河南省信陽市淮濱縣2024-2025學年度上期期中階段性綜合

練習

九年級數學試卷

一、選擇題.（每小題只有一個正確答案，每小題3分，共30分）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c-GB.x2+2x=x2-1C.（x-l）（x-3）=0D.—~x=2

x

2.如圖，AB是。O的直徑，乙D=32。，則乙IOC等于（）

C.64°D.116°

3.如圖，將等腰直角三角尺NBC繞著點C順時針旋轉到/EC的位置，使點C,9在

同一條直線上，則旋轉角的大小為（）

C.120°D.135°

4.有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有100人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染的

人數x滿足的方程為（）

A.(1+無『=100B.x(l+x)=100C.1+x+x2=100D.x2=100

5.如圖是二次函數＞=。/+云+。圖象的一部分，圖象過點對稱軸為直線

%=-1,給出四個結論，其中正確結論是（）

試卷第1頁，共6頁

A.b2<4ac

B.2a+b=0

C.a+b+c>0

D.若點為函數圖象上的兩點，則乂<力

6.下列命題中是真命題的為（）

A.長度相等的兩條弧是等弧B.平分弦的直徑垂直于弦

C.圓的兩條平行弦所夾的弧相等D.相等的圓周角所對的弧相等

7.圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①、②、③、④的

某個位置，使它與原來7個小正方形組成的圖形是中心對稱圖形.這個位置是（）

圖1圖2

A.①B.@C.③D.?

8.半徑為。的圓的內接正六邊形的邊心距是（）

A.-B.叵C.叵D.a

222

9.如圖，△0/8中，ZAOB=60°,04=6,點2的坐標為（&0）,將△048繞點/逆時針

旋轉得到“CAD，當點。的對應點C落在OB上時，點D的坐標為（）

試卷第2頁，共6頁

A.（10,4碼B.（10,4）

C.（5A/3,5）D.（56,4月）

10.如圖所示，點1,B,C均在6義6的正方形網格格點上，B,C三點的外接圓除經過/,

二、填空題.（每小題3分，共15分）

11.已知x=2是一元二次方程--加x+2=0的一個根，則另一個根是.

12.若拋物線y=2尤°+中，無論"2取何值都通過定點，則這個定點的坐標

為.

13.若x=12+后五不，則x的值為.

14.如圖，在△/8C中，/ACB=90。,BC=2.N/=60。將△4BC繞點C逆時針旋轉a

角后得到△HB'C,當點A的對應點H落在4B邊上時，陰影部分的面積為一.

8'

8

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（2,m）繞坐標原點O逆時針旋轉90。后，恰

好落在圖中陰影區域（包括邊界）內，則m的取值范圍是—.

試卷第3頁，共6頁

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L」_」_?L___L」_」_J

I--1-U-4---k.-4-4.4

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三、解答題.(共75分)

16.解方程：

⑴2--7x+3=0

(2)x(x-2)=x.

17.如圖，N（O,1）,8（3,3）,C（1,3）,81-2,4），G（-2,2）.

（1）LABC繞點逆時針旋轉度得到△NqG；

（2）畫出△ABC繞原點。順時針旋轉90。的△4與G，直接寫出點C2坐標；若

△4BC內一點尸（加,〃）在的對應點為Q，則0的坐標為.（用含加，〃的式

子表示）

18.關于的一元二次方程x2+2x+k+l=0的實數解是xi和X2.

（1）求k的取值范圍；

（2）如果xi+x2-xix2<-1且k為整數，求k的值.

19.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ox2+4x-3圖象的頂點是A,與x軸交于B,

C兩點，與V軸交于點。.點B的坐標是（1,0）.

試卷第4頁，共6頁

-----------T-------\----->

O/B(\x

/\

\

II\

I

(1

/I

⑴求點A,C,。的坐標，并根據圖象直接寫出當y>o時x的取值范圍.

(2)平移該二次函數的圖象，使點。恰好落在點A的位置上，求平移后圖象所對應的二次函

數的表達式.

20.如圖，在aABC中，以AB為直徑的OO分別與BC,AC相交于點D,E,BD=CD,

過點D作的切線交邊AC于點F.

(1)求證：DF1AC；

(2)若OO的半徑為5,ZCDF=3O°,求弧BD的長(結果保留萬).

21.某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱銷售不得高于72元，市

場調查發現，若每箱以50元的價格調查，平均每天銷售500箱，價格每提高1元平均每天

少銷售10箱.

(1)設每箱漲價x元，每天盈利y元，列出y與x的函數關系式.

(2)若該批發商要盈利8750元，則每箱蘋果的售價多少元？

(3)當每箱售價為多少元時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

22.如圖1是實驗室中的一種擺動裝置，2C在地面上，支架/8C是底邊為3C的等腰直角

三角形，擺動臂4D可繞點A旋轉，擺動臂。M可繞點。旋轉，4。=30,0M=10.

試卷第5頁，共6頁

(1)在旋轉過程中,

①當A,D,M三點在同一直線上時，求的長.

②當A,D,M三點為同一直角三角形的頂點時，求/”的長.

(2)若擺動臂力。順時針旋轉90。，點。的位置由AZ3c外的點，轉到其內的點2處，連結

DO,如圖2,此時N4D2C=135°,CD2=60,求8,的長.

23.正方形/2C。和正方形/EFG的邊長分別為6和2,將正方形NEFG繞點/逆時針旋

轉.

(2)如圖2、在旋轉過程中，當點G,E,。在同一直線上時，請求出線段DG的長.

(3)在圖1中，連接BF,DF,請直接寫出在旋轉過程中△3。尸的面積最大值;

試卷第6頁，共6頁

1.c

【分析】根據一元二次方程的定義，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式

方程，判斷即可.

【詳解】A、ax2+bx+c^0,沒有給出。的取值，所以A選項錯誤；

B、x2+2x=x2-l不含有二次項，所以B選項錯誤；

C、(x-l)(x-3)=0是一元二次方程，所以C選項正確；

D、2-x=2不是整式方程，所以D選項錯誤.故選C.

考點：一元二次方程的定義.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.

2.D

【分析】首先根據圓周角定理可求得乙BOC的度數，再根據鄰補角的性質即可得出結論.

【詳解】解：,?/80C與乙D是同弧所對的圓心角與圓周角，乙0=32。，

ZBOC=2ZD=64°,

ZAOC=180°-ABOC=\80°-64°=116°,

故選：D.

【點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等,

都等于這條弧所對圓心角的度數的一半是解答此題的關鍵.

3.D

【詳解】解：為等腰直角三角形，

.■.^A=^ACB=45°,

■80°-45°=135°,

???等腰直角三角尺NBC繞著點C順時針旋轉到A'B'C的位置，

等于旋轉角，

即旋轉角為135°.

故選：D.

4.A

【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用，認真審題，找到等量關系是解題關鍵.

每輪傳染中平均一個人傳染的人數為x人，即經過第一輪有(1+x)人感染，則經過第二輪有

[(l+x)+x(l+x)]=(l+x)2人被感染，根據兩次一共有100被感染即可列出方程.

答案第1頁，共15頁

【詳解】解：由題可知(l+x)2=100.

故選：A.

5.D

【分析】本題考查的是二次函數圖象與系數的關系.根據拋物線與x軸的交點情況判斷A,

根據對稱軸判斷B,根據拋物線的對稱性判斷CD.

【詳解】解：???拋物線與x軸有兩個交點，

:.b2-4ac>,BPb2>4ac>選項A不正確；

???拋物線的對稱軸是直線x=-1,

2a-b=0,選項B不正確；

?.?點/(-3,0),對稱軸為直線x=-l,

.??拋物線與x軸的另一個交點坐標為(1,0),

當拋物線與x軸交點為(1,0)時，a+b+c=0,選項C不正確；

關于直線x=-i的對稱點坐標為。,

當x>-l時，V隨x的增大而減小，!>-1,

yi<y2>選項D正確；

故選：D.

6.C

【分析】判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中圓的性質定理，即可依次判斷，選出正確答

案.

【詳解】解：A、在同圓或等圓中，能夠相互重合的兩條弧是等弧，故本小題命題是假命題，

不符合題意；

B、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故本小題命題是假命題，不符合題意；

C、圓的兩條弦平行時，對兩條弦的端點交叉連線，形成的內錯角相等，即兩條平行弦所夾

的弧的圓周角相等，故圓的兩條平行弦所夾的弧相等，是真命題，符合題意；

D、在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，故本小題命題是假命題，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，圓周角定理，垂徑定理，平行線的性質，熟練掌握

以上知識是解題的關鍵.

答案第2頁，共15頁

7.C

【詳解】解：當正方形放在③的位置，即是中心對稱圖形.故選C.

8.C

【分析】連接04、0B,過點。作的垂直于點根據圓內接正六邊形的性質，即可

證明△/。8是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質結合勾股定理，即可解出正六邊形邊心

距.

【詳解】如圖，連接O/、OB,過點。作垂直于點”,

???六邊形ABCDEF為正六邊形

ZAOB=60°,OA=OB=AB=a,AH=BH=-,

2

【點睛】本題考查圓內接正六邊形的性質.了解圓的半徑即為正六邊形的邊長是解本題的關

鍵.

9.A

【分析】證明△/0C是等邊三角形，則0c=O/=6,AACO=60°,

ZDCB=180°-ZACO-ZACD=60°,如圖，過。作。E_Lx軸于E,則NDEC=90。，

ZCDE=180°-ZDCB-ZDEC=30°,則CE=」CD=4,OE=OC+CE=lO,由勾股定理

2

得，DE=y]CD2-CE2=473>進而可求點D的坐標.

【詳解】解：由旋轉的性質可知，ZACD=ZAOB=60°,AC=AO=6,CD=OB=8,.-.AAOC

是等邊三角形，

OC=OA=6,AACO=60°,

NDCB=180°-ZACO-ZACD=60°,

如圖，過。作￡>E_Lx軸于E,則4DEC=90。，

答案第3頁，共15頁

,-.CE^-CD=4,OE=OC+CE=10,

2

由勾股定理得，DE=y/CD2-CE2=473>

二點。的坐標為(10,46)，

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含30。的直角三角形，勾股定

理，點坐標等知識.熟練掌握旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含30。的直角三角形,

勾股定理，點坐標是解題的關鍵.

10.B

【分析】根據三角形外接圓的作法，先做出過，，B,C三點的A48C的外接圓，從而得出

答案.

【詳解】解：如圖，分別作/2、5c的中垂線，兩直線的交點為。，以。為圓心、為半

徑作圓，則O。即為過B,C三點的A42C的外接圓，

由圖可知，。。還經過點E、F、G、”這5個格點，

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角形外接圓的確定，熟練掌握圓上各點到圓心的距離相等得出其外

接圓是解題的關鍵.

11.x=l

【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可進行求解.

答案第4頁，共15頁

【詳解】解：設該方程的另一個根為。，則根據一元二次方程根與系數的關系可得：

2〃=2,

???4=1;

故答案為尤=1.

【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關

系是解題的關鍵.

12.(3,17)

【分析】本題考查二次函數圖象過定點問題，解決此類問題：首先根據題意，化簡函數式,

提出未知的常數，化簡后再根據具體情況判斷.

把含加的項合并，只有當加的系數為0時，不管力取何值拋物線都通過定點，可求x、y的

對應值，確定定點坐標.

【詳解】解：：了=2尤2-/MX+3加T

y=2x2-(x-3)-1

???當x=3時，y=17；且與俏的取值無關；

故不管m取何值時都通過定點(3,17).

故答案為：(3,17).

13.2.

【分析】因為72+也+5二,所以岳7=x,即可轉化為/一工一2=0,解方程即

可.

【詳解】解：,??，2+j2+V^^=x

V2+x=x

?'?x2-x-2=0,

解得：玉=2,%=-1(舍去)，

故x=2.

【點睛】本題考查了二次根式的運算和一元二次方程的解法，正確理解題意是解題基礎.

14.馬_走

32

【分析】證明三角形44。是等邊三角形即可得到旋轉角a的度數，再利用旋轉的性質求出

答案第5頁，共15頁

扇形圓心角以及ACDB'的兩直角邊長，進而得出圖形面積即可.

【詳解】解：如圖所示，設4兄2。交于點。，

AC=A'C且44=60°,

是等邊三角形.

???ZACA'=60°,

ZA'CS=90°-60°=30°,

???ACAD=N4=60°,

ZCDA'=90°,

■：NB'CB=ZA'CB'-ZA'CB=90°-30°=60°,

ZCB'D=30°,

CD=-CB'=-CB=-x2=l,

222

B'D=百，

SACDB.=LXCDXDB，=L=也,

c222

_60x^-x22_2萬

扇形“C3~一荷一"V'

則陰影部分的面積為：2萬-3

32

故答案為：

32

【點睛】此題考查了旋轉的性質，含30度角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質與判

定，三角形面積，扇形面積以及勾股定理應用，解題的關鍵是靈活運用以上知識并保證計算

正確.

15.-3<m<-2.5.

【分析】如圖，將陰影區域繞著點。順時針旋轉90。，與直線x=2交于C,。兩點，則點/

(2,m)在線段CD上，結合點C,D的縱坐標，即可求出m的取值范圍.

【詳解】如圖，將陰影區域繞著點。順時針旋轉90。，與直線x=2交于C,。兩點，則點/

(2,m)在線段CD上，

答案第6頁，共15頁

又???點。的縱坐標為-2.5,點C的縱坐標為-3,

■.m的取值范圍是-3/壯-2.5,

故答案為-3W*-2.5.

【點睛】考查旋轉的性質，根據旋轉的性質，畫出圖形是解題的關鍵.

16.(1)X[=g，%=3

(2)玉=0,X2=3

【分析】本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程.

(1)用十字相乘法分解因式可得(2x-1)(x-3)=0,把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程,

解一元一次方程求出一元二次方程的兩個根；

(2)用提公因式法分解因式可得x(x-2-l)=0,把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程,

解一元一次方程求出一元二次方程的兩個根.

【詳解】(1)解：2X2-7X+3=0,

分解因式得：(2xf(x-3)=0,

二.21-1=0或工一3=0,

解得：再=；，々=3；

(2)解：x(x-2)=x,

移項得：—2)—x=0,

提公因式得：x(x-2-l)=0,

x=0或工一2-1=0,

答案第7頁，共15頁

解得：無1=0,X2=3.

17.(1)A,90；(2)作圖見解析，(3,-1),(“-加)；(3)5

【分析】(1)觀察圖形，利用旋轉性質解決；

(2)分別將三個頂點繞原點。順時針旋轉90。，順次連接即可；

(3)將A沿著x軸對稱至H,連接42,與x軸交于點即可求得結果.

【詳解】(1)由圖中可知：ZBOB|=90。，所以448。繞點A逆時針旋轉90度得到

△典￡；

(2)作圖如圖所示，則由題意。(〃,一機)；

(3)作點A關于x軸的對稱點4,連接48交x軸于連接此時/M+Nf的值最

小，最小值為H8的長度，A'B=V32+42=5-故+的最小值為5.

【點睛】本題考查了旋轉的性質與作圖方法，以及軸對稱最短路徑問題，解題關鍵是熟練掌

握基本知識，靈活進行推理計算.

18.解：(1)kWO.(2)1<的值為-1和0.

【分析】(1)方程有兩個實數根，必須滿足△=b2-4acK),從而求出實數k的取值范圍；

(2)先由一元二次方程根與系數的關系，得XI+X2=-2,X】X2=k+l.再代入不等式

x1+x2-xix2<-l,即可求得k的取值范圍，然后根據k為整數，求出k的值.

【詳解】(1卜?方程有實數根，

.??A=22-4(k+l)>0,

解得kWO

故k的取值范圍是仁0.

(2)根據一元二次方程根與系數的關系，得X]+x2=-2,x1X2=k+l,

答案第8頁，共15頁

Xj+x2-x1x2=-2-(k+l)

由已知，得一2—(k+1)<-1,解得k>-2

又由⑴kWO,

/.-2<k<0

???k為整數，

??.k的值為T或0.

19.(1)/(2,1),C(3,0),0(0,-3),當y>0時，l<x<3；

(2)平移后拋物線的解析式為了=+5.

【分析】(1)把點B坐標代入拋物線的解析式即可求出”的值，把拋物線的一般式化為頂點

式即可求出點A的坐標，根據二次函數的對稱性即可求出點C的坐標，二次函數的圖象在x

軸上方的部分對應的x的范圍即為當了>0時x的取值范圍；

(2)先由點。和點A的坐標求出拋物線的平移方式，再根據拋物線的平移規律：上加下減,

左加右減解答即可；

本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線的平移規律和拋

物線與不等式的關系等知識，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：把8(1,0)代入y=辦2+4x-3,得0=。+4-3,解得：a=-l,

*'?y=—+4x—3=-(x—2)+1,

由y=-x2+4x-3得，當x=0時，y=-3,

.⑺(0,-3),

???拋物線的對稱軸是直線x=2,B、C兩點關于直線x=2對稱，

.-.C(3,0),

???根據圖象可知：當歹>。時，l<x<3；

(2)解：由(1)知：￡)(0,—3),4(2,1),

二點。平移到點A,拋物線應向右平移2個單位，再向上平移4個單位，

二平移后拋物線的解析式為〉=-(X-2-2『+1+4=-(X-4)2+5.

答案第9頁，共15頁

5JT

20.（1）見解析；（2）—.

【詳解】試題分析：（1）連接OD,由切線的性質即可得出NODF=90。，再由BD=CD,OA=OB

可得出OD是AABC的中位線，根據三角形中位線的性質即可得出，根據平行線的性質即

可得出NCFD=/ODF=90。，從而證出DF1AC；

（2）由NCDF=30。以及4ODF=90。即可算出4ODB=60。，再結合OB=OD可得出aOBD是等

邊三角形，根據弧長公式即可得出結論.

試題解析：（1）證明：連接OD,如圖所示.

???DF是。O的切線，D為切點,

.,?OD1DF,

.?ZODF=90。

???BD=CD,OA=OB,

???OD>AABC的中位線，

.-.ODHAC,

/.ZCFD=ZODF=90°,

.-.DF1AC.

(2)解：?.2CDF=30。,

由(1)得NODF=90。，

.-.ZODB=180°-ZCDF-ZODF=60°

,.OB=OD,

.-.△OBD是等邊三角形,

.-.ZBOD=60°,

ruiR60%x55

???BD弧的長==—7l

-180--1803

21.(1)J/=-10X2+400X+5000

答案第10頁，共15頁

（2）65元

（3）當每箱售價為70元時，可獲得最大利潤，最大利潤是9000元.

【分析】（1）依據題意，易得出平均每天銷售量與漲價x元之間的代數式為（500-lOx）箱,

然后根據銷售利潤=銷售量x（售價一進價），列出平均每天的盈利y（元）與漲價x元之間

的函數關系式即可；

（2）令了=8750代入（1）的函數解析式，進行計算，注意售價不能高于72元這個條件，

即可作答.

（3）根據（1）所給〉=-10/+4（）（^+5000,化為頂點式y=-10（x-20）2+9000,運用二

次函數的圖象性質，即可作答.

此題考查了二次函數的性質，以及二次函數的銷售盈利問題，正確掌握相關性質內容是解題

的關鍵.

【詳解】（1）解：由題意得：>=（x+50-40）（500-10x）,

化簡得：>>=-10X2+400X+5000,

（2）解：依題意，把>=8750代入了=一10工2+400》+5000,

則8750=-10x2+400x+5000,

.?.0=X2-40X+375=（X-25）（X-15）,

則石=25,x2=15,

則50+25=75>72（故舍去），50+15=65<72,

則每箱蘋果的售價65元；

（3）解：由（1）得出>=-10/+400》+5000,

.,??=-10（X?+40x+400-400）+5000=-10（x-20）2+9000,

???開口向下，在x=20時，>有最大值，且為9000,

則20+50=70（元），

當每箱售價為70元時，可獲得最大利潤，最大利潤是9000元.

22.⑴①40或20；②20后或10函；

答案第11頁，共15頁

（2）30后

【分析】（1）①當A,D,M三點在同一直線上時，分點別■在4D上和點M在2。的延長線

上，兩種情況計算；②當A,D,M三點為同一直角三角形的頂點時，分4。為直角邊和4。

為斜邊兩種情況計算；

（2）連接'C,根據乙43c=135。可以求出/DQ2c=90°,利用勾股定理可以求出

DtC=30n,利用SAS可證AABD?=^ACDX,根據全等三角形對應邊相等可得

BD2=CDX=3076.

【詳解】（1）解：①當A,D,M三點在同一直線上時，

若點M在4D的延長線上，

貝U4W=DW+/。=10+30=40,

若點”在4D上，

貝|J4W=/0-OM=30-10=20,

綜上所述AM的長為40或20；

②當A,D,〃三點為同一直角三角形的頂點時，

若力。為直角邊，

則AM=>]AD2+DM2=V3o2+io2=VTooo=IOVIO，

若4。為斜邊，

AM=ylAD2-DM2=A/302-102=7800=2072，

綜上所述當A,D,M三點為同一直角三角形的頂點時，的長為10a6或20亞；

（2）解:如圖所示，連接

/乂\、、

BC

???ZDXAD2=90°,AD{=AD2=30,

答案第12頁，共15頁

.??弧2=，3。2+3()2=30后,^AD[D2=ZAD2D1=45°,

?.?乙叫。二135。，

?./Dp2c=90。,

在2c中，D]C=《30何2+602=306,

???ABAC=ZD2AD1=90°,

?.ABAC-ZD2AC=ZD2AD{-ZD2AC,

?.ZBAD2=ZCAD1,

AD?=ADX

在^ABD2和八ACD、中<ZBAD2=Z.CADX,

AB=AC

:.^ABD2=^ACDX,

BD2=CD1=30A/6.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識,

解題的關鍵是添輔助線，構造全等三角形解決問題.

23.(1)BE=DG,BE1DG,理由見解析

⑵取+0或南-應

(3)30

【分析】本題屬于四邊形綜