第一章§1.4基本不等式1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.課標要求內容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識(1)基本不等式成立的條件：

.(2)等號成立的條件：當且僅當

時，等號成立.(3)其中

叫做正數a，b的算術平均數，

叫做正數a，b的幾何平均數.a>0，b>0a＝b2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值

.(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值

.注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).以上不等式等號成立的條件均為a＝b.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)×××√√3.已知0<x<1，則x(1－x)的最大值為√因為0<x<1，所以1－x>0，4.(2023·重慶模擬)已知x>0，y>0，x＋y＝1，則

的最小值為_____.4返回第二部分探究核心題型例1

(1)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是題型一基本不等式的理解及常見變形√∵0<a<b，∴2b>a＋b，(2)《幾何原本》中的幾何代數法研究代數問題，這種方法是后西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱為無字證明.現有圖形如圖所示，C為線段AB上的點，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓，過點C作AB的垂線交半圓于點D，連接OD，AD，BD，過點C作OD的垂線，垂足為點E，則該圖形可以完成的無字證明為√根據圖形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，由于OD≥CD，由于CD≥DE，基本不等式的常見變形A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√∵a>b>0，則a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，∴由p可推出q；當a<0，b<0時，q也成立，∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要條件.(2)(多選)已知a，b∈R，則下列不等式成立的是√√命題點1直接法例2

(1)(多選)下列代數式中最小值為2的是題型二利用基本不等式求最值√√(2)已知x，y為正實數，且滿足4x＋3y＝12，則xy的最大值為______.3解得xy≤3(當且僅當4x＝3y時取等號).命題點2配湊法√(2)已知x>1，則

的最小值為A.6 B.8 C.10 D.12√因為x>1，所以x－1>0，微拓展與基本不等式模型結構相似的對勾函數模型微拓展微拓展命題點3代換法例4

(1)已知正數a，b滿足

＝1，則8a＋b的最小值為A.54 B.56 C.72 D.81√已知正數a，b滿足8a＋4b＝ab，則8a＋b的最小值為______.72延伸探究√由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，命題點4

消元法√命題點5構造不等式法例6

若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，則ab的最小值為A.9 B.6 C.3 D.12√所以當a＝b＝3時，ab的最小值為9.(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；三是消元法.跟蹤訓練2

(1)(多選)下列四個函數中，最小值為2的是√√√√√則ab≤4，當且僅當a＝b＝2時取等號，故A錯誤；即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，當且僅當a＝b＝2時取等號，故B正確；對于C，由題意可得b(a＋1)＝8－a，返回課時精練一、單項選擇題1.已知m>0，n>0，mn＝81，則m＋n的最小值是12345678910111213141516√因為m>0，n>0，m＋n≥18，當且僅當m＝n＝9時，等號成立，所以m＋n的最小值是18.A.23 B.26 C.22 D.2512345678910111213141516√故4a＋9b的最小值是25.3.若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是A.2 B.3 C.4 D.512345678910111213141516√12345678910111213141516故3x＋4y的最小值為5.12345678910111213141516√所以m<4，所以m<2是m<4的充分不必要條件.1234567891011121314151612345678910111213141516√因為x>0，y>0，x＋3y＝1，1234567891011121314151612345678910111213141516√由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0，令a＝2x－y，b＝x＋2y，則a＋2b＝4x＋3y，由4x＋3y＝1得a＋2b＝1，1234567891011121314151612345678910111213141516二、多項選擇題7.已知x，y是正數，且x＋y＝2，則A.x(x＋2y)的最大值為4B.log2x＋log2y的最大值為0C.2x＋2y的最小值為412345678910111213141516√√√由x，y是正數，且x＋y＝2，可得0<x<2,0<y<2，x(x＋2y)＝(x＋y－y)(x＋y＋y)＝(x＋y)2－y2＝4－y2，由0<y2<4可得0<4－y2<4，所以x(x＋2y)無最大值，故A錯誤；12345678910111213141516所以log2x＋log2y＝log2xy≤log21＝0，故B正確；當且僅當x＝y＝1時取等號，故C正確；123456789101112131415168.(2022·新高考全國Ⅱ)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1√12345678910111213141516√解得－2≤x＋y≤2，當且僅當x＝y＝－1時，x＋y＝－2，當且僅當x＝y＝1時，x＋y＝2，所以A錯誤，B正確；12345678910111213141516解得x2＋y2≤2，當且僅當x＝y＝±1時取等號，所以C正確；1234567891011121314151612345678910111213141516三、填空題12345678910111213141516－412345678910111213141516由于x<2，所以2－x>0，10.函數f(x)＝

在(1，＋∞)上的最大值為________.12345678910111213141516令x－1＝t，則t>0，1234567891011121314151612345678910111213141516因為a>1，b>2，所以a－1>0，b－2>0，又a＋b＝5，123456789101112131415161234567891011121314151612.已知正數a，b滿足(a＋5b)(2a＋b)＝36，則a＋2b的最小值為_____.412345678910111213141516四、解答題13.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；12345678910111213141516012345678910111213141516因為x>0，y>0，所以0<xy≤18，故xy的最大值為18.12345678910111213141516(2)2x＋y的最小值.0所以2x＋y的最小值為11.14.中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯通、貿易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區的始發站，沈陽某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側原有墻體，建造一面高為3米，底面積為12平方米，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設屋子的左右兩面墻的長度均為x米(2≤x≤6).(1)當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低？12345678910111213141516123456789101112131415160設甲工程隊的總報價為y元，依題意，左右兩面墻的長度均為x米(2≤x≤6)，故當左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為14400元.(2)現有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為

元(a>5)，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求實數a的取值范圍.1234567891011121314151612345678910111213141516又a>5，所以a的