數值分析第二章插值§1引言一、引例已經測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據這些數據，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫.這就是本章要討論的“插值問題”第2頁,共99頁，星期六，2024年，5月

插值法是一種古老的數學方法。早在1000多年前，我國歷法上已經記載了應用一次插值和二次插值的實例。

偉大的數學家：拉格朗日（Lagrange）、牛頓Newton）、埃爾米特（Hermite）等人分別給出了不同的解決方法。第3頁,共99頁，星期六，2024年，5月二、插值問題的定義這個問題稱為“插值問題”

(2.1.1)這里g(x)

稱為f(x)的插值函數;節點稱為插值節點;條件(2.1.1)稱為插值條件;區間稱為插值區間。如果利用g(x)來求f(x)

在y點的近似值，則稱y為插值點。

,由此構造一個簡單易算的近似函數g(x)

f(x)，滿足條件

上一系列節點

處測得函數值

當函數y=f(x)非常復雜或未知時，設在區間定義2.1

第4頁,共99頁，星期六，2024年，5月插值函數的類型有很多種,最常用的插值函數是代數多項式。用代數多項式作插值函數的插值稱為代數插值，即選取次數不超過n的多項式Pn(x)，使得

代數插值一、插值多項式的存在唯一性？二、插值多項式的常用構造方法？三、插值多項式的誤差如何估計？

(2.1.2)第5頁,共99頁，星期六，2024年，5月一、插值多項式的存在唯一性設所要構造的插值多項式為：由插值條件得到如下線性代數方程組：

（2.2.1）§2一般多項式插值第6頁,共99頁，星期六，2024年，5月此方程組的系數行列式為當

時，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。范得蒙行列式的轉置！第7頁,共99頁，星期六，2024年，5月定理2.1插值條件的n

階插值多項式Pn(x)存在且唯一。插值多項式的構造：插值多項式的存在唯一性說明，滿足插值條件的多項式存在，并且插值多項式與構造方法無關。如何構造插值函數才能達到預期的效果呢？對于給定的互異節點x0…

xn,滿足

第8頁,共99頁，星期六，2024年，5月，用于插值的簡單函數元素集+線性組合結構→插值多項式簡單函數元素集是指構成多項式的基函數集合，例如自然形式（2.2.1）的自然基底,、

、

(結構)(集合)若求自然形式(2.2.1)的插值多項式問題，只要求解線性方程組（2.2.2）計算出多項式系數即可。一般插值多項式的構造方法第9頁,共99頁，星期六，2024年，5月通過解方程組(2.2.2)求得插值多項式的方法并不可取.這是因為當n較大時解方程組的計算量較大，而且方程組系數矩陣的條件數一般較大（可能是病態方程組）,當階數n越高時，

病態越重。怎樣可以不通過求解方程組而獲得插值多項式呢?第10頁,共99頁，星期六，2024年，5月在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數

,使不同的基函數的選取導致不同的插值方法.Lagrange插值Newton插值Hermite插值第11頁,共99頁，星期六，2024年，5月1．n次拉格朗日插值多項式設連續函數

在上對給定的個不同節點上分別取函數值試構造一個次數不超過n的插值多項式使之滿足插值條件:

二、拉格朗日(Lagrange)插值第12頁,共99頁，星期六，2024年，5月定義2.2若n次多項式在個節點

上滿足條件由定理2.1得：

則稱這個次多項式為節點上的次插值基函數。第13頁,共99頁，星期六，2024年，5月因此，令的表達式推導：根據的定義，以外所有的結點都是

的根，又由，得：

第14頁,共99頁，星期六，2024年，5月2．線性插值(n=1)

xkxk+1(xk,yk)(xk+1

,yk+1)f(x)P1(x)第15頁,共99頁，星期六，2024年，5月3．拋物插值(n=2)p2(x)

f(x)xk-1xkxk+1f(x)因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。

第16頁,共99頁，星期六，2024年，5月第17頁,共99頁，星期六，2024年，5月注：（1）

次數。（2）記，則，所以第18頁,共99頁，星期六，2024年，5月4、插值余項定理2.2

設在[a,b]上連續，在（a,b）內存在,則在[a,b]上的n+1個互異的節點，對

所作的n次Lagrange插值多項式有誤差估計

第19頁,共99頁，星期六，2024年，5月Rolle’sTheorem的推論:若充分光滑，且存在使得第20頁,共99頁，星期六，2024年，5月構造(固定)由Roll定理,知存在證明:第21頁,共99頁，星期六，2024年，5月當

f(x)為任一個次數

n

的多項式時，，可知，即插值多項式對于次數

n的多項式是精確的。插值多項式一般僅用來估計插值區間內點的函數值（即內插），用它來計算插值區間外點的函數值（即外插）時，誤差可能很大。

注：

通常不能確定

,而是估計，

x(a,b)，將作為誤差估計上限。通常取。

也稱為Lagrange插值多項式的插值余項。當n=1時，當n=2時，第22頁,共99頁，星期六，2024年，5月例：已知分別利用1次、2次Lagrange插值計算

sin50

，并估計誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算

利用

利用

計算得：sin50

0.76008,

利用x0,x1

作為插值節點的實際誤差

0.01001利用x1,x2作為插值節點的實際誤差

0.00596

sin50=0.7660444…第23頁,共99頁，星期六，2024年，5月n=22次插值的實際誤差

0.00061第24頁,共99頁，星期六，2024年，5月三、牛頓插值（Newton’sInterpolation）Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節點時，全部基函數li(x)

都需要重新計算。希望每加一個節點時，只附加一項上去即可。能否重新在

中尋找新的基函數？回顧：Lagrange插值的優缺點：

優點：具有嚴格的規律性,便于記憶。

缺點：計算量大、不具有承襲性。第25頁,共99頁，星期六，2024年，5月利用插值條件代入上式，得關于的線性代數方程組:設當

互異時，系數矩陣非奇異，且容易求解第26頁,共99頁，星期六，2024年，5月1．差商及其性質(1)差商的定義(亦稱均差)定義2.3

設已知函數f(x)在互不相等的節點上的函數值為，

稱為f(x)在點xi,xj處的一階差商，記作f[xi,xj]；

稱為f(x)在點xi,xj,xk處的二階差商，記作f[xi,xj,xk]；稱為f(x)在點x0,x1,…,xk處的k階差商，記作f[x0,x1,…,xk]。

由差商定義知高階差商是兩個低一階差商的差商第27頁,共99頁，星期六，2024年，5月(2)差商的性質

性質1(差商與函數值的關系):記,則性質2

（對稱性）：差商的值與結點排列順序無關，即性質3(差商與導數的關系):設在上有階導數,且則存在使得

性質4(特征定理):第28頁,共99頁，星期六，2024年，5月差商可列表計算：

f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]xi

yi

一階差商

二階差商

n階差商

……x0x1x2xn-1xn

xn+1f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1](3)差商的計算

第29頁,共99頁，星期六，2024年，5月利用差商的定義,可得的系數

:從而因此每增加一個結點，Newton插值多項式只增加一項，克服了Lagrange插值的缺點。

2.牛頓插值公式第30頁,共99頁，星期六，2024年，5月3.牛頓插值余項由插值多項式的唯一性可知，故其余項也相同，即命題

Newton插值多項式的余項為

其中從而，第31頁,共99頁，星期六，2024年，5月例:給定的數據表

2.202.402.602.803.000.788460.875470.955511.029621.098611.構造差商表2.分別寫出二次、四次Newton插值多項式解:構造差商表一階差商二階差商三階差商四階差商第32頁,共99頁，星期六，2024年，5月余項第33頁,共99頁，星期六，2024年，5月四、等距節點插值

引入(微商的離散化)：第34頁,共99頁，星期六，2024年，5月1．差分的定義設函數在等距節點上的值已知,這里為常數,稱為步長，分別稱為在處以為步長的一階向前差分,一階向后差分,以及一階中心差分。高階差分：定義2.4

第35頁,共99頁，星期六，2024年，5月引進不變算子，移位算子，即則有

第36頁,共99頁，星期六，2024年，5月2、差分表（差分計算）計算各階向前差分可按如下差分表進行：第37頁,共99頁，星期六，2024年，5月計算各階向后差分可按如下差分表進行：第38頁,共99頁，星期六，2024年，5月3、差分的性質性質1

(差分與函數值的關系):

各階差分均可表示為函數值的線性組合:其中性質2(向前差分與向后差分的關系):性質3(差分與差商的關系):在等距節點的前提下，第39頁,共99頁，星期六，2024年，5月性質4(差分與導數的關系）：在等距節點的前提下，性質5：常數的差分等于零.性質6：差分算子為線性算子，即性質7：這個性質類比于

第40頁,共99頁，星期六，2024年，5月

4、等距節點的牛頓插值公式牛頓公式:

牛頓前插公式（用于計算最小節點附近的函數值）利用差分的性質,可將Newton公式簡化為(1)稱公式(1)為Newton向前差分插值公式,其余項為(2)第41頁,共99頁，星期六，2024年，5月

牛頓后插公式（用于計算最大節點附近的函數值）如果將Newton插值公式改為按節點的次序排列的Newton插值公式,即(3)令x=xn-th,則當xn-1≤x≤xn時,0≤t≤1.利用差商與向后差分的關系,式(3)可簡化為(4)稱式(4)為Newton向后差分插值公式。第42頁,共99頁，星期六，2024年，5月其余項為注：一般當x

靠近x0時用前插，靠近xn時用后插，故兩種公式亦稱為表初公式和表末公式。第43頁,共99頁，星期六，2024年，5月例

給定f(x)在等距節點上的函數值表如下:

xi0.40.60.81.0

f(xi)1.51.82.22.8分別用Newton向前和向后公式求f(0.5)及f(0.9)

的近似值.

解

先構造向前差分表如下:

xi

fi

△fi

△2fi△3fi

0.41.50.30.10.10.61.80.40.20.82.20.61.02.8

x0=0.4,h=0.2,x3=1.0.

分別用差分表中第一行上的值和對角線的值,得Newton向前和向后插值公式如下:第44頁,共99頁，星期六，2024年，5月(1)

(2)當x=0.5時,用公式(1),這時t=(x-x0)/h=0.5.將t=0.5代入(1),得

f(0.5)≈N3(0.5)=1.64375.當x=0.9時,用公式(2),這時t=(x3-x)/h=0.5.將t=0.5代入(2),得

f(0.9)≈N3(0.9)=2.46875.第45頁,共99頁，星期六，2024年，5月1．引入

在實際問題中，對所構造的插值多項式，不僅要求函數值重合，而且要求若干階導數也重合。即要求插值函數P(x)滿足:（1）把此類插值問題稱為相應的插值多項式稱為埃米爾特（Hermite）插值多項式或稱帶導數的插值多項式，記為H(x)。H(x)

存在且唯一。埃米爾特（Hermite）插值§3Hermite插值第46頁,共99頁，星期六，2024年，5月2.推導只討論函數值與導數值個數相等，且一階情況。設在節點上,要求插值多項式,滿足條件(2)這里給出的個條件,可唯一確定一個次數不超過的多項式其形式為第47頁,共99頁，星期六，2024年，5月根據條件(2)來確定個系數,顯然非常復雜。(3)第48頁,共99頁，星期六，2024年，5月插值基函數及,共有個,每一個基函數都是次多項式,且滿足條件(Lagrange型Hermite插值多項式):基函數方法(3)于是滿足條件(2)的插值多項式可寫成用插值基函數表示的形式,即顯然有(4)第49頁,共99頁，星期六，2024年，5月下面利用Lagrange插值基函數求及。令其中是

第50頁,共99頁，星期六，2024年，5月由條件式(3)有整理,得解得第51頁,共99頁，星期六，2024年，5月由于兩端取對數再求導,得于是(5)同理可得(6)第52頁,共99頁，星期六，2024年，5月（1）仿照Lagrange插值余項，Hermite插值余項可描述為：(7)注：設在[a,b]上連續，在（a,b）內存在,則且依賴于，有插值余項（2）作為帶導數插值多項式(4)的重要特例是n=1的情形。這時可取節點為及,插值多項式為,滿足條件：(8)第53頁,共99頁，星期六，2024年，5月相應的插值基函數為,它們滿足：根據(5)式及(6)式的一般表達式,可得第54頁,共99頁，星期六，2024年，5月于是滿足條件(8)的插值多項式是其余項為（3）N個條件可以確定N-1階多項式，要求在1個節點處直

到

階導數都重合的插值多項式即為在點處的

Taylor多項式:

其余項為第55頁,共99頁，星期六，2024年，5月Newton型Hermite插值（1）單節點的重節點差商（2）多節點的重節點差商插值條件：第56頁,共99頁，星期六，2024年，5月重節點差商可列表計算：

重節點差商的計算第57頁,共99頁，星期六，2024年，5月其中，第58頁,共99頁，星期六，2024年，5月第59頁,共99頁，星期六，2024年，5月例1：已知

求三次多項式

P(x)滿足4.舉例第60頁,共99頁，星期六，2024年，5月解：第61頁,共99頁，星期六，2024年，5月例2：已知

求三次多項式

P(x)滿足注意:第62頁,共99頁，星期六，2024年，5月解：第63頁,共99頁，星期六，2024年，5月1.多項式插值的龍格現象例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ln(x)

f(x)

n

越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現象§4

分段低次插值第64頁,共99頁，星期六，2024年，5月2.分段線性插值在每個子區間上，用1次多項式

(直線)逼近f(x):記,易證：當時，一致yxoy=p(x)y=f(x)失去了原函數的光滑性。第65頁,共99頁，星期六，2024年，5月則是分段一次的連續函數且滿足條件分段線性插值多項式的構造：

即為分段線性插值的基函數。

第66頁,共99頁，星期六，2024年，5月基函數只在附近不為零,在其它地方均為零。這種性質稱為局部非零性質。相應的分段線性插值函數為：分段線性插值的誤差估計：如果在上二階連續可微,則分段線性插值函數的余項有以下估計

其中,第67頁,共99頁，星期六，2024年，5月3.分段三次Hermite插值其中基函數為

給定節點，在節點上的函數值及導數值分別為,在每個子區間上作兩點三次Hermite插值，因此是分段三次，總體是直至一階導數連續，插值函數為第68頁,共99頁，星期六，2024年，5月第69頁,共99頁，星期六，2024年，5月第70頁,共99頁，星期六，2024年，5月分段Hermite插值余項:

由三次Hermite插值的余項可以估計分段Hermite插值的余項：設是給定節點

上的分段三次Hermite插值函數，，與的誤差限為其中，

第71頁,共99頁，星期六，2024年，5月要求：插值曲線既要簡單，又要在曲線的連接處比較光滑。

這樣的分段插值函數在分段上要求多項式次數低，這種插值方法稱為——樣條插值。它所對應的曲線稱為樣條曲線，其節點稱為樣點，把滿足這樣條件的插值函數，稱為樣條插值函數，而在節點上不僅連續，還存在連續的低階導數，第72頁,共99頁，星期六，2024年，5月圖2.1早期機翼下輪廓的放樣如圖2.1所示，在早期的板材曲線切割時，常把富有彈性的細長木條（樣條）固定在樣點上，其它地方讓其自由彎曲，然后畫出長條的曲線稱為樣條曲線，由此啟發設計整體連續光滑的樣條插值函數。第73頁,共99頁，星期六，2024年，5月

問題

分段低次插值雖然具有簡單、收斂性、整體連續性及數值計算的穩定性等優點，但在節點處常有“尖點”出現，光滑性較差。特別是需要給出節點處的導數值，這在多數問題中是不實際的。如何在沒有節點導數數據時也能達到上述目的？為此引入樣條插值函數。1.引入§5三次樣條插值第74頁,共99頁，星期六，2024年，5月定義2.5設對y=f(x)在區間[a,b]上給定一組節點a=x0<x1<x2<…<xn=b和相應的函數值y0,y1,…,yn，如果s(x)具有如下性質：（1）在每個子區間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上s(x)是不高于三次的多項式;（2）s(x)，，s

(x)在[a,b]上連續；則稱s(x)為三次樣條函數.如再有（3）s(xi

)=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，

則稱s(x)為y=f(x)的三次樣條插值函數。第75頁,共99頁，星期六，2024年，5月注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導數值（除了在2個端點可能需要）；而Hermite插值依賴于f在所有插值點的導數值。S(x)H(x)f(x)第76頁,共99頁，星期六，2024年，5月給定函數在[a,b]上的一組節點：及節點上的函數值

，函數是滿足下列條件的函數：的三次樣條插值；

2.三次樣條插值函數的構造(3)在插值節點處連續，即

(4)即(1)(2)在子區間

上是三次多項式，記為第77頁,共99頁，星期六，2024年，5月。

要保證S(x)的存在唯一性，必須附加兩個邊界條件。例如，滿足下列四種邊界條件中的任意一個：(1)固支邊界條件（D1-樣條）：3.邊界條件(2)彎矩邊界條件（D2-樣條）：

(3)自然邊界條件（自然樣條）：

(4)周期邊界條件（周期樣條）

：第78頁,共99頁，星期六，2024年，5月上述幾種邊界條件都有它們的實際意義，從力學角度看，附加邊界條件相當于在細梁兩端加上約束。工程中常用自然邊界條件求樣條插值函數，這類插值函數稱為自然樣條函數，利用插值條件和連續線性條件列出線性方程組并求解，是一種構造樣條的基本方法。第79頁,共99頁，星期六，2024年，5月構造思想:

通過構造含待定參數的分段三次Hermite插值多項式來構造三次樣條插值函數。

構造Hermite插值多項式需要知道被逼近函數f(x)的導數，而導數通常是不知道的。三次樣條插值函數的構造則不需要知道f(x)的導數值，直接將其作為待定參數，利用各節點在連接處的光滑性與連續性條件，建立關系式來確定待定參數，從而構造插值多項式。第80頁,共99頁，星期六，2024年，5月4.三彎矩方程設f(x)是定義在

[a,b]區間上的一個二次連續可微函數，令在每一個小區間

上都是三次多項式。S

(x)在上的表達式為：

（1）(注意:未知)第81頁,共99頁，