重難點專項突破09相似三角形中的“手拉手”旋轉模型

O【知識梳理】

“手拉手”旋轉型

模型展示：

如圖，若則△ABOS/XACE.

例1、如圖，。為△ABC內一點，E為△ABC外一點，且/ABC=/DBE,/3=/4.求證:

⑴△ABDs^CBE；

(2)AABC^ADBE.

A

A

C

B21

E

例2.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEB疊放在一起，使三角板。EF的銳角頂點D與三角板ABC的斜

邊中點。重合，其中/4BC=NDEF=90。，ZC=ZF=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不動，讓

三角板O所繞點O旋轉，設射線。E與射線AB相交于點尸，射線。尸與線段BC相交于點Q.

(1)如圖1,當射線DF經過點2,即點。與點B重合時，易證AAPDsAc。。，則此時AP.CQ=

(2)將三角板。E尸由圖1所示的位置繞點。沿逆時間方向旋轉，設旋轉角為其中0。＜夕＜90。，問

AP.CQ的值是否改變？請說明理由.

AAA

E.___P]_\D(0)\p(0)\p(0)

BQC

例3.如圖，已知AABC和ADEF是兩個全等的等腰直角三角形，且ZBAC=ZEDF=90°,ADEF的頂點

E與AASC的斜邊BC的中點重合.將ADEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P,

線段EF與射線CA相交于點Q.

（1）如圖1,當點。在線段AC上，且AP=A。時，求證：MPE/ACQE；

（2）如圖2,當點。在線段CA的延長線上時，求證：ABPEsACEQ；并求當BP=a,CQ=^a時，P、

。兩點間的距離（用含a的代數式表示）.

例4.在△ABC中，CA=CB,/ACB=a.點P是平面內不與點A,C重合的任意一點.連接AP,將線段

AP繞點P逆時針旋轉a得到線段D尸，連接A。，BD,CP.

(1)觀察猜想

如圖1,當a=60。時,股的值是，直線3。與直線CP相交所成的較小角的度數是

CP

(2)類比探究

如圖2,當a=90。時,請寫出坨的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，并就圖2的情形說明

CP

理由.

(3)解決問題

當a=90。時，若點E,P分別是CA,的中點，點尸在直線EP上，請直接寫出點C,P,。在同一直線

上時螞_的值.

CP

圖1

【過關檢測】

一.選擇題(共4小題)

1.（2020秋?霍邱縣期末）如圖，△ABCg^AOE且BC、OE交于點O,連接80、CE,則下列四個結論:

①BC=DE,?ZABC=ZADE,③/8A￡）=NCAE,④BD=CE,其中一定成立的有（）

C.3個D.4個

（2023?合肥一模）已知：△ABC中，A。是中線，點E在上，且CE=C￡>,ZBAD=ZACE.則感

2.

AC

的值為（）

D,3^5

Bc.與

342

3.（2022?瑤海區三模）如圖，△ABC中，ZBAC=30°,ZACB=90°,且△ABCs△AFC,連接CC,

將CC'沿C'B'方向平移至E8,連接BE,若CC=遍，則BE的長為（）

c.aD.2

4.（2021秋?鳳陽縣期末）如圖，點尸在△ABC的邊AC上，若要判定△ABPSAACB,則下列添加的條件

不正確的是（）

c

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.空=膽D.膽=空.

ABACBPAB

二.填空題（共2小題）

5.（2020秋?蚌埠月考）如圖，△ABC會△AOE且BC、DE交于點O,連接出入CE,則下列四個結論①BC

=DE-,②NABC=NADE；③NCAE；@BD=CE,其中一定成立的有.

6.（2022?安徽模擬）在數學探究活動中，小明進行了如下操作：如圖，將兩張等腰直角三角形紙片ABC和

CDE如圖放置（其中NACB=NE=90°,AC=BC,CE=DE）.CD、CE分別與AB邊相交于M、N兩

點.請完成下列探究：

（1）若AC=2,則的值為；

（2）過M作MFUAC于R若￡旦=?，則空的值為

CM5AC

三.解答題（共6小題）

7.（2021?瑤海區校級開學）已知：如圖，AABDS^ACE.求證：△DAEs^BAC.

D、

￡

BC

8.如圖，已知：==求證：AB?CE=AC?BD.

9.（2017秋?禹會區校級期中）如圖，已知求證：

10.（2023?亳州二模）如圖1,在△ABD和△ACE中，ZBAD=ZCAE，ZABD=Z

ACE.圖1圖2

(1)①求證:△ABCsAADE；

②若AB=AC,試判斷△相＞￡的形狀,并說明理由;

(2)如圖2,旋轉△ADE,使點。落在邊BC上，若/BAC=/D4E=90°，/B=/ADE.求證：CE

±BC.

11.(2021秋?當涂縣校級期末)如圖，RtZXABC中，ZACB=9O°,AC=BC,尸為△ABC內部一點，ZAPB

=ZBPC=135

(1)求證：△HBsAPBC；

(2)求證：AC=-^PC.

12.（2020?蕪湖三模）（1）（問題發現）如圖1,△ABC和△ADE均為等邊三角形，點、B,D,E在同一條直

線上.填空：

①線段CE之間的數量關系為;

?ZBEC=°.

（2）（類比探究）如圖2,ZVIBC和△ADE均為等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°,AC=BC,AE

=DE,點、B,D,E在同一條直線上，請判斷線