2019年高考數學（理）高頻考點名師揭秘與仿真測試

92概率與統計綜合應用

【考點講解】

一、具本目標：

（1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認識分布列刻畫隨機現象的重要性，會求

某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列.

（2）了解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用.

（3）了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布,

并能解決一些簡單的實際問題.

（4）理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，

并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.

（5）借助直觀直方圖認識正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

（6）了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用.

（7）了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應用.

二、知識概述：

1..古典概型：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概型：

（1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）為有限個，且每次試驗只能出現其中的一個結果（基本事

件）；（2）每個試驗結果（基本事件）出現的可能性相等.

【溫馨提示】古典概型中基本事件數的探求方法：（1）列舉法；（2）樹狀圖法：,適合于較為復雜的問題中

的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法；（3）列表法：適用于多

元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化；（4）排列組合法：適用于

限制條件較多且元素數目較多的題目.

2.幾何概型的基本特性：

（1）試驗中所有可能出現的結果有無限個；（2）每個試驗結果（基本事件）出現的可能性相等.

3.離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，

還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和

方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其概率分布然后代入相應公式計算,

注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應.

求離散型隨機變量的分布列，首先要根據具體情況確定X的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求

出X取各個值時的概率.對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出，其中超幾

何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.

4,二項分布的判斷與應用.

①二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有

兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.

②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結

果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.

5.判斷兩個變量是否線性相關及相關程度通常有兩種方法：（1）利用散點圖直觀判斷；（2）將相關數據代

入相關系數廠的公式求出乙然后根據廠的大小進行判斷.求線性回歸方程時，在嚴格按照公式求解時，一

定要注意計算的準確性.

【真題分析】

1.[2018年高考全國口卷理數】我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德

巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和“，如30=7+23.在不超過30的素數中，隨

機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

12141518

【解析】不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個，隨機選取兩個不同的數，

共有C；0=45種方法，其和等于30的有3種方法，分別是7和23,11和19,13和17,所以隨機選取兩個

不同的數，其和等于30的概率為二3=一1，選C.

4515

【答案】C

2.【2018年高考全國H卷理數】我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德

巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和“，如30=7+23.在不超過30的素數中，隨機

選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

12141518

【解析】不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個，隨機選取兩個不同的數，

共有G：=45種方法，因為7+23=11+19=13+17=30,所以隨機選取兩個不同的數，其和等于30的

31

有3種方法，故所求概率為丁=一,故選C.

4515

【答案】C

3.【2018年高考全國I卷理數】某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番.為

更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得

到如下餅圖：

第三產業收入

第三產業收入

種植收入,種楂收入,

其他收入

養殖收入*st畋人

建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入減少B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半

【解析】設新農村建設前的收入為M,而新農村建設后的收入為2M,則新農村建設前種植收入為0.6M,

而新農村建設后的種植收入為0.74M,所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農村建設前其他收入為

0.04M,新農村建設后其他收入為0.1M,故增加了一倍以上，所以B項正確；新農村建設前，養殖收入為

0.3M,新農村建設后為0.6M,所以增加了一倍，所以C項正確；新農村建設后，養殖收入與第三產業收入

的綜合占經濟收入的30%+28%=58%〉50%'所以超過了經濟收入的一半，所以D正確；故選A.

【答案】A

4.【2018年高考全國III卷理數】某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為夕，各成員的支付方式相互

獨立，設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，DX=2A,P(X=4)<P(X=6),則

P=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【解析】；D(X)="p(l。=。.4或。=0.6,

46642

P(X=4)=Cf0jp(1-p)<P(X=6)=Cf0p(1-p),(1-p)<p~,可知p>0.5,故夕=0.6.故

選B.

【答案】B

5.【2018年高考浙江卷]設0</<1,隨機變量q的分布列是

012

1-Pj_P_

P

22~2

則當p在(0,1)內增大時，

A.D4)減小B.。(①增大

C.D(，先減小后增大D.D學)先增大后減小

【解析】

??E(f)=0X子+1X：+2=p+；二De=1(0-p-i)2+j(1-p-y)z+￡(2-p-2=

-p2+p+^

事(0,1)

，D(《)先增大后減小，故選D.

【答案】D

6.[2018年高考全國I卷理數】下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構

成，三個半圓的直徑分別為直角三角形A8C的斜邊8C,直角邊AB,AC.AABC的三邊所圍成的區域記

為I,黑色部分記為n,其余部分記為m.在整個圖形中隨機取一點，此點取自I,n,iii的概率分別記

為pi,P2,P3,則()

A

A.pi=p2B.P1=P3

C.P2=P3D.P1=P2+P3

【解析】設4。=氏45=C,5。=。，則有從+C2="，從而可以求得AA5C的面積為耳=g)c,黑色

7122

部分的面積為S2=兀,((')2+,(~)-[^,(^)~~jbc]

兀.3^+4c/c,

=7T（—+—-—）+-Z^C=

4442422

其余部分的面積為S3=7r§)2—gbc=丫―/be,所以有耳=$2,

根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到“_力，故選A.

P1~K2

【答案】A

7.【2017年高考浙江卷】已知隨機變量。滿足P(。=1)=pi,P(。=0)=1-p,,i=l,2.若0<pi<p2<；,

則

A.E記J<E記2)，D&)<D&)B.E記j<E記2)，。&)>。6)

C.E?)>E?),D&)<D&)D.E&)>E?),￡>?)>￡>6)

【解析】?；E&)=Pi，E&)=p2，,E&)<E&),

*/。(。)=月(1一月),。(&2)=。2(1-。2)，，。&)一。(&2)=(。1一。2)(1-。1一必)<。，故選A.

【答案】A

8.【2017年高考山東卷理數】為了研究某班學生的腳長》(單位：厘米)和身高V(單位：厘米)的關系,

從該班隨機抽取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看出y與X之間有線性相關關系，設其回歸直線方

1010

程為$=%+6.已知、>,=225,?=1600,6=4.該班某學生的腳長為24,據此估計其身高為

1=11=1

()

A.160B.163C.166D.170

【解析】由已知得￡=22.5,5=160,則g=160—4x22.5=70,當x=24時，y=4x24+70=166-故選

C-.

【答案】C

9.【2018年高考江蘇卷)某興趣小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參加活動，則恰好選

中2名女生的概率為.

【解析】從5名學生中抽取2名學生，共有C；=10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有C；=3種，因

此所求概率為2.故答案為：—.

1010

3

【答案】—

10

10.12016高考新課標2理數】某險種的基本保費為。(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人,

續保人的本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如下：

上年度出險次數01234>5

保費0.85aa1.25a1.5a1.75。2a

設該險種一續保人一年內出險次數與相應概率如下:

一年內出險次數01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(I)求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率；

(II)若一續保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；

(III)求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

【分析】

(I)根據互斥事件的概率公式求一續保人本年度的保費高于基本保費的概率；(H)一續保人本年度的保

費高于基本保費，當且僅當一年內出險次數大于3,由條件概率公式求解；(III)記續保人本年度的保費為X,

求X的分布列，再根據期望公式求解.

【解析】(I)設A表示事件：“一續保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發生當且僅當一年內出險

次數大于1,故尸(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(H)設3表示事件：“一續保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件3發生當且僅當一年內出險

次數大于3,故尸(3)=0.1+0.05=0.15.又尸(")=尸(5),故尸(3|人)=四2=△"="=』.

P(A)P(A)0.5511

因此所求概率為士3.

11

（Ill）記續保人本年度的保費為X,則X的分布列為

X0.85。a1.25a1.5a1.75a2a

p0.300.150.200.200.100.05

=0.85ax0.30+ax0.15+1.25ax0.20+L5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05

=1.23a

因此續保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23

11.【2016山東理19】甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活

動中，如果兩人都猜對，貝廣星隊”得3分；如果只有一個人猜對，貝廣星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，貝/'星

32

隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是一，乙每輪猜對的概率是一；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響.各

43

輪結果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動，求：

（1）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（2）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數學期望EX.

【解析】（1）記事件A:“甲第一輪猜對“，記事件3：“乙第一輪猜對“，記事件C：“甲第二輪猜對“，記

事件D：“乙第二輪猜對“，記事件E：“星隊”至少猜對3個成語”.

由題意，E=ABCD+~ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.

由事件的獨立性與互斥性，

P（E）=P（ABCD）+P（ABCD）+P（^ABCD）+P^ABCD）+ABC萬）=

P（A）P（JB）P（C）P（D）+P（A）P（JB）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P（D）+

P（A）P（B）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P（D）=

3232°C2323132）2

4343（4343434313

2

所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為一.

3

（2）由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，

11111、(31111211、105

得—X—X—X———，P(X=l)=2x—X—X—X—+—X—X—X—=-------=

P(X=O))

4343144I(43434343J14472

…小313131121231121225

\,4343434343434343144

..321111321

P(X=3)=—x—x—x—+—x—x—x—=—

',4343434312

32313212、605

p(X=4)=2x—X—X—X—H——X—X—X—=-------=——

43434343j14412

D/V_G_3232_1

P(X_o)—_x_x_x_—一

'743434

可得隨機變量X的分布列為

X012346

p152515￡

1447214412124

152515123

所以數學期望EX=0x-^+lx——+2x3+3x±+4x3+6義士=

14472144121246

12.【2016全國乙理19】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購

進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500

元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更

換的易損零件數，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三

年內共需更換的易損零件數，”表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X京辦)0.5,確定n的最小值；

(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在〃=19與〃=20之中選其一，應選用哪個？

【解析】(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,

I的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而：P(X=16)=0.2x0.2=0.04；P(X=17)=2x0.2x0.4=0.16；

P(X=18)=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24；P(X=19)=2x0.2x0.2+2x0,4x0,2=0.24；

P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0,2；P(X=21)=2x0,2x0,2=0.08；P(X=22)=0.2x0,2=0.04.

所以x的分布列為：

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)由(1)知,P(X<18)=0.44,P(X<19)=0.68,故〃的最小值為19.

(3)記y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).

當〃=19時，EK=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+

(19x200+2x500)x0.08+(19x200+3x500)x0.04=4040.

當〃=20時，￡K=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.

可知當〃=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值，故應選力=19.

13.【2018年高考北京卷理數】電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.

假設所有電影是否獲得好評相互獨立.

（1）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

（2）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

（3）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“4=1”表示第左類電影得

到人們喜歡，“蔡=0”表示第％類電影沒有得到人們喜歡（k=L2,3,4,5,6）.寫出方差。”2,

D&3,。虞，。短的大小關系.

【解析】（1）由題意知，樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000,

第四類電影中獲得好評的電影部數是200x0.25=50.故所求概率為3-=0.025.

2000

（2）設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影

獲得好評”.故所求概率為尸（AB+AB）=P（A衛）+P（初）=尸（A）（1—尸（2））+（上尸（人））尸（B）.

由題意知：P（A）估計為0.25,P（B）估計為0.2.

故所求概率估計為0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

（3）D&I>D&A>D&2=D&5>D43>D&6.

14.【2018年高考天津卷理數】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分

層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.

（1）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢

查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望；

（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發生的概率.

【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為3：2：2,

由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.

(2)(i)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(X』t)c；(仁0,1,2,3).所以，隨機變量X的分布列為

X0123

112184

P

35353535

11912412

隨機變量X的數學期望E(X)=0x—+lx—+2x，+3x—=—.

353535357

(ii)設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”;

事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，

則A=BUC,且2與C互斥，

由⑴知，P(B)=P(X=2),P(Q=P(X=1),故尸(A)=尸(8U0=P(X=2)+尸(X=l)=9.所以，事件A發生的概率

7

6

為一.

7

15.【2017年高考全國I卷理數】為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨

機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產

的零件的尺寸服從正態分布N(").

(1)假設生產狀態正常,記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3b)之外的零件數,

求P(X21)及X的數學期望;

(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(〃-3b,〃+3b)之外的零件，就認為這條生產線在這一

天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

(i)試說明上述監控生產過程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

1161116I116

經計算得元=/X%=9-97,S=?—元)2=—16N2)aQ212,其中X,為抽取的

16i=lVi=iVi=i

第，個零件的尺寸，力=1,2,…,16

用樣本平均數天作為〃的估計值。，用樣本標準差s作為b的估計值］,利用估計值判斷是否需對當

天的生產過程進行檢查？剔除("-33,衣+33)之外的數據，用剩下的數據估計〃和a(精確到0.01).

附：若隨機變量Z服從正態分布NQz,/),則P(〃—3(r<Z<A+3b)=0.9974,

0.997416a0.9592，-0.008?0.09.

【分析】(1)根據題設條件知一個零件的尺寸在(〃-3b,〃+3b)之內的概率為0.9974,則零件的尺寸在

(〃—3b,〃+3b)之外的概率為0.0026,而*~5(16,0.0026),進而可以求出X的數學期望.(2)(i)判斷

監控生產過程的方法的合理性，重點是考慮一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在(〃-3s〃+3b)之外

的零件的概率是大還是小，若小即合理；(ii)根據題設條件算出〃的估計值和b的估計值，剔除

(。—36,"+36)之外的數據9.22,算出剩下數據的平均數，即為〃的估計值，剔除(。—36,。+33)之外

的數據9.22,剩下數據的樣本方差，即為b的估計值.

【解析】(1)抽取的一個零件的尺寸在(〃一3CT，A+3CT)之內的概率為0.9974,

從而零件的尺寸在(〃一3。,〃+3。)之外的概率為0.0026,故*~5(16,0.0026).

因止匕P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.997416x0.0408.

X的數學期望為EX=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生產狀態正常，一個零件尺寸在(〃—3cr,〃+3cr)之外的概率只有0.0026,一天內抽取的16

個零件中，出現尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的零件的概率只有0.0408,發生的概率很小.因此一旦發生這

種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢

查，可見上述監控生產過程的方法是合理的.

(ii)由元=9.97,6^0.212,得〃的估計值為。=9.97,s的估計值為3=0.212,

由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在(衣-33,。+36)之外，

因此需對當天的生產過程進行檢查.剔除(。-33,。+36)之外的數據9.22,剩下數據的平均數為

^(16x9.97-9.22)=10.02,因此〃的估計值為10.02.

16

Zx；=16X0.2122+16義9.972。1591.134,剔除3-33,"+33)之外的數據9.22,

Z=1

剩下數據的樣本方差為人(1591.134-9.22z-15義10022)。0.008，因此。的估計值為70008工0.09.

【模擬考場】

1.【2018年高考江蘇卷】已知5位裁判給某運動員打出的分數的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的

分數的平均數為-

【解析】由莖葉圖可知，5位裁判打出的分數分別為89,89,90,91,9r

89+89+90+91+91

故平均數為=90.

5

【答案】90

2.【2018年高考江蘇卷】某興趣小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參加活動，則恰好選

中2名女生的概率為.

【解析】從5名學生中抽取2名學生，，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概

3

【答案】歷

4.［2017年高考江蘇卷】記函數f(x)=《6+x—x2的定義域為￡>.在區間［-4,5］上隨機取一個數x,則

xeD的概率是______________

【解析】由6+%—%220,即%2—%—6?0,得—2?x?3,根據幾何概型的概率計算公式得xc。的概

^±7日.3-(-2)5

舉7E

5-(-4)9

【答案】|

5.【2017年高考江蘇卷】某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200,400,300,100

件.為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽■取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品

中抽取件.

【解析】應從丙種型號的產品中抽取60x巨”=18件，故答案為18.

1000

【答案】18

6.【2017年高考全國H卷理數】一批產品的二等品率為Q02,從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽

取100次，X表示抽到的二等品件數，則DX=.

【解析】由題意可得，抽到二等品的件數符合二項分布，即乂~3（100,0.02）,由二項分布的期望公式可

得DX=帆（1一p）=100x0.02x0.98=1.96.

【答案】1.96

7.某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的,

出現故障時需1名工人進行維修.每臺機器出現故障需要維修的概率為1.

3

（1）問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不少于

90%?

（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資.每臺機器不出現

故障或出現故障能及時維修，就使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤.若該廠現有2名工人.求

該廠每月獲利的均值.

【解析】（1）一臺機器運行是否出現故障可看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障設為事件A,則事

件A的概率為工；該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復試驗，可設出現故障的機器臺數為X,則

3

X?B（4,寺）,p（x=0）=C：Cl"），喏■'P（X=1）=C；!,瑙■'

P（X=2）=C：?。）P（X=3）=C；?停）工會卷，

則X的分布列為：

X01234

p16322481

8181818181

設該廠有n名工人，貝心每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修”為X<n,

則X=0,X=l,X=2,…，X=n,這a+1個互斥事件的和事件，貝!I

n01234

P(X<n)164872801

81818181

至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不少于90%；

（2）設該廠獲利為V萬元，則丫的所有可能取值為：18,13,8,

P（y=i8）=p（x=o）+p（x=l）+p（x=2）=^7>

ol

o

P(Y=13)=P(X=3)—，

ol

P(Y=8)=P(X=4)4；

ol

則y的分布列為：

Y18138

P7281

818181

則E(Y)=18X導13XJ~+8xJ?丹暑；故該廠獲利的均值為噤?.

ololololol

8.有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現場投票決定歌手名次.根據年一齡將大眾評

委分為5組，各組的人數如下:

組別ABCDE

人數5010015015050

(1)為了調查評委對7位歌手的支持情況，現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組抽取

【分析】已知總人數和各組人數在第一問中是分層抽樣，抽樣比為襦，第二問針對A,B組各選1人.

解題目標：(1)求各組分層抽樣的人數.(2)求A,B組中支持1號的概率.

關系探究：第一問中由B組得出抽樣比，其它各組按這個抽樣比抽取人數.

第二問把A,B兩組被抽到的人員用字母表示，把事件用符號表示，由古典概型計算概率.

【解析1(1)由題設知，分層抽樣的抽取比例為6%,所以各組抽取的.人數如下表：

組別.ABCDE

人數5010015015050

抽取人數36993

(2)記從A組抽到的3位評委分別為ai，a2,a3,其中血，a?支持1號歌手；從B組抽到的6位評委分

別為b],b2,b3，bs，b6，其中bi，b2支持1號歌手，從｛ara2，a§｝和｛bi，ba，bs，b《，b6,be｝中各抽

取1人的所有結果如圖：

由樹狀圖知所有結果共18種，其中2人都支持1號歌手的有aibi，aib2，azbi，a2b2，共4種，故所求

42

概率P=l8=9-

9.在某大學自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全.部參加了“數學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的

考試，成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生的兩科考試成績的數據統計如下圖所示，其中“數

學與邏輯”科目的成績等級為B的考生有10人.

(1)求該考場考生中,"閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數；

(2)若等級A,B,C,D,E分別對應5分，4分，3分，2分，1分，求該考場考生“數學與邏輯”科目

的平均分；

(3)已知參加本考場測試的考生中，恰有2人的兩科成績等級均為A.在至少一科成績等級為A的考生中，

隨機抽取2人進行訪談，求這2人的兩科成績等級均為A的概率.

【解析】(1)因為“數學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，

所以該考場有10M.25=40(人).

所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數為40x(1-0.375-0.375-0.15-0.025)

=40x0.075=3.

(2)該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分為

知“40x0.2)+2x(40x04)+3x(40x0.375)+4x(40x0.25)+5x(40x0.075)]=29

(3)因為兩科考試中，共有6個A,又恰有2人的兩科成績等級均為A,所以還有2人只有一個科目成

績等級為A.

設這4人為甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是兩科成績等級都是A的同學，則在至少一科成績等級為A

的考生中，隨機抽取2人進