連州市2024-2025學年度第一學期期中核心素養展示活動

九年級數學試卷

本試卷共6頁，23小題，滿分為120分，考試用時120分鐘.

注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆在答題卡填寫自己

的準考證號、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆在“考場號”和

“座位號”欄相應位置填涂自己的考場號和座位號.將條形碼粘貼在答題卡“條形

碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的

答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答

在試題上.

3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；

不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.下列方程：x°+—=1,x2-2x-3=0,x2+y-l=0,ax2+bx+c=Q（其中a、b、c為

尤

常數，且awO）是一元二次方程的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

2.軸對稱圖形和中心對稱圖形是我們生活中常見的幾何圖形，下列圖形是中心對稱圖形，

但不是軸對稱圖形的是（）

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

3.在一個不透明的口袋中裝有10個除顏色外均相同的小球，每次摸球前先將袋中的小球搖

均勻，隨機摸出一個球記下顏色后放回袋中，通過大量重復摸球試驗后，發現摸到黑球的頻

率穩定在0.3,則袋中黑球約有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.下列是一元二次方程/+2》一3=0的解的是（）

A.x=}B.x=—1C.x=2D.x=—2

試卷第1頁，共6頁

5.一元二次方程，+4六1=0經過配方后可變形為（）

A.（x-2）2=3B.（X-2）2=5

C.（X+2）2=3D.（X+2）2=5

6.關于x的一元二次方程/+3x+2=0的根的情況（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D.無法確定

7.順次連接等腰梯形四邊中點所得到的四邊形是（）

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

8.如圖，在菱形48CD中，對角線NC,8。相交于點O,￡為/。的中點，且OE=3,則

菱形/BCD的周長為（）

A.9B.12C.18D.24

9.如圖，矩形/08C的邊NO,2。分別落在直角坐標系y軸和x軸上，且49=3,

AB=5,則點C的坐標為（）

C.（4,5）D.（3,4）

10.如圖，正方形ABCZ1的周長為16,是等邊三角形，點E在正方形ABCD內部,

點尸是對角線/C上的動點，連接尸E、PD,則PE+尸。的最小值為（）

A.272B.2后C.4D.472

試卷第2頁，共6頁

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.一元二次方程2/-3x+l=0的二次項系數為—，一次項系數為—，常數項為—.

12.若x=l是關于x的一元二次方程X2+7MX-3=0的一個根，則機的值是.

13.如圖是兩個各自分割均勻的轉盤，同時轉動兩個轉盤，轉盤停止時（若指針恰好停在分

割線上，則重轉一次，直到指針指向某一個區域為止），兩個指針所指區域的數字之和為奇

14.如圖，菱形的兩條對角線/C、5。相交于點。，AC=S,BD=6,則菱形的面

積為.

15.如圖，將矩形48。沿著對角線5。折疊得到A&DC',若3c=8,CD=6,則力。。與

矩形/BCD重疊部分ABE。的面積為.

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分.

16.請用適當的方法解方程：x?+6x+9=2（x+3）.

17.如圖，2。是矩形的一條對角線.

（1）作的垂直平分線EF,分別交4D,BC于點、E,F,垂足為點O；（要求用尺規作圖,

保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）在（1）中，連接和。R求證：四邊形DE8廠是菱形

試卷第3頁，共6頁

18.如圖，口ABCD,BE平分/4BC,CE平分/BCD.BF//CE,CF//BE.求證：四

邊形BEC尸是矩形.

四、解答題(二)：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.根據以下素材，探索完成任務.

材料1：打印機碳粉盒和碳粉是常用的消耗品，需要定時更換，某公司統一購買打印機碳粉

盒和碳粉.

材料2：該公司后勤部準備補進打印機碳粉盒和碳粉共400件.批發市場上碳粉盒的單價為

80元，碳粉單價為30元.商家為了促銷且保證有一定的利潤，當碳粉盒購買數量超過80

件時，每多購買1件，所有碳粉盒的單價下降1元，但單價不低于50元.

問題解決

(1)任務1：若補進碳粉盒90件，求公司后勤部補進碳粉盒和碳粉共花元(直接寫出

結果)

(2)任務2：設補進碳粉盒x件，若804x4110,則補進的碳粉盒單價為元，補進碳粉

的總價為元(用含有x的代數式表示，直接寫出結果)；

(3)任務3：在任務2的條件下，若該公司后勤部補進碳粉盒和碳粉共花了15000元，求補進

碳粉多少件？

20.有四張反面完全相同的紙牌/,B,C,D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將四

張紙牌洗勻正面朝下隨機放在桌面上.

試卷第4頁，共6頁

(1)從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是.

(2)小明和小亮約定做一個游戲，其規則為：先由小明隨機摸出一張，不放回.再由小亮從

剩下的紙牌中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則

小亮獲勝，否則小明獲勝.這個游戲公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖說明理由.

21.綜合與實踐

【實踐操作】

步驟1：準備一張矩形紙片；

步驟2：按如圖所示方式操作：將A/BE沿BE翻折，使點/落在對角線8。上的點“處；

步驟3：按如圖所示方式操作：將△€*￡1尸沿DF翻折，使點C落在對角線50上的點N處.

nF('

【實踐探索】

(1)用你所學數學知識說明：四邊形5即尸是平行四邊形；

(2)當四邊形BE。尸是菱形時，且/8=2,求菱形尸的面積.

五、解答題(三)：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14,共27分.

22.【材料閱讀】

十六世紀的法國數學家韋達在研究一元二次方程的解法的過程中，發現方程的根與系數之間

存在著特殊關系，由于該關系最早由韋達發現，人們把這個關系稱之為韋達定理.韋達定理:

有一元二次方程形如辦2+加+C=0(a,b,C是常數，且。工0)的兩根分別為X1，尤2則有

bc

Xj+%2=--，X|X=一?

a2a

【問題解決】

(1)若加，〃是關于x的一元二次方程/-5x+6=0的兩個實數根；求■1■+■的值.

mn

試卷第5頁，共6頁

(2)若占，%是關于x的一元二次方程%2-2(左+l)x+l+2=0的兩個實數根，且

(X1+1).(X2+1)=8,求人的值.

(3)己知：a,B(a>〃)是一元二次方程V-x-l=O的兩個實數根，設用=a+/3,

22

s2=a+/3,求1，S2的值.

23.問題背景：

如圖1,在正方形4BCD中，點E、尸分別在邊3C、上，ZEAF=45°,

圖1圖2圖3

(1)延長FD到點尸使。尸=8E,連接4尸，求證：EF=BE+DF；

(2)遷移應用：如圖2,在正方形48co中，。/、QB交CD于點、G、H,過點/作

交BC于M,交BH于I,連接GM,若N4QB=45。,CH=3,GH=l,求NG的長；

(3)聯系拓展：如圖3,在矩形/BCD中，點E、尸分別在邊BC、C。上，ZEAF=45°,分別

取42,/￡的中點M,T,連接"T并延長交CD于N,連接7F,若

DF-.AD:AB=\-.2-A,直接寫出BE與CE的數量關系.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2

的整式方程叫一元二次方程.根據一元二次方程的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：工2+±=1含有分式，不是一元二次方程，

X

無2+>一1=0含有兩個未知數，不是一元二次方程，

X2-2X-3=0,ax2+bx+c=0(其中。、b、c為常數，且。片0)是一元二次方程，

故選：B.

2.A

【分析】此題考查的是中心對稱圖形和軸對稱圖形的識別，掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形

的定義是解決此題的關鍵.根據中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】A.平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項符合題意.

B.菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

D.正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選擇：A

3.C

【分析】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是利用了用大量試驗得到的頻率

可以估計事件的概率.在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概

率附近，再根據概率進行計算即可.

【詳解】解：???通過大量重復摸球試驗后，發現摸到黑球的頻率穩定在0.3,

二摸到黑球的概率為0.3,

袋中黑球約有10x0.3=3(個)，

故選：C.

4.A

【分析】本題考查解一元二次方程、一元二次方程的解.利用因式分解法求出*+2x-3=0

的解，即可得出答案.

【詳解】解：x2+2x—3=0,

因式分解得(x+3)(x-l)=0,

可得x+3=0或、一1=0,

答案第1頁，共14頁

解得占=-3,x2=l,

觀察四個選項可知，只有選項A符合要求，

故選：A.

5.D

【分析】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后可

得答案.

【詳解】解：,?-x2+4x-1=0,

.1?x2+4x=L

貝ijN+4x+4=l+4,即（x+2）2=5,

故選：D.

【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:

直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解

題的關鍵.

6.B

【分析】本題考查了根的判別式，先計算出根的判別式的值得到A>0,然后根據根的判別

式的意義判斷方程根的情況.

【詳解】解：,?,A=32-4xlx2=l>0,

二有兩個不相等的實數根.

故選：B.

7.B

【分析】此題主要考查的是三角形的中位線性質和菱形的判定.根據等腰梯形的性質及中位

線定理和菱形的判定，可推出四邊形為菱形.

【詳解】解：如圖，等腰梯形/3CD中，AD//BC,AB=CD,E、F、G、a分別是各

邊的中點，連接/C、BD,

E、尸分別是48、2c的中點,

答案第2頁，共14頁

同理尸6=工8。,6〃=l/。,即=工8。，

222

又；四邊形NBC。是等腰梯形，

/.AC—BD,

：.EF=FG=GH=HE,

四邊形EFGH是菱形，

故選：B.

8.D

【分析】由菱形性質結合題意可得出為A/。中位線，即得出CD=2OE=6,進而由菱

形的周長公式求解.

【詳解】解：,??菱形NBCD中，對角線NC,5。相交于點O,

二點0為AC中點，

.?.OE為"C。中位線，

CD=20E=6,

二菱形ABCD的周長為4CD=24.

故選D.

【點睛】本題考查菱形的性質，三角形中位線定理.掌握三角形的中位線平行于第三邊并且

等于它的一半是解題關鍵.

9.B

【分析】本題考查了坐標平面內的點的坐標特征，同時也考查了矩形的性質，勾股定理，熟

練掌握平面直角坐標系各個象限的點的坐標特征是解答本題的關鍵.先由勾股定理得到

0B=4,結合矩形的性質及點C所在象限即可得解；

【詳解】???四邊形NOBC是矩形，

.-.OA=BC,OB=AC,NAOB=90°,

???/。=3,48=5,在直角三角形中，由勾股定理得：

OB=>]AB2-OA2=552-32=4，

又點C到了軸的距離為4C的長度4,到X軸的距離為NO的長度3.

又因為點C在第一象限，所以點C的坐標為（4,3）.

故選擇：B

10.C

答案第3頁，共14頁

【分析】此題主要考查了軸對稱-最短路線問題，由于點8與。關于NC對稱，所以連接

BD,與/C的交點即為P點.此時尸。+尸石=8￡最小，而3E是等邊“BE的邊，

BE=AB,由正方形/BCD的周長為16,可求出48的長，從而得出結果.

【詳解】解：連接8。，與/C交于點E

?.?點8與。關于NC對稱,

???PD=PB,

■.PD+PE=PB+PE>BE,

PD+PE=BE最小，

?.?正方形48C。的周長為16,

AB=4,

又是等邊三角形，

*'?BE=AB=4,

故尸E+PD的最小值為4.

故選：C.

11.2-31

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，直接根據題意作答即可.

【詳解】一元二次方程2尤2一3》+1=0的二次項系數為2,一次項系數為-3,常數項為1.

故答案為：2；-3；1.

12.2

【分析】把x=l代入方程Y+加x-3=0,得出一個關于俄的方程，解方程即可.

【詳解】解：把x=1代入方程f+W/X-3=0得：1+機一3=0,

解得：m=2.

故答案為：2

【點睛】本題考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，關鍵是能根據題意得出一個關于

機的方程.

答案第4頁，共14頁

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，兩個指針

所指區域的數字之和為奇數的結果數，然后根據概率公式計算.

【詳解】解：畫樹狀圖為：

開始

123412341234

和345645675678

共有12種等可能的結果，兩個指針所指區域的數字之和為奇數的結果數為6種，

所以兩個指針所指區域的數字之和為奇數的概率是二=4.

故答案為：—.

14.24

【分析】本題考查了菱形的面積，根據菱形的性質解答即可求解，掌握菱形的面積等于對角

線積的一半是解題的關鍵.

【詳解】解：???四邊形/BCD是菱形，4c=8,BD=6,

A

???S菱形ABCD=；C?BD=1X8X6=24,

故答案為：24.

175

15.—

4

【分析】此題通過折疊變換考查了三角形的有關知識，S.BED=；DE-AB,所以需求DE的

長.根據NC'BD=NDBC=NBDA得DE=BE,設。E=x,則4E=8-x,根據勾股定理求

BE即DE的長.

【詳解】解：???ABCD為矩形，

AD//BC,

ZDBC=ABDA,

???將矩形/BCD沿著對角線折疊得到ABOC',

ZC'BD=ZDBC,

答案第5頁，共14頁

??.ZCBD=ABDA,

*'?DE=BE,

設DE=x,則AE=8-x,

在RtZ\48E中，BE2=AB2+AE2,

.-.x2=62+(8-X)2.

解得％=」25，

4

c=1”5=125,=75j

???SADBE22V

75

故答案為：.

4

16.X[=—3,%2=-1

【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，靈活運用提取公因式法分解因式是解題的

關鍵.

先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，可以得到兩

個一元一次方程，進而求解.

【詳解】解：J+6x+9=2(x+3)

(x+3)2=2(x+3)

(X+3)2-2(X+3)=0

(x+3)(x+3-2)=0

(x+3)(x+l)=0

x+3=0或x+l=0

..——3,x?=一1

17.(1)作圖見解析；(2)證明見解析.

【詳解】(1)分別以B、D為圓心，以大于1田的長為半徑四弧交于兩點，過兩點作直線

即可得到線段BD的垂直平分線；(2)利用垂直平分線證得三aBFO即可證得

EO=FO,進而利用菱形的判定方法得出結論.

本題解析:⑴如圖所示：EF即為所求；

答案第6頁，共14頁

(2)證明：如圖所示：???四邊形ABCD為矩形，.?.AD||BC,「ZADB2CBD,

???EF垂直平分線段BD,??.BO=DO,

在△口￡()和三角形BFO中，

/ADB=ZCBD

v{BO=DO

/DOE=ZBOF

/.ADEO=ABFO(ASA),??.EO=FO,

???四邊形DEBF是平行四邊形，又???EF1BD,

???四邊形DEBF是菱形.

18.見解析

【分析】根據題意可證明四邊形2ECF"是平行四邊形，根據角平分線可得=

ZECB=^ZBCD,根據平行四邊形得48〃。，可得43C+N8S=180。，貝!]

EBC+ZECB=90°,根據三角形內角和定理得/BEC=90。，即可得.

【詳解】證明：-.-BF/ZCE,CF//BE,

四邊形8E3是平行四邊形，

?；BE平分NABC,CE平分NBCD,

ZEBC=-ZABC,ZECB=-ZBCD,

22

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,

ZABC+ZBCD=1^0°,

EBC+ZECB=1(ZABC+ZBCD)=NEBC+ZECB=90°,

:.NBEC=90°,

??.平行四邊形8EC尸是矩形.

答案第7頁，共14頁

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，角平分線，矩形的判定，解題的關鍵是理解

題意，掌握這些知識點.

19.(1)15600元

⑵(160-x)；(12000-30^)

(3)300件

【分析】本題考查了列代數式和一元二次方程的實際應用.

(1)根據題意“當碳粉盒購買數量超過80件時，每多購買1件，所有碳粉盒的單價下降1

元，但單價不低于50元”列出算式即可求解；

(2)設補進碳粉盒x件，根據題意列出代數式即可求解；

(3)根據題意列出一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：依題意，碳粉盒補進90件，則

[80-(90-80)xl]x90+(400-90)x30=15600^,

.??若補進碳粉盒90件，公司后勤部補進碳粉盒和碳粉共花15600元，

故答案為：15600；

(2)解：設補進碳粉盒x件，若80VXV110,剛補進碳粉盒的單價為80-(x-80)xl=160-x

(元)，

補進碳粉的總價為：(400-x)x30=12000-30x(元)，

故答案為：(160-x),(12000-30x);

(3)解：依題意，(160-x)尤+(12000-30x)=15000,

解得：%=30,x2=100,

?■-80<x<110,

=100,400-100=300,

答:補進碳粉300件.

3

20.(1)-

(2)游戲不公平，理由見解析

【分析】(1)直接根據概率公式計算即可.

(2)首先列表列出可能的情況，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的

答案第8頁，共14頁

結果有2種，由概率公式得出小亮獲勝的概率和小明獲勝的概率，得出游戲不公平.

【詳解】（1）解：共有4張牌，正面是中心對稱圖形的情況有3種，

3

從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是了;

4

3

故答案為：—；

4

（2）游戲不公平，理由如下：

列表得：

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12種結果，每種結果出現的可能性相同，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中

心對稱圖形的結果有2種，

._2__1

:，P（兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形）=五二不，

???小亮獲勝的概率為六，小明獲勝的概率為

???游戲不公平.

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可

能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注

意此題是放回試驗還是不放回試驗.正確利用樹狀圖分析兩次摸牌所有可能結果是關鍵，區

分中心對稱圖形是要點.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

21.（1）證明見解析；

Q呼.

【分析】本題考查了矩形和菱形的性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理等知識，掌握

相關知識是解題的關鍵.

（1）根據折疊和矩形的性質以及平行四邊形的判定證明即可；

（2）根據折疊的性質、菱形的性質和面積解答即可.

答案第9頁，共14頁

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是矩形，

AD//BC,48||C。，則乙48。=,

由折疊性質可得：

ZEBD=-ZABD,ZFDB=-ZCDB,

22

ZEBD=ZFDB,

BE//DF,

又；AD\\BC

.?.四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)解：???四邊形ABCD是矩形，

N4=NABC=90°,

???四邊形8項)E是菱形，

ZEBD=ZDBF,BF=BE,

由折疊性質可知NABE=ZEBD,NBME=ZA=90°,

ZABE=ZEBD=ZDBF=30°,

又；AB=2,

設/E=x,貝i|BE=2x,

由勾股定理得：/+2?=(2x『，

解得：x=空,

3

.RF_即_4石

..Dr—JDJD------------，

3

；?S菱WBEDF=BF?AB=空.

交形3

5

22.(1)-

(2)1

(3)1；3

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，一元二次方程的解等

知識點，

(1)根據根與系數的關系求解即可；

(2)先由根的判別式求出發的范圍，根與系數的關系求出發的值，然后取舍即可得解；

(3)先將根代入原方程進行恒等變形再結合兩根和代入計算即可得解；

答案第10頁，共14頁

熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解決此題的關鍵.

【詳解】(1)"是關于X的一元二次方程一一5x+6=0的兩個實數根

:.m+n=5fmn=6,

11m+n5

—I——----=—?

mnmn6

⑵",々是方程、-2(左+1)無+1+2=0的兩個實數根

.-.A=4(^+l)2-4(^2+2)>0,

解得：A->—,

2

由根與系數的關系可知：西+迎=2住+1),X1x2=k+2,

又；（國+l）（x2+1）=x}x2+（X]+x2）+l=8,

.,.左？+2+2（左+1）+1=8,

整理得：k2+2k-3=0,

解得：左=-3（不合題意，舍去），h=\,

■■k的值為1.

（3）ra、夕是方程/一工-1=0的兩個根，

a+（3=\,a?=a+l,=/3+\,

sx=cc+/3=\.

21

s2=oc+p=a+l+/7+l=3.

23.（1）證明見解析

（2）2710

⑶BE=2EC

【分析】（1）先由。P=證明RtA48EgRtA4D尸（SAS）,得到AE=AP,

NBAE=ND4P,推出NPAF=ZEAF=45°,再證明“EF2AAPF(SAS),得到EF=PF,

即可由尸產=9+。尸，得至！JE尸廠；

（2）先由得至U,即可證明咨ABCH(ASA),得到

CH=3=BM,再根據NQ=NCW=45。結合(1)中結論得到GM=3M+Z)G,設。G=a,

答案第11頁，共14頁

則+=0+GM=BM+DG^a+3,在Rt^MCG中，利用

GM1=GC-+CM。列方程求解即可；

(3)先證明/腦VD是正方形，即可根據NE/尸=45。，由(1)知，FT=DF+TM,設

DF=m,BE=2x,貝！J/。=2加，DC=AB=4m,MT=BE=x,FT=DF+TM=x+m,再

42

在Rtz^FTN中，由/72=網2+川2得至|J3E=