第3章動量守恒定律和

能量守恒定律3.1質點和質點系的動量定理3.2動量守恒定律 3.3動能定理3.4保守力和非保守力、勢能3.5功能原理、機械能守恒定律3.6能量轉換與守恒定律3.7碰撞3.8質心、質心運動定律本章小結習題

牛頓第二定律指出，在外力的作用下，質點會獲得加速度使運動狀態發生變化。這里主要考慮的是力的瞬時效果，即產生瞬時加速度。然而力不僅作用于質點，更普遍地說是作用于質點系，且外力作用于質點或質點系往往還持續一段時間，或者持續一段距離。這時要考慮的不是力的瞬時作用，而是力對時間的積累作用和力對空間的積累作用。在這兩種積累作用中，質點或質點系的動量、動能或能量將發生變化或轉移。

在一定條件下，質點系的動量或能量將保持守恒。動量守恒定律和能量守恒定律不僅適用于力學，而且能通過某些擴展或修改，成為物理學中各種運動形式所遵守的規律。動量守恒定律和能量守恒定律是自然界中已知的一些基本守恒定律中的兩個。

本章的主要內容有：質點和質點系的動量定理和動能定理，外力與內力、保守力與非保守力等概念，以及動量守恒定律、機械能守恒定律和能量守恒定律。

3.1質點和質點系的動量定理

3.1.1沖量、質點的動量定理牛頓在研究碰撞過程中所建立起來的牛頓第二定律并不是大家熟知的F=ma這種形式。他給出的公式是

只是因為在牛頓力學中，質量m是一個常數，F=ma才在形式上與式(3-1)等價。通過近代物理知識可知，慣性質量與物體的運動狀態有關，不能看成常數。這就是說，從近代物理觀點來看，式(3-1)具有更廣泛的適應性。

但是牛頓本人將他的第二定律寫成式(3-1)時并沒有意識到m不是常數，他采取式(3-1)是因為他認為“mv”是一個獨立的物理量，即乘積mv是由質量和速度聯合確定的。如果引進P=mv，式(3-1)可寫成

將式(3-2)分離變量，并兩邊積分得

式(3-3)表明力對時間的積累效果使物體的mv發生了變化，牛頓稱mv為“運動的量”，我們通常把它簡稱為動量。

動量是一個矢量，它的方向與物體的運動方向一致，動量也是一個相對量，與參考系的選擇有關。在SI制中動量的單位為kg·m·s-1。

若將式(3-3)中對時間的積分稱為力的沖量，并記為I，即，則式(3-3)又可寫成

它表明作用于物體上合外力的沖量等于物體動量的增量，這就是質點的動量定理。式(3-2)就是動量定理的微分形式。

在直角坐標系中，動量定理的分量式為

其實動量的概念早在牛頓定律建立之前，就由笛卡爾(R.Descartes)于1644年引入了，它是描述物體機械運動的一個物理量。我們知道，要使速度相同的兩輛車停下來，質量大的比質量小的要困難些，同樣要使質量相同的兩輛車停下來，速度快的要比速度慢的困難些。由此可見，在研究物體機械運動狀態的改變時，必須同時考慮質量和速度這兩個因素，為此而引入了動量的概念。動量定理使人們認識到：力在一段時間內的積累效果，是使物體產生動量增量。要產生同樣的效果，即同樣的動量增量，力大力小都可以，力大時需要的時間短些，力小時需要的時間長些。只要力的時間積累量即沖量一樣，就能產生同樣的動量增量。

沖量是矢量。在恒力作用的情況下，沖量的方向與恒力方向相同，在變力情況下，Δt時間內的沖量是各個瞬時沖量Fdt的矢量和，即這時的沖量是由決定。但無論過程多復雜，Δt時間的沖量總是等于這段時間內質點動量的增量。

動量定理在沖擊和碰撞等問題中特別有用。兩物體在碰撞瞬時的相互作用力稱為沖力。由于在沖擊碰撞一類問題中作用時間極短，沖力的值變化迅速，所以較難準確測量沖力的瞬時值，如圖3.1所示。但是兩物體在碰撞前后的動量和作用持續時間都較容易測定，這樣就可根據動量定理求出沖力的平均值，然后根據實際需要乘上一個保險系數就可以估算沖力。

圖3.1沖力示意圖

3.1.2質點系的動量定理

如果被研究的對象是多個質點，則稱該對象為質點系。許多問題中需研究質點系的動量變化與作用在質點系的力之間的關系。

如圖3.2所示，在系統S內有兩個質點1和2，它們的質量分別是m1和m2。外界對系統內質點的作用力叫外力，系統內質點間的相互作用力叫內力。設作用在兩質點上的外力分別是F1和F2，而兩質點相互作用的內力分別是F12和F21。

圖3.2質點系的內力和外力

根據質點的動量定理，在Δt=t2-t1時間內，兩質點所受力的沖量和動量增量分別為

將兩式相加，得

由牛頓第三定律知F12=-F21，故上式為

上式表明，作用于兩質點組成系統的合外力的沖量等于系統內兩質點動量之和的增量，亦即系統的動量增量。

上述結論容易推廣到由幾個質點組成的系統。考慮到內力總是成對出現，且每一對力總是大小相等方向相反，其矢量和必為零，即。若作用于系統的合外力用表示，且系統的初動量和末動量各為P0和P，則作用于系統的合外力的沖量與系統動量的增量之間的關系為：

式(3-5)表明，作用于系統的合外力的沖量等于系統動量的增量，這就是質點系的動量定理。

需要強調指出：作用于系統的合外力是作用于系統內每一個質點的外力的矢量和。只有外力才能使系統的動量發生變化，而系統內力(系統內各質點間的相互作用力)不能改變整個系統的動量，這是牛頓第三定律的直接結果。在質點系內部動量的傳遞和交換中，則是內力起作用。

【例3.1】一彈性球，質量m=0.2kg，速度v=6m/s，與墻壁碰撞后跳回，如圖3.3所示。設跳回時速度的大小不變，碰撞前后的方向與墻壁的法線的夾角都是a=60°，碰撞的時間為Δt=0.03s。求在碰撞時間內，球對墻壁的平均作用力。

圖3.3例3.1圖形

【例3.2】如圖3.4所示，一柔軟鏈條長為l，單位長度的質量為λ。鏈條放在桌子上，桌子上有一個小孔，鏈條一端位于小孔處，其余部分堆在小孔周圍。受到某種擾動后，鏈條由于自身的重量開始下落。求鏈條下落速度與落下距離之間的關系。設鏈條與各處的摩擦均不計，且認為鏈條柔軟得可以自由伸開。

圖3.4例3.2圖形

【解】如圖3.4所示，選桌面上一點為坐標原點O，豎直向下為Oy軸正方向。設在某時刻，鏈條下落部分長度y，此時在桌面上的鏈條長度為l-y，它們之間的作用力為內力。作用于系統的外力有：下落部分鏈條所受的重力m1g，桌面上的鏈條所受的重力m2g和支持力N，且N=-

m2g，故作用在系統上的外力為

F=m1g=λyg

由動量定理可得

Fdt=m1gdt=λygdt=dP

下面求dP的表達式。設在t時刻，鏈條下落的長度為y，下落速度為v，則鏈條的動量為

3.2動量守恒定律

由質點系動量定理可知，當系統所受合外力為零，即

時，系統的總動量的增量亦為零，這時系統的總動量保持不變，即

這就是動量守恒定律，它表述為：當系統所受合外力為零時，系統的總動量將保持不變。式(3-6)是動量守恒定律的矢量式。在直角坐標系中，其分量式為

式中C1、C2、C3均為恒量。

在應用動量守恒定律時應特別注意以下四點。

①在動量守恒定律中，由于動量是矢量，故系統的總動量不變是指系統內各物體動量的矢量和不變，而不是指其中某一個物體的動量不變，此外，各物體的動量還必須都對應于同一慣性參考系。

②系統的動量守恒是有條件的，即系統所受的合外力必須為零。然而有時系統所受的合外力并不為零，但與系統內力比較，外力遠小于內力，這時可以略去外力對系統的作用，認為系統的動量是守恒的。像碰撞、打擊、爆炸等這類問題，一般都這樣處理。

③如果系統所受外力的矢量和不為零，但合外力在某個坐標軸上的分量為零，此時系統總動量并不守恒，但在該坐標軸的分動量卻是守恒的。

④動量守恒定律是物理學最基本最普通的定律之一，雖由牛頓定律導出，但近代物理表明：在自然界中，大到天體間的相互作用，小到微觀粒子之間的相互作用，都遵守動量守恒定律。

【例3.3】水平光滑鐵軌上有一個車子，長為l，質量為m2，車的一端有一人(包括所騎自行車)，質量為m1，人和車原來都靜止不動。當人從車的一端走到另一端時，人、車各移動了多少距離？

圖3.5例3.3圖形

【解】以人、車為系統，該系統在水平方向上不受外力作用，因此水平方向動量守恒。建立如圖3.5所示的坐標系，有

m1v1+m2v2=0或v2=-m1v1/m2

人相對于車的速度u=v1-v2=(m1+m2)v1/m2，設人在時間t內從車的一端走到另一端，則有

在這段時間內人相對于地面的位移為

小車相對于地面的位移為

【例3.4】一枚返回式火箭以2.5×103m·s-1的速率相對地面沿水平方向飛行。設空氣阻力不計。現由控制系統使火箭分離為兩部分，前方部分是質量為100kg的儀器艙，后方部分是質量為200kg的火箭容器。若儀器艙相對火箭容器的水平速率為1.0×103

m·s-1。求儀器艙和火箭容器相對地面的速度。

【解】如圖3.6所示，以地面為慣性系S(Oxyz),設v為火箭分離前火箭相對慣性系S的速度，v1和v2為火箭分離后，儀器艙和火箭容器相對慣性系S的速度。為分離儀器艙相對火箭容器的速度。取火箭容器為慣性系S'(O'x'y'z')，S'系沿xx'軸以速度v'相對S系運動，由相對運動的速度公式，有

由于v1、v2和v'都在同一方向上，故上式可表示為

在火箭分離前后，它在xx‘軸上沒有受到外力作用，所以沿xx’軸動量守恒，有

v1和v2都為正值，它們的速度方向相同，且與v同向，只不過儀器艙經火箭推動后其速率變大，相反，火箭容器的速率卻變慢了，從而實現了動量的轉移。

3.3動能定理

在前面我們研究了力的時間積累作用，由它得出了牛頓第二定律的一種積分形式，即動量定理。在本節中，我們將研究力的空間積累作用，得出牛頓第二定律的另一種積分形式，即動能定理。

3.3.1功

一質點在力的作用下沿路徑AB運動，如圖3.7所示，在力F的作用下，發生一無限小的位移dr，F與dr之間的夾角為θ，則功的定義為：力在位移方向的分量與該位移的大小的乘積。故力F所做的元功為

從式(3-7)可以看出，功的定義是：功等于力和位移的標積。功是標量，它沒有方向，但有正負。當0°<θ<90°時，功為正值，即力對質點做正功；當90°<θ<180°時，功為負值，即力對質點做負功。

圖3.7功的定義

當質點同時受到若干個力F1，F2，…，Fn的作用時，由力的疊加原理，合力對質點所做的功，等于每個分力所做的功的代數和，即

國際單位制中，力的單位是N，位移的單位是m，功的單位是N?m。我們把這個單位叫做焦耳，用J表示。功的量綱為ML2T-2。

在生產實踐中，重要的是知道功對時間的變化率，我們把力在單位時間內所做的功定義為功率，用P表示，則有

由式(3-7)可得

即力對質點的瞬時功率等于作用力與質點在該時刻速度的標積。國際單位制中，功率的單位為瓦特，用W表示。

3.3.2質點的動能定理

現在討論力對物體做功后，物體的運動狀態將發生的變化。如圖3.8所示，有一質點質量為m，在合外力F的作用下，自點A沿曲線移動到點B，它在點A和點B的速率分別為v1和v2。

圖3.8動能定理示意圖

可見合外力對質點做功的結果，使得這個量獲得了增量。把叫做質點的動能，用表示，則有

上式表明：合外力對質點所做的功等于質點動能的增量，這就是質點的動能定理。

關于動能定理還應注意以下兩點。

①功和動能之間的聯系和區別。只有合外力對質點做功，才能使質點的動能發生變化。功是能量變化的度量，它與外力作用下的質點的位置移動過程相聯系，所以功是一個過程量。而動能則決定于質點的運動狀態，所以它是運動狀態的函數。

②與牛頓第二定律一樣，動能定理也適用于慣性系。不同的慣性系中，質點的位移和速度不同，但動能定理的形式相同。

【例3.5】一個質點沿如圖3.9所示的路徑運行，求力

F=(4-2y)i

分別沿ODC路徑和沿OBC路徑，對該質點所作的功，

圖3.9例3.5圖形．

【例3.6】力F作用在質量為1.0kg的質點上，已知在此力作用下質點的運動方程為x=3t-4t2+t3，求在0到4s內，力F對質點所作的功。

3.4保守力和非保守力、勢能

3.4.1萬有引力、彈性力作功特點

1.萬有引力作功如圖3.10所示，有兩個質量分別為m和m'的質點，其中質點m'固定不動，m經任一路徑由點A運動到點B，如取m'的位置為坐標原點，A、B兩點對m'的距離分別為rA和rB。圖3.10萬有引力作功

設某一時刻質點m距質點m‘的距離為r，其位矢為r，er為沿r方向的單位矢量，這時質點m受到質點m’的萬有引力為

當m沿路徑移動位移元dr時，萬有引力作功為

上式表明，當質點m和m'給定時，萬有引力作的功只取決于質點m的起始和終了位置，而與所經過的路徑無關。這是萬有引力作功的一個重要特點。

2.彈性力作功

如圖3.11所示，一彈簧放置在光滑平面上，彈簧的一端固定，另一端與一質量為m的物體相連接。當彈簧在水平方向不受外力作用時，它將不發生形變，此時物體位于點O(即位于x=0處)，這個位置叫做平衡位置。現以平衡位置O為坐標原點，向右為Ox軸正向。

圖3.11彈簧的伸長

若物體受到沿Ox軸正向的外力F作用，彈簧將沿Ox軸正向被拉長，彈簧的伸長量即x其位移，根據胡克定律，在彈性限度內，彈簧的彈性力F與彈簧的伸長量x之間的關系為

式中k稱為彈簧的勁度系數。在彈簧被拉長的過程中，彈性力是變力。彈簧位移為dx時的彈性力F可近似看成是不變的。于是，彈簧位移為dx時，彈性力作的元功為

有

這樣，彈簧的伸長量由x1變到x2時，彈性力所作的功就等于各個元功之和。數值上等于圖3.12所示的梯形的面積，由積分計算可得：

從式(3-13)可以看出，對在彈性限度內具有給定勁度系數的彈簧來說，彈性力所作的功只由彈簧起始和終了的位置x1和x2決定，而與彈性形變的過程無關，這一特點與萬有引力作功的特點是相同的。

圖3.12彈性力作的功

3.4.2保守力與非保守力、保守力作功的數學表達式

從上述萬有引力和彈性力作功的過程可以看出，它們所作的功只與質點的始末位置有關，而與路徑無關。我們把具有這種特點的力叫做保守力。除了上面所講的萬有引力和彈性力是保守力外，電荷間相互作用的庫侖力和原子間相互作用的分子力也是保守力。

如圖3.13(a)所示，設一質點在保守力作用下自點A沿路徑ACB到達點B，或沿ADB到達點B。根據保守力作功與路徑無關的特點，有

顯然，式(3-14)積分結果只是A、B兩點位置的函數。如果質點沿如圖3.13(b)所示的ACBDA閉合路徑運動一周時，保守力對質點作的功為：

圖3.13保守力作功

上式表明，質點沿任意閉合路徑運動一周時，保守力對它所作的功為零。式(3-15)是反映保守力作功特點的數學表達式。無論是萬有引力、彈性力、庫侖力和分子力，它們沿閉合路徑作功都符合式(3-15)。所以我們可以說，保守力作功與路徑無關的特點與保守力沿任意閉合路徑一周作功為零的特點是一致的。

然而，物理學中并非所有的力都有作功與路徑無關的特點，如摩擦力，它所作的功是與路徑有關的，路徑越長，摩擦力作的功也越大。顯然，摩擦力就不具備保守力作功的特點。再如磁場對電流作用的安培力所做的功也與路徑有關。我們把這種作功與路徑有關的力叫做非保守力。對非保守力來說，式(3-15)不適用。

3.4.3勢能

前面我們描述質點運動狀態使用的參量是位置矢量r和速度v。對應于狀態參量v引入了動能Ek，那么對應于狀態參量r可以引入什么樣的能量形式呢？

從上面的討論中，我們知道保守力作功只與質點的始末位置有關，為此引入勢能的概念。我們把與質點位置有關的能量稱作質點的勢能，用符號Ep表示。

我們已經接觸了以下三種勢能。

在前面的討論中已指出，保守力的功與質點運動的路徑無關，僅取決于相互作用的兩物體初態和末態的相對位置。如重力、萬有引力和彈性力的功，其值分別為

在一維情況下，由式(3-15)可得

有關勢能的說明如下。

①勢能是相對量，其值與零勢能參考點的選擇有關。一般選地面的重力勢能為零。當然，勢能零點可以任意選擇，選取不同的勢能零點，物體的勢能將是不同的值。所以，通常說勢能具有相對意義。但也應當注意，任意兩點間的勢能之差卻具有絕對性。

②勢能是狀態函數，在保守力作用下，只要質點的起始和終了位置確定了，保守力作的功也就確定了，它與經過的路徑無關。所以說，勢能是坐標的函數，也是狀態的函數，即

③勢能屬于系統。勢能是由于系統內各物體間具有保守力作用而產生的，因而它屬于系統。單獨談某個質點的勢能沒有意義。應當注意，在平常敘述時，常將地球和質點系統的重力勢能說成是質點的重力勢能，這只是敘述上的簡化，其實該勢能是屬于地球和質點系統的。至于質點的引力勢能和彈性勢能也是這樣的。

3.4.4勢能曲線

將勢能隨相對位置變化的函數關系用一條曲線描繪出來，就是勢能曲線。圖3.14中(a)，(b)和(c)分別給出的就是重力勢能、彈性勢能及引力勢能曲線。

勢能曲線可提供多種信息。

①質點在軌道上任一位置時，質點系所具有的勢能值。

②勢能曲線上任一點的斜率(

)的負值，表示質點在該處所受的保守力。

圖3.14勢能曲線

設有一保守系統，其中一質點沿x方向作一維運動，則由式(3-18)可知，凡勢能曲線有極限值時，即曲線斜率為零處，其受力為零。這些位置即為平衡位置，進一步的理論指出，勢能曲線有極大值的位置點是不穩定平衡位置，勢能曲線有極小值的位置點是穩定平衡位置。

若質點作三維運動，則有

這是直角坐標系中由勢能函數求保守力的一般式。

3.5功能原理、機械能守恒定律

前面我們討論了質點機械運動的能量——動能和勢能，以及合外力作功引起質點動能改變的動能定理。可是在許多實際問題中，需要研究由許多質點構成的系統。這時系統內的質點既要受到系統內各質點之間相互作用的內力，又可能受到系統外的質點對系統內質點作用的外力。下面分析質點系的動能變化和它所受的力作功的關系。

3.5.1質點系的動能定理

圖3.15質點系的動能定理示意圖．

方程左邊是外力對質點系作功和內力對質點系作功之和；方程右邊是質點系末動能與初動能之差，即

式(3-20)說明，即質點系動能的增量等于作用于質點系所有外力和內力做功的總和，這一結論可推廣到任意多個質點組成的系統，這就是質點系的動能定理。

3.5.2質點系的功能原理

前面已經指出，作用于質點系的力有保守力和非保守力，即內力作的功W內可分為保守內力作的功和非保守內力作的功

W內=

W保內+

W非保內

式(3-21)表明，質點系的機械能的增量等于外力和非保守內力作功之和，這就是質點系的功能原理。

功和能既有聯系又有區別，功總是和能量的變化與轉化過程相聯系。功是能量變化與轉化的一種度量，而能量代表質點系統在一定狀態下所具有的作功本領，它和質點系統的狀態有關，對機械能來說，它與質點系統的機械運動狀態(即位置和速度)有關。由于動能定理的基礎是牛頓運動定律，故功能原理也只適用于慣性系。

3.5.3機械能守恒定律

從式(3-21)可以看出，當W外+

W非保內=0時，有

它的物理意義是，當作用于質點系的外力和非保守內力不作功時，質點系的總機械能是守恒的，這就是機械能守恒定律。

機械能守恒定律的數學表達式還可以寫成

整理得，即

即在滿足機械能守恒定律的條件W外+W非保內=0時，質點系內的動能和勢能可以相互轉換，但動能和勢能之和不變，質點系內的動能和勢能之間的轉換是通過質點系的保守力作功來實現的。

【例3.7】如圖3.16所示，用一彈簧把兩塊質量分別為m1和m2的板連接起來。問在m1上需要加多大的壓力F，使力停止作用后，才能使m1在跳起時m2稍被提起。彈簧的質量忽略不計。

圖3.16例3.7圖

【解】取彈簧的原長處O為重力勢能和彈性勢能的零點，并以此點為坐標軸的原點，如圖3.16(a)所示。當在彈簧上加上m1和外力F后，彈簧被壓縮到y1處，如圖3.16(b)所示；當外力F撤去后，彈簧被推到y2處，如圖3.16(c)所示。在此過程中，只有重力和彈性力作功，故系統的機械能守恒，設彈簧的勁度系數為k，則有

3.6能量轉換與守恒定律

在上節中我們知道，如果外力和非保守內力都不作功，系統內動能和勢能之間可以相互轉化，其和是守恒的。但是如果系統內部還有摩擦力等非保守力作功，那么系統的機械能就要與其他形式的能量發生轉換。

大量事實證明，在孤立系統內，若系統的機械能發生了變化，必然伴隨著等值的其他形式能量(如內能、電磁能、化學能、生物能及核能等)的增加或減少。這說明能量既不能消失也不能創造，只能從一種形式轉換成另一形式，或從一個物體上轉移到另一個物體上，也就是說，在一個孤立系統中，不論發生何種變化過程，各種形式的能量之間無論怎樣轉換，但系統的總能量將保持不變，這就是能量轉換與守恒定律。

能量轉換與守恒定律是自然界中的普遍規律，它不僅適用于物質的機械運動、熱運動、電磁運動、核子運動等物理運動形式，而且適用于化學運動、生物運動等運動形式。由于運動是物質的存在形式，而能量又是物質運動的度量。因此，能量轉換與守恒定律的深刻含義是運動既不能產生也不能創造，它只能由一種形式轉換為另一種形式。能量的守恒在數量上體現了運動的守恒。

3.7碰撞

碰撞一般是指兩個物體在運動過程中相互靠近或發生接觸時，在相對較短的時間內發生強烈相互作用的過程。“碰撞”的含義比較廣泛，除了球的碰撞、打樁、鍛鐵外，分子、原子、原子核等微觀粒子的相互作用過程也都是碰撞過程。甚至人從車上跳下，子彈打入墻壁等現象，在一定條件下也可以看作是碰撞過程。由于碰撞時物體之間相互作用的內力較之其他物體對它們作用的外力要大得多，因此可將其他物體作用的外力忽略不計，這一系統應遵從動量守恒定律。

碰撞過程可分為完全彈性碰撞、完全非彈性碰撞和非彈性碰撞三種，下面我們以兩物體碰撞為例進行討論。

設想兩個物體的質量分別為m1和m2，沿一直線分別以v10和v20的速度運動，發生對心碰撞之后，二者的速度方向沿著碰前運動的直線方向，用v1和v2表示兩球碰撞后的速度，如圖3.17所示。

圖3.17對心碰撞

若碰撞前后兩物體的動能之和沒有損失，這種碰撞就是完全彈性碰撞，這時有

若兩個物體碰撞之后不再分開，這樣的碰撞就是完全非彈性碰撞，這時有

一般情況下，兩物體相碰發生的形變不能完全恢復，存在能量損失，機械能不守恒。

【例3.8】設在宇宙中有些密度為r的塵埃，這些塵埃相對慣性參考系是靜止的，有一質量為m0的宇宙飛船以初速v0穿過宇宙塵埃，由于塵埃粘貼在飛船上，致使飛船的速度發生變化，求飛船的速度與其在塵埃中飛行時間的關系，為便于計算，設想飛船的外形是面積為S的圓柱體，如圖3.18所示。

圖3.18例3.8圖

【解】由題意可認為塵埃與飛船作完全非彈性碰撞，把塵埃與飛船作為一個系統，考慮到飛船在自由空間飛行，無外力作用在這個系統上，因此系統的動量守恒。如以m0和v0為飛船進入塵埃前的質量和速度，m和v為飛船在塵埃中的質量和速度，那么由動量守恒有

此外，在t～t+Δt時間內，由于飛船在塵埃間作完全非彈性碰撞，而粘貼在宇宙飛船上塵埃的質量即飛船所增加的質量，即

從而得

由已知條件對上式積分得．

顯然，飛船在塵埃中飛行的時間愈長，其速度就愈低。

3.8質心、質心運動定律

3.8.1質心研究多個質點組成的系統運動時，質心是十分重要的概念。如將一由剛性輕桿相連的兩個質點組成的簡單系統斜向拋出，如圖3.19所示，該系統在空間的運動是很復雜的，每個質點的軌道都不是拋物線，但兩質點連線的某點C卻仍然作拋物線的運動。C點的運動規律就像兩質點的質量都集中在C點，全部外力也像是作用于C點一樣，這個特殊的點就是系統的質心。圖3.19質心的運動軌跡

在圖3.20所示的直角坐標系中，由幾個質點組成一質點系，如果用mi和ri表示質點系中第i個質點的質量和位矢，質心的位矢rC由下式確定

式中為質點系各質點的質量總和。

圖3.20質心位置的確定

質心的坐標分別為

對于連續分布質量為M的物體，可把它分成許多質量元dm，式(3-25)中的可用積分來代替，質心的坐標為：

【例3.9】求半徑為R的勻質半薄球殼的質心。

【解】選如圖3.21所示的坐標軸，由于球殼對Oy軸對稱，質心顯然位于圖中的Oy軸上，在半球殼上取一圓環，圓環的平面與Oy軸垂直。

圖3.21例3.9圖形

3.8.2質心運動定律

將式(3-27)中的rC對時間求導，可得質心運動的速度為

M為質點系的總質量，由此可得

上述等式右邊為質點系的總動量P，其值為

即質點系的總動量等于它的總質量與質心速度的乘積，這一動量對時間變化率為

式中ɑc是質心運動的加速度，因為系統內各質點間相互作用的內力的矢量和為零，所以作用在系統上的合力就等于合外力。由式(3-30)可得質點系質心的運動和該質點系所受合外力的關系為

式(3-32)表明，作用于系統的合外力等于系統的總質量與系統質心加速度的乘積，這就是質心運動定律。它與牛頓第二定律在形式上完全相同，就相當于系統的質量集中于質心，在合外力的作用下，質心以加速度ɑc運動。

1.動量定理

質點動量定理

質點系動量定理

或

本章小結

2.動量守恒定律

當系統所受合外力為零時，即時，系統的總動量保持不變。

即

5.保守力、勢能

保守力：作功時只與始末位置有關，與經歷的路徑無關的力。

勢能：

6.質點系功能原理、機械能守恒定律

質點系功能原理：質點系的機械能的增量等于外力和非保守內力作功之和。

以EA和EB分別表示系統初態和末態的機械能，則有

機械能守恒定律：當作用于質點系的外力和非保守內力不作功時，質點系的總機械能是守恒的。

7.碰撞

對于完全彈性碰撞，碰撞前后動量和能量均守恒。

對于完全非彈性碰撞，碰撞前后動量守恒，動能不守恒。

8.質心、質心運動定律

習題

一、思考題

3-1棒球運動員在接球時為何要戴厚而軟的手套？籃球運動員接急球時往往接球后縮手，這是為什么？

3-2跳傘運動員臨著陸時用力向下拉降落傘，這是為什么？

3-3質點系動量守恒的條件是什么？在什么情況下，即使外力不為零，也可用動量守恒方程求近似解？

3-4質點的動量和動能是否與慣性系的選取有關？功是否與慣性系有關？質點的動量定理和動能定理是否與慣性系有關？請舉例說明。

3-5質點系的動量守恒，是否意味著該系統中，一部分質點的速率變大時，另一部分質點的速率一定會變小？

3-6在大氣中，打開充氣氣球下方的塞子，讓空氣從球中沖出，氣球可在大氣中上升。如果在真空中打開氣球的塞子，氣球也會上升嗎？說明其道理。

3-7兩個物體系于輕繩的兩端，繩跨過一個定滑輪．若把兩物體和繩視為一個系統，對該系統來說，哪些力是外力？哪些力是內力？

3-8把物體拋向空氣中，有哪些力對它作功，這些力是否都是保守力？

3-9舉例說明，分別用能量方法和用牛頓定律求解哪些力學問題較方便？求解哪些力學問題不方便？

3-10

在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中又有哪些量保持不變？

3-11在質點系的質心處，一定存在一個質點嗎？

3-12假設在宇宙空間站外面，有兩位宇航員甲和乙漂浮在太空中。一開始甲將扳手扔給乙，過后，乙又將此扳手扔還給甲。試問它們的質心如何運動？

3-13“質心的定義是質點系質量集中的一點，它的運動即代表了質點系的運動，若掌握質點系質心的運動，質點系的運動狀況就一目了然了。”對不對？

3-14懸浮在空氣中的氣球下面吊有軟梯，有一人站在軟梯上。最初，均處于靜止，后來，人開始向上爬，問氣球是否運動？

二、選擇題

3-15如圖3.22所示，一個小球先后兩次從P點由靜止開始，分別沿著光滑的固定斜面l1和弧面l2下滑，則小球滑到兩面的底端Q時的()。

A、動量相同，動能也相同

B、動量相同，動能不同

C、動量不同，動能也不同

D、動量不同，動能相同

圖3.22題3-15圖

3-16一質點在外力作用下運動時，下述說法中，正確的是()。

A、質點的動量改變時，質點的動能一定改變

B、質點的動能不變時，質點的動量也一定不變

C、如果外力的沖量是零，外力的功一定為零

D、如果外力作的功為零，外力的沖量一定為零

圖3.23題3-19圖

3-17已知兩個物體A和B的質量以及它們的速率都不相同，若物體A的動量在數值上比物體B的大，則A的動能EKA與B的動能EKB之間的關系為()。

A、EKB一定大于EKA.

B、EKB一定小于EKA

C、EKB=EKA

D、不能判定誰大誰小

3-18一質點受力F=3x2i作用，沿x軸正方向運動。從x=0到x

=2m過程中，力F作的功為()。

A、8J

B、12J

C、16J

D、24J

3-19如圖3.23所示，圓錐擺尾端的小球在水平面內作勻速率圓周運動，下列說法中，正確的是()。

A、重力和繩子的張力對小球都不作功

B、重力和繩子的張力對小球都作功

C、重力對小球作功，繩子張力對小球不作功

D、重力對小球不作功，繩子張力對小球作功

三、計算題

3-20如圖3.24所示，質量m=2.0kg的質點，受合力F

=12t

i的作用，沿Ox軸作直線運動。已知t=０時x0=0，v0=0，則從t=0到t=3s這段時間內，求合力F的沖量I、質點的末速度。

圖3.24題3-20圖

3-21一小球在彈簧的作用下振動，如圖3.25所示，彈力F=-kx，而位移x=Acoswt，其中k、A、w都是常量。求在t=0到t=p/(2w)的時間間隔內彈力施于小球的沖量。

圖3.25題3-21圖

3-22一圓錐擺的擺球在水平面上作勻速圓周運動。如圖3.26所示，已知擺球質量為m，圓半徑為R，擺球速率為v，當擺球在軌道上運動一周時，求作用在擺球上重力沖量的大小。

圖3.26題3-22圖

3-23的合外力作用在質量m=10kg的物體上，試求：(1)在開始2s內此力的沖量I；(2)若沖量I=300N·s，此力作用的時間；(3)若物體的初速度v1=10m·s-1，方向與Fx相同，在t=6.86s，此物體的速度v2

3-24高空作業時系安全帶是非常必要的。假如一質量為51.0kg的人，在操作時不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保護，最終使他被懸掛起來。已知此時人離原處的距離為2.0m，安全帶彈性緩沖作用時間為0.5s，求安全帶對人的平均沖力。

3-25質量為m'的人手里拿著一個質量為m的物體，此人用與水平面成α角的速率v0向前跳去。當他達到最高點時，他將物體以相對于人為u的水平速率向后拋出，問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？(假設人可視為質點。)

3-26質點在力作用下沿圖3.27所示路徑運動。則力F在路徑Oa、ab、Ob、OcbO上作的功分別是多少？

圖3.27題3-26圖

3-27質量為m的質點在外力F的作用下沿Ox軸運動，已t=0時質點位于原點，且初始速度為零．設外力F隨距離線性地減小．且x=0時，F＝F0；當x＝L時，F＝0．試求質點從x＝0運動到x＝L處的過程中力F對質點所作功和質點在x＝L處的速率．

3-28一物體在介質中按規律x=ct3作直線運動，c為一常量.設介質對物體的阻力正比于速度的平方。試求物體由x0=0運動到x=l時,阻力所作的功.(已知阻力系數為k)

3-29一個人從10m深的井中，把10kg的水勻速地提上來。由于桶漏水，桶每升高1m漏0.2kg的水，問把水從井中提到井口，人所作的功。

3-30如圖3.28所示，一繩索跨過無摩擦的滑輪，系在質量為1kg的物體上，起初物體靜止在無摩擦的水平平面上。若用5N的恒力作用在繩索的另一端，使物體向右作加速運動，當系在物體上的繩索從與水平面成30°角變為37°角時，

圖3.28題3-30圖

3-31一質量為0.2kg的球，系在長為2.0m的細繩上，細繩的另一端系在天花板上。把小球移至使細繩與豎直方向成30°角的位置，然后由靜止放開。求：

①在繩索從30°角到0°角的過程中，重力和張力所作的功。

②物體在最低位置時的動能和速率。

③物體在最低位置時繩的張力。

3-32最初處于靜止的質點受到外力的作用，該力的沖量為4.0kg?m?s-1，在同一時間間隔內，該力所作的