第11講勾股定理與銳角三角函數(shù)

題型一勾股定理

1.（2021.福建?福州十八中九年級期中）若二次函數(shù)y=ax2+/zr+c的圖像與x軸有兩個交點A和2,頂點為

C,且按-4改=12,則NACB的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2021?內蒙古呼和浩特?九年級期中）已知AB,CD是。。的兩條平行弦，AB=8,8=6,。。的半徑

為5,則弦與CD的距離為（）

A.1B.7C.4或3D.7或1

3.（2021.河南?洛陽市洛龍區(qū)教育局教學研究室九年級期中）如圖，在矩形ABC。中，點E是4B的中點，

點F是的中點，連接EF,G是EF的中點，連接DG.在ABEF中，BE=2,NBFE=30°,若將ABEF繞

點8逆時針旋轉，則在旋轉的過程中，線段。G長的最大值是（）

A.>/67B.2A/17C.10D.12

4.（2021.浙江?杭州市杭州中學九年級期中）如圖，點C,。在以A3為直徑的。。上，且平分NACB,

5.（2021?浙江臺州?九年級期中）如圖，在MWABC中，ZABC=90°,AB=BC,點P在△ABC內一點，連

接RI,PB,PC,若/BAP=NCBP,且AP=6,則尸C的最小值是（）

A

A.2^/2B.3C.375-3D.372

6.（2021?陜西師大附中九年級期中）如圖所示，在邊長為12的正方形中ABC。中，有一個小正方形E打汨,

其中點E、F、G分別在線段AB、BC、FD±,若3/=3,則小正方形的邊長為（）

A.6B.5C.—D.2^/^

7.（2021?江西省臨川第二中學九年級期中）如圖，在Rt^ABC中，AB=AC,D,E是斜邊BC上兩點,

且〃4￡=45。，將AADC繞點A順時針旋轉90。后，得到連接ER下列結論：①AAED之AAEF；

②AABEsAACD；?BE+DC=DE；?BE2+DC2=DE2.其中正確的是（）

A.1個B.2個

8.（2021?浙江?杭州市十三中教育集團（總校）九年級期中）如圖，。。是以坐標原點。為圓心，40為半

徑的圓，點P的坐標為（2,2）,弦經(jīng)過點P,則圖中陰影部分面積的最小值為（）

32

A.8兀B.——71C.8兀-16D.多-8小

3

9.（2021?福建省福州第十九中學九年級期中）如圖，在矩形ABC。中,點E、尸是對角線AC上的兩點,

AB=小BC=20且EF=BC,點G是邊AB上的中點，連接GE、DF.當GE+。/取最小值時，線段CT

的長是（）

A.1B.6C.1D.2.73

10.（2021?江蘇?無錫市江南中學九年級期中）如圖1,若△ABC內一點尸滿足則

點P為△ABC的布洛卡點，已知在等腰直角三角形DE尸中，如圖2,NEDF=90。,若點0為△OEP的布

洛卡點，。。=&，貝i]EQ+FQ=（）

A.4B.4+20C.2+72D.2+2應

n.（2021?廣東?深圳市龍崗區(qū)百合外國語學校九年級期中）如圖，在四邊形ABCQ中，AE1BC,垂足為E,

ZBAE^ZADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB（左為常數(shù)），則BD的長為.（用含k的式子表示）

12.（2021?四川?中江縣凱江中學校九年級期中）在。。中，AB,CO是兩條弦，AB=6,CD=8,且

。。的半徑為5,則A3、C。之間的距離是

13.在等邊AABC中，AB=6,8。=4,點E為AC邊上一個動點，連接QE,將△COE沿著DE翻折得到

AFDE,則點F到AB距離的最小值是.

14.（2021?山東李滄?九年級期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點。在CG上，AD=,DG

=H是AF的中點，那么C”的長是___________________.

15.（2021?浙江?溫州市第四中學九年級期中）如圖，在AABC中，ADLBC,BE,AC交AD于點尸，且

BD=AD.

（1）求證：ABDF絲AADC.

（2）若F為AD的中點，且DC=1.求AC的長.

16.(2021?北京教育學院附屬中學九年級期中)如圖，點M,N分別在正方形A8CO的邊BC,CD上,且

NMAN=45。.把小ADN繞點A順時針旋轉90。得到△ABE.

(1)求證：XAEMmAANM.

(2)若3M=3,DN=2,求正方形的邊長.

17.(2021?天津河西?九年級期中)如圖，已知8C為。。的直徑，BC=5,A8=3,點A點8點C在。。上,

ZCAB的平分線交。。于點D.

(I)求AC的長；

(II)求BD,8的長.

18.(2021?河南?永城市實驗中學九年級階段練習)如圖，在正方形ABCD中，點瓦尸分別在A3和BC上,

BE=4.AE=BF=1,將ABEF繞點尸順時針旋轉，當點H落在CO邊上時，得到△GH尸.

(1)求證：ZBEF=NCFH.

(2)求E,〃兩點之間的距離.

19.(2021?四川江油?九年級期中)如圖1,將兩塊全等的直角三角形紙片AABC和ADEF疊放在一起，其中

ZACB=ZE=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,頂點。與邊4B的中點重合.

（1）若。E經(jīng)過點C,OE交AC于點G,求重疊部分（△DCG）的面積:

（2）合作交流：“希望”小組受問題（1）的啟發(fā)，將ADEF繞點。旋轉，使交AC于點H,DF交AC

于點G,如圖2,求的長.

20.（2021?北京師范大學第二附屬中學西城實驗學校九年級期中）如圖，在AABC中，ACBC,ZACB

90°,。是線段AC延長線上一點，連接B。，過點A作于E.

(1)求證：ZCAE=/CBD；

(2)將射線AE繞點A順時針旋轉45。后，所得的射線與線段BD的延長線交于點F,連接CE.

①依題意補全圖形;

②用等式表示線段所，CE,BE之間的數(shù)量關系，并證明.

題型二銳角三角函數(shù)

1.（2021?上海市金山初級中學九年級期中）已知在△ABC中，ZC=90",ZB<ZA,設sinB=n,那么"的

取值范圍是（）

A.0<n<lB.0<n<-C.0<n<—D.0<n<—

222

2.（2021?吉林?長春市凈月實驗中學九年級期中）如圖，在△ABC中，NC=90。，AB=5,AC=4,下列三角

函數(shù)表示正確的是（）

A

4443

A.sinA=—B.tanA=一C.cosA=—D.tanB=一

5354

3.（2021?安徽省馬鞍山市第七中學九年級期中）如圖，將NAOB放在正方形網(wǎng)格中，貝UcosNAOB的值為

()

A.B.平

4.如圖，已知RtAABC中，ZACB=90a,AC=3,AB=5,則cosA的值為(

5.（2021?四川?成都嘉祥外國語學校九年級期中）在RQABC中，NC=90。，CD±AB,垂足為點。，下列四

個三角比正確的是（）

ACADCDCD

A.sinAB.cosAC.tanAD.cosA

ABAC茄AD

6.（2021?陜西師大附中九年級期中）如圖所示，在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點C沿對角線3。折疊,

點C的對應點為E,線段BE交AD于點F,貝iJtanNEDb的值為（）

E

7.已知a=3,且（4tan450-6）2+j3+；6-c=0,則以。、b、c為邊長的三角形面積等于（）

A.6B.7C.8D.9

8.（2021?山東新泰?九年級期中）已知。是銳角，sincr=cos30°,則。的值為（）

A.30°B.60°C.45°D.無法確定

9.（2021?浙江勵州?九年級期末）角。，4滿足0。<1<分<45。，下列是關于角口的命題，其中簿送的

是（）

jy

A.0<sinB.0<tan/?<1C.cos，<sinaD.sin[3<cosa

2

3

10.（2021?四川樂山?中考真題）如圖，直線4與反比例函數(shù)y=—（X〉0）的圖象相交于A、3兩點，線段

x

的中點為點C,過點C作X軸的垂線，垂足為點。.直線4過原點。和點C.若直線4上存在點P（"?，"），

滿足NAPB=NAD3,則m+〃的值為（）

X

3

A.3-舊B.3或萬C.3+6或3-qD.3

>0°,sinA=1,BC=2,則

11.（2021?山東?濰坊市寒亭區(qū)教學研究室九年級期中）在R/AABC中，ZC=S

AC=?

12.（2021?上海市松江九峰實驗學校九年級期中）如圖，折線AB-BC中，AB=3,BC=5,將折線AB-BC

繞點A按逆時針方向旋轉，得到折線AD-DE,點B的對應點落在線段BC上的點。處，點C的對應點落在

點E處，連接CE,若CE±BC,則tanzEDC=_________________.

13.（2021?重慶南開中學九年級期中）計算：2tan45°+（V3-^-）0=.

14.若三個銳角1/滿足sin48。=a,cos48。=民tan48。=7,則%7由小到大的順序為

15.（2021?福建?泉州五中九年級期中）如果a是銳角，且$皿％+??248。=1,那么a.度

16.（2021?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學九年級階段練習）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內有一動點P,

且BP=6-連接CP,將線段PC繞點P逆時針旋轉90。得到線段PQ.連接CQ、DQ,則;。Q+CQ的最小值

為

17.（2021?河北,廣平縣第二中學九年級期中）（1）（1-sin45"）°-tan60°+”.

(2)cos30°-3tan60°-2sin45°?cos45°.

18.（2021?四川?成都市溫江區(qū)東辰外國語學校九年級期中）計算：0x（-2014）。-（1）-2+|2sin450

-2|.

tun60。

19.（2021?廣東?佛山市華英學校九年級期中）計算：—--cos30°

2sin600-tan45°

20.（2021?吉林?長春市凈月實驗中學九年級期中）圖①、圖②均是邊長為1的小正方形組成的5x5網(wǎng)格,

每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上.（要求：借助網(wǎng)格，只用無刻度的直尺，不要

求寫出畫法）

（1）在圖①中的線段AB上畫出點M,使AB=3AM.

21.如圖所示，△ABC中，。為AB的中點，DC±AC,且NBCD=30。，求NCDA的正弦值、余弦值和正切值.

22.（2021?上海市松江九峰實驗學校九年級期中）如圖1,已知在等腰AABC中，A8=AC=50LtanZABC

=3,BFA.AC,垂足為F.點。是邊AB上一點（不與A,B重合）.

（1）求邊BC的長；

（2）如圖2,聯(lián)結OF,DF恰好經(jīng)過△ABC的重心，求線段AD的長；

（3）過點。作。ELBC,垂足為E,DE交BF于點、Q.聯(lián)結OF,如果△DQF和△ABC相似，求線段B。的長.

I).

/Vf\

圖I圖2備用

23.（2021?北京市第三中學九年級期中）如圖，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,D為AC上一點（與點

A,C不重合），連接BD,過點A作AE_LB。的延長線于E.

（1）①在圖中作出△ABC的外接圓。。，并用文字描述圓心。的位置；

②連接。￡,求證：點E在。。上；

（2）①延長線段B。至點F,使EF=AE,連接CF,根據(jù)題意補全圖形；

②用等式表示線段CF與的數(shù)量關系，并證明.

24.（2021?陜西?西安高新第一中學初中校區(qū)九年級期中）問題提出：西安市為迎接"十四運”計劃實施擴大城

市綠化面積.現(xiàn)有一塊四邊形空地（如圖2,四邊形A8CD）需要鋪上草皮，但由于規(guī)劃圖紙被污損，僅能

看清兩條對角線AC,B。的長度分別為40cm,30cm及夾角NBEC=60。，你能利用這些數(shù)據(jù)，幫助工作人員

求出這塊空地的面積嗎？

建立模型：我們先來解決較為簡單的三角形的情況.

（1）如圖L△ABC中，。為AB上任意一點（不與4B兩點重合），連接CO,CD=a,AB=b,ZADC=a

（a為CD與AB所夾的銳角），則AABC的面積為.（用。，b,a表示）

問題解決：請你解決工作人員的問題.

（2）如圖2,四邊形ABCD中，￡為對角線AC,BD的交點，已知AC=40cm,BD=30cm,ZBEC=60°,求

四邊形ABC。的面積.（寫出必要的解答過程）

新建模型：

（3）若四邊形ABC。中，E為對角線AC,B。的交點，已知AC=a,BD=b,NBEC=a（a為AC與BD所夾

的銳角），直接寫出四邊形ABCD的面積為.（用。，b,a表示）

模型應用：

（4）如圖3,四邊形ABC。中，AD+BC=AB,ZBAD=^ABC=60°.已知BD=a,求四邊形ABCD的面積.（“新

建模型”中的結論可直接利用）

題型三解直角三角形

1.如圖，折疊矩形ABC。的一邊A。，使點。落在BC邊的點尸處，已知折痕AE=106m,且tan/CEF=。,

那么矩形A8CO的面積為（）cirf；

A.280B.300D.360

2.（2021.重慶八中九年級期中）如圖，垂直于地面的通信基地建在陡峭的山坡2C上，該山坡的坡度i

=1：2.4.小明為了測得通信基地AB的高度，他首先在C處測得山腳與通信基地的水平距離CO=156

米，然后沿著斜坡走了52米到達E處，他在E處測得通信基地頂端A的仰角為60。，則通信基地的高

度約為（）（參考數(shù)據(jù)：百11.414,73^1.732）

A.136米B.142米C.148米87米

3.如圖，在△ABC中，ZA=120°,4B=4,AC=2,貝UsinB的值是（

6721V21

4.（2021?天津河西?九年級期中）如圖，在。。中，點A,8在圓上，乙4。8=120。，弦A8的長度為46,

則半徑OA的長度為（）

A.20B.4C.2近D.3#

5.（2021.山東東昌府.九年級期中）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABC，AE,。尸為梯形的高，

其中迎水坡AB的坡角a=45°,坡長AB=10亞米,背水坡CD的坡度i=1:君，則背水坡的坡長CD為（）

米.

A.20B.2073C.10D.200

6.如圖，在放AABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,點尸在邊AC上，并且C尸=2,點E為邊BC上的

動點，將△CEE沿直線EE翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是（)

A.1B.1.2C.3D.5

7.（2021?山東沂源?九年級期中）在RSA8C中，48是斜邊，AB=IQ,BC=6,tanA=.

8.（2021.上海市金山初級中學九年級期中）在△ABC中，4B=6,BC=8,NB=60。，則△ABC的面積是—.

4

9.（2021?浙江?寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院九年級期中）如圖，在菱形ABC。中，tan/ZMB=§,AB=3,點、P為

邊AB上一個動點，延長BA到點Q,使AQ=2A尸，且C。、DP相交于點T.當點P從點A開始向右運動

到點B時，求點T運動路徑的長度為.

10.（2021?廣東?廣州六中九年級期中）如圖，△ABC的外接圓的半徑為石，AB=AC,NA4c=120。，尸為

。。中優(yōu)弧8c上一點，連接PB,PC,貝。必+PB+PC的最大值—.

11.（2021.山東泰山.九年級期中）在學習解直角三角形以后，數(shù)學興趣小組測量了學校旗桿的高度.如圖,

某一時刻，旗桿A8的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上，測得落在平臺上的影長8c為4米，

落在斜坡上的影長C。為3.8米，AB±BC,同一時刻，光線與水平面的夾角為60。，1米的豎立標桿PQ在

斜坡上的影長QR為2米，求旗桿的高度（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：6切.732）.

12.（2021?廣東?佛山市華英學校九年級期中）全球最長跨海大橋港珠澳大橋連接香港、澳門、珠海三

地，總長55千米.大橋某段采用低塔斜拉橋橋型，圖2是從圖1引申出的平面圖.假設你站在橋上測得拉

索A3與水平橋面的夾角是30。，拉索8與水平橋面的夾角是60。，兩拉索頂端的距離BC為2米，兩拉索

底端距離AD為20米，請求出立柱的長.（結果精確到0.1米，6=1.732）.

圖1

13.（2021?山東陽谷.九年級期中）如圖，小杰在高層樓A點處，測得多層樓CD最高點。的俯角為30。，小

杰從高層樓A處乘電梯往下到達B處，又測得多層樓CD最低點C的俯角為10。，高層樓與多層樓CD之間

的距離為CE,已知A8=CE=30米，求多層樓CD的高度.（結果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：石句.73,

sinl0°=0.17,cosl0°=0.98,tanl0°=0.18)

14.（2021?浙江?寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院九年級期中）校內數(shù)學興趣小組組織了一次測量探究活動.如圖，大

樓的頂部豎有一塊廣告牌CD小明與同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53。，沿坡面

A8向上走到8處測得廣告牌頂部C的仰角為45。，已知山坡的坡度7=1：石，48=12米，AE=24米

（測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：&"41,君句.73,sin53°=1,

cos53°?-,tan53°?-)

53

（1）求點8距水平地面AE的高度;

（2）求廣告牌CD的高度.

O

口

口

口

空行/口

目

AE

15.（2021?山東任城.九年級期中）如圖，在小山的東側A莊，有一熱氣球，由于受西風的影響，以每分鐘

351n的速度沿著與水平方向成75。角的方向飛行，40min時到達C處，此時氣球上的人發(fā)現(xiàn)氣球與山頂P點

及小山西側的B莊在一條直線上，同時測得8