2024—2025學年第一學期期末聯考高二年級數學試卷（考試時間：120分鐘；滿分：150分）命題學校：合肥七中命題人：審題人：一、單選題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.1.如圖,以長方體的頂點為坐標原點,建立空間直角坐標系.若向量的坐標為,則點的坐標為（）A. B. C. D.2.直線的斜率為（）A. B. C. D.3.等比數列的前項和為,且,,則（）A.63 B.48 C.31 D.154.下列條件中,一定能使點與點,,共面的是（）A. B.C. D.5.圓與圓的公共弦的弦長為（）A. B. C. D.6.如圖,四面體的所有棱長均為2,點,分別為棱,的中點,則（）A.2 B.1 C.-1 D.-27.數列滿足：,若,則數列的前10項的和為（）A. B. C. D.8.人教A版必修第一冊第92頁“探究與發現”的學習內容是“探究函數的圖象與性質”,函數的圖象實際上是雙曲線.則函數的圖象對應的雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.9.等差數列的前項和為.若,,則（）A. B. C. D.10.點為坐標原點,過點的直線與拋物線交于,兩點,則（）A.拋物線的準線為 B.C. D.面積的最小值為11.如圖,在正方體中,點為線段上的動點,下列結論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.異面直線與所成角的取值范圍是C.平面與平面所成夾角的余弦值的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12.雙曲線的焦距為______.13.過動點作圓的切線,點為切點,若（為坐標原點）,則的最小值是______.14.如圖,曲線上的點與軸上的點（構成一系列正三角形：,,…,.設正三角形的邊長為,點.則數列的通項公式為______.四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）圓內有一點,為過點且傾斜角為的弦.（1）當時,求弦的長；（2）當弦的長最小時,求直線的方程.16.（本小題15分）已知平面上兩點,,動點滿足.（1）求動點的軌跡的標準方程；（2）當時,求點的縱坐標.17.（本小題15分）已知三棱柱中,,,.（1）求證：平面；（2）若,求平面與平面所成二面角的余弦值.18.（本小題17分）在數列中,已知,.（1）求數列的通項公式；（2）記,且數列的前項和為,若為數列中的最小項,求的取值范圍.19.（本小題17分）已知拋物線的焦點為,點為拋物線準線上一點,點為線段與拋物線的交點,定義：.（1）當時,求；（2）證明：存在常數,使得；（3）若,,為拋物線準線上三點,且,判斷與的大小關系.

2024-2025學年第一學期期末聯考高二年級數學參考答案一、單選題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.1.【答案】A解：的坐標為,為坐標原點,,,,,的坐標為.故選A.2.【答案】B【詳解】由題意得：直線的斜截式方程為,所以直線的斜率為.故選：B3.【答案】C【詳解】令等比數列的公比為,則,,解得,,所以.故選：C4.【答案】B【詳解】對于A,,由于,所以不能得出,,,共面.故A不符合題意；對于B,由于,則,,為共面向量,所以,,,共面.故B符合題意；對于C,,由于,所以不能得出,,,共面.故C不符合題意；對于D,由得,而,所以不能得出,,,共面.故D不符合題意；故選：B5.【答案】C解：,①,②,②-①并整理得,為公共弦所在直線的方程,易知圓的圓心為原點,半徑為2,原點到公共弦所在直線的距離為,故公共弦長的一半為,公共弦長為,故選C.6.【答案】D【詳解】四面體的所有棱長均為2,則向量,,不共面,兩兩夾角都為,則,因點,分別為棱,的中點,則,,,所以.故選：D7.【答案】C解：因為,所以,兩式相減可得,即,所以,所以.故選C.8.【答案】A解：雙曲線的兩條漸近線的夾角記為,漸近線的斜率,所以,,離心率滿足：,所以,故選A.二、多選題：本題共3小題,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.9.【答案】AC解：設首項為,公差為,由,可得,,解得,所以,,故選AC.10.【答案】BC【解析】解：拋物線,可得準線方程為,所以A不正確；設過點的直線,又交拋物線與,兩點,可得：,即,所以.所以B正確.消去可得：,,可得,所以,所以C正確；顯然直線的斜率不為0,設直線的方程為.聯立,消去,得,所以,,原點到直線的距離為,,,當直線與軸垂直時,,,此時,所以.故D錯誤.故選：BC.11.【答案】ABD解：對于A,,平面,平面,平面,點在線段上運動,點到平面的距離為定值,又的面積為定值,故三棱錐的體積為定值,故A正確；對于B,,異面直線與所成的角即為與所成的角,當點位于點時,與所成的角為,當點位于的中點時,平面,,,此時,與所成的角為,異面直線與所成角的取值范圍是,即,故B正確；對于C,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,,,則,,設平面的法向量,平面的法向量,,,則,即,令,則,,則得,面與平面所成夾角為,所以,因為,,所以,,所以平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是,故C錯誤；對于D,則,,,,,,設平面的法向量,則,即,令,則,,得,所以直線與平面所成角的正弦值為：,當時,直線與平面所成角的正弦值取得最大值,最大值為,故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12.【答案】8因為雙曲線所以,所以焦距為8.故答案為：8.13.【答案】解：根據題意,設的坐標為,圓的圓心為,則.為圓的切線,則有,又由,則有,即,變形可得：,即在直線上,則的最小值即點到直線的距離,且；即的最小值是；故答案為：.14.【答案】解：由條件可得為正三角形,且邊長為,,在曲線上,代入中,得,,,根據題意得點,代入曲線并整理,得.當,時,,即.,,當時,,或（舍）,故數列是首項為,公差為的等差數列,.故答案為：.四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）【答案】解：（1）當時,,直線為,故,由圓的圓心為原點且半徑為,則圓心到距離為,所以.（2）當直線與垂直時,弦的長最小.由于直線的斜率為,所以,直線的斜率為；所以,直線的方程為：16.（本小題15分）【答案】解：（1）由,,動點滿足,可得動點的軌跡是以,為焦點的橢圓,且,,,即有軌跡的標準方程為；（2）當動點滿足時,可得在以為直徑的圓上,設,可得,又,解得,,則的縱坐標為.17.（本小題15分）【答案】解：（1）在三角形中,,得,由,所以,,又,,,又、平面,故平面；（2）由（1）,,又在中,可得,以為原點,以,,分別為,,軸建立空間直角坐標系,,,,,,,,設平面的法向量為,由,取,得,設平面的法向量為,由,取,得,由,故平面與平面所成二面角的余弦值為.圓內有一點,為過點且傾斜角為的弦.18.（本小題17分）【答案】解：（1）由,,累加得：,；（2）,前項和為,若為數列中的最小項,則對有恒成立,即對恒成立,當時,得；當時,得；當時,恒成立,對恒成立.令,則,當時,,,,,當時,也成立,當