增大而增大，即行走距離越長淋雨量越大，③正確；綜上所述合理的解釋有個，故選：C.16.設無窮數列的前項和為，且對任意的正整數，則的值可能為（）A. B.0 C.6 D.12【答案】A【解析】當時，.當時，，所以，兩式相減得：，因為，所以.所以數列的奇數項是以為首項，1為公差的等差數列，且.所以.同理，數列的偶數項是以1為首項，1為公差的等差數列，所以.所以.若，則數列各項均不為0，數列是無窮數列，故A正確；若，這與矛盾，故B錯誤；若，根據奇數項成公差為1的等差數列，則，則無法求出，這與數列是無窮數列矛盾，故C錯誤；若，根據奇數項成公差為1的等差數列，則，則無法求出，這與數列是無窮數列矛盾，故D錯誤.故選：A三?解答題（本大題滿分78分，共5題.）17.如圖，在正方體中，點、分別是棱、的中點.（1）求證：；（2）求二面角的大小.解：（1）證明：如圖所示，連接，，，由為正方體，可知，平面，又平面，，，分別為，中點，，，，且，平面，平面，平面，；（2）設正方體棱長為，法一：如圖所示，設，連接，由（1）得平面，，平面，，，二面角的平面角即為，又，在中，，，所以，所以，所以二面角的余弦值為，即二面角的大小為；法二：如圖所示，以點為坐標原點，，，方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，即，，設平面的法向量n=x,y,z，則，則，令，則，易知平面的一個法向量為，，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為，即二面角的大小為.18.已知的內角所對邊的長度分別為.（1）若，求的面積；（2）若，求的值.解：（1）由，得，由余弦定理得，即，所以，即，所以的面積為.（2）由，由正弦定理得，可得，則，因為，所以，則，又，所以.19.為加強學生睡眠監測督導，學校對高中三個年級學生的日均睡眠時間進行調查.根據分層隨機抽樣法，學校在高一?高二和高三年級中共抽取了100名學生的日均睡眠時間作為樣本，其中高一35人，高二33人.已知該校高三年級一共512人.（1）學校高中三個年級一共有多少個學生？（2）若抽取100名學生的樣本極差為2，數據如下表所示（其中是正整數）日均睡眠時間（小時）8.599.510學生數量3213114求該樣本的第40百分位數.（3）從這100名學生的樣本中隨機抽取三個學生的日均睡眠時間，求其中至少有1個數據來自高三學生的概率.解：（1）設學校高中三個年級一共有個學生,因為采用分層抽樣法抽取一個容量為100的樣本，在高一年級抽取了35人，高二年級抽取了33人，所以高三抽取的人數為：人，又因為高三年級一共512人，所以有：，解得.所以學校高中三個年級一共有1600個學生.（2）因為抽取100名學生的樣本極差為2，所以又因為，所以樣本的第40百分位數為：（3）因為100名學生的樣本中隨機抽取三個學生的總情況數為：其中至少有1個數據來自高三學生的情況為：所以至少有1個數據來自高三學生概率為：20.如圖所示，已知拋物線，點是拋物線上的四個點，其中在第一象限，在第四象限，滿足，線段與交于點.記線段與的中點分別為.（1）求拋物線的焦點坐標；（2）求證：點三點共線；（3）若，求四邊形的面積.解：（1）因拋物線方程為，則焦點坐標為；（2）證明：設.若，則直線AB，CD斜率不存在，由對稱性，可知M，N，H均在x軸上，則三點共線；若，則直線斜率存在，直線方程為：，結合，則，同理可得方程：，方程：，BD方程：.設，因，則.則直線MN與x軸平行，設直線MN與線段AC，BD交點為.將代入直線AC方程，則；將代入直線BD方程，則.注意到，又，則P，Q兩點重合，即P，Q為線段與交點H，且點三點共線；（3）由（2），直線MN與x軸平行，則.又，同理可得，又由（2），則，由，則，即.則.如圖，過B作MN平行線，交CD為E，則四邊形MBEN為平行四邊形，結合，則，.因，則，結合，則，又M為AB中點，則N為DE中點.則，則四邊形的面積.21.已知y=fx是定義域為的函數，實數，稱函數為函數y=fx的“-生成函數”，記作.（1）若，求函數的值域；（2）若，函數滿足對任意的恒成立，求實數的取值范圍；（3）若y=fx滿足：①；②y=fx在0,1上存在導函數y=f'x，且y=f'x在0,1上是嚴格增函數；③對于任意的“-生成函數”的圖像是一段連續曲線，求證：函數在解：（1），，因為，所以，，所以當，即時，取得最小值，最小值為，當，即時，取得最大值，最大值為2，故函