想一想，畫一畫：

對于下面的圖形，你能一筆畫出來嗎？試試看第一組：

如果一個圖形可以用筆不離紙且每條線都畫到并不準重復，則這個圖形就叫做一筆畫圖形.一筆畫一、哥尼斯堡七橋問題

故事發生在18世紀的東普魯士哥尼斯堡城.流經那里的一條河中有兩個小島，還有七座橋把這兩個小島與河岸聯系起來.那里風景優美，游人眾多.在這美麗的地方，人們議論著一個有趣的問題：

一個游人怎樣才能不重復地一次走遍七座橋，最后又回到出發點呢？問題提出后，很多人對此感興趣，紛紛進行計算試驗，但在相當長的時間里，始終未能解決。而利用普通數學知識，每座橋均走一次，那這七座橋所有的走法一共有5040種，而這么多情況，要一一試驗，這將會是很大的工作量。因而形成了著名的“哥尼斯堡七橋問題”。

直到1836年，瑞士著名的數學家歐拉才解決了這個問題。當時有人請教了正在俄羅斯的圣彼得堡科學院任職的歐拉，歐拉親自觀察了哥尼斯堡七橋后，認真思考走法。歐拉認為：人們關心的只是一次不重復地走遍這七座橋，而并不關心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線.這樣，此問題就轉化為一個幾何圖形能否一筆畫出的問題了.什么叫一筆畫？是否所有的圖都可以一筆畫出呢？所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點出發，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準重復.

二、圖與一筆畫定理能一筆畫出的圖首先必須是連通圖什么樣的連通圖可以一筆畫出？

1736年，歐拉在圣彼得堡科學院作了一次學術報告。在報告中，他給出并證明了哥尼斯堡七橋問題的結論。后來他又給出了鑒別任一圖形能否一筆畫出的準則，即歐拉定理。由此開創了數學新分支-----圖論，他也成為圖論的奠基人。他解決問題的思想方法，為后來的數學新分支——拓撲學的建立也奠定了基礎。

圖論以圖為研究對象。圖論中的圖指由點和線段（或弧）組成的圖形。作為一個圖，其圖形還必須滿足以下條件：（1）每條邊都有兩個端點（可以重合）作為結點；（2）各條邊之間互不相交。

圖形中的點叫圖的結點，線段（或弧）叫做圖的邊。

一個圖完全由它的結點和邊的個數以及它們相互連結的情況來確定，而與邊的曲直長短無關。

在一個圖G中，若從頂點vi到頂點vj有路徑相連，則稱vi和vj是連通的。如果圖中任意兩點都是連通的（任何兩點間都有線連接），那么圖被稱作連通圖。否則稱為不連通的。圖的連通性是圖的基本性質。

圖中與一個結點相連結的邊的條數稱為這個結點的度數。度數為偶數的結點叫做偶結點。度數為奇數的結點叫做奇結點。圖論的基本概念

一個圖可以一筆畫的充要條件是：這個圖是連通的，并且奇結點的個數等于0或2。歐拉一筆畫定理下列圖形能一筆畫出嗎？七橋問題有解嗎？一筆畫問題進一步思考問題思考：（1）如果能一筆畫，什么時候可回到出發點，什么時候又不能？（2）對不能回到起點的一筆畫，應把何處作為起點？何處作為終點？（3）若一個圖形不能一筆畫，那么至少需要幾筆畫成？試一試：下面的幾個圖形分別能用幾筆畫成？若能一筆畫能否回到起點？結論（1）凡是由偶結點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶結點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。（2）凡是只有兩個奇結點的連通圖（其余都為偶結點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇結點為起點，另一個奇結點作終點。多筆畫定理與圖論的基本定理多筆畫定理有2n（n＞1）個奇結點的連通圖形，可以用n筆畫完，而且至少要n次畫完.握手定理設G=<V,E>為任意無向圖或有向圖，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，則所有頂點的度數和為2m。推論任何圖中，奇結點的個數是偶數。三、圖的應用（1）例1、

右圖是某展覽館的平面圖.每個房間都有一扇門通往館外，每相鄰兩個房間之間各有一扇門相通.參觀者能不能一次無重復地穿過每一扇門？如不能，關閉哪一扇門后就能無重復地穿過每一扇門了？并問出、入口在哪里？練習下圖是蓬萊仙境區某處的地貌圖，小河上有15座橋.問能不能設計一條路線，一次不重復地走遍所有的橋？三、圖的應用（2）中國郵遞員問題

一名郵遞員每次從郵局出發送信，要走遍他負責投遞的范圍內的每條街道，完成任務后回到郵局。問他按怎樣的路線走，所走的路程最短？——此問題是我國數學家管梅谷先生（山東師范大學數學系教授）在1962年首次提出的，因此在國際上稱之為中國郵遞員問題．例2、

圖1、2表示街道圖，圖中A是郵局的位置，問郵遞員應如何設計他的郵遞路線，才能使他所走的路程最短？

最優投遞路線→重復的路線最短→所添弧線（虛線）的總長度最短

為保證總路程最短，連虛線的原則是：（1）連線（虛線）不能有重疊線段；（2）在每個圈上，連線長度之和不能超過圈長的一半。最短的一組連線稱為最優解。

已知郵遞員要投遞的街道如圖所示，試求最優郵路．練習計算最優郵路方法總結方法1：找出所有奇結點，把奇結點兩兩配對，在一對奇結點之間連一條虛線當做增添的重復邊，奇結點就變成了偶結點，原圖變成歐拉圖，在此基礎上，根據連線原則1、2，不斷改進，得到最優。方法2：找出所有奇結點，在圖上添線段，使奇點變成偶點。得到所有不同的添法，計算每一種添法對應的總路程，比較得出哪一種添法能使總路程最短，此即最優。上面例題所用的求最優郵路的方法叫“奇偶點圖上作業法”．練習

某郵遞員每天早晨去郵局取郵件，然后走遍他所投遞的街道社區，最后回家，問他按何路線投遞，可以使他走的路程最短？數學家歐拉簡介

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）瑞士數學家和物理學家。他被一些數學史學者稱為歷史上最偉大的兩位數學家之一（另一位是卡爾?弗里德里克?高斯。）。

歐拉是科學史上最多產的一位杰出的科學家，他從19歲開始發表論文，直到76歲，他一生共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發表了700多篇論文。其中分析、代數、數論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%，圣彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。在他雙目失明后的17年間，也沒有停止對數學的研究，口述了好幾本書和400余篇的論文。有許多公式、定理、解法、函數、方程、常數等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數學教材在當時一直被當作標準教程。19世紀偉大的數學家高斯曾說過“研究歐拉的著作永遠是了解數學的好方法”。歐拉的貢獻從初等幾何的歐拉線多面體的歐拉定理立體解析幾何的歐拉變換公式四次方程的歐拉解法數論中的歐拉函數微分方程的歐拉方程級數論的歐拉常數變分學的歐拉方程復變函數的歐拉公式......歐拉的貢獻幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字：歐拉在數學上的貢獻多得不勝枚舉:

"分析學的化身"。“拓撲學的鼻祖”“圖論的奠基人”歐拉創立了一個新的數學分支──變分法第一個使用“函數”一詞來描述包含各種參數的表達式的人;最先把對數定義為乘方的逆運算；他使三角學成為一門系統的科學，首先用比值來給出三角函數的定義,對整個三角學作了分析性的研究。發現最優美的數學公式歐拉的貢獻多面體的歐拉定理

定理：簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系

V+F-E=2

這個公式叫歐拉公式。

V-E+F被稱為歐拉示性數，成為拓撲學的基礎概念。2302012正二十面體2301220正十二面體21286正八面體21268正六面體2644正四面體V+F-E棱數E面數F頂點數V正多面體

歐拉還是數學符號發明者，歐拉創設了許多數學符號，至今沿用。例如π（1736年）e（1748年）i（1777年）sin和cos（1748年）tg（1753年）△x（1755年）Σ（1755年）f(x)（1734年)歐拉的貢獻

歐拉研究了天文學，并與達朗貝爾及拉格朗日一起成為天體力學的創立者。歐拉研究了流體的運動性質，建立了理想流體運動的基本微分方程，成為流體力學的創始人。

歐拉把自己所建立的理想流體運動的基本方程用于人體血液的流動，從而在生物學上添上了他的貢獻，又以流體力學、潮汐理論為基礎，豐富和發展了船舶設計制造及航海理論。歐拉的貢獻歐拉1707年出生在瑞士的巴塞爾城。13歲進巴塞爾大學讀書，15歲大學畢業,16歲獲得碩士學位。19歲時寫了一篇關于船桅的論文，獲得巴黎科學院的獎金。1727年5月17日歐拉來到了俄國圣彼得堡科學院從事研究工作。1733年，年僅26歲的歐拉擔任了圣彼得堡科學院數學教授。1735年，歐拉三天解決了一個天文學的難題（計算慧星軌道）。但這一年過度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明。1741年歐拉應普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔任科學院物理數學所所長。1766年，在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回圣彼得堡。不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明。

歐拉的生平1771年圣彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了。沉重的打擊，沒有使歐拉倒下，他要把損失奪回來。在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的時刻，在一塊大黑板上疾書他發現的公式，然后口述其內容，由他的學生特別是大兒子A·歐拉（數學家和物理學家）筆錄。歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心