第14講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、概念

函數(shù)/W在x=/處瞬時(shí)變化率是lim電=lim/（X。+——（/）,我們稱它為函數(shù)

。Ax"一。Ar

y=在尤=無(wú)（）處的導(dǎo)數(shù)，記作了'（%）或y[g而.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.Axf0的意義：Ax與0之

間距離要多近有

多近，即|--0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)Ax70時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在

一個(gè)常數(shù)與

竺=＞（飛+弱-/（與）無(wú)限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即

是位移在這一時(shí)

刻的瞬間變化率，即/'（%）=lim"=lim/（%+8）-/（））.

-°Ax―一。Ax

2、幾何意義

函數(shù)y=/（X）在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)/'（修）的幾何意義即為函數(shù)y=/'（x）在點(diǎn)尸（毛，%）處

的切線的斜率.

3、物理意義

函數(shù)s=s⑺在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)s&）是物體在小時(shí)刻的瞬時(shí)速度v,即丫=5&）;

v=v（/）在點(diǎn)片的導(dǎo)數(shù)Mt。）是物體在%時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a,即。=丫&）.

知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/（X）=C（。為常數(shù)）rw=o

/(%)=xa{a&Q)/'(%)=axa~x

f(x)=ax(a>0,aw1)ff(x)=axIna

/'(x)=4

f(x)=log。x(a>0,aw1)

xlna

/(X)=e*

/(x)=lnx

zv)=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosXfr(x)=-smx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(無(wú))士g(x)]'=f(x)士g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]=7'(x)g(尤)+/(x)g'(無(wú))；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)wO,則[.]=7(x)g(/-/(pg'。).

g(x)g2(x)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/Ig(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/("),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為”=yuux：

【解題方法總結(jié)】

1、在點(diǎn)的切線方程

切線方程〉-『(尤0)=/'(%)(工一飛)的計(jì)算：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)AOo,/(%))處的切線方

程為丁-/(不)=/(尤0)0-%),抓住關(guān)鍵

[k=f(x0)

2、過(guò)點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為尸(不，%),則斜率左=-(不)，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：y-%=f'(Xo)(x-x。)，

又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)A(〃?，ri),所以〃-%=/'(Xo)O-Xo)然后解出/的值.(/有幾個(gè)

值，就有幾條切線)

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

必考題型全歸納

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義

【例1】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，函數(shù)y=/（x）

的導(dǎo)數(shù)為y=/'"）,則（）

A.r（2）＜r（3）＜/（3）-/（2）B.尸⑶＜/⑵?⑵

C.r（2）＜/（3）-/（2）＜r（3）D./（3）＜/（3）-/（2）＜八2）

【答案】D

【解析】由"x）圖象可知/（3）＜:⑶-"2）＜f⑵,

即〃3）＜/（3）-〃2）＜/（2）.

故選：D

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11（2024?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容

器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度//（單位：cm）與時(shí)間f（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為

h=^+t2,當(dāng)f=時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s,則當(dāng)fj+1時(shí)，液體上升

高度的瞬時(shí)變化率為（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【答案】C

【解析】由/z=gr+?,求導(dǎo)得：〃=產(chǎn)+2"

當(dāng)f=時(shí)，〃=幻+2/。=3,解得2=1?=-3舍去）.

故當(dāng)f=務(wù)+1=2時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為22+2x2=8cm/s.

故選：c

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）已知函數(shù)/'（尤）的導(dǎo)函數(shù)是

r（x）,若廣（/）=2,則/（%+%）-"%）_（）

iiin一

孤一°Ax

A?—2B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】因?yàn)?'(%)=2

/(A：0+|AX)-/(X0)i/(X0+|AX)-/(X0)

=gr<x)=i

所以lim=-lim---------4------------

Axf0Ax2201A

_Ax

2

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃x）在％處可導(dǎo)，且

iim/（x0+2Ar）-/（x0）=i>貝了，（）=（）

…。2Ax

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】由導(dǎo)數(shù)定義可得lim"'+2印-"％）=f,（）,

…。2Axv7

所以ra）=i.

故選：A.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024?高三課時(shí)練習(xí)）若/（力在與處可導(dǎo)，則尸（5）可以等于（）.

A.lim/U)-/U-MB.5〃/+垓)一/(二一5)

-Ax-Ax

cHm/」+2Ax)-〃尤0-Ax)D.］加〃/+垓)一/伉2詞

Ax-Ax

【答案】A

【解析】由導(dǎo)數(shù)定義尸（X。）=/（X。+&）“X。）,

“尤0)一」(玉一△?)lim"飛)一〃"°一')

對(duì)于A,/(%)=￥嗎A滿足;

x0-(x0-Ax)-°Ax

/?(天+加:［外玉一曲)lim/(%+祠一/(4一祠

對(duì)于B,■f(x<))=F嗎

Ax->0

(尤o+Ax)-(x0-Ax)-o2Ax

小月典3”3,B不滿足;

〃%+2加:)一〃玉一所)_lim,(%+2詞一1-A》)

對(duì)于c,尸(鏟回

(x0+2Ax)—(x0—Ax)AxfO3Ax

小。)W啊…怨…，c不滿足;

1/(Xo+Ax)—/(%-2Ax)

對(duì)于D，人尸螞告符巖譚氏3Ax

尸伉)△lim"%+">T(x。一2M口不滿足.

,、3但。Ax

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接

寫出.

題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

[例2](2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(D/(x)=(-2x+l)2；

⑵〃x)=ln(4x-l)；

(3)外)=23工+2

(4)/(尤)=j5x+4；

【解析】(1)因?yàn)椋?x)=(—2x+l)2=4x2一4x+l,所以1(x)=8x-4.

(2)因?yàn)椤▁)=ln(4x—1),所以廣(元)=了匕.

(3)因?yàn)?23*,所以r(x)=3x23x+21n2

(4)因?yàn)椤ㄓ?=后再'所以「⑺三南空二次熱

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2024?高三課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=(3x2+2x+l)cosx；

3x2+x\/x-5y[x+1

(2)y=

(3)y=x18+sinx-lnx；

x

(4)y=2cosx-3xlog3x；

(5)y=3xsin%-310g3x；

(6)y=excosx+tan%.

【解析】(1)yf=(3x2+2x+1)cosx+(3x2+2x+1)-(cosx),

3X2+xy[x-5y/x+l31

(2)y==3x2+x-5+x2，

311-29』1N

所以y=3x]?x2+1---x2=-x2——％2+1.

222

1

(3)y=18x17+COSX——.

X

(4)y=(2")cosx+2x(cosx)-3(x)log

：3X+X(10g3X)

x

=(2"In2)cosx-2sinx-31og3x-3log3e.

(6)y=e"cosx+tanx=excosx+

cosx

(sin%)cosx-(cos%)sinx

故”（e、）cosx+ex-(cosx)+

cos2X

=excosx-exsinxd-----

COSX

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列｛〃〃｝中，/=2,函數(shù)

/(力=3尤卜—%)(x—%)L(%—%),則r(o)=

【答案】-16

【解析】因?yàn)?，（%）=lx[(>X-%)(%一〃2)L(X—(25)]+—X

=g[(x-"1)(%一%)1(^-?5)]+^x[(X-6Z1)(X-d:2)L(%一%)],

所以/'(O)=-；01a2La5.

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等比數(shù)列，所以=4=4,

?/，(O)=-1X42X2=-16.

故答案為：-16

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】(2024?遼寧大連?育明高中校考一模)已知可導(dǎo)函數(shù)〃尤)，g(x)定義域

均為R,對(duì)任意x滿足“X)+2/gx-1,且"1)=1,求/(l)+gI

【答案】3

【解析】由題意可知，令x=l,貝lj/(l)+2xl2xg［；xl)=l-1,解得

2

由〃力+2打X—1,得廣(力+(2產(chǎn))g^x\+2x

1r(x)+4xgf+x2g=

令x=l,得尸(l)+4xlxg]gxl)+12xg[；xlj=l,即/⑴+4gg[+g1j=l,

解得尸⑴+g[j=l-4gg]=l-4X]￡|=3.

故答案為：3.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】(2024?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且

/(x)=x2r(l)+x+2,則廣(1)=.

【答案】-1

【解析】因?yàn)椤ㄡ?=好(⑴+x+2,則尸(%)=2獷，(1)+1,故廣⑴=2(⑴+1,故

rd.

故答案為：-1.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=尸(0把2丁小,則丁(。)=

【答案】-2

【解析】由函數(shù)〃%)"'(0把2'-0求導(dǎo)得:/,(x)=2/,(0)e2x+e-\當(dāng)x=0時(shí),

/(0)-2/(0)+1,解得/'(0)=-1,

因此，/(x)=-e23t-e-,所以7(0)=-2.

故答案為：-2

【解題方法總結(jié)】

對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本

函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題.

題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

方向1、在點(diǎn)尸處切線

【例3】(2024?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))曲線y=(2x-l)3在點(diǎn)(1/)處的切線方程為

【答案】6尤_y-5=0

【解析】函數(shù)y=(2x-l)*3的導(dǎo)函數(shù)為/=6(21)2,

所以函數(shù)y=(2x-l)3在x=l處的導(dǎo)數(shù)值M日=6,

所以曲線y=(2x-iy在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為6,

所以曲線y=(2x-iy在點(diǎn)(1」)處的切線方程為yT=6(xT)，即6x-y-5=0,

故答案為：6x-y-5=0.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10](2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))曲線/(尤)=ln(x+2)+|在點(diǎn)(0,〃0))處的

切線方程為.

【答案】x—2y+21n2+3=0

3

【解析】因?yàn)?(%)=皿%+2)+,,

所以/'(%)=」二，

x+2

則八。)=;,

3

又/(0)=ln2+5，

Q1

所以曲線在點(diǎn)(0"(0))處的切線方程為y-ln2-1=

gpx—2y+21n2+3=0.

故答案為：x-2y+21n2+3=0.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11](2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=；Y+bx2+cos1：，，

/⑺為〃x)的導(dǎo)函數(shù).若尸(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則曲線y=/(x)在點(diǎn)

(2,/(2))處的切線方程為

7

【答案】y=~

【解析】/V)=x2+,

71I71I

令g(x)=/+2加:,h(x)=--sm\-x\,則廣(x)=g(x)+/z(x),

7T7T

^—x=kjt+—,ZeZ,解得％=2Z+1,kEZ,

當(dāng)左=0時(shí)，x=\,所以直線x=l為M%)的一條對(duì)稱軸，

故g(x)的圖象也關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則有一耳=1,解得〃=—1,

貝|JfM=^-x3-x2+cos[/x],f\x)=x2-2x-^-sin^xj,

7

/(2)=--,r(2)=0,

故切線方程為y=-7}

、.7

故答案為；y=-j.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】(2024?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(x)=Xd+(2_2)x2(x￡R)是

奇函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(diǎn)(4/0))處的切線方程為.

【答案】24尤-、-32=。

【解析】因?yàn)椤?疝3+0-2.2(》61i)是奇函數(shù)，

所以〃T)+〃x)=0對(duì)VxeR恒成立，

即—Ax3+(2—2)尤2+A,X3+(/—2)x2=2(X—2)x?=0對(duì)XZxeR恒成立，

所以2=2,則〃力=2竟故以(%)=6總所以2(2)=2x23=16,4(2)=6x22=24,

所以曲線y=〃x)在點(diǎn)(2,16)處的切線方程為丁-16=24(》-2),

化簡(jiǎn)得24x-"32=0.

故答案為：24尤-y-32=0

方向2、過(guò)點(diǎn)尸的切線

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13](2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線y=lnx相切,

則該直線的方程是.

【答案】y=-x

e

【解析】由題意可得/

設(shè)該切線方程y=kx,且與y=Inx相切于點(diǎn)(尤0,%),

%=也

<%=1叫)，整理得1啄=1,

k=f'(xo)=—

[xo

；?%=e,可得左=一,y=—x.

ee

故答案為：y=-x.

e

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14](2024?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力=丁-6+1,過(guò)點(diǎn)

P(2,0)存在3條直線與曲線y=/(x)相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】萱]

【解析】由:(尤)=3尤2一°,設(shè)切點(diǎn)為由,〃),則切線斜率為((附=3病”，

所以，過(guò)P(2,0)的切線方程為y=(3/-a)(x-2),

綜上，-")("-2),即(3m2_幻(m_2)=m3_加+1,

n=m-am+\

所以2a=-2療+6m2+1有三個(gè)不同m值使方程成立，

即y=2。與g(〃?)=-2m3+6m2+1有三個(gè)不同交點(diǎn)，而g'(m)=-6m2+12m,

故(-8,0)、(2,+ao)上g'(〃?)<0,g(?i)遞減，(0,2)上g，O)>0,g(?i)遞增；

所以g(〃z)極小值為g(0)=l,極大值為g(2)=9,故l<2a<9時(shí)兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，

綜上，。的取值范圍是［萬(wàn)，5〉

故答案為：］，0

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)（-*。）作曲線y=V的切線，寫

出一條切線方程：.

【答案】y=0或y=3x+2（寫出一條即可）

【解析】由y=d可得V=3f,

設(shè)過(guò)點(diǎn)作曲線y=%3的切線的切點(diǎn)為（不,為）,則為=其，

則該切線方程為y—%=3x；Cx—Xo）,

將（-g，oj代入得-X；=3x；（4-X。），解得毛=0或%=-1,

故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）或（TT）,

故切線方程為y=0或y=3無(wú)+2,

故答案為：y=0或y=3元+2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024?海南海口?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)x軸上一點(diǎn)P&0）作曲線

C:y=a+3）e”的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)f的一個(gè)可能值為.

【答案】T,-5,-6,只需寫出一個(gè)答案即可

【解析】設(shè)切點(diǎn)為（為,（毛+3,根），因?yàn)閥'=（x+4）e",所以切線方程為

y-（%+3）e%=（%+4）e"x—%）.

因?yàn)榍芯€/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,所以-（5+3卜&=（%+4）e"/_%）,

由題意關(guān)于與的方程焉-（t-3）x°-由-3=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

則A=Q—3）2+4（4+3）<0,解得_7<t<—3.

因?yàn)閠為整數(shù)，所以f的取值可能是-6,-5,-4.

故答案為：-4,-5,-6,只需寫出一個(gè)答案即可

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=（x+2）e*的切線，則切點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為.

【答案】-1+6或-1-右

【解析】由y=(x+2)e，可得y=(無(wú)+3)e，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,%),

所以切線斜率k=(x0+3)e』，又因?yàn)?=(%+2)e-,

則切線方程為y-(x0+2)e^=(x°+3)e"(龍一尤°),

把(0,0)代入并整理可得x-+2xo-2=O,解得飛=一1+6或5=-1-6.

故答案為：-1+括或-1-石

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】(2024?廣西南寧?南寧三中校考模擬預(yù)測(cè))若過(guò)點(diǎn)尸(l,a)(aeR)有“條

直線與函數(shù)/(無(wú))=(了-2)3的圖象相切，則當(dāng)“取最大值時(shí)，。的取值范圍為.

【答案】(-3,-e)

【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)尸。,。)的直線/與“X)的圖象的切點(diǎn)為(如(%-2》出),

因?yàn)槭?x)=(xT)e，，

所以切線/的斜率為尸(毛)=(%—l)ee，

所以切線/的方程為>一(5一2)]>=(x0-l)e^(x-x0),

將尸(l,a)代入得。一(x(,-2)e&=(毛一l)e&

即a=(%—l)e&-2)e%=(-x；+3x0—3)e%,

設(shè)g(x)=(-x?+3x-3)e”,則g[x)=(-》2+3x-3)e*+(-2x+3)e*=(-x2+x)e”,

由g'(x)=0,得x=0或x=l,

當(dāng)x<0或x>l時(shí)，g<x)<0,所以g(x)在(Y?,0),(1,+OO)上單調(diào)遞減;

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)>0,所以g(x)在(0」)上單調(diào)遞增,

所以g(x)極小值=g(。)=-3,g(x)極大值=g⑴=r,

又一/+3彳-3=-1無(wú)一|]-1<0,所以g(x)<0恒成立，

所以g(x)的圖象大致如圖所示，

由圖可知，方程。=(-君+3毛-3卜加最多3個(gè)解,

即過(guò)點(diǎn)尸（La）SeR）的切線最多有3條,

即〃的最大值為3,此時(shí)-3<a<-e.

故答案為：（-3,-e）.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃切=!爐+廣⑴Y+i,其導(dǎo)函數(shù)為

（（x）,則曲線/（x）過(guò)點(diǎn)P（3,l）的切線方程為.

【答案】y=l或y=3x-8

【解析】設(shè)切點(diǎn)為〃（叫兒），由〃x）=$3+廣⑴無(wú)2+1,得/，⑺=d+2/”）x,

.?.（⑴=1+2（⑴，得/⑴=_i,〃尤）=3/一/+1,r（x）=f-2x,

,切點(diǎn)M為］Xo，gx；-x；+lj,f'（x0）=x1-2x0,

???曲線在點(diǎn)M處的切線方程為

又.??該切線過(guò)點(diǎn)”3,1）,1-，x"片+”=（%一2%）（3-x°）,解得％=0或%=3.

將％=0代入①得切線方程為y=1；

將毛=3代入①得切線方程為y-l=3（x-3）,即y=3x—8.

???曲線〃x）過(guò)點(diǎn)P（3,l）的切線方程為y=1或y=3彳-8.

故答案為：y=l或y=3x-8

方向3、公切線

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20］（2024?云南保山?統(tǒng)考二模）若函數(shù)〃x）=41n尤+1與函數(shù)

g（x）=/x2-2x（a>0）的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

【答案】A

4

【解析】由函數(shù)〃x)=41nx+l,可得:

4

因?yàn)椤?gt;0,設(shè)切點(diǎn)為億41nr+l),則(⑴=7

44

則公切線方程為y-41n/-l=7(x-r),即y=?x+41nr—3,

與y=_X2—2x聯(lián)立可得—x2—|2H—41n/+3=0,

aa\t)

所以△=[2+31-4x-x(3-41n?)=o,整理可得1_17+1)

a3-4hW

又由(>0，可得3-41皿>0,解得0</</，

4(2+])^+41nr-l

3_“/Jt

令其中0<f<e*,可得/(/)=

〃⑺=2

3—41nt(3-41nZ)

A-\

令°（t）=r+41nf-l,可得°"）=1+—＞0,函數(shù)。⑺在0,e4上單調(diào)遞增，且9（l）=0,

當(dāng)0＜t＜l時(shí)，9。）＜0,即〃（。＜0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)1＜，＜/時(shí)，@（。＞°，即”（。＞0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

所以〃（。*=/2（1）=3,且當(dāng)f-?0+時(shí)，刈。-內(nèi)，所以函數(shù)〃⑺的值域?yàn)椋?,+8）,所以

工23且。〉0,解得0＜aW2，即實(shí)數(shù)。的取值范圍為（0,3.

a33

故選：A.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024?寧夏銀川?銀川一中校考二模）若直線H）-1與曲線…

相切，直線＞=M（％+1）-1與曲線y=lnx相切，則匕無(wú)2的值為.

【答案】1

【解析】設(shè)/（x）=",則廣（X）=e）設(shè)切點(diǎn)為（網(wǎng),%）,則匕=e』，

則切線方程為y-%=e"(x-xj,即y-爐=eH(x-xJ,

直線。=%(x+D-l過(guò)定點(diǎn)(T-L),

所以一l-e*1=9(一1一占)，所以卒*1=1,

設(shè)g(元)=ln尤，則g，(x)=L,設(shè)切點(diǎn)為(％,%),則左2=’-,

尤々

則切線方程為y->2=-^(%-/)，即y-lnx2=—(x-x2),

x2x2

直線y=勺。+1)—1過(guò)定點(diǎn)(T-1),

所以ll—ln%2=}(-1一12),所以工21口入2=1，

則為，%是函數(shù)/(x)=e，和g(x)=lnx的圖象與曲線y=」交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

X

易知于(X)與g(x)的圖象關(guān)于直線y=X對(duì)稱，而曲線y」也關(guān)于直線y=X對(duì)稱，

X

因此點(diǎn)a，M),(%，%)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

從而3=e'1,為=In々，

所以用匕=J=1.

無(wú)2

故答案為：1.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22](2024?河北邯鄲?統(tǒng)考三模)若曲線y=e*與圓(x-a)2+y2=2有三條公

切線，貝M的取值范圍是—.

【答案】。,+⑹

【解析】曲線>=e，在點(diǎn)(%,%)處的切線方程為'-田=砂(%-%)，

由于直線y—e%=e&(x—%)與圓(x-a)2+V=2相切，得卜(二=0(*)

\ll+e2x°

因?yàn)榍€〉=^與圓(x-〃)2+y2=2有三條公切線，故(*)式有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即方程e"。((尤°-。-以-2)=2有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

令g(x)=e[(x_aT)2-2),則曲線y=g(x)與直線y=2有三個(gè)不同的交點(diǎn).

顯然，/(%)=2匕2*(犬-々_2)(%-〃+1).

當(dāng)了￡(口,1—1)時(shí)，gr(x)>0,當(dāng)X￡(〃一l,a+2)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)無(wú)￡(a+2,+oo)時(shí),

g'(x)>0，

所以，g(x)在(ro,a-1)上單調(diào)遞增，在(a-1,。+2)上單調(diào)遞減，在(a+2,+<?)上單調(diào)遞

增;

且當(dāng)xf-8時(shí)，g(x)=(x_y)_2.0,當(dāng)xf+8時(shí),

((X-a-])-2)-^+oo,

e4"T)>1

因此，只需“；[,即《

g(a+2)<2-e2(a+2)<2'

解得

故答案為：(L+s)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】(2024?湖南長(zhǎng)沙?湖南師大附中校考模擬預(yù)測(cè))若曲線G：/(x)=/+a

和曲線c2：g(x)=21nx恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(T+8)

2

［解析)由題意得f(x)=2x,g\x)=-，U>0),

x

設(shè)與曲線/(冗)=f+〃相切的切點(diǎn)為(國(guó),片+〃)，與曲線g(x)=21nx相切的切點(diǎn)為

(尤2,21口馬),

則切線方程為y=+片+a,即y=2x1x-x^+af

22

y=一(x-x2)+21nx2,即y=-x+21nx2-2,

x2x2

2x-

由于兩切線為同一直線，所以'x；,得。=d一21nAi-2a>。).

—X：+〃=2111^2—2

(p(x)=x2-2Inx-2(x>0),則夕'(%)=2%—2=之。+D(*_12,

xx

當(dāng)。〈尤vl時(shí)，9'(x)<0,9*0在(0,1)單調(diào)遞減，

當(dāng)X>1時(shí)，/(x)>0,。(%)在(L+℃)單調(diào)遞增.

即有x=l處。(%)取得極小值，也為最小值，且為。(1)=-1.

又兩曲線恰好存在兩條公切線，即”=0(x)有兩解,

結(jié)合當(dāng)X-0時(shí)，/趨近于0,inx趨于負(fù)無(wú)窮小，故。(無(wú))趨近于正無(wú)窮大，

當(dāng)X-+8時(shí)，必趨近于正無(wú)窮大，且增加幅度遠(yuǎn)大于M%的增加幅度，故例幻趨近于正無(wú)

故答案為：(-1,+與

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24](2024?江蘇南京?南京師大附中校考模擬預(yù)測(cè))已知曲線G:/(x)=/與

曲線：g(力=?er+1(a>0)有且只有一條公切線，則”.

4

【答案】-

e

【解析】設(shè)曲線^=『(/在彳=再處的切線與曲線，=8(為相切于彳=%處，

/'(尤)=2x,故曲線y=/(尤)在x=%處的切線方程為y-=2為J一百),

整理得y=2%尤-無(wú)；.

g'(x)=aex+l,故曲線v=g(x)在x=3處的切線方程為y-ae*+i=ae*2M(x-X2),

整理得y=ae^x-ae^(x2-1).

故戶=ae*⑴

由⑴再結(jié)合a>0知玉>0,將⑴代入(2),得T；=-2%(尤2-1),

解得％=2(々一1)且%>1，

將士=2(%—1)代入(1),解得4(9—1)=恁研1且%>1,

即”=4(々：1)且々>1,令公々+1,則<="-2),f>2

e

令加「加丁

4

則〃⑺在區(qū)間(2,3)單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,+8)單調(diào)遞減，且刈3)=下，

又兩曲線有且只有一條公切線，所以。=絲且只有一個(gè)根，由圖和。>0知

ee,

4

故答案為：—.

e

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25](2024?福建南平?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知曲線，=alnk和曲線y=d有唯

一公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處有相同的切線/,則/的方程為.

【答案】2廄x-y-e=0

【解析】設(shè)曲線g(尤)="lnx和曲線/(x)=Y在公共點(diǎn)(如%)處的切線相同，

則/'(無(wú))=2x,g'(x)=f,

由題意知〃%)=g(%)j(%)=g'(xo),

a

2x——

即，xo>解得a=2e丙)=Ve,

Xg=aInx0

故切點(diǎn)為(6,e),切線斜率為左=/(毛)=2加，

所以切線方程為y—e=2虛(x-五)，BP2Vex-y-e=0,

故答案為：2冊(cè)x-y-e=0

方向4、已知切線求參數(shù)問(wèn)題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】(2024?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若曲線y=xlnx有兩條過(guò)(e,a)的切線,

則a的范圍是.

【答案】(f,e)

【解析】設(shè)切線切點(diǎn)為(5,%)，因(xlnx)"山”+1,則切線方程為：

y0=xolnxo

y=(inx0+1)(x-%)+x0Inx0=(inx0+1)x-x0.

因過(guò)(e,a),則a=(in/+l)e-%,由題函數(shù)/(x)=(inx+1)e-x圖象

與直線V=a有兩個(gè)交點(diǎn).-(x)=--1=±二二，

得/(X)在(o,e)上單調(diào)遞增,在(e,+s)上單調(diào)遞減.

又『⑺儂=7(e)=e,-,xf+8,/(x)f-op.

據(jù)此可得〃x)大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)ae(—,e)時(shí)，曲線y=xlnx有兩條過(guò)(e,a)

的切線.

故答案為：(r?,e)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27](2024?山東聊城?統(tǒng)考三模)若直線丫=尤+6與曲線y=e，-"相切,

則b的最大值為()

A.0B.1C.2D.e

【答案】B

【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(5,%),因?yàn)閥=ex-ax,

所以y'=e，-“，故切線的斜率為：e』-a=l,

e~=a+l,貝ij%=ln(a+l).

又由于切點(diǎn)(毛,%)在切線＞=x+6與曲線y=ev-依上，

x

所以/+b=e°-ax0,所以8=(a+l)_Xo(a+l)=(a+l)[l_ln(a+l)].

令。+1=人貝!jb=r(l-ln。，設(shè)/⑺,

ra)=(l-lnr)+rf-1j=-lnr,令尸⑺=0得:t=l,

所以當(dāng)te（0,l）時(shí)，r（r）＞0,/⑺是增函數(shù);

當(dāng)時(shí)，,/Q）是減函數(shù).

所以/⑺max=/（1）=L

所以6的最大值為：1.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28］（2024?重慶?統(tǒng)考三模）已知直線＞=辦一。與曲線y=x+9相切，則實(shí)

數(shù)a=（）

143

A.0B.4C.-D.-

252

【答案】C

【解析】由y=x+9且x不為0,得y'=l-二

y=ax-a=a

QQOXQ—ClXQ-\------

%

設(shè)切點(diǎn)為（工,%）,則＜%=%o+—，即<

%

a=9°

a玉)+1

1——f=a

不

所以[--=-^0+2°1，可得不)=—2,0=3

XQ+1XQ+1%。+15

故選：C

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知偶函數(shù)

/(x)=(a—l)f—3bx+c—d—1在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為x+y+l=0,貝U=

)

c-d

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)?（九）是偶函數(shù)，所以/（一%）=（，—1）爐+3版+c—d—l=/（九），即6=0；

由題意可得：f(1)=(J—1—3Z?+c—6?—1=—(1+1)=>c-d=-a=—tz+Z?,

c-d

故選：A

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知M是曲線y=lnx+gd+依上的任一

點(diǎn)，若曲線在加點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于:的銳角，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

4

A.[2,+co）B.[-l,+oo）C.（-co,2]D.

【答案】B

【解析】函數(shù)y=lnx+1x2+a元的定義域?yàn)椋∣,+8）,JLy=-+X+G,

2x

因?yàn)榍€y=lnx+：1尤2+6在其上任意一點(diǎn)“點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于jr;的銳角，

24

1711

所以，/=一+%+〃之tan：=l對(duì)任意的％>0恒成立，貝!|1一

x4x

當(dāng)x>0時(shí)，由基本不等式可得了+工22、口=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，

XVX

所以，1一角軍得"2—1.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31]（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知加〉0,n>0,直線y=』無(wú)+加+1與

e

曲線y=lnx-7?+2相切，則工+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.8D.4

【答案】D

【解析】對(duì)y=lnx-7+2求導(dǎo)得

X

由y'=，二」得'二e,則』?e+根+1=Ine-〃+2,即機(jī)+〃=1,

xee

所以—I—=（m+n}\—I—=2d---1—>2+2=4,

mnn）mn

當(dāng)且僅當(dāng)相="=:時(shí)取等號(hào).

故選：D.

方向5、切線的條數(shù)問(wèn)題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32]（2024?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)（私〃）可以作曲線y=log?無(wú)

的兩條切線，則（）

A.m>log2nB.n>log2mC.rn<log2nD.n<log2m

【答案】B

【解析】作出函數(shù)y=iog2尤的圖象，由圖象可知點(diǎn)（孫〃）在函數(shù)圖象上方時(shí)，過(guò)此點(diǎn)可以

作曲線的兩條切線，

所以”>10g2〃Z,

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)（“,3可以作曲線y=lnx的兩條切

線，貝U（）

A.a<inbB.b<\naC.\nb<aD.\na<b

【答案】D

【解析】

,ia-xa7rla

(a,b),則Z?_ln/=------b+l=\nx0+—,

%%

設(shè)/(x)=lnx+4,函數(shù)定義域是(0,+8),則直線y=》+l與曲線/(x)=lnx+@有兩個(gè)不同

XX

的交點(diǎn)，—(彳)=工一二=上二，

尤尤X

當(dāng)a?0時(shí)，尸(幻>0恒成立，/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)。>0時(shí)，

0<x<a時(shí)，/(幻<0,/(x)單調(diào)遞減，

時(shí)，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，所以f(x)皿=f(a)=lna+l,結(jié)合圖像知

b+l>lna+l,即b>lna.

故選：D.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】(2024?湖南?校聯(lián)考二模)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(。力)可以且僅可以作曲線y=lm的

一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.a<0B.b=]naC.a=lnbD.a<O^b=\na

【答案】D

【解析】設(shè)切點(diǎn)P(5，l叫).因?yàn)閥=lnx,所以y'=J

所以點(diǎn)P處的切線方程為y-lnx。='(x-Xo),

又因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)(。,6),所以6T叫)=’("%),即％+1=1叫+烏.

令〃尤)=11?:+“戈>0),則y=b+l與/(無(wú))=向+?(戈>0)有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，

/()-彳X2-X2，

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以/(X)單調(diào)遞增，顯然Xf+8時(shí)，于是符

合題意；

當(dāng)〃>0時(shí)，當(dāng)0<x<〃時(shí)，/'(x)<0,/(%)遞減，當(dāng)時(shí)，>0,/(%)遞增，所

以/(^min=/(?)=Ina+1,

貝！Jb+1=Ina+1,即匕=]na.

綜上,a<O^b=\na.

故選：D

方向6、切線平行、垂直、重合問(wèn)題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35](2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)/'(尤)=ln尤+尤與g(x)=生了的圖