高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市靜安區2025屆高三上學期期末教學質量調研（一模）數學試題本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2024.12一?填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個空格填對得4分，第7小題至第12小題每個空格填對得5分，考生應在答題紙的相應編號后填寫答案，否則一律得零分.1.設集合，則__________.【答案】【解析】集合，所以.故答案為：2.不等式的解集為__________.【答案】【解析】由不等式，得，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：3.已知是虛數單位，是純虛數，則實數的值為__________.【答案】【解析】，因為其為純虛數，則且，解得.故答案為：.4.設是等差數列，，則該數列的前8項的和的值為__________.【答案】36【解析】在等差數列中，，則公差，所以.故答案為：365.到點距離之和為10的動點的軌跡方程為__________.【答案】【解析】依題意，，則點的軌跡是以為左右焦點，長軸長的橢圓，由，得，所以動點的軌跡方程為.故答案為：6.在中，已知，則的值為__________.【答案】【解析】在中，由正弦定理得，而，因此，即，所以.故答案為：7.已知物體的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系，則該物體在時刻的瞬時速度為__________.【答案】2【解析】函數，求導得，則，所以所求瞬時速度為2.故答案為：28.若用替換命題“對于任意實數，有，且等號當且僅當時成立”中的，即可推出平均值不等式“任意兩個正數的算術平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當且僅當這兩個正數相等時成立”.則__________.【答案】（答案不唯一，可以為或其它字母表示的表達式）【解析】取正數，則，當且僅當時取等號，因此，即，于是“任意兩個正數的算術平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當且僅當這兩個正數相等時成立”.顯然，取.故答案為：9.以雙曲線的離心率為半徑，以右焦點為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，則的值為__________.【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，離心率，右焦點，依題意，，所以.故答案為：10.如圖所示，小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同一幢樓上，小明家在層，小寧家位于小明家正上方的層，已知.小明在家測得東方明珠塔尖的仰角為，小寧在家測得東方明珠塔尖的仰角為，則他倆所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離__________.【答案】【解析】分別過點作的垂線，垂足分別為，則根據正切函數的定義得，，則，解得.故答案為：.11.記.若函數y=fx是偶函數，則該函數圖象與軸交點的縱坐標的最大值為__________.【答案】【解析】因為二次函數為偶函數，則該函數的對稱軸為直線，可得，令，，則因此，該函數圖象與軸交點的縱坐標的最大值為.故答案為：.12.已知是從大到小連續的正整數，且，則的最小值為__________.【答案】100000【解析】設，依題意，，，由，得，解得，因此，則，，所以的最小值為100000.故答案為：100000二?選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題?14題各4分，第15題?16題各5分.每題有且僅有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑.13.設，則“”是“且”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】正向來看，取，則，滿足，但不滿足a>0且，故充分性不成立，反向來看，，則，故必要性成立，所以前者是后者的必要不充分條件.故選：B.14.污水處理廠通過清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產肥料.該廠的污水處理裝置每小時從處理池清除掉的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的，大約需要的時間為（）（參考數據：）A.小時 B.小時 C.小時 D.小時【答案】B【解析】設處理池中的殘留物初始時為，則小時后，處理池中的殘留物為，根據題意可得，即，解得.因此，要使處理池中的污染物水平降到最初的，大約需要的時間為小時.故選：B.15.我國古代數學著作《九章算術》中將四個面都是直角三角形的空間四面體叫做“鱉臑”.如圖是一個水平放置的.現將沿折起，使點移動到點，使得空間四面體恰好是一個“鱉臑”，則二面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】中，.不妨設，則，空間四面體是一個“鱉臑”，則和都是直角三角形，若，則中，，由勾股定理得，此時不是直角三角形，不合題意；所以，在中，，由勾股定理得，此時滿足是直角三角形，，由，，二面角的平面角為，中，，，所以二面角的大小為.故選：D.16.在四棱錐中，，則該四棱錐的高為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】設平面的一個法向量，則，令，則，即，所以該四棱錐的高.故選：C.三?解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17.設函數.（1）求函數單調區間；（2）求不等式的解集.解：（1），令，解得或者，令，解得或，所以，該函數的嚴格單調增區間為和，嚴格單調減區間為和.（2），即，，即，利用穿根法解得.所以解集為.18.已知向量，且.（1）求及；（2）記，求函數的最小值.解：（1）由題意得，由于則，因為，所以.（2）因為，則，則當，即時，該函數取得最小值.19.如圖所示，正三棱錐的側面是邊長為2的正三角形.（1）求正三棱錐的體積；（2）設分別是線段的中點.求證：①平面；②若平面交于點，則四邊形是正方形.（1）解：由正三棱錐的側面是邊長為2的正三角形，得正三棱錐為正四面體，取正的中心，連接，延長交于，連接，則平面，是的中點，，，則，所以正三棱錐的體積.（2）證明：①由分別是線段的中點，得，而平面，平面，所以平面.②由平面交于點，得面平面，而平面，平面，則，而是中點，則是的中點，因此，而，則四邊形是平行四邊形，又，于是為菱形，而，平面，則平面，又平面，因此，于是，所以四邊形是正方形.20.如圖的封閉圖形的邊緣由拋物線和垂直于拋物線對稱軸的線段組成.已知，拋物線的頂點到線段所在直線的距離為.（1）請用數學符號語言表達這個封閉圖形的邊緣；（2）在該封閉圖形上截取一個矩形，其中點在線段上，點拋物線上.求以矩形為側面，為母線圓柱的體積最大值；（3）求證：拋物線的任何兩條相互垂直的切線的交點都在同一條直線上.（1）解：如圖建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為，則曲線過點，所以，故，所以，曲線的方程為，線段AB的方程為，（2）解：設Ex,y，則.以CF為母線的圓柱的底面半徑滿足，所以，所以圓柱的體積.所以，所以，當時，其體積取得最大值；（3）證明：因為函數的導函數，所以，拋物線上任意一點的切線斜率為，設是拋物線上兩條相互垂直的切線，切點分別為，則其方程分別為，且，消去，解得，因為，得.故拋物線的任何兩條相互垂直的切線的交點都在直線